SSLL-SE-2014-2S

SEGUNDA
Alumno: _______________________________________________________________________________
Instrucciones
en blanco para trabajar
resolver
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en tod
HÁGALO AHORA
leyendas.
Recuerde que e
formulario resumen para consulta.
Profesor:
SEGUNDA EVALUACIÓN
Alumno: _______________________________________________________________________________
Instrucciones
en blanco para trabajar
resolver. Escriba sus respuestas
HÁGALO AHORA
leyendas. Salvo que se indique lo contrario
Recuerde que e
Estudiante
ESCUELA SUPERIOR
Profesor:
EVALUACIÓN
Alumno: _______________________________________________________________________________
Instrucciones: El presente
en blanco para trabajarlos. Asegúrese de que no le hace falta
. Escriba sus respuestas
HÁGALO AHORA. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
alvo que se indique lo contrario
Recuerde que este es un examen a libro cerrado, aunque
Estudiante
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC
SCUELA SUPERIOR
SISTEMAS
ING. CARLOS SALAZAR LÓPEZ
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
Alumno: _______________________________________________________________________________
presente examen consta de
los. Asegúrese de que no le hace falta
. Escriba sus respuestas dire
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
alvo que se indique lo contrario
ste es un examen a libro cerrado, aunque
Resumen de Calificaciones
FIEC-ESPOL – 20
SCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA
SISTEMAS LINEALES
Alumno: _______________________________________________________________________________
examen consta de
directamente en los espacios previst
alvo que se indique lo contrario, todas sus respuestas deben ser razonadas
Examen
2014 –2S
POLITÉCNICA
LINEALES
Fecha:
Alumno: _______________________________________________________________________________
examen consta de 4 problemas
ctamente en los espacios previst
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en todas y cada una de las páginas.
, todas sus respuestas deben ser razonadas
Deberes
DEL LITORAL
( )
( )
Fecha: jueves
Alumno: _______________________________________________________________________________
problemas y del correspondiente
los. Asegúrese de que no le hace falta ning
ctamente en los espacios previst
as y cada una de las páginas.
ste es un examen a libro cerrado, aunque el estudiante puede utilizar su
Lecciones
DEL LITORAL
jueves 19 de febrero
Alumno: _______________________________________________________________________________
y del correspondiente
ningún problema por
ctamente en los espacios previstos en las páginas de
udiante puede utilizar su
Lecciones
Total
Evaluación
19 de febrero del 2015
Alumno: _______________________________________________________________________________
y del correspondiente espacio
roblema por
os en las páginas de
, todas sus respuestas deben ser razonadas.
Total Segunda
Evaluación
espacio
roblema por
os en las páginas de
.

FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Primer Tema (15 puntos):
Considerar la existencia de un sistema LTI-CT causal cuyo diagrama de polos y ceros es el
mostrado en el plano complejo-s de la siguiente figura. Conociendo el hecho de que su
respuesta de paso ( ) 1s t = para cuando t → ∞:
a) Determinar la respuesta de paso ( )s t del referido sistema.
b) El sistema es ¿BIBO estable o no? Justifique su respuesta de manera razonada.
××××××××
1.5
[ ]Re s σ=
[ ]Im s jω=
0.5
0.5−
1.5−
1.5− 0.5− 0.5 1.5
A partir del diagrama de polos y ceros en el plano complejo – s, se tendría que la función
de transferencia o función sistema sería de la forma:
( )
( )
1
1
2
k
H s
s s
=
 
+ + 
 
Para que la salida de dicho sistema LTI-CT sea la respuesta escalón ( )s t , su entrada o
excitación debe ser la señal escalón unitario, es decir:
( ) ( ) ( ) ( )
1
; Re 0x t t X s ROC s
s
µ= ⇒ = ⇒ >
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
2
k
Y s X s H s Y s
s s s
= ⇒ =
 
