Este documento presenta varios métodos estadísticos para realizar pruebas de hipótesis, incluyendo pruebas para medias, proporciones y diferencias. Explica cómo utilizar la distribución Z para muestras grandes y la distribución t para muestras pequeñas. También cubre pruebas para diferencias de medias, proporciones y datos apareados. Finalmente, introduce la prueba chi-cuadrada.

1. U2: Técnicas de Muestreo y Pruebas de Hipótesis 2015
Página 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
 Media con muestras grandes
Se considera una muestra grande cuando el tamaño de n es mayor a 30 elementos. Utilizando Z para
la obtención del estadístico.se estima la desviación estándar poblacional ( ) por medio de la
desviación estándar muestra (S), como se muestra a continuación:
n˃30 Fórmula:
 = n
S
Z = 
 
 = Está dada por el problema
 = Está dada por el problema
 Media con muestras pequeñas
Se considera una muestra pequeña cuando el tamaño de es menor a 30 elementos. Utilizando t para
la obtención del estadístico.
n˂30
 = n
S
 = Está dada por el problema (puede calcularse)
 = Está dada por la hipótesis del problema
Fórmula:
t =
n
S
 

2. U2: Técnicas de Muestreo y Pruebas de Hipótesis 2015
Página 2
 Proporción poblacional con muestras grandes
Una proporción poblacional es simplemente una media poblacional donde el puntaje z se puede
usar como estadístico de prueba. Esta suposición estará justificada siempre que np>10 y n (1-p0)>10
donde p0 es la proporción poblacional.
Formula:
Dónde:
n = muestra
0 = proporción poblacional
p = n/x
x = éxito
n
z
)1( 00
0






3. U2: Técnicas de Muestreo y Pruebas de Hipótesis 2015
Página 3
 Diferencia de dos medias con muestras grandes.
Sean X1, …, Xnx y Y1, … , Ynx muestras grandes (por ejemplo, nx>30 y ny>30) de las poblaciones con
medias µx y µy y las desviaciones estándar  x y  y , respectivamente. Suponga que las muestras se
extraen de forma independiente una de la otra.
Para probar una hipótesis nula de la forma H0: µx - µy ≤ 0 , H0: µx - µy ≥ 0 , o H0: µx - µy = 0
Para calcular el puntaje Z:
yyxx nn
YX
z
//
)(
22
0
 

 . Si  x y  y son desconocidas se pueden aproximar con Sx y Sy
Para Calcular el p-valor: El p-valor es un área debajo de la curva normal que depende de la hipótesis
alternativa de la siguiente manera:
Hipótesis alternativa p-valor
H1: µx - µy > 0 Área a la derecha de z
H1: µx - µy < 0 Área a la izquierda de z
H1: µx - µy ≠ 0 Suma de las áreas en las colas correspondientes a z y -z
 Diferencia de dos medias con muestras pequeñas.
Sean X1, …, Xnx y Y1, … , Ynx muestras con poblaciones normales (por ejemplo, nx<30 y ny<30) con
medias µx y µy y las desviaciones estándar  x y  y , respectivamente. Suponga que las muestras se
extraen de forma independiente entre sí.
Si no se conoce que  x y  y son iguales, entonces, para probar una hipótesis nula de la forma H0: µx
- µy ≤ 0 , H0: µx - µy ≥ 0 , o H0: µx - µy = 0 .
Para calcular el estadístico t:
yyxx nsns
YX
t
//
)(
22
0



Hipótesis alternativa p-valor
H1: µx - µy > 0 Área a la derecha de t
H1: µx - µy < 0 Área la izquierda de t
H1: µx - µy ≠ 0 Suma de las áreas en las colas correspondientes a t y -t

4. U2: Técnicas de Muestreo y Pruebas de Hipótesis 2015
Página 4
 Diferencia entre dos proporciones con muestras grandes.
La diferencia entre dos proporciones poblacional es cuando deseamos probar la hipótesis de que las
proporciones de dos poblaciones no son diferentes, las dos proporciones muéstrales se combinan
como base para determinar el error estándar de la diferencia entre proporciones. La estimación
combinada de la proporción de la población, con base en las proporciones obtenidas de dos muestras
independientes, es:
21
2211
nn
pnpn






