Estudio de la Respuesta a los Armónicos de un Sistema masa-resorte

La importancia de conocer
esta respuesta para evitar
daños en los sistemas
mecánicos.
Estudio de la Respuesta a los Armónicos
de un Sistema Masa-Resorte.
09/06/19 Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez1

Estructura
Medios, Métodos, Modelos y Sistemas Aplicados
a la Educación Superior Tecnológica
Matemáticas e IngenieríaMatemáticas e Ingeniería
Pensamiento Complejo y Metacognición
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de la Laguna
09/06/19Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez2

09/06/19
Profes. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez3
Oscilador Mecánico
Sistema Mecánico Traslacional masa resorte M-K.

Problema
Vamos a estudiar el Oscilador Mecánico a partir del
circuito formado por una masa m = 2 unida a un
resorte con k = 18, si partiendo del reposo y desde el
punto de equilibrio se le aplican una serie de señales
de prueba.
Nota:
Las unidades se encuentran adecuadamente dimensionadas según el
sistema en que se trabaje, sea “cgs o mks”.

Leyes de la Física
1.- Ley de Newton:
F = mx’’(t)
2.- Ley de Hook:
F = kx(t)
3.- Principio de D’Alembert:

Modelo Matemático
mx’’(t) + kx(t) = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0

Modelo Matemático del Problema
2x’’(t) + 18x(t) = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0

Entrada: Impulso Unitario δ(t)
2x’’(t) + 18x(t) = δ(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0

Respuesta al Impulso Unitario δ(t)
Respuesta del oscilador mecánico al Impulso Unitario
como señal de entrada: f(t) = δ(t).
..SIMULACION.MECANICASMRA.4.exe

Entrada: Escalón Unitario u(t)
2x’’(t) + 18x(t) = u(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0

Respuesta al Escalón Unitario u(t)
Respuesta del oscilador mecánico al Escalón Unitario
como señal de entrada: f(t) = u(t).

Entrada Senoidal: Asin(ωt)u(t)
2x’’(t) + 18x(t) = sin(7t)u(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0

Respuesta a la Senoide
Respuesta del oscilador mecánico ante una señal senoidal de
frecuencia conocida como señal de entrada: f(t) = Sin(7t)

Entrada: Señal periódica arbitraria
2x’’(t) + 18x(t) = f(t)u(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0

Función f(t) de entrada
Señal de Entrada:
Función periódica con período T = 2π y frecuencia angular ωo
= 1
definida en los reales positivos.

Gráfica de la señal de entrada
Señal Diente de Sierra positivo (Sawtooth) definida en los
reales positivos.

Señal de Entrada
Función de la señal de entrada:
Función periódica con período T = 4π y frecuencia angular
ωo
= 1/2 definida en todos los reales.

Gráfica de la señal de entrada
Señal Diente de Sierra positivo (Sawtooth) definida en todos
los reales.

Modelo Matemático
2x’’(t) + 18x(t) = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
La f(t) es la función de la diapositiva 17 con gráfica en la
diapositiva 18.

Coeficientes de Fourier18.85− 15.708− 12.566− 9.425− 6.283− 3.142− 0 3.142 6.283 9.425 12.566 15.708
4−
2−
2
4
π−
π
f t( )
2π2− π
t
A0
2
T T−
2
T
2
tf t( )
⌠


⌡
d⋅=

Coeficientes de Fourier

Coeficientes de Fourier
B n( ) B1 n( ) B2 n( )+:=
0 ≤ t < π
π ≤ t < 2π

Serie de Fourier de f(t)

Gráfica de la Serie de Fourier

Gráficas sobrepuestas

Modelo matemático

Transformada de Laplace

Transformada Inversa de Laplace

Gráfica de la función x(t)

Función respuesta x(t)

Gráfica en los reales positivos

Función solución x(t)
para el armónico de orden n

Respuesta al segundo armónico

Respuesta al cuarto armónico

Respuesta al tercer armónico

Armónicos impares se anulan

Peso de los armónicos pares

Respuesta al sexto armónico
9.425− 3.142− 3.142 9.425 15.708 2
0.4−
0.2−
0.2
0.4
x t 6,( )
2π 4π
t
B 6( )
2
3
→

Función x(t) solución

Análisis al 6° armónico.

Respuesta al 6° armónico

Función x(t) respuesta correcta

Gráfica de la respuesta correcta

Función x(t) respuesta completa

Función x(t) respuesta correcta
Se anula el sexto armónico para evitar la resonancia.

