Este documento presenta cuatro ejemplos numéricos para ilustrar cómo realizar pruebas estadísticas sobre dos proporciones utilizando la distribución normal. Los ejemplos calculan el estadístico Z para determinar si existe una diferencia significativa entre las proporciones de dos grupos muestrales basado en un nivel de significancia predeterminado.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI
Nombre de la asignatura: Estadística Administrativa II
Carrera: Licenciatura en Administración.
Clave: ADT-0427
Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 2 - 3 - 7
EN EL ESTADO DE CAMPECHE
TEMARIO
U N I D A D 1
RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA
A r q u i t e c t o

2. U N I D A D 1
Pruebas de Hipótesis.
1.1 Hipótesis estadísticas. Conceptos generales.
1.2 Errores tipo I y II.
1.3 Pruebas unilaterales y bilaterales.
1.4 Prueba de una hipótesis: referente a la media con varianza Desconocida utilizando la distribución normal y
“t” student.
1.5 Dos muestras: pruebas sobre dos medias utilizando la distribución Normal y “t” student.
1.6 Una muestra: prueba sobre una sola proporción.
1.7 Dos muestras: prueba sobre dos proporciones.
1.8 Dos muestras: pruebas pareadas.

3. U N I D A D 1
1.7 Dos muestras: prueba sobre dos proporciones.
DIFERENCIA ENTRE PROPORCIONES
Existen variedad de problemas en los que se debe decidir si la diferencia observada entre
dos proporciones muestrales se pueden atribuir a la casualidad o si es indicativo del hecho
de que las dos proporciones de la población correspondientes son desiguales. Por ejemplo,
se quisiera decidir, tomando en cuenta los datos de una muestra, si una publicidad
determinada produciría en realidad una diferencia de respuesta con respecto a otra, ese es
una de las muchas interrogantes con que se enfrenta un administrador hoy en día.
Problemas como el antes mencionado se pueden tratar como un problema de contraste de
hipótesis del tipo:
211
210
:
:
ppH
ppH
≠
=
En donde 21 .... pyp son las dos proporciones de poblaciones de la característica
analizada. Si se señala con 21 .... NyN el tamaño de las muestras y 21 .... pyp como
las proporciones obtenidas de las muestras, entonces la variable que se debe emplear para
resolver este tipo de problemas es la diferencia de proporciones muestrales. Es decir,
21 pp − , este planteamiento al igual que en el caso de la media, se reduce a conocer si la
diferencia de las proporciones de la muestra 21 pp − es lo suficientemente grande como
para suponer que en realidad existe una diferencia entre 21 .... pyp . El método que se
aplicara para demostrar si una diferencia observada entre dos proporciones de las muestras
se puede atribuir a la casualidad o si es estadísticamente significativa, se basa en la
siguiente teoría: Si 21 .... xyx son los números de aciertos obtenidos en n1 ensayos de un
tipo y n2 de otro, donde todos los ensayos son independientes, y las probabilidades
correspondientes de alcanzar un acierto son 21 .... pyp ,entonces la distribución de
muestreo de
2
2
1
1
n
x
n
x
− tiene una media 21 pp − .
Afortunadamente, basándonos en el teorema del limite central que expresa que 21 pp −
posee una distribución normal o aproximadamente normal con un promedio igual a la
diferencia de proporción de población, es decir 21 pp − y con una desviación estándar,

4. llamada error estándar de la diferencia entre dos proporciones, igual a
2
22
1
112
2
2
121 n
qp
n
qp
pppp +=+=−σ se debe expresar que cuando no se conozca
21 .... pnip , que es lo que por lo general ocurre, se deben estimar sus valores por medio
de los valores de las muestras; aunque los valores poblacionales sean desconocidos, se
supondrán iguales bajo la hipótesis nula planteada, es decir 210 : ppH = por consiguiente
si el valor común se indica por p, el error estándar será 





+=−
21
11
21 nn
pqppσ donde p
suele estimarse mediante la combinación de los datos; o sea, al sustituir p por las
proporciones de la muestra combinada de
21
21
nn
xx
+
+
.
El estadístico para calcular la diferencia entre proporciones es:
quesetieneEntoncesp
n
x
p
n
x
y
nn
xx
pdonde
nn
pp
n
x
n
x
Zc ......,........,..
11
)1(
2
2
2
1
1
1
21
21
21
2
2
1
1
==
+
+
=






