Este documento presenta la resolución de un problema físico sobre energía en una montaña rusa utilizando el método de Polya en 4 pasos: 1) Comprender el problema, 2) Configurar un plan, 3) Ejecutar el plan, 4) Mirar hacia atrás. Se calcula la energía potencial, cinética y mecánica en 3 puntos, encontrando que la velocidad final es 14.14 m/s. El método de Polya guía una solución ordenada considerando conocimientos previos y verificando los resultados.

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ESTUDIO DE
CASO.
Matemática y Estrategias
de Aprendizaje.
Paloma Cossio.
Alan Durán.
Tamara Fuentes.
-2016-
Índice

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Introducción. ............................................................................................................................ 2
Procesos cognitivos. .................................................................................................................. 3
Método de Polya....................................................................................................................... 5
Planteamiento del Caso............................................................................................................. 6
Conocimiento Previo. ................................................................................................................ 7
Desarrollo del Problema. ........................................................................................................... 8
Paso 1: “Comprender el problema”......................................................................................... 9
Paso 2: “Configurar un Plan”. ............................................................................................... 11
Paso 3:”Ejecutarel plan”...................................................................................................... 14
Paso 4: “Mirar hacia atrás”................................................................................................... 16
Conclusión.............................................................................................................................. 18
Bibliografía.............................................................................................................................. 19
Introducción.

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El propósito de este trabajo es lograr dar la solución a un problema físico con
nuestras habilidades tanto de los procesos cognitivos que matemáticos, conjunto a
estos dos factores lograremos de forma exitosa idear un plan y llevarlo a cabo con
el Método de Polya que nos enseña realizar de manera ordenada y eficiente un
proceso fácil y efectivo con simples pasos, en vista y considerando que debemos
tener los conocimientos previos, que nuestra memoria almacena, obteniendo así
pensamiento que nos facilite unir cada idea.
Procesos cognitivos.

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Los procesos cognitivos son la capacidad de captar una idea de algo que está
sometida en el ambiente, ya que inconscientemente las transformamos en
experiencias del pasado que se almacena en la memoria a largo plazo, a través de
procesos mentales simples. Esto consta de 4 pasos:
Sensación:
Capta los estímulos aislados mediante los receptores sensoriales que son como
células especializadas capaces de transformar estímulos físicos en impulsos
nerviosos. La sensación en si son los contenidos más sencillos e indivisibles de la
percepción, procedentes del mundo exterior, que hacen que estos dos estén ligados
entre sí. El ambiente provee y da energías que accionan receptores e inician una
cadena de actividad en el sistema nervioso.
Percepción:
Es un proceso por el cual la información sensorial es organizada e interpretada, es
decir que los hechos que dan origen a la percepción no están fuera de nosotros,
sino en nuestro sistema nervioso.
Lo que podemos percibir del ambiente e la calidad, la intensidad, la duración y la
distancia de las experiencias sicológicas dependen de las características, pero aun
así no todos los cambios son percibidos, la diferencia mínima de intensidad a la cual
se reacciona se llama umbral.
Atención:
Tiene una capacidad limitada que está en función del volumen de la información a
procesar y del esfuerzo que ponga el individuo, esta filtrar información e ir asignando
los recursos para permitir la adaptación interna del organismo en relación a las
demandas externas. La atención sufre oscilaciones normales, debidas a fatiga,
estrés, emociones diversas y también por trastornos de la conciencia, la afectividad,
la psicomotricidad, el daño orgánico cerebral, etc. Aunque hayan alteraciones
patológicas que afectan al atención y concentración.

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Memoria:
Nos permite aprender nueva información, almacenarla y recuperarla cuando la
necesitamos. La memoria se puede clasificar de muchas maneras, la mala memoria
puede referirse a distintos aspectos de este proceso psicológico. Podemos hablar
de memoria a corto plazo, como la capacidad de mantener temporalmente la
información en la mente, , o de memoria a largo plazo, una de las formas de
entender la memoria a largo plazo es la que divide Memoria Declarativa o
consciente y Memoria Procedimental o no consciente.
Método de Polya.

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Es un método que nos permite solucionar problemas, ya sea matemáticos o en algo
tan cotidiano como el día a día, encontrando de manera ordenada una respuesta
sobre la problemática que nos encontramos. Consta de 4 pasos esenciales:
1. Comprender el problema.
Tener la capacidad de comprender el problema, analizar sus datos y poder
reconocer la información que se solicita.
2. Planear como resolverlo.
A partir de un conocimiento previo podemos lograr planear un modelo matemático
para resolver el problema, aplicando varias estrategias, pero buscando la más
sencilla y que requiera de menor tiempo.
3. Poner en práctica el plan.
Resolver el plan, utilizando las estrategias escogidas, y tener en cuenta que no
podemos exceder del tiempo estimado, de lo contrario se deja de resolver el plan y
se vuelve al paso 1.
4. Comprobar resultados.
Verificar si el resultado es correcto y verbalizar su respuesta. También podemos
visualizar si existe otra estrategia que sea más sencilla respecto a la que se aplicó.
Planteamiento del Caso.