+ + 
 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
1 lim lim lim lim 2
1 1
1 1
2 2
t s s s
k k
y t sY s s k
s s s s s
→∞ → → →
= = = = =
   
+ + + +   
   
( )
( )
( )
( )
1 1 1
1 12
2 1 2 1
2 2
k H s Y s
s s s s s
= ⇒ = ⇒ =
   
+ + + +   
   

( ) 31 2
11
2
CC C
Y s
s s S
= + +
+ +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 10
2 21
3 31/2
1
1 1 2
1 1
11
1/ 2 2 2
s
s
s
C s H s C
C s H s C Y s
s s s
C s H s C
=
=−
=−
= ⇒ =

= + ⇒ = ⇒ = + −
+ +
= + ⇒ = − 
( ) ( ){ } ( )1 1 1 1 2
11
2
s t Y s s t
s s s
− −
 
 
= ⇒ = + − 
+ +
 
L LL LL LL L
( ) ( ) ( ) ( )1/2
2t t
s t t e t e tµ µ µ− −
= + −
( ) ( ) ( )1/2
1 2t t
s t e e tµ− −
= + −
Toda vez que todos los polos del referido sistema se encuentran en el LHP, dicho sistema
es Asintóticamente Estable y por ende implica que es BIBO o EASA estable.

Segundo Tema (30 puntos):
La representación espectral de una señal ( )x t es aquella que se muestra a continuación:
ω
( )X ω
11−
1
0
ω
( )X ωθ
1
1−
π
0
/2π
2−
2
π−
/2π−
Un estudiante de la materia Sistemas Lineales de la ESPOL ha obtenido 5 señales a partir de
la señal ( )x t , tal como se indica en la columna de la izquierda de la siguiente tabla. Las
representaciones espectrales, sus correspondientes magnitudes (M1 a M6) y fases (A1 a A6)
se esquematizan en la siguiente carilla. Determinar:
a) Cuál de esas representaciones espectrales es asociada con cada una de las referidas
señales y coloque en los respectivos casilleros la etiqueta que corresponda (por ejemplo:
M1 o A3). Notar que más de una señal podría tener una representación espectral con la
misma magnitud o fase.
b) La inversa de la transformada de Fourier de ( )X ω . Es decir ( )x t .
c) La energía contenida en la señal ( )x t .
Señal Magnitud Fase
( )dx t
dt
M5 A4
( ) ( )x t x t∗ M3 A2
2
x t
π 
− 
 
M1 A2
( )2x t M4 A3
( )2
x t M6 A1

Representaciones espectrales

Comenzaremos por denominar como ( )1X ω al espectro de magnitud de ( )X ω ; y así, para
encontrar la inversa de la Transformada de Fourier de aquella, se aplicará la propiedad de la
derivada para bajar el grado de ( )1X ω . Por lo cual se tendrá que:
ω
( )1X ω
11−
1
0
ω
( )1dX
d
ω
ω
1
1− 0
1
1−
( )
( ) ( )1 1
2 2
1 1 1
2 2
dX
p p
d
ω
ω ω
ω
= + − −
( )
( )1
1
dX
jt x t
d
ω
ω
↔ −
( )
1 1
2 2
1 1
2 2
1
j t j tsen t sen t
jt x t e e
t tπ π
−
− = −
( )
1 1
2 2
1
2
1
j t j tsen t
jt x t e e
tπ
−
 − = − − 
( ) ( )
21 1
2 21
21 12 2
2 2sen t sen t
x t sen t x t
t tπ π
= ⇒ =
Debido al espectro de fase de ( )x t , en el cual ( )
2X ω
π
θ ω= − , se tendría entonces que para
determinar ( )x t se debería efectuar un retardo temporal de
2
π
en la señal auxiliar ( )1x t ; con
lo cual, la señal ( )x t estaría dada por:
( ) 1
2
x t x t
π 
= − 
 