Gráfica de la respuesta correcta

Conclusiones
 La resonancia afecta el comportamiento de todo
sistema dinámico, sea mecánico o no.
 La señales que se aplican a sistemas físicos pueden
tener alguna componente frecuencial que provoque la
resonancia. Debe tenerse precaución.
 Identificando la resonancia, se propone filtrar el
armónico que afecta la respuesta del sistema.
 El análisis de Fourier ayuda a identificar la resonancia
 La serie de Fourier auxilia al manejo de señales con
discontinuidades

Oscilador Eléctrico
Red L-C conectada en paralelo.

Sistemas destruidos por la
resonancia
1. El Puente de Broughton: Manchester, 1831
2. El Puente de Tacoma Narrows: Narrows,
Washington, USA, 1940.
3. La Pasarela del Milenio de Norman Foster:
Londres, 2000.
4. El Puente Arcos de Alconétar: Alconétar en Prov.
De Cáceres, España, 2006.
5. El Puente de Volgogrado: Volgogrado, 2010.

Sistemas destruidos por la
resonancia
1. https://www.youtube.com/watch?v=MHlICTWMBMs
2. https://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag
3. https://www.youtube.com/watch?v=ULLOAGWla7M
4. https://www.youtube.com/watch?v=QTK7siHbAEk

Autores
 Nombre.- J. Agustín Flores Avila
 Dirección.- Brezo No. 119 Col. Bellavista
 Ciudad.- Gómez Palacio, Dgo. Mex. C.P. 35050
 Tel. 01 – 871 – 267 – 23 - 21
 C. E. cidde2010@gmail.com
 Tecnológico Nacional de México
 Instituto Tecnológico de la Laguna
 Torreón, Coah. Mex.

09/06/19Profs. J. Agustín Flores y Abel Rodríguez52
Autores
 Nombre: Abel Rodríguez Franco
 Dirección: Paseo de la Espuela 249, Residencial la
Hacienda
 Ciudad: Torreón, Coah. Méx. C.P. 27276
 Tel.: 01 – 871 – 7 30 27 64
 e-mail: abel.r.f@hotmail.com
 Tecnológico Nacional de México
 Instituto Tecnológico de la Laguna
 Torreón, Coah. Méx.

Bibliografía
1. Aleksandrov, A.D. y Kolmogorov, a. N. (1976): “Visión
General de la Matemática” La matemática: Su contenido,
métodos y significado”. Madrid: Editorial Alianza.
2. Beisser, A. (1965): Conceptos de Física Moderna. Madrid:
Ediciones del Castillo, S. A.
3. Berman, G. N. (1977): Problemas y ejercicios de análisis
matemático, Moscú: Editorial Mir.
4. Courant, R. & Robbins, R. (1979): ¿Qué es la Matemática?.
New Rochelle: Aguilar Ediciones.
5. Cheng, K. David (1959): Analysis of Linear System. Tokio:
Edit. Addison-Wesley.

Bibliografía
6. Churchill, Ruel V. 1972: Operational Mathematics, Tokio:
McGraw Hill Kogakusha.
7. Churchill & Brown; (1987); Fourier Series and Boundary
Value Problems. Singapore: McGraw Hill.
8. Duval, R. (1988) “Gráficas y Ecuaciones. La articulación de
dos registros”. Traducción de B. M. Parra. Tomado de la:
Antología de Educación Matemática.
9. Flores A, J. A. (2017): Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
En prensa.

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10. Foucault, M. (1985): Las Palabras y las Cosas; México: Siglo
XXI Edit.
11. Hit, F. (1996): Educación Matemática y Uso de Nuevas
Tecnologías. Tomado de: “Perspectivas en Educación
Matemática” .
12. Hsu, H. P. (1973): Análisis de Fourier. México: Edit.
Addison-Wesley Iberoamericana.
13. Koyré, A. Estudios de Historia del Pensamiento Científico.
México: Edit. Siglo XXI.
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ingeniería, Columbus, Ohio: John Wiley & Sons.

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Reverté, S. A.
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New York: Leon Bowden Edit.
17. Quintero, Ricardo Z., Sonia Ursini L. (1988): Desde el
enfoque tutorial hacia el uso constructivista de la
computadora en el aula; Reporte de investigación,
Cinvestav, México.
18. Rainville, E. (2009): Ecuaciones Diferenciales Elementales,
México: Trillas.
19. Symon, R. Keith (1968): Mecánica. Madrid: Edit. Aguilar.

Bibliografía
20. Williams, W. E. (1975): Series de Fourier y problemas con
valores en la frontera. México: Limusa.
21. Zill, D. G., (2008): Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 1
: Ecuaciones diferenciales, México: Mc Graw Hill.
22. Zill, D. G.. (2009): Ecuaciones diferenciales con aplicaciones
de modelado, México: Cengage Learning.
23. Zill, D. G.. (2009): Ecuaciones diferenciales y problemas con
valores en la frontera. México: Cengage Learning.

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