1) El documento describe los tests de hipótesis, que permiten probar afirmaciones sobre parámetros poblacionales mediante el análisis de datos de una muestra. 2) Explica cómo formular hipótesis nulas y alternativas, y cómo decidir si se rechaza o no la hipótesis nula en base a la evidencia de la muestra. 3) Detalla los tipos y probabilidades de error que pueden ocurrir, y cómo se controla el error tipo I al fijar el nivel de significación.

1. Test de Hipótesis

2. Considere los siguientes problemas:
• Un nutriólogo se pregunta si dos tipos de hierro difieren en la
forma en que los absorbe el organismo.
• Un banco desea determinar si la proporción de colillas de depósito
que contienen errores es mayor al 1%.
• Una aseguradora se pregunta si el monto promedio que debe
pagar por evento es mayor al monto promedio que paga de la
competencia.

3. Estos problemas pueden ser traducidos en lenguaje de los tests de
hipótesis. A modo de ejemplo:
• El nutriólogo debe que decidir si las medias de los montos de
absorción de cada tipo de fierro son iguales o distintos.
• El banco debe decidir si p, el parámetro de una distribución
Binomial, es mayor que 0,01.
• La aseguradora desea probar si el monto promedio a pagar por
evento es mayor a un valor fijo.

4. Algunas Preguntas:
• ¿Cómo decidimos si la muestra discrepa con la hipótesis del
científico?
• ¿Qué función de las mediciones muestrales deberíamos usar para
tomar la decisión?
• ¿Cuándo deberíamos rechazar la hipótesis y cuándo no?
• ¿Cuál es la probabilidad de que tomemos la decisión equivocada?

5. Definición: Una hipótesis es una afirmación sobre un
parámetro poblacional.
Test de Hipótesis:
Un test de hipótesis es una metodología o procedimiento que
permite cuantificar la probabilidad de error que se cometería
cuando se hace una afirmación sobre la población bajo estudio,
es decir , nos permite medir la fuerza de la evidencia que tienen
la muestra a favor o en contra de alguna hipótesis de interés
sobre la población.
Bajo este planteo un test de hipótesis estadístico es un
procedimiento para tomar una decisión, bajo condiciones de
incertidumbre, sobre la validez de la hipótesis nula usando la
evidencia de los datos.

6. La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con
absoluta certeza, a menos que se examine toda la población, lo
cual, por supuesto, sería poco práctico o imposible en la mayoría
de las situaciones.
En vez de eso se toma una muestra aleatoria de la población de
interés y se utilizan los datos contenidos en ella para proporcionar
evidencia que respalde o no la hipótesis. La evidencia de la
muestra que es inconsistente con la hipótesis planteada conduce al
rechazo de la misma.

7. Una prueba de hipótesis consiste en confrontar dos hipótesis, una llamada
Hipótesis Nula (𝑯𝟎) y otra llamada Hipótesis Alternativa (𝑯𝟏).
La hipótesis alternativa 𝑯𝟏 por lo general representa la pregunta que se
responderá o la teoría que se probará, por lo que su especificación es muy
importante
La hipótesis nula 𝑯𝟎 es, por general, el complemento lógico de 𝐻#
En general notará que uno, como analista, llega a una de las siguientes
conclusiones
rechazar 𝑯𝟎 a favor de H1 debido a evidencia suficiente en los datos o
no rechazar 𝐻𝟎 debido a evidencia insuficiente en los datos
Note que las conclusiones no implican una “aceptación de 𝐻$” formal y
literal. La aseveración de 𝐻$ a menudo representa el “status quo” contrario a
una nueva idea, conjetura, etcétera, enunciada en 𝐻#; en tanto que no rechazar
𝐻$ representa la conclusión adecuada.

8. Problema 1:
Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el contenido
promedio de grasa saturada no excede a 1.5 gramos por porción.
Plantee las hipótesis nula y alternativa que se utilizarán para probar esta
afirmación.
Problema 2:
Un agente de bienes raíces afirma que 60% de todas las viviendas
privadas que se construyen actualmente son casas con tres dormitorios.
Para probar esta afirmación se inspecciona una muestra grande de
viviendas nuevas. Se registra la proporción de las casas con 3
dormitorios y se utiliza como estadístico de prueba. Plantee las
hipótesis nula y alternativa.