+−
−
=






+
−
=
21
21
11
nn
pq
pp
Zc
EJEMPLO 1: En un proceso de producción de botellas de vidrio se tomó una muestra de
400 de las cuales 28 estaban defectuosas, en otro proceso se tomaran 300 muestra de
botellas de la cuales 15 estaban defectuosas. Demuestre la hipótesis nula p1= p2 de que los
dos procesos generan proporciones iguales de unidades defectuosas, contra la hipótesis
alternativa p1 ≠ p2 con un nivel de significancia de 0.05.
Datos:

5. 96.1...............05.0..........
939.01,......061.0
700
43
300400
1528
15....................................................28
05.0
300
15
.....................................07.0
400
28
300..................................................400
2..Pr.........................................1..Pr
22
21
21
21
±=
=−===
+
+
=
==
====
==
αα ZesbilateralaalternativhipotesisunaparaalZdevalorEl
pqp
xx
pp
nn
oporcionoporcion
SOLUCIÓN: Para resolver este problema se plantearán las hipótesis y luego se aplica la
formula.
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
≠
=
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si
22 .... αα ZZoZZ cc >−< ,es decir, 96.1......96.1 =−< cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
09.1
0183.0
02.0
003334.0
02.0
300
1
400
1
)939.0)(061.0(
05.007.0
11
21
21 =→==




+
−
=






+
−
= cc Z
nn
pq
pp
Z
Conclusión: Como cZ es menor que 2αZ , es decir, 96.109.1 <=cZ , se acepta
210 : ppH = con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A
en donde 09.1=cZ cae dentro del área de aceptación, por lo tanto, no se puede concluir
que exista diferencias reales entre las dos proporciones verdaderas de unidades defectuosas.
EJEMPLO 2: Un fabricante de productos medicinales esta probando dos nuevos
compuestos destinados a reducir los niveles de presión sanguínea los compuestos son
suministrados a dos conjuntos diferentes de animales de laboratorio. En el grupo A, 71 de
100 animales probados respondieron al medicamento A con niveles menores de presión
arterial. En el grupo B, de 90 animales 58 respondieron al medicamento B con menores
niveles de presión sanguínea. El fabricante desea probar a un nivel de significancia de 0.05
si existe una diferencia entre la eficiencia de las dos medicinas. ¿De qué manera se debe
proceder en este caso?

6. SOLUCIÓN: Se plantean las hipótesis, se ordenan los datos y en la tabla se busca el valor
de 2αZ al 5 % para una hipótesis alternativa bilateral que según la tabla tienen un valor
de 96.12 ±=αZ . Se plantean las reglas de decisión y finalmente se aplica la formula para
el caso.
Datos:
96.1...............05.0..........
3211.01,......6789.0
190
129
90100
5871
58....................................................71
644.0
90
58
.....................................71.0
100
71
90..................................................100
..Pr...........................................Pr
22
21
21
21
±=
=−===
+
+
=
==
====
==
αα ZesbilateralaalternativhipotesisunaparaalZdevalorEl
pqp
xx
pp
nn
BoporcionAoporcion
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
≠
=
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si
22 .... αα ZZoZZ cc >−< ,es decir, 96.1......96.1 =−< cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
973.0
0678.0
066.0
0046.0
066.0
90
1
100
1
)3211.0(6789.0(
644.071.0
11
21
21 =→==




+
−
=






+
−
= cc Z
nn
pq
pp
Z
Conclusión: Como cZ es menor que 2αZ , es decir, 96.1973.0 <=cZ , se acepta
210 : ppH = con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A
en donde 973.0=cZ cae dentro del área de aceptación, por lo tanto, se puede concluir
que no exista diferencias significativas reales entre las dos medicamentos lo que indica que
los dos medicamentos producen efecto en la presión sanguínea que son significativamente
iguales.

