Solución de una red compuesta por masa y resorte empleando un Sistema de Ecuaciones Diferenciales resuelto con el Método de la Transformada de Laplace..

1. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA LAGUNA
Especialidad
Ing. Mecatrónica
Materia
Ecuaciones Diferenciales
Tema
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales – Capítulo V – Guía de estudios IV, 5
Equipo #9
Rodrigo Adrián Gutiérrez Córdova - 17131310
Daniel Arturo Narváez Martínez - 17131341
Jesús Miguel Moreno Alba - 17131577
Profesor
M.C. J. Agustín Flores Ávila
Fecha de entrega
Viernes 24 de mayo de 2019

2. Introducción
Los sistemas de ecuaciones son un conjunto de dos o más ecuaciones con más de una
incógnita que conforman un problema matemático, y para resolverlo existen diferentes
formas para encontrar los valores de las incógnitas. También hay ciertas características que
deben cumplirse en un sistema de ecuaciones para que pueda haber una solución, de lo
contrario, no habrá una o habrá infinidad de ellas.
Ahora bien, conociendo lo principal de un sistema de ecuaciones, ¿qué es lo que lo hace
diferente de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales? La respuesta es tan clara que puede
deducirse de su propio nombre, es un sistema de ecuaciones formada por derivadas de una
función desconocida de una o más variables.
Dentro del libro de apoyo de Ecuaciones Diferenciales llevado en el curso de Ecuaciones
Diferenciales, encontramos dos casos particulares donde aplican los Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales. Uno de ellos es un problema de circuitos eléctricos, comúnmente formado
por dos mallas y cuyo proceso de resolución es modelado por un sistema de ecuaciones
apoyado por las Leyes de Kirchhoff, la Ley de Ohm, la Ley de Faraday y la Ley de los
Condensadores. Y el otro caso, representa Sistemas Mecánicos Traslacionales los cuales,
como en el caso de circuitos eléctricos, existen leyes que nos permiten resolverlos: el
principio de D’Alembert, Segunda Ley de Newton, Ley de los Amortiguadores y Ley de
Hooke.
Este proyecto, tratará sobre la solución y el análisis de un Sistema Mecánico Traslacional, y
para ello es necesario tener conocimiento sobre la solución de sistemas de ecuaciones, la
Transformada Directa de Laplace y su Inversa.

3. Objetivos
 Que el estudiante comprenda lo que son los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y
conozca su importancia en la resolución de problemas de ingeniería.
 Que el alumno sea capaz de modelar y resolver un Sistema Mecánico traslacional
mediante un Sistema de Ecuaciones Diferenciales.
 Emplear los conocimientos adquiridos a lo largo del curso, más puntualmente, los
relacionados a la Transformada Directa e Inversa de Laplace en la resolución de un
Sistema de Ecuaciones Diferenciales.

4. Guía de estudios – IV – Problema 5
Antes de comenzar de lleno con el problema, el equipo cree conveniente que haya una
breve explicación acerca de cómo está conformado un Sistema Mecánico Traslacional. A
continuación, presentaremos una imagen y lo que cada una de sus partes significa:
Aquí podemos observar un Sistema Mecánico Traslacional formado por dos masas 𝑚1 𝑦 𝑚2,
dos resortes de coeficientes 𝑘1 𝑦 𝑘2, dos amortiguadores de coeficientes 𝑐1 