9. Definición:
Un procedimiento de prueba de hipótesis es una regla de decisión que
especifica:
• Para qué valores de la muestra la decisión es no rechazar 𝐻!.
• Para qué valores de la muestra se debe rechazar 𝐻! (aceptar 𝐻" ).
Ejemplo: Se puede decidir rechazar 𝐻! si 𝑥̅ > 3
Definición:
El conjunto del espacio muestral para el cual H! es rechazada se
denomina región de rechazo o crítica. Su complemento se denomina
región de aceptación

10. Tipos de Error:
• Error tipo I: Rechazar 𝐻! cuando es verdadera.
• Error tipo II: No Rechazar 𝐻! cuando es falsa.

11. Probabilidad de error:
• La significancia de un test de hipótesis corresponde a la probabilidad de
cometer un error de tipo I, y se anota por α.
𝛼(𝜃) = 𝑃(𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻$|𝐻$𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎)
La significancia puede será fijada de antemano (𝛼 = 0.05)
• Se anota por β a la probabilidad de cometer error tipo II.
𝛽(𝜃) = 𝑃( 𝑁𝑜 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻$|𝐻#𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎)
• La potencia de un test corresponde a la probabilidad de NO cometer un
error de tipo II, es decir, a 𝑃 = 1 − 𝛽.

12. Cualquiera sea la decisión que se tome hay probabilidad de
cometer un error. Lo óptimo es que la probabilidad de error sea
pequeña.
Dado que el interés general es “rechazar 𝐻# ” , el error que se
controla es el error tipo I, es decir, la probabilidad de rechazar 𝐻#,
cuando 𝐻#es cierta.

13. Procedimiento de un test de hipótesis basado en una región de
rechazo
1.Formular las hipótesis
2.Fijar el nivel de significación
3.Construir la Región crítica ( zona de rechazo de 𝐻!)
4.Calcular el valor del estadístico de prueba (Z,t,Chi,F)
5.Rechazar 𝐻! si el estadístico muestral cae en la Región crítica.
6.Si se dispone del valor de la hipótesis alternativa y su distribución,
se puede calcular el Error Tipo II.

14. Caso Normal, varianza conocida
Modelo para los datos:
Sea 𝑋", … , 𝑋$ una muestra aleatoria proveniente de una distribución
Normal (𝜇, 𝜎%
) , con 𝜎%
conocido (poblacional), y considere las
hipótesis:
𝐻!: 𝜇 = 𝜇!
𝐻": 𝜇 ≠ 𝜇!
se propone rechazar 𝐻! si:
|𝑋
3 − 𝜇!| ≥ 𝑘
¿Cómo determinamos un 𝑘 adecuado?

15. Se propone rechazar la hipótesis nula cuando:
2
/
/
a
s
µ
Z
n
x
Z o
c <
-
= 2
/
1
/
a
s
µ
-
>
-
= Z
n
x
Z o
c

16. Ejemplo:
Una máquina es utilizada para hacer agujeros en una hoja de metal.
Cuando se encuentra calibrada, los diámetros de los agujeros siguen
una distribución Normal con media 2 cm y desviación estándar 0,06
cm. Para verificar que la máquina está funcionando correctamente, se
tomó una muestra de los diámetros de 9 agujeros, observándose un
promedio de 1,95 cm. Considerando un nivel de significancia de 0,05.
Realice un test estadístico para la media 𝜇 = 2 vs 𝜇 ≠ 2.
a) ¿Qué suposiciones debemos hacer para poder realizar un test
estadístico adecuado? .
b) ¿Existe suficiente evidencia estadística para rechazar 𝐻!?

17. Caso Normal, varianza desconocida
Modelo para los datos:
Sea 𝑋", … , 𝑋$ una muestra aleatoria proveniente de una distribución
Normal (𝜇, 𝜎%
), con 𝜎%
desconocido (poblacional), y considere las
hipótesis:
𝐻!: 𝜇 = 𝜇!
𝐻": 𝜇 ≠ 𝜇!
Se propone rechazar la hipótesis nula cuando:
1
,
2
/
1
/
-
-
>
-
= n
o
c t
n
s
x
t a
µ
1
,
2
/
/
-
<
-
= n
o
c t
n
s
x
t a
µ

18. Ejemplo (revisitado):
Con el objeto de estudiar si ciertos indígenas americanos utilizaban la
proporción áurea en su arte, se registró la relación ancho/largo de una
muestra de 20 tabletas de arcillas creadas por estos indígenas. La
proporción áurea es de aproximadamente 0,618.
El promedio de estos valores es de 0.6605 y solo se tiene la varianza
muestral. ¿Cree usted que estos indígenas también se apoyaban en la
proporción áurea?
Caso no normal, sigma conocido y n grande

