El documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables como funciones vectoriales y escalares, derivadas parciales, diferencial total, gradiente, divergencia, rotor, plano y recta tangentes, regla de cadena, jacobiano, extremos relativos, multiplicadores de Lagrange, y los teoremas de Green, Gauss y Ampere.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico ¨ Santiago Mariño¨
Extensión Barcelona
Escuela de Arquitectura
Profesor:
Pedro
Beltran
Bachiller:
Castellano Paola
CI:30516711
Derivación e integración
de funciones de varias
variables

2. Limite y continuidad de una función en el
espacio R3
En la siguiente diapositiva veremos los conceptos mas importantes
relacionadas con la continuidad de funciones de las variables
reales. Durante el presente tema consideramos R 2 y R 3 con sus
correspondientes métricas Euclidea de que ya hemos introducido
en el primer tema de la asignatura
Veamos como podemos definir el concepto de función real de varias
variables reales, para ello, distinguiremos dos casos, las funciones
escalares y las funciones vectoriales

3. Función vectorial:
dado un conjunto una función vectorial es una aplicación :
Función escalar:
Dado a un conjunto una función escalar es una aplicación :
O lo que es lo mismo una función vectorial, es una aplicación de varias
variables reales cuya imagen esta contenida en el espacio euclideo R
O lo que es lo mismo, una función escalar, es una aplicación de varias
variables cuya imagen esta contenida en la recta real.
Derivada parciales:
desde el punto de viste geométrico f(xo) corresponde a la pendiente de la
recta tangente a la grafica de la función f (X) en el punto (Xo,f(Xo) y, por la
tanto, mide la mayor o menor inclinación de la grafica de la función, es ese
punto. La pendiente de la recta tangente es el valor de la tangente del
Angulo que forma con la horizontal.

4. Diferencia total: el diferencial total de una función real de varias
variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales
cuyos componentes (coeficientes) son los de gradientes de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es forma pfaffiana y puede
ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de
dimensión n, donde n es el numero de variables dependientes de la
función. Por ejemplo
Z=(x,y) si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es :
Representación: en calculo
diferencial, el diferencial total de una
función f :R R se puede
representar de la siguiente manera:
Donde f es una
función
Gradiente: la generalización del
concepto de gradiente para funciones
vectoriales de varias variables es le
concepto de matriz jacobiana. El
gradiente se representa con el operador
diferencial nabla, seguido de la función
(atención a no confundir el gradiente
con la divergencia, la cual se denota
divergencia como un punto de producto
escalar

5. Divergencia : la divergencia de un campo vectorial mide la diferencia
entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que en sierra un
elemento de volumen DV . Si el volumen elegido solamente contiene fuente o
sumidero de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
la divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que
se define con el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el
volumen alrededor del punto tiene a cero, para el caso del campo magnético
la divergencia viene dada por la ecuación
Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el limite, B es el
campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S es el operador
nabla que se calcula de la siguiente forma
La divergencia de un campo es un valor escalar con signos. Si este signo
es positivo quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho
punto y, por tanto, es una fuente o manantial si el signo es negativo, el
campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que
constituiría un sumidero.

6. Rotor: se ese entiende por rotacional o rotor al operador vectorial
que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de
un punto. También se define como la circulación del vector sobre un
camino cerrado de borde de un área con dirección normal a ella misma
cuando el área tiende a cero.
Aquí es el área donde la superficie apoyada en la cueva C, que se reduce
a u punto. El resultado de este limite no es el rotacional completo (que es
un vector ), si no solo su componente según la dirección normal y a S
orientada según las reglas de la mano derecha. Para obtener el rotacional
completo deberán calcularse tres limites, considerando tres curvas situadas
en plano perpendiculares

7. Plano tangente: se llama plano tangente a una superficie en un
punto al plano que contiene todas las rectas tangentes de todas las curvas
trazadas sobre la superficie que pasan por el punto si no todas las
tangentes están sobre el mismo plano entonces se dice que no existe el
plano tangente. Analíticamente esto significa que exista el plano tangente a
una superficie en un ponto de la misma, la función que define la superficie
a de ser diferente en ese punto