( )
2
2
1
2 2
2
2
sen t
x t
t
π
π
π
 
− 
 =
 
− 
 

A continuación se procederá a determinar la energía contenida en la señal ( )x t , es decir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
2 2 2
1 0
1 1
1 1
2 2x t x t
E X d E d dω ω ω ω ω ω
π π
∞
−∞ −
 
= ⇒ = + + − + 
 
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
0 1
2 2
1 0
1
2 1 2 1
2x t
E d dω ω ω ω ω ω
π −
 
= + + + − + 
 
∫ ∫
( )
0 1
3 2 3 2
1 0
1
2 2
2 3 2 3 2x t
E
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
π
= =
=− =
    
 = + + + − +   
     
( )
0 1
3 3
2 2
1 0
1
2 3 3x t
E
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
π
= =
=− =
    
 = + + + − +   
     
( )
1 1 1
2 3 3x t
E
π
 
= +  
( )
1
3x t
E
π
=

Tercer Tema (30 puntos):
Una señal de entrada ( ) 5x t senc tπ= es aplicada a un dispositivo cuadratizador, tal como se
muestra en la siguiente figura. La respuesta ( )v t del mencionado dispositivo es muestreada
mediante la utilización de un tren de impulsos ( )T tδ , cuyo periodo fundamental es [ ]0.1 seg .
Finalmente, la señal de salida ( )z t es aplicada a un filtro ideal pasabajo cuyo ancho de
banda es de [ ]5 Hz .
( )x t
( ) ( ) [ ]0 0; 0.1T
k
t t kT T segδ δ
∞
=−∞
= − =∑
[ ]5B
Filtro LPF
W Hz=
( )y t
( )z t
( )
2
( )v t
×
a) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de ( )v t . Es decir,
( )V vsω ω .
b) Determinar la expresión analítica de la señal ( )z t , como una función de ( )v t , mediante
series de Fourier Trigonométricas.
c) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de ( )y t . Es decir,
( )Y vsω ω .
( ) ( ) ( )2 5 5 1 5 5
5 5 25
sen t sen t sen t sen t
v t x t v t
t t t t
π π π π
π π π π
     
= = ⇒ =     
     
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5
1 1 1
25 2 50
v t V p p p pπ π π πω ω ω ω ω
π π
 
= = ∗ = ∗    
FFFF
Se procederá a evaluar la convolución de los dos pulsos, de altura unitaria y ancho 10π , de la
siguiente manera:
Primera Metodología.-
( ) ( )5 5p pπ πω ω∗ ( ) ( ) ( )5 5
1
50
V p pπ πω ω ω
π
= ∗  
5a π=
5b π=
1.0c =
1.0d =
2 10bcd π=
10
0
0
10
a b
a b
a b
a b
π
π
+ =
 − =

− + =
− − = − ω
( )V ω
10π10π−
0.2
0

Con lo cual se tendría que ( )V ω estaría dada por la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )
1 1
10
50 20 5 20
V V
ω ω
ω π ω
π π π
   
= ∆ ⇒ = ∆   
   
Segunda Metodología.-
( ) ( ) ( )5 5
1
50
V p pπ πω ω ω
π
= ∗  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 5 5p pπ πω ω µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π∗ = + − − ∗ + − − =      
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 5 5 5 5µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π= + ∗ + − + ∗ − + − ∗ − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 2 10 10ω π µ ω π ωµ ω ω π µ ω π= + + − + − −
( ) ( )5 5 10
20
p pπ π
ω
ω ω π
π
 