19. Sea 𝑋", … , 𝑋$ una muestra aleatoria proveniente de una distribución de
media 𝜇 y varianza 𝜎%
conocido (poblacional).
La distribución de 𝑋
3 n es aproximadamente Normal (Teorema del
Límite Central), luego para n grande podemos remitirnos al caso
normal.
Rechazo 𝐻! si:
Ejercicio 1
Una planta química local ha producido un promedio diario de 880
2
/
/
a
s
µ
Z
n
x
Z o
c <
-
= 2
/
1
/
a
s
µ
-
>
-
= Z
n
x
Z o
c

20. toneladas durante los últimos años. A la gerente de control de calidad
le interesa saber si este promedio ha cambiado en los meses recientes.
De la base de datos, selecciona al azar 50 días y determina que la media
de producción es igual 871 toneladas con una desviación estándar igual
a 21 toneladas.
Con dicha información, ¿puede la gerente asegurar que el promedio
diario de producción ha cambiado en los últimos meses? Use una
significancia del 5%.
Valor –p:
¿Basta con comunicar si se rechaza o no la hipótesis nula?

23. Mientras más pequeño sea el valor-p, mayor es la evidencia a
favor de la hipótesis alternativa, H"
El valor-p es el nivel (de significancia) más bajo en el que el valor
observado del estadístico de prueba es significativo.
Ejemplo:

24. Una empresa de correos afirma que el peso promedio de los
paquetes que transporta es 175 grs. Sin embargo, un estudio
revela que en 100 paquetes seleccionados al azar, el promedio es
166 grs.
Suponiendo que la desviación estándar es igual a 36 grs:
a)Plantee las hipótesis respectivas
b)Usando la regla de rechazo estudiada anteriormente decida
si acepta o rechaza 𝐻! .
c)Calcule el valor-p del test que decide si el promedio de peso
ha cambiado.
Ejercicios Propuestos
1.Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para
pesca sintético que, según afirma, tiene una resistencia media a la

25. rotura de 8 kilogramos con una desviación estándar de 0.5
kilogramos. Pruebe la hipótesis de que 𝜇 = 8 kilogramos contra
la alternativa de que 𝜇 ≠ 8 kilogramos si se prueba una muestra
aleatoria de 50 sedales y se encuentra que tienen una resistencia
media a la rotura de 7.8 kilogramos. Utilice un nivel de
significancia de 0.01.
2.La estatura promedio de mujeres en el grupo de primer año de cierta
universidad ha sido, históricamente, de 162.5 centímetros, con una
desviación estándar de 6.9 centímetros. ¿Existe alguna razón para
creer que ha habido un cambio en la estatura promedio, si una
muestra aleatoria de 50 mujeres del grupo actual de primer año
tiene una estatura promedio de 165.2 centímetros?. Suponga que la
desviación estándar permanece constante y que 𝛼 = 0.05.

26. Test para la media
• Cuando la varianza es conocida

27. • Cuando la varianza es desconocida

28. Test de Hipótesis de una cola
Una aseguradora desea demostrar que el monto promedio que debe
pagar por evento es mayor al monto promedio que paga la competencia.
¿Cómo podemos evaluar la conjetura de esta aseguradora, basados en
los montos de una muestra de 𝑛 siniestros asociados a un mismo
producto?

29. Test de Hipótesis de una cola
• Caso 1: Modelo normal varianza conocida
Hipótesis Región de Rechazo Valor-p
𝐻!: 𝜇 ≤ 𝜇!
𝐻": 𝜇 > 𝜇!
𝑍& =
𝑋
3 − 𝜇!
𝜎
√𝑛
> 𝑍"'(
𝑃(𝑍 > 𝑍&)
𝐻!: 𝜇 ≥ 𝜇!
𝐻": 𝜇 < 𝜇!
𝑍& =
𝑋
3 − 𝜇!
𝜎/√𝑛
< 𝑍(
𝑃(𝑍 < 𝑍&)
Ejemplo:
La compañía aseguradora tomó una muestra de 25 siniestros,

30. obteniendo un promedio de montos pagados de $1.000.000. Si las
observaciones siguen una distribución Normal, de desviación estándar
𝜎 = $100.000, ¿permiten los datos afirmar que el monto medio por
siniestro de esta compañía es mayor a $950.000? Utilice α = 0, 01.
¿Cuál es el valor-p del test?
Ejemplo 2:
Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el
año pasado reveló una vida promedio de 71,8 años. Si se supone una
desviación estándar de la población de 8,9 años, ¿esto parece indicar

