El documento describe diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversos campos como la dinámica de poblaciones, desintegración radiactiva, propagación de enfermedades y circuitos eléctricos. Se explica el proceso de modelado matemático mediante ecuaciones diferenciales y se presentan ejemplos de problemas resueltos relacionados con crecimiento poblacional, vida media radiactiva y préstamos con intereses.

1. Alumno: Montoya quintana julio código: 10310274<br />APLICACIONES DE LAS AECUACIONES DIFERENCIALES <br />Modelados matemáticos:<br />Es común y deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, ya sea físico, sociológico o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o un fenómeno se llama modelado matemático y se construye con ciertos objetivos. Por ejemplo que se desee entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el crecimiento de poblaciones animales, se podría fechar fósiles al analizar su desintegración de sustancias radiactivas<br />Construcción de un modelo matemático <br />1; identificación de las variables a las que se atribuyen el cambio del sistema. Al principio se podría elegir no incorporar todas estas variables en el modelo. En este paso se esta especificando el nivel de resolución del modelo<br />2; se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hipótesis acerca del sistema que se está intentando describir estas su pociones también incluirán algunas leyes empíricas que podrían ser aplicables al sistema.<br />Nota: el hacer un modelado matemático es como estar realizando una investigación científica o un método científico aplicando como un algoritmo o una receta más práctica y sencilla. Porque primero se observa el fenómeno se crea la hipótesis se hacen algunas predicciones y al final experimentos.<br />A continuación un diagrama de un modelado matemático:<br />Comprobar las predicciones con hechos conocidosSi es necesario modifice las supociones Mostrar las predicciones del modelado gráficamente Obtenga soluciones Resuelva las E.DFormulación matemáticaExprese las supociones en temimos de ecuaciones diferenciales Suposiciones<br />Importante: un modelado matemático de una sistema físico suele intervenir la variables tiempo t. entonces una solución del modelado da el estado del sistema; en otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables) para valores apropiados de t describen al sistema en el pasado, presente y futuro <br />Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas.<br />Dinámica de población: la supocion de que la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento la ecuación para este modela do es:<br />dPdt∝P o dPdt=KP<br />Desintegración radiactiva: para modelar el fenómeno de desintegración radiactiva se supone que la rapidez de dA/dt a la que se desintegra los núcleo de una sustancia es proporcional a la cantidad ( con más precisión, el numero de núcleos esta sería su ecuación diferencial:<br /> dAdt=KA<br />Ley de enfriamiento de newton: de acuerdo con la ley de la rapidez que cambian la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la temperatura del medio circundante esta es la ecuación:<br />dTdt=K(T-Tm)<br />Propagación de una enfermedad: una gripe se disemina en una comunidad por medio de la gente que entra en contacto con otras personas. Sea x(t) el número de personas que se han contagiado con la enfermedad y y(t) el número de personas que aun no se contagian esta sería la ecuación:<br />dxdt=Kxy<br />Reacciones químicas: estas se usan para ver la rapidez de los compuesto cuándo estos mismos se combinan ;<br />dxdt=Ka-x(β-y)<br />Circuitos en serie: este circuito contiene resistores, capacitores y un inductor. La corriente en un circuito después de que se cierra un conmutador se detona mediante i(t) la carga de un capacitor en el tiempo t se detona por q(t().. ahora de acuerdo con la segunda ley de kirchhoff el voltaje impreso(t) en un circuito cerrado de ser igual a la suma de sus caídas de voltaje <br />Ld2dt2+Rdqdt+1Cq=E(t)<br />Cables colgantes: sé acuerda examinar solo una parte o elemento de los cables entre un puto mínimo p1 y algún punto arbitrario p2. Siempre cuando los cables se ponen en una línea de transmisión que da una curva de una sistema coordenado rectangular donde se elige que el eje y pase por el punto mínimo p1 sobre la curva y el eje x elegido a unidades debajo de p1. tres fuerzas están actuando sobre el cable que son tangentes al cable p1 y p2 respectivamente W de la carga vertical total entre los punto p1 y p2 se T1=(t1), T2(t2) y w=(w) las magnitudes de esos vectores. Ahora la tensión de T2 se descompone en los componentes horizontal y vertical, como resultado del equilibrio estático :<br />dydx=wT1<br />A CONTINUACION LOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES <br />1; Cierta ciudad tenía una población de 25,000 habitantes en 1960 y una población 30,000 habitantes en 1970 suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante ¿Qué población esperara los urbanistas que tenga en el año 2011?