El error estándar de la diferencia entre proporciones usando en conjunción con la prueba del supuesto
de que no hay diferencia es:
21
11
nn
pp




















La fórmula de la estadística z para probar la hipótesis nula de que no existe diferencia entre dos
proporciones poblacionales es:





21
21
pp
pp
Z

 Diferencia de dos proporciones con muestras pequeñas.
Para este caso en particular se utilizará la distribución muestra de diferencia de
proporciones para la estimación de las misma. Recordando la fórmula:
 
2
22
1
11
2121 )()
n
qP
n
qP
PPpp
z



Despejando P1-P2 de esta ecuación:
Aquí se tiene el mismo caso que en la estimación de una proporción, ya que al hacer el despeje nos
queda las dos proporciones poblacionales y es precisamente lo que queremos estimar, por lo que se
utilizarán las proporciones de la muestra como estimadores puntuales:

5. U2: Técnicas de Muestreo y Pruebas de Hipótesis 2015
Página 5
 Diferencia de datos apareados.
Datos apareados: Provienen de la medición de una variable en el mismo individuo antes y después de
la aplicación de un tratamiento.
Objetivo.
Reducir la variabilidad poblacional: para detectar diferencias
Controlar el efecto de otros factores.
Procedimiento:
Dadas 2 poblaciones se quiere contrastar la hipótesis de igualdad de medias.
H0: µX = µ Y H1: µX 6= µY
Sea (X1, Y1),..., (Xn, Yn) una m.a.s. de una población normal bivariante con parámetros µX, µY, σ 2
X, σ 2 Y y ρ.
Es suficiente con Di = Xi − Yi, i = 1,..., n m.a.s. de una población normal.
Si H0 es cierta, entonces D es normal con E (D) = 0 y V (D) = σ 2 X +σ 2 Y −2σX σY ρ n.
Estadístico del contraste
  101,...,  n
D
n tH
nS
D
DDT
Donde  DVSD

2
es la cuasivarianza muestral de las diferencias:
   
11
1
22
1
2
1
12






 
n
DD
n
DD
S
n
i
n
i
D

6. U2: Técnicas de Muestreo y Pruebas de Hipótesis 2015
Página 6
 Chi cuadrada.
Esta prueba puede utilizarse incluso con datos medibles en una escala nominal. La hipótesis nula de
la prueba Chi-cuadrado postula una distribución de probabilidad totalmente especificada como el
modelo matemático de la población que ha generado la muestra.
Para realizar este contraste se disponen los datos en una tabla de frecuencias. Para cada valor o
intervalo de valores se indica la frecuencia absoluta observada o empírica (Oi). A continuación, y
suponiendo que la hipótesis nula es cierta, se calculan para cada valor o intervalo de valores la
frecuencia absoluta que cabría esperar o frecuencia esperada (Ei=n·pi, donde n es el tamaño de la
muestra y pi la probabilidad del i-ésimo valor o intervalo de valores según la hipótesis nula). El
estadístico de prueba se basa en las diferencias entre la Oi y Ei y se define como:
Este estadístico tiene una distribución Chi-cuadrado con k-1 grados de libertad si n es suficientemente
grande, es decir, si todas las frecuencias esperadas son mayores que 5. En la práctica se tolera un
máximo del 20% de frecuencias inferiores a 5.
Si existe concordancia perfecta entre las frecuencias observadas y las esperadas el estadístico tomará
un valor igual a 0; por el contrario, si existe una gran discrepancia entre estas frecuencias el estadístico
tomará un valor grande y, en consecuencia, se rechazará la hipótesis nula. Así pues, la región crítica
estará situada en el extremo superior de la distribución Chi-cuadrado con k-1 grados de libertad.
 Bibliografía:

7. U2: Técnicas de Muestreo y Pruebas de Hipótesis 2015
Página 7
http://es.scribd.com/doc/59166730/Prueba-de-La-Diferencia-Entre-2-Proporciones-
Poblacionales#scribd
http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/aarribas/esp/docs/estII/tema3esp_i
mprimir_1011.pdf
http://www.ub.edu/aplica_infor/spss/cap5-2.htm
William Navidi. (2006). Estadística para ingenieros. México: Mc Graw Hill.
Alumnos:
Álvarez Carrillo Alejandra
Fabela Quevedo José Ernesto