∗ = ∆ 
 
( ) ( ) ( )
1 1
10
50 20 5 20
V V
ω ω
ω π ω
π π π
   
= ∆ ⇒ = ∆   
   
( ) ( ) ( )Tz t v t tδ= ×
En virtud de que ( )T tδ es una señal periódica, procederemos a determinar su representación
mediante SFCE’s, como sigue:
( ) ( )
0 0
0
0 0
/2 /2
0
0 0 0 0 0/2 /2
1 1 1 1 2 2
, 20
0.1
T T
jk t
k k
T T
D t e dt t dt D
T T T T T
ω π π
δ δ ω π−
− −
= = = ⇒ = = = =∫ ∫
k
kD
11− 0
01/T
2 32−3−
k
kC
10
01/T
2 3
02/T
( ) ( )0 0
1 10 0
1 2
cos cos20T k T
k k
t C C k t t kt
T T
δ ω δ π
∞ ∞
= =
= + ⇒ = +∑ ∑
( )
1
10 20 cos20T
k
t ktδ π
∞
=
= + ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
10 20 cos20 10 20 cos20 20 cos40 20 cos60 .....
k
z t v t kt v t v t t v t t v t tπ π π π
∞
=
 
= + = + + + + 
 
∑
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1
2
T TZ z t v t t Z V tω δ ω ω δ
π
= = × ⇒ = ∗F F FF F FF F FF F F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
10 20 cos20 10 2 20 cos20
2 2k k
Z V kt V ktω ω π ω π δ ω π
π π
∞ ∞
= =
   
= ∗ + = ∗ +   
   
∑ ∑F FF FF FF F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
10 2 20 20 20
2 k
Z V k kω ω π δ ω πδ ω π πδ ω π
π
∞
=
 
= ∗ + + + −   
 
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
10 10 20 20
k
Z V k kω ω δ ω δ ω π δ ω π
∞
=
 
= ∗ + + + −   
 
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
10 10 20 20
k
Z V V k V kω ω δ ω ω δ ω π ω δ ω π
∞
=
= ∗ + ∗ + + ∗ −  ∑
( ) ( ) ( ) ( )
1
10 10 20 20
k
Z V V k V kω ω ω π ω π
∞
=
= + + + −  ∑
ω
( )Z ω
10π10π−
2
0 30π 50π30π−50π−
ω
( )H ω
1
10π− 0
1
10π
[ ] [ ]5 10 /B cFiltro W Hz rad sω π⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )Y Z Hω ω ω=
ω
( )Y ω
10π10π−
2
0
( ) ( )10Y Vω ω=
( )
1
10
5 20
Y
ω
ω
π
   
= ∆   
   
( ) 2
20
Y
ω
ω
π
 
= ∆ 
 

2 1
5
5 20
senc t
ω
π
π
 
↔ ∆ 
 
2
10 5 2
20
senc t
ω
π
π
 
↔ ∆ 
 
( ) ( ) 2
10 10 5y t v t senc tπ= =

Cuarto Tema (25 puntos):
La siguiente figura muestra el espectro de Fourier de una señal periódica ( )x t .
a) Por simple inspección, determine las Series de Fourier (armónica) que representan a ( )x t .
b) Por simple inspección, esquematice adecuadamente el espectro de los coeficientes de
Fourier complejos exponenciales.
c) Encuentre la potencia de la señal ( )x t .
ω
1 2 3
kC
2
4
ω
1 2 3
kC∠
π−
4
/2π−
Series Armónicas de Fourier.-
( ) ( )0 0
1
cosk k
k
x t C C k tω θ
∞
=
= + −∑
( ) ( ) ( )2 2cos 2 cos 3 /2x t t tπ π= + − + −
Espectro de los Coeficientes de las Series de Fourier Complejas Exponenciales.-
ω
1 2 3
kD
1
4
ω
1 2 3
kD∠
π−
2
/2π−
4− 3− 2− 1−
/2π
π
Potencia de la señal ( )x t .-
( ) 0 0
2 2 22 2
1 1
1
2
2
k k kx t
k k k
P D D D C C
∞ ∞ ∞
=−∞ = =
= = + = +∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( )
2 2 21 13
2 2 1
2 2x t x t
P P= + + ⇒ =

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