1. El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo sus propiedades, ejemplos comunes y definiciones de subespacios vectoriales. 2. También introduce la noción de sistemas de generadores y dependencia lineal entre vectores. 3. El documento proporciona una introducción concisa pero completa a los fundamentos de los espacios vectoriales para estudiantes.

1. Tema 1:
ESPACIOS VECTORIALES
Prof. Rafael L´opez Camino
Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa
Universidad de Granada
Material docente para el alumno
Asignatura: Geometr´ıa I. Curso 2003/04
Licenciatura: Matem´aticas (Plan 2000)
Universidad de Granada

2. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
1 Espacio vectorial
Definici´on 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto
no vac´ıo y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las
que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con
las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
1. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).
5. λ(µv) = (λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).
De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V
lo llamamos vectores y a los de R, escalares.
Proposici´on 1.1 En un espacio vectorial V ,
1. El elemento neutro es ´unico. Se denotar´a por 0.
2. El elemento opuesto de un vector es ´unico. Si v es un vector, su opuesto lo
denotamos por −v.
Proposici´on 1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes propiedades:
1. λ0 = 0, λ ∈ R.
2 Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor

3. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
2. 0v = 0, v ∈ V .
3. (−λ)v = −(λv), λ ∈ R, v ∈ V .
4. Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.
A continuaci´on, damos algunos ejemplos de espacios vectoriales:
1. Si n es un n´umero natural, se considera el espacio eucl´ıdeo Rn
= {(x1, . . . , xn); xi ∈
R} con la suma y producto por escalares siguientes:
(x1 . . . , xn) + (y1, . . . , yn)0(x1 + y1, . . . , xn + yn).
λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn).
Siempre se supondr´a que Rn
tiene esta estructura vectorial y que llamaremos
usual.
2. Sea V = {(x, y) ∈ R2
; x − y = 0} con la suma y producto por escalares como
antes.
3. Sea V = {p} un conjunto con un ´unico elemento y con p + p = p y λp = p.
4. Sea V = {f : R → R; f es aplicaci´on} y
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ R.
5. W = {f : R → R; f es una funci´on diferenciable} y la suma y el producto por
escales est´a definido de forma an´aloga a la del ejemplo anterior.
6. Se considera el conjunto de los polinomios de grado n ∈ N: un polinomio
de grado n ∈ N es una expresi´on del tipo p(X) = a0 + a1X + . . . + anXn
;
abreviaremos p(X) = n
i=1 aiXi
, donde por convenio X0
= 1 y en vez de
escribir a01 = a0. Dos polinomios p(X) = n
i=1 aiXi
y q(X) = n
i=1 biXi
se
dir´an iguales si ai = bi para cada i. El conjunto de polinomios de grado n
Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor 3

4. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
lo denotamos por Pn[X].Definimos la siguiente suma de polinomios y de un
escalar por un polinomio:
n
i=1
aiXi
+
n
i=1
biXi
=
n
i=1
(ai + bi)Xi
λ
n
i=1
aiXi
=
n
i=1
(λai)Xi
Entonces Pn[X] es un espacio vectorial.
7. Sea X = {a1, . . . , an} un conjunto con n elementos. Se define una palabra
formada por el conjunto X como una expresi´on del tipo x1a1 + . . . + xnan,
donde xi ∈ R. Dos palabras x1a1 + . . . + xnan y y1a1 + . . . + ynan son iguales
si xi = yi. Se define V el conjunto de todas las palabras y se define
(x1a1 + . . . + xnan) + (y1a1 + . . . + ynan) = (x1 + y1)a1 + . . . + (xn + yn)an.
λ(x1a1 + . . . + xnan) = (λx1)a1 + . . . + (λxn)an.
Entonces V es un espacio vectorial. Como ejemplo, el conjunto de palabras
definidas por {1, X, . . . , Xn
} constituyen el espacio Pn[X].
A continuaci´on definimos estructuras de espacio vectorial a partir de la teor´ıa de
conjuntos. Concretamente, a partir del producto cartesiano, aplicacines biyectivas,
espacios cocientes y subconjuntos.
Definici´on 1.2 Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales. Se define en V1 × V2 =
{(v1, v2); vi ∈ Vi} las siguientes operaciones:
(v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + u2)
λ(v1, v2) = (λv1, λv2).
Con esta suma y producto por escalares, V1 × V2 es un espacio vectorial y se llama
espacio producto.
4 Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor

5. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
Como caso particular, se tiene R2
= R × R (¡comprobad que ambos espacios vecto-
riales coinciden!). De la misma forma, se puede definir el espacio vectorial Rn
×Rm
.
Definici´on 1.3 Se considera V un espacio vectorial y V un conjunto biyectivo con
V . Sea f : V → V una biyecci´on entre ambos. Se defineen V la siguiente estructura
de espacio vectorial:
u + v = f(f−1
(u ) + f−1
(v )).
λv = f(λf−1
(v )).
Se dice V tiene la estructura vectorial inducida de V por la biyecci´on f.
1. La estructura vectorial cambia si cambia la biyecci´on f.
2. Sea X = {a1, . . . , an} un conjunto de n elementos y V el conjunto de palabras
definidas a partir de X. Se considera la siguiente biyecci´on entre Rn
y V :
f(x1, . . ., xn) = x1a1 + . . . + xnan.
Entonces la estructura vectorial inducida en V de Rn
(con la estructura usual)
y de la biyecci´on f coincide con la estructura de espacio vectorial que ya se
hab´ıa definida en el conjunto de palabras definidas por X.
3. Se considera R con su estructura usual y R+
el conjunto de los n´umeros reales
positivos. Se considera la siguiente biyecci´on: f : R → R+
, f(x) = ex
.
Entonces la estructura de espacio vectorial inducida en R+
es:
x + y = xy λ · x = xλ
.
La estructura vectorial inducida en un subconjunto de un espacio vectorial
motiva el estudio de subespacio vectorial.
Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor 5

6. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
2 Subespacio vectorial
Definici´on 2.1 Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto suyo. Se dice que
U es un subespacio vectorial de V si satisface las siguientes propiedades:
1. Si u, v ∈ U, entonces u + v ∈ U.
2. Si λ ∈ R y u ∈ U, entonces λu ∈ U.
3. Con la suma y producto por escalares de V , U es un espacio vectorial.
Proposici´on 2.1 Sea U un subconjunto de un espacio vectorial V . Entonces U es
un subespacio vectorial si y s´olo si
1. Si u, v ∈ U, entonces u + v ∈ U.
2. Si λ ∈ R y u ∈ U, entonces λu ∈ U.
Demostraci´on : Supongamos que U satisface las propiedades 1 y 2. Veamos que con
´estas son suficientes para probar todas las propiedades de espacio vectorial. Todas
´estas son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento neutro y
opuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V se encuentra
en U y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de U.
Por hip´otesis, si u ∈ U, 0u = 0 ∈ U. De la misma forma, si u ∈ U, −1u =
−(1u) = −u ∈ U. q.e.d
En particular, todo subespacio vectorial debe contener el elemento neutro del
espacio ambiente, as´ı como los elementos opuestos de todos los vectores del sube-
spacio.
Proposici´on 2.2 1. Si U1 y U2 son subespacios vectoriales, entonces U1 ∩ U2
tambi´en es subespacio vectorial.
6 Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor

7. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
2. Si U1 y U2 son subespacios vectoriales de V y U1 ⊂ U2, entonces U1 es un
subespacio vectorial de U2.
1. Si V es un espacio vectorial, {0} y V son subespacios vectoriales, llamados
subespacios vectoriales triviales.
2. U = {(x, y) ∈ R2
; x − y = 0} es un subespacio vectorial de R2
.
3. En general, si a1, . . . , an son n´umeros reales, no todos nulos, el conjunto U =
{(x1, . . . , xn) ∈ Rn
; a1x1 + . . . + anxn = b} es un subespacio vectorial de Rn
si
y s´olamente si b = 0.
4. Si V1 y V2 son espacios vectoriales, entonces V1 ×{0} y {0}×V2 son subespacios
vectoriales del espacio producto V1 × V2.
5. Si V es un espacio vectorial, V es un conjunto biyectivo con V con la estructura
de espacio vectorial inducida por una biyecci´on f : V → V , entonces U ⊂ V
es un subespacio vectorial si y s´olo si f(U) es un subespacio vectorial de V .
Definici´on 2.2 Sean U y W subespacios vectoriales de V . Se define la suma de U
con W como el conjunto
U + W = {u + w; u ∈ U, w ∈ W}.
Entonces U+W es un subespacio vectorial. Adem´as se tienen las siguientes propiedades:
1. U + W = W + U.
2. U + U = U.
3. U ⊂ U + W.
4. U + W es el menor subespacio (con respecto a la inclusi´on de conjuntos) que
contiene a U y a W.
Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor 7

8. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
Definici´on 2.3 Un espacio vectorial V es suma directa de dos subespacios vectori-
ales U y W suyo, y se denota por V = U ⊕ W, si V = U + W y U ∩ W = {0}.
Con el concepto de subespacio vectorial podemos definir una estructura de
espacio vectorial en un conjunto cociente.
Definici´on 2.4 Sea U un subespacio vectorial de V . En V se define la siguiente
relaci´on binaria R:
vRw si v − w ∈ U.
Entonces R es una relaci´on de equivalencia en V . Al conjunto cociente se denota
por V/U. Es evidente que la clase de equivalencia de un vector v es
[v] = v + U = {v + u; u ∈ U}.
En V/U se define la siguiente suma y producto por escalares:
(v + U) + (w + U) = (v + w) + U.
λ(v + U) = (λv) + U.
Estas operaciones est´an bien definidas: por ejemplo, si v + U = v + U y w + U =
w + U, v − v ∈ U, w − w ∈ U y por tanto, (v + w) + U = (v + w ) + U.
Proposici´on 2.3 V/U es un espacio vectorial. El elemento neutro es 0 + U y si
v + U ∈ V/U, su elemento opuesto es (−v) + U.
3 Sistema de generadores. Dependencia lineal
Definici´on 3.1 Sean X = {v1, . . . , vn} un conjunto de vectores de un espacio vec-
torial V . Una combinaci´on lineal de X es una suma del tipo
a1v1 + . . . + anvn, ai ∈ R
8 Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor

9. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
Se llama subespacio vectorial generados por X al conjunto de combinaciones lineales:
< X >=< v1, . . . , vn >= L({X}) = L({v1, . . . , vn}) = {
n
i=1
aivi; ai ∈ R}.
Proposici´on 3.1 Se tienen las siguientes propiedades:
1. < X > es un subespacio vectorial. Si el cardina de X es 1, se dice que < v >
es la recta vectorial generada por v.
2. Si X ⊂ U, donde U es un subespacio vectorial, entonces < X >⊂ U.
3. Si X ⊂ Y , entonces < X >⊂< Y >.
Como ejemplos tenemos:
1. En R3
, < (1, 0, 1), (0, 1, 1) >= {(x, y, z) ∈ R3
; x − z = 0, y − z = 0}.
2. R2
=< (1, 1), (0, 2) >.
3. Rn
=< (1, 0, . . ., 0), . . ., (0, 0, . . ., 1) >.
4. Si X es Y son dos conjuntos finitos de vectores, entonces < X > + < Y >=<
X ∪ Y >.
Definici´on 3.2 Un espacio vectorial V se llama finitamente generado si existe un
conjunto finito de vectores X tal que < X >= V . A X se llama un sistema de
generadores de V .
De esta forma, {1, X, . . ., Xn
} es un sistema de generadores de Pn[X].
Proposici´on 3.2 1. SI X es un sistema de generadores, y X ⊂ Y , entonces Y
tambi´en es un sistema de generadores.
Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor 9

10. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
2. Si {v1, . . . , vn} es un sistema de generadores y v1 es combinaci´on lineal de los
dem´as, entonces {v2, . . . , vn} es un sistema de generadores de V .
3. Si {v1, . . . , vn} es un sistema de generadores y v = λ1v1 + . . . + λnvn, con
λ1 = 0. Entonces {v, v2, . . . , vn} es un sistema de generadores de V .
4. Un subespacio vectorial de un espacio vectorial finitamente generado, tambi´en
es finitamente generado.
Definici´on 3.3 Un conjunto de vectores {v1, . . ., vn} se dice que es linealmente in-
dependiente (o que forman un conjunto de vectores libre) si la ´unica combinaci´on
lineal nula de ellos es la trivial, es dcir, si siempre que se tenga i=1 λivi = 0,
entonces λi = 0 para cada i. En caso contrario, se dice que son linealmente depen-
dientes.
Proposici´on 3.3 1. {v} es linealmente independiente si y y s´olo si es no nulo.
2. Dos vectores son linealmente independientes si no son proporcionales.
3. Todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independiente, tambi´en
es linealmente independiente.
4. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos es com-
binaci´on lineal de los dem´as.
1. {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3
son linealmente independientes.
2. {(1, 0, . . ., 0), . . ., (0, 0, . . ., 1)} ⊂ Rn
es linealmente independientes.
3. {1, 1 + X, 1 + X2
} ⊂ P2[X] es linealmente independiente.
Definici´on 3.4 Una base de un espacio vectorial es un sistema de generadores y
linealmente independiente.
1. {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3
no es base.
10 Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor

11. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
2. {(1, 0, . . ., 0), . . ., (0, 0, . . ., 1)} ⊂ Rn
es base. Se llamar´a la base usual de Rn
.
3. {1, 1 + X, 1 + X2
} ⊂ P2[X] es base.
Se tiene la siguiente caracterizaci´on de base.
Proposici´on 3.4 Sea B = {v1, . . ., vn} un conjunto de vectores de un espacio vec-
torial. Entonces este conjunto es una base si y s´olamente si para cada v ∈ V , existen
´unicos λi ∈ R tales que v = n
i=1 λivi. A estos n´umeros se le llaman coordenadas
de v respecto de la base B y se escribir´a (λ1, . . . , λn).
A partir de ahora vamos a demostrar que en un espacio vectorial dado, el
cardinal de las bases de dicho espacio es siempre el mismo. Primero resolvemos el
problema de la existencia de bases en un espacio finitamente generado.
Proposici´on 3.5 Sean X e Y dos conjuntos finitos de un espacio vectorial, tales
que X ⊂ Y , X es linealmente independiente e Y es un sistema de generadores.
Entonces existe una base B de V tal que X ⊂ B ⊂ Y .
Como consecuencia
Corolario 3.1 Si v es un vector no nulo, v pertenece a una base.
Corolario 3.2 Dado un conjunto de vectores linealmente independientes, siempre
es posible a˜nadir vectores hasta tener una base (completaci´on).
Corolario 3.3 En todo sistema de generadores, existe un subconjunto suyo que es
base.
Lema 3.1 Sea B = {e1, . . . , en} una base de un espacio vectorial. Sea v ∈ V y
v = n
i=1 λivi. Si λ1 = 0, entonces {v, e2, . . . , en} es una base de V .
Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor 11

12. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
Teorema 3.1 (de la base) Sea V un espacio vectorial finitamente generado. En-
tonces todas las bases de V tienen el mismo cardinal, al que se llamar´a dimensi´on
de V .
Corolario 3.4 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n. Sea X = {e1, . . . , em}
un conjunto de vectores linealmente independiente (resp. sistema de generadores).
Entonces m ≤ n (resp. m ≥ n). Adem´as se tiene la igualdad si y s´olamente si X
es base.
Corolario 3.5 Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V , entonces
dim(U) ≤ dim(V ) y la igualdad se tiene si y s´olamente U = V .
Se tiene los siguiente ejemplos de dimensiones de espacios vectoriales:
1. Por definici´on dim(0) = 0.
2. La dimensi´on de Rn
es n.
3. La dimensi´on de Pn[X] es n + 1.
Teorema 3.2 1. Si V y V son dos espacios vectoriales, entonces dim(V ×V ) =
dim(V ) + dim(V ).
2. Si V es un espacio vectorial y V es un conjunto biyectivo con V , entonces
dim(V ) = V , considerando en V la estructura vectorial inducida por la
biyecci´on.
3. Si U y W son dos subespacios vectoriales, entonces dim(U + W) = dim(U) +
dim(W) − dim(U ∩ W). Como caso particular, si V = U ⊕ W, entonces
dim(V ) = dim(U) + dim(W).
4. Si U es un subespacio vectorial, entonces dim(V/U) = dim(V ) − dim(U).
Demostraci´on : 1. Si {e1, . . . , en} y {e1, . . . , em} son bases de V y V respectiva-
mente, entonces una base de V ×V es {(e1, 0), . . ., (en, 0), (0, e1), . . . , (0, em)}.
12 Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor

13. Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´opez Camino
2. Sea f : V → V la biyecci´on. Si {e1, . . . , en} es una base de V , entonces
{f(e1), . . . , f(en)} es una base de V .
3. Si {e1, . . ., ek} es una base de U ∩ W, {e1, . . . , ek, u1, . . . , um} es base de U
y {e1, . . . , en, w1, . . . , wr} es base de W, entonces una base de U + W es
{e1, . . ., en, u1, . . . , um, w1, . . . , wr}. En particular, V = U ⊕ W si y s´olo si
la uni´on de una base de U y otra de W es una base de V .
4. Si {e1, . . . , em} es una base de U y {e1, . . . , em, em+1, . . . , en} es una base de
V , entonces {em+1 + U, . . ., en + U} es una base de V/U.
q.e.d
Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor 13