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En un parque de diversiones hay una montaña rusa, y el encargado del juego
necesita saber cuáles son las energías que tiene el carro en tres puntos distintos y
la velocidad final con la que llega el carro, ya que requiere estos datos para crear
un sistema de freno seguro en el juego, debido a que se busca la seguridad de las
personas evitando cualquier tipo de accidente cuando utilicen el juego.
El encargado ya tiene unos datos importantes que los analizó anteriormente: El
carro tiene un peso de 100 KG que pasa por el punto “A” a una velocidad de 0m/s
ya que está en reposo, y en el punto “B” hay una velocidad de 10m/s, tomando en
cuenta que no existe roce entre el carro y la superficie. Por lo tanto, a partir de los
datos entregados el encargado necesita saber la Energía Potencial, Energía
Cinética y Energía Mecánica en cada punto (A, B y C), y además saber cuál es la
velocidad que logra tener cuando llega al punto C.
Conocimiento Previo.

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Para poder ejecutar este problema físico, lo primero que tenemos que considerar
es tener conocimientos previos de sus fórmulas:
✓ Energía Potencial: Energía que se encuentra principalmente cuando el objeto
se encuentra en altura.
Ep= m * g * h
✓ Energía cinética: Energía que se encuentra cuando hay movimiento del
objeto.
Ec= ½ m * v^2
✓ Energía Mecánica: Es la suma de las energías anteriores, considerando que
cuando no existe roce entre el objeto y la superficie, el valor de este siempre
será el mismo en cualquier punto del recorrido que hace el objeto.
Em= Ec + Ep
Desarrollo del Problema.

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Paso 1: “Comprender el problema”.
Hay que comprender el problema para poder identificar sus datos importantes, y
luego reconocer que es lo que nos están pidiendo, teniendo en cuenta que es
necesario ser muy ordenado en cada etapa que realizaremos.
Principalmente nos piden el valor de cada energía en los tres puntos del juego. A
partir de eso, encontrar el valor de la velocidad en C, que es nuestra incógnita.
DATOS
 A tiene velocidad 0m/s y altura (h) 10 metros.
 B tiene velocidad 10m/s y altura (h) 5 metros.
 El carro tiene una masa de 100Kg.
 Gravedad = 10m/s2
 Se considera que la Energía mecánica es la misma en los tres puntos, ya
que no existe roce.
 Objetivo:
 Velocidad de C = X.
 Determinar el valor de la Energía cinética, potencial y mecánica en cada
punto (A, B y C).
Operaciones del pensar:
 Conceptuar: Tenemos que analizar los conceptos que se plantean para
poder comprender y generalizar las ideas entregadas.

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 Juzgar: Entender lo que se nos está pidiendo, para elaborar juicios con los
datos que nos entregan, y así lograr juzgar datos si son relevantes o no.
 Observar el dibujo.
 Analizar datos.
 Retener información.
 Comprender el problema.
 Identificar información relevante.

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Paso 2: “Configurar un Plan”.
En este paso para resolver los cálculos hay que tener conocimientos previos, que
es donde nuestra memoria comienza a entregarnos información captada
anteriormente.

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Para este caso usaremos fórmulas físicas, donde cada letra tiene su valor numérico,
dependiendo de cada caso.
Sabiendo el uso de estas fórmulas, podemos comenzar a reemplazar con los datos
que nos han entregado en el problema.
Fórmulas:
✓ Ep = m * g * v2
✓ Ec = 1/2 * m * h
✓ Em = Ep+Ec
Simbología:
 Ep: Energía Potencial.
 Ec: Energía Cinética.
 Em: Energía Mecánica.
 m: Masa
 g: Gravedad
 V: velocidad
 h: Altura

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Operaciones del pensar:
 Juzgar: Se debe tener una postura frente al problema para poder crear el
plan matemático que se realizará, aceptando o rechazando conocimientos
previos para poder lograr su solución.
 Razonar: Debemos tener raciocinio para armar el plan, y esto es a partir de
los juicios que realizamos.
 Interpretar los datos.
 Asociar la información con las fórmulas.
 Comparar las fórmulas
 Expresar nuestro conocimiento previo.

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Paso 3:”Ejecutar el plan”.
Principalmente nos piden la Energía potencial, cinética y mecánica en el punto A, y
para eso debemos utilizar las fórmulas correspondientes que se mostraron
anteriormente. Al usar las fórmulas solo debemos reemplazar cada elemento de ella
por los datos que nos están entregando en el caso. Tomemos en cuenta que como
no existe roce el valor de la Energía Mecánica tiene que ser igual en los tres puntos,
por lo tanto el dato que resulte será para guiar los demás puntos.
➢ Punto A
➢ Ep = 100*10*10 = 10.000[J]