7. EJEMPLO 3: En un sondeo de opinión en el Itescam, 60 de 200 estudiantes del sexo
masculino han expresado su disgusto sobre la forma de dirigir el tren directivo la
institución, de la misma forma han opinado 75 de 300 alumnos del sexo femenino. Se
quiere saber si existe una diferencia real de opinión entre los alumnos y las alumnas del
Itescam. Para realizar el contraste de hipótesis de las proporciones utilice un nivel de
significancia de 0.10.
SOLUCIÓN: Se plantean las hipótesis, se ordenan los datos y en la tabla se busca el valor
de 2αZ al 5 % para una hipótesis alternativa bilateral que según la tabla tienen un valor
de 96.12 ±=αZ . Se plantean las reglas de decisión y finalmente se aplica la formula para
el caso.
Datos:
28.1...............10.0..........
73.01,......27.0
500
135
300200
7560
25.0
300
75
.....................................30.0
200
60
75....................................................60
300..................................................200
2..Pr.........................................1..Pr
22
21
21
21
±=
=−===
+
+
=
====
==
==
αα ZesbilateralaalternativhipotesisunaparaalZdevalorEl
pqp
pp
xx
nn
oporcionoporcion
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
≠
=
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si
22 .... αα ZZoZZ cc >−< ,es decir, 96.1......96.1 =−< cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
.24.1
04045.0
05.0
001636.0
05.0
300
1
200
1
)73.0)(27.0(
25.030.0
11
21
21 =→==




+
−
=






+
−
= cc Z
nn
pq
pp
Z

8. Conclusión: Como cZ es menor que 2αZ , es decir, 28.124.1 <=cZ , se acepta
210 : ppH = con un nivel de significancia de 0.10. Esto se puede observar en la grafica B
en donde 24.1=cZ cae dentro del área de aceptación, por lo tanto, se puede concluir
que no exista diferencias significativas reales entre las dos opiniones emitidas por los
alumnos y alumnas lo que indica que los dos opiniones están en concordancia de que los
directivos están dirigiendo mal a la institución.
EJEMPLO 4: En el Departamento de Agropecuaria del ITA se investiga si cierto tipo de
fertilizante es efectivo. Para ello se deja sin fertilizar 100 plantas de tomate y de esas, 52
plantas tienen un crecimiento satisfactorio. De la misma forma se fertilizaron 400 plantas, y
se detecto que 275 presentaron un crecimiento satisfactorio. ¿Qué conclusión pueden
obtener los investigadores del Departamento de Agropecuaria si para contrastar la hipótesis
utilizan un nivel de significancia de 0.05?
SOLUCIÓN: Se plantean las hipótesis la cual tendría como hipótesis alternativa
211 : ppH ≠ ; luego se ordenan los datos y en la tabla se busca el valor de 2αZ al 5 % para
una hipótesis alternativa bilateral. Se plantean las reglas de decisión y finalmente se aplica
la formula para el caso.
Datos:
96.1...............05.0..........
346.01,......654.0
500
327
400100
27552
6875.0
400
275
....................................52.0
100
52
275....................................................52
400..................................................100
2..Pr.........................................1..Pr
22
21
21
21
±=
=−===
+
+
=
====
==
==
αα ZesbilateralaalternativhipotesisunaparaalZdevalorEl
pqp
pp
xx
nn
oporcionoporcion
Hipótesis:
211
210
:
:
ppH
ppH
≠
=

9. Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si
22 .... αα ZZoZZ cc >−< ,es decir, 96.1......96.1 >−< cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
.19.3
0533.0
17.0
0028.0
1675.0
400
1
100
1
)346.0)(654.0(
6875.052.0
11
21
21 −=→−=−=




+
−
=






+
−
= cc Z
nn
pq
pp
Z
Conclusión: Como cZ es menor que 2αZ , es decir, 96.119.3 −<−=cZ , se rechaza
210 : ppH = con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica B
en donde 19.3−=cZ cae fuera del área de aceptación, por lo tanto, 211 : ppH ≠ se
puede concluir que exista diferencias significativas reales entre el crecimiento de las
plantas, por lo que hay razones para creer que el fertilizante sea realmente efectivo.

10. Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si
22 .... αα ZZoZZ cc >−< ,es decir, 96.1......96.1 >−< cc ZoZ .
Aplicando formula se tiene:
.19.3
0533.0
17.0
0028.0
1675.0
400
1
100
1
)346.0)(654.0(
6875.052.0
11
21
21 −=→−=−=




+
−
=






+
−
= cc Z
nn
pq
pp
Z
Conclusión: Como cZ es menor que 2αZ , es decir, 96.119.3 −<−=cZ , se rechaza
210 : ppH = con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica B
en donde 19.3−=cZ cae fuera del área de aceptación, por lo tanto, 211 : ppH ≠ se
puede concluir que exista diferencias significativas reales entre el crecimiento de las
plantas, por lo que hay razones para creer que el fertilizante sea realmente efectivo.