8. Recta normal: se le llama recta normal a la superficie en un punto de
la misma a la recta que pasa por P(Xo, Yo, Zo) y tiene como vector director al
vector normal a la superficie de ducho punto, es decir, la recta perpendicular
al plano tangente a la superficie en P como vector normal a la superficie y se
puede usar de manera indistinta cualquiera de los vectores gradientes
Las ecuaciones Parametricas de la recta normal son :
Las ecuaciones simétricas de la recta normal
son:

9. Regla de cadena: en calculo diferencial, la regla de cadena no es mas
que la resultante de la derivada de la composición de dos funciones, a esto
también se le conoce como composición de funciones y se ve mas a fondo en el
calculo algebraico.
en términos mas simples (entre comillas) si tenemos una variable nombrada
como Y la cual depende de una segunda variable U que a su vez depende de una
tercera variable del tipo X entonces concluimos que la razón de cambio de Y con
respecto a X puede ser obtenida con el producto proveniente de la razón de
cambio de Y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio d u con
respecto a X.
Jacobiano: la matriz jacobiana es una matriz formada por la derivación
parciales de primer orden de una función, una de las aplicaciones mas
interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la
función en un punto en este sentido el jacobiano representa a la derivación de
una función multivariable.
Extremo relativo: los extremos relativos de una función
escala. Aunque la analogía con el caso de una variable es total, hay
alguna diferencia que surge de manera natural por el paso de una
dimensión superior en lo sucesivo

10. Multiplicadores de LaGrange: en los problemas de optimización,
el método, de los multiplicadores de LaGrange, llamados así en honor a
Joseph Louis LaGrange es un procedimiento para encontrar lo máximos y
mínimos de funciones de múltiples variables sujetadas a restricciones. Este
método reduce el problema restringido con n variables a uno sin
restricciones de n + k variables, donde k es igual al numero de restricciones,
y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas mas fácilmente. Estas nuevas
variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas
multiplicadores de la LaGrange, el método dice que los punto donde la
función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los
puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construidas con
una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las
restricciones, cuyo coeficientes son los multiplicadores.
El método de los multiplicadores de
LaGrange: sea F (x) una función definida
en un conjunto abierto n – dimensional (x
E R ). Se define s restricciones gk ( x)=
0,k=1,…,s, y se observa ( si las
restricciones son satisfechas ) que :

11. Teorema de Green: sea f (x,y),F y (y)) una
función diferenciable de dos variables en el plano,
ya sea D una región del plano real. Sea C la
frontera de D, entonces:
Sea V un volumen cerrado en el espacio, y S su frontera parametrizada (es
decir, su “ piel”), entonces, si F : VCR R, es una funcion diferenciable
en v
Con este teorema, podemos convertir complicadas integrales de superficie, e
integrales de volúmenes.
• calcular div (F).
•Encontrar la región de integración V (un volumen, es decir, variables)
•Calcular la integral con tres variables

12. Teorema de Gauss: sea V un volumen cerrado en el espacio y
S su frontera parametrizada sea (es decir, su “piel” ), entonces, si F dos
punto VCR R es una función diferenciable en B
Con este teorema, podemos convertir complicadas integrales de superficie,
en integrales de volumen
•Calcular div (F)
•Encontrar la región de integración V ( un volumen , es decir, variables)
•Calcular la integral con 3 variables

13. Teorema de ampere: la circulación del vector campo magnético
a lo largo de una curva cerrada que rodea a un conductor por el que
circula una corriente de intensidad I, es igual al producto de la constante
(permeabilidad magnética del vacio )por la intensidad que penetra en el
área limitada por la curva.
•Di es el vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto
• I , es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la
trayectoria, y será positiva o negativa según el sentido con el que
atraviese a la superficie