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➢ Ec = ½*100*(0)2 =100/2 * 0 = 0[J]
➢ Em = 10.000[J] + 0[J] = 10.000[J]
Se repite la misma modalidad que en el primer punto. Debemos utilizar las fórmulas
reemplazando los datos, considerando que este caso hay datos que variaron como
la altura (h) y la velocidad (v).
➢ Punto B
➢ Ep = 100*10*5 = 5.000[J]
➢ Ec = ½*100*(10)2 =100/2 *100 = 50*100 = 5000[J]
➢ Em = 5.000[J] + 5.000[J] = 10.000[J]
Tenemos información de los puntos anteriores, principalmente el valor de la Energía
Mecánica que es igual a 10.000[J].
Se debe sacar la Energía Potencial, y como este punto no tiene altura se predice
que es igual a 0, pero para estar realmente seguros aplicamos la fórmula
reemplazando los datos correspondientes.
En este punto no tenemos el valor de la velocidad, ya que es nuestra incógnita, de
manera que hay que utilizar fórmula de la Energía mecánica para despejar la
velocidad y obtener el resultado.
Punto C
Em = 10.000[J]
Ep = 100*10*0 = 0 [J]
Em = Ep+Ec
10.000[J] = 0 + 1/2 * 100 * V2
2 * 10.000 = 100*V2
20.000 = 100*V2
20.000/100 = V2
200 = V2
/ √
√200 = V

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14.14m/s = V
Operaciones del pensar:
 Razonar: A partir del pensamiento, logramos comprender el problema
elaborando juicios, por lo tanto nos permite razonar al ejecutar el plan que
configuramos ocupar para su solución. Este proceso debe ser ordenado y
coherente, respetando ideas, elementos y sus etapas.
 Analizar la información.
 Interpretar los datos entregados en las fórmulas.
 Expresar de manera matemática la información para la solución.
Paso 4: “Mirar hacia atrás”.
Tenemos que revisar todos los pasos que hemos realizado en el caso.
Luego poner énfasis en lo que nos están pidiendo, por ejemplo verificar si la
velocidad en el punto C es igual a 14.14m/s, y para eso utilizaremos la fórmula de
Energía cinética reemplazando el elemento de velocidad por 14.14.

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Dado eso, tenemos en cuenta que en los tres puntos debe ser el mismo valor en
Energía Mecánica, es decir, los 10.000[J].
Finalmente ocupamos la fórmula de Energía mecánica para comprobar si todos los
resultados calzan entre sí.
• Verificar si la velocidad en C es igual a 14.14
➢ Ec = 1/2 * 100 * (14.14)2
➢ Ec= 100/2*(200)
➢ Ec = 50*200
➢ Ec= 10.000[J]
➢ Ep = 0
➢ Em = 0 + 10.000 = 10.000[J]
RESPUESTA:
✓ En el Punto A la energía potencial tiene un valor de 10.000[J], la energía
cinética es de 0[J] y la energía mecánica es de 10.000[J]. En el Punto B la
energía potencial tiene un valor de 5.000[J], la energía cinética 5.000[J] y la
energía mecánica es de 10.000[J].
✓ En el Punto C tiene una velocidad de 14.14m/s, su energía potencial es de
0[J], la energía cinética es de 10.000[J] y la energía mecánica es de
10.000[J].
Operaciones del pensar:

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 Conceptuar: Se debe revisar todas las etapas anteriores, tomando atención
en sus conceptos nuevamente para no provocar algún error en su solución.
 Razonar: En esta última etapa ya tenemos nuestro pensamiento claro sobre
el problema, y por lo mismo debemos producir un raciocinio en la revisión
cada etapa, elaborando una relación esencial en las ideas y datos que nos
entregan con nuestros conocimientos previos.
 Observar nuestros ejercicios matemáticos y las etapas, revisando si estamos
en lo correcto.
 Expresar los resultados.
 Resumir toda la información y entregar la solución al problema.
Conclusión

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Es importante marcar la diferencia que existe entre demostrar un resultado con el
“paso a paso”, y simplemente comprobarlo, además debemos tener presente que
existen 4 pasos que debemos seguir si es que queremos solucionar un problema.
Estos procesos están directamente relacionados con las ganas que nosotros
tengamos de llevar a cabo esta supuesta solución. Una vez que sabemos a lo que
nos enfrentamos idealizamos un plan que nos sirva para resolver nuestro problema,
ayudándonos con ciertas conexiones que tengamos en nuestros recuerdos,
relacionándolo con nuestro planteamiento. Es fundamental que conozcamos y
manejemos una información previa al momento de desenvolver nuestro plan, ya que
si flaqueamos con respecto a conocimiento, estaremos demostrando que nuestras
experiencias anteriores no nos sirvieron de nada y no podremos llegar a nuestro
ansiado resultado. Es necesario que comprobemos que lo que hicimos está bien
hecho y así, seguir usando nuestra metodología en nuevos ejercicios relacionados
afianzándonos de nuestros conocimientos. Una vez que tomamos confianza,
podemos usar el método de Polya con más precisión y eficacia, obteniendo cada
vez mejores resultados.
Bibliografía.

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 http://resoluciondeproblemasenlaeducacionmatematicas.bligoo.cl
/las-cuatro-etapas-de-polya
 Materia de Estrategias de Aprendizaje.
 Materia de Introducción a las Matemáticas.
 Materia de Introducción a la Física.