<br />dxdt=KX<br />Separando variables:<br />dxx=Kdt=integrando=lnx=Kt+c<br />Aplicando propiedades de logaritmos que daría de esta forma:<br />x=ceKt<br />Se toma to en 1960 de tal modo que:<br />25000=x(0)<br />Sustituyendo se obtiene<br />25000=ceKt0 C=25000<br />Sustituyendo<br />X=25000eKt<br />De 1970 a 1960 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado 30000<br />X(10)=30000<br />30000=25000ek(10)↔65=ek(10)↔10K=ln1.210≈.018232<br />Al sustituir se obtiene la formula que nos permite calcular el tamaño de la población en función del tiempo donde x(10)e0.018232t<br />Del año 1960al año 2010 han transcurrido entonces esa población actualmente tiene:<br />x51=e.018232(51)≈x51=62207.5157 personas <br />2; El einstenio 253 de cae con una rapidez proporcional a la cantidad que se tenga determine la vida media si este material pierde un tercio de masa en 11.7 días. Q :253 dQ/dt: rapidez d: razón de decaimiento:<br />dQdt=-rQ↔separando variablesdQq=-rdt↔dQq-rdt<br />integrnadonq=-rt+c↔aplicando proiedades de logaritmosQ=ce-RT<br />Q (0)=QO cantidad inicial del elemento en tiempo 0<br />Sustituyendo se obtiene:<br />QO=ce-r0↔c=Qo<br />Sustituyendo otra vez:<br />Q=Qoe-rt↔t=11.7↔Q=Q0-13Q0↔Q=23Q0<br />Sustituyendo:<br />23QO=QOe-11.7↔23=e-11.7↔ln23=-11.7r↔R↔t=-0.405461081-11.7=r.03465<br />Sustituyendo:<br />12Q0=Q0e-0.03456↔12e-0.03456↔ln0.5=-0.03456↔t=-06931.03456=t≈20 dias<br />3;Una persona solicita un prestamo de 8000 pesos para comprar un automovil el prestamista carga el interes a una tasa anual del 10% si se supone que el interes se compone de manera continua y que el deudor efectua pagos continuamente con una cuota anual de contante K, ¿determine la cuota de K necesaria para cubrir el adeudo en tres años? Y ¿determine el interes que se paga durante el perio de tres años?<br />S(t): cantidad de dinero en cualquiere momento t<br />S(0)= SO=800cantidad de dinero prestado (en t=0)<br />K: Cantidad de dinero inyectada anualmente<br />Esta es la formula separando variables, integrando y aplicando propiedades de los logaritmos:<br />dsdt=rs-K↔dsrs-k=dt↔1rlnrs-K=rt+cr↔rs-k=ert+cr<br />s=cert+Kr (c=ecrr)<br />Sustituyendo<br />8000=cer(0)+Kr↔c=8000-Kr<br />Sustituyendo<br />s=8000-Krert+kr↔s=8000ert-krert+kr<br />->s=8000ert+kr1-ert<br />Cuando la deuda se cancela , s= 0 de tal manera que:<br />8000ert+kr1-ert=0<br />Despejamos K de la ecuación de arriba<br />8000ert+Kr1-ert=0↔Kr1-ert=-8000ert↔K=8000rertert-1<br />R= 10% ↔0.1<br />T=3<br />Sustituyendo<br />K=80000.1e0.13e0.13-1=8000e0.3e0.3-1↔K≈3086.64<br />33086.64-8000=1259.92<br />La cuaota anual seria de 3086.64 y su interes aproximado de 1259.5<br />4;Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre el cadáver, si la temperatura del cadáver en el momento que lo encontraron es de 85F y dos horas mas tarde ha bajado 74 F además la temperatura del ambiente permanece constante a 32F.<br />T : temperatura del cadáver en el tiempo t<br />Tm= 32 F: temperatura ambiente <br />Momento donde se descubre el cadáver <br />t=0 T=85F<br />La ecuación para este momento es:<br />dTdt=-KT-Tmk>0:constante de proporcionalidad <br />Así que:<br />dTdt=-K(T-32)<br />Separando variables e integrando <br />dT(T-32)=-kdt↔lnT-32=-Kt+c<br />Aplicando propiedades de los logaritmos e-Kt+c↔T=ece-Kt+32<br />Así quedaría <br /> T=ce-Kt+32c=eC<br /> Sustituyen do la ecuación de arriba<br />85=ce-K(0)+32↔85=ce0+32↔85=c+32↔c=35<br />Esto quedaría: T=53ce-Kt+32<br />Ahora ya tienen valores: t=2, T=74<br />Sustituyen do se obtiene:<br />74=53e-K(2)+32↔42=53e-2K↔e2K=5342↔2K=ln1.261=0.2326223<br />K=0.1163111<br />Así la temperatura del cadáver en el tiempo t, en horas, está dada por:<br />T=53e-0.116311t+32<br />La temperatura de ser humano vivo es de 98.6 F<br />98.6=53e-.1163t+32↔66.653=e-.1163t↔e0.1163t=5366.6<br />->0.1163tln.7957↔t-.2884.116311=-1.9638 ->.963860=58minutos<br />La hora de muerte se produjo aproximadamente 1 hora 58 minutos<br />