Practica

1. Calculo III Práctica Nº 1
Semestre Académico 2015 – I
PRÁCTICA Nº 1
1. Sean u y v vectores de n
R , demuestre
a) Los vectores u v+ y u v− son ortogonales, si y solo si, .u v=
b) Si el vector u es ortogonal tanto al vector v como al vector w , entonces el vector u es
ortogonal a cualquier combinación lineal de estos.
2. Sean u y v vectores de n
R , demuestre
2 2 2
0u v v u u v+ = + ⇔ ⋅ =
3. Sean a, b, c vectores de n
R que cumple la igualdad
2 2 2 2
a b c a b c+ + = + +
¿Implica esta condición que los vectores son ortogonales a pares? En caso afirmativo,
demostrarlo. En caso negativo poner un contraejemplo.
4. Sean u y v vectores de 5
R , que cumplen 10,u = 11u v+ = y 9u v− = .
Demuestre que existe un β ∈R tal que u vβ= y hallarlo.
5. Sean u y v vectores de n
R no nulos. Demuestre que para todo x∈R se cumple
u v
u v u xv
v v
⋅
− ≤ +
⋅
6. Sean a, b, c vectores de n
R . Demuestre la identidad de Apolonio
( )2 2 2 21 1
2
2 2
c a c b a b c a b− + − = − + − +
7. Sean a, b1, b2 vectores de n
R y 1,α 2α números reales tales que el vector ( )1 1 2 2a b bα α− +
es ortogonal a 1b y a 2b . Demuestre la desigualdad de Bessel
1 1 2 2a b bα α≥ +
8. Sean a1, a2,…, an∈R positivos. Aplicando la desigualdad de Cauchy Schwarz demuestre que
2
1 1
1n n
i
i i i
n a
a= =
  
≤   
  
∑ ∑
¿Cuándo se da la igualdad?
9. Para cualquier par de vectores no nulos u y v de n
R , demuestre que
2 2
u v u v
u v u v
−
− =
10. Sean a, b vectores de n
R tal que a b= . Demuestre que para todos ,α β ∈R se tiene
que
a b a bα β β α+ = +

2. Calculo III Práctica Nº 1
Semestre Académico 2015 – I
11. Los vectores u, v vectores de n
R forman un ángulo de
3
π
. Suponiendo que 3u = y
4v = , halle u v⋅ ; u v+ y u v− .
12. Cada pareja de vectores u, v, w vectores de n
R forman un ángulo de
3
π
. Suponiendo que
1u = , 2v = y 3w = , halle u v w+ + .
13. ¿Es la función norma : n
⋅ →R R que a cada vector x∈R le asocia su norma x ∈R ,
una función inyectiva?¿sobreyectiva?
14. Dado vectores distintos de cero a y b de 3
R , demuestre que el vector v a b b a= +
biseca el ángulo entre a y b.
15. Demuestre que dos vectores en n
R son linealmente dependiente si y sólo si uno de ellos es un
múltiplo del otro.
16. Demuestre que cualquier conjunto de vectores en n
R que contenga al vector cero es
linealmente dependiente.
17. Demuestre que un conjunto formado por n vectores v1, v2,…, vn
n
∈R es linealmente
independiente si y solamente si la matriz cuadrada de orden n que tiene por vectores columnas
a estos vectores, tiene determinante distinto de cero.
18. Verifique que ( ) ( ) ( ){ }1,1,1 ; 1,1,0 ; 1,0,0β = es una base del espacio 3
R . Escriba el vector
( ), ,x y z en términos de esta base.
19. Sea v un vector de n
R . Demuestre que el conjunto S de vectores x n
∈R ortogonal a v, es un
subespacio de n
R .
20. Halle un vector ( ) 3
, ,x y z ∈R que sea ortogonal a ( )3,1,1 ; ( )2,1,5 y a ( )1,0,0 .