31. que la vida media actual es mayor que 70 años? Utilice un nivel de
significancia de 0,05.
Test de Hipótesis de una cola
• Caso 2: Varianza desconocida
Hipótesis Región de Rechazo Valor-p

32. 𝐻!: 𝜇 ≤ 𝜇!
𝐻": 𝜇 > 𝜇!
𝑇& =
𝑋
3 − 𝜇!
𝑆
√𝑛
> 𝑡"'(,$'"
𝑃(𝑇$'" > 𝑇&)
𝐻!: 𝜇 ≥ 𝜇!
𝐻": 𝜇 < 𝜇!
𝑇& =
𝑋
3 − 𝜇!
𝑆/√𝑛
< 𝑡(,$'"
𝑃(𝑇$'" < 𝑇&)
Ejemplo 3:
El Edison Electric Institute publica cifras del número de kilowatts-hora
que gastan anualmente varios aparatos electrodomésticos. Se afirma
que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatts-hora al año. Si
una muestra aleatoria de 12 hogares, que se incluye en un estudio
planeado, indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42

33. kilowatts-hora al año con una desviación estándar de 11.9 kilowatts-
hora, ¿esto sugiere que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de
46 kilowatts-hora al año a un nivel de significancia de 0.05? Suponga
que la población de kilowatts-hora es normal.
Test de Hipótesis para la proporción, n grande
Ejemplo:
Una entidad educacional desea estudiar las propiedades de un
instrumento de evaluación recientemente desarrollado. En particular,
quisiera asegurar que la probabilidad de que una persona que domina
medianamente los contenidos apruebe esta evaluación sea mayor al
90%. Para ello, aplicó el nuevo instrumento a 36 de los estudiantes
aprobados durante el semestre anterior. Un 91% de ellos aprobó según
este nuevo instrumento.

34. Modelos para los datos
Podemos modelar loa datos 𝑋", … , 𝑋$ ∼Bernoulli (p), con 𝑋* 𝑖𝑖𝑑.
Donde:
𝑋* = L
1, 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜 𝑖 𝑎𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
Planteamos las hipótesis
𝐻!: 𝑝 ≤ 𝑝!
𝐻": 𝑝 > 𝑝!

35. La región de rechazo de un test de significancia 𝛼 esta dada por:
𝑧! =
𝑝̂ − 𝑝!
Z𝑝!(1 − 𝑝!)
𝑛
≥ 𝑧"'(
donde 𝑝̂ corresponde a la proporción de alumnos aprobados en la
muestra.

37. Test de Hipótesis para la proporción, n grande
Ejemplo
Un constructor afirma que en 70% de las viviendas que se construyen
actualmente en la ciudad de Richmond, Virginia, se instalan bombas de

38. calor. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una encuesta aleatoria
de viviendas nuevas en esta ciudad revelara que 8 de 15 tienen
instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0,10.
Test de Hipótesis para una Varianza
Considere una muestra aleatoria 𝑋", … , 𝑋$ proveniente de una
población Normal de varianza 𝜎%
, desconocida. Sean las hipótesis:
𝐻!: 𝜎%
≤ 𝜎!
%

39. 𝐻": 𝜎%
> 𝜎!
%
Un test de hipótesis de significancia 𝛼 para estas hipótesis, rechaza 𝐻!
si :
(𝑛 − 1)
𝑆%
𝜎!
% ≥ 𝜒%
$'","'(
donde 𝜒%
$'" corresponde a la distribución Chi-Cuadrado con 𝑛 − 1
grados de libertad

40. Test de Hipótesis para una Varianza
Considere una muestra aleatoria 𝑋", … , 𝑋$ proveniente de una
población Normal de varianza 𝜎%
, desconocida. Sean las hipótesis:
𝐻!: 𝜎%
≤ 𝜎!
%
𝐻": 𝜎%
> 𝜎!
%
Un test de hipótesis de significancia 𝛼 para estas hipótesis, rechaza 𝐻!
si :
(𝑛 − 1)
𝑆%
𝜎!
% ≥ 𝜒%
$'","'(

41. donde 𝜒%
$'" corresponde a la distribución Chi-Cuadrado con 𝑛 − 1
grados de libertad
Resumen Test de Hipótesis para una Varianza

42. Ejemplo
Un fabricante de baterías para automóvil afirma que la duración de sus
baterías se distribuye de forma aproximadamente normal con una
desviación estándar igual a 0,9 años. Si una muestra aleatoria de 10 de
tales baterías tiene una desviación estándar de 1.2 años, ¿considera que
σ > 0,9 años? Utilice un nivel de significancia de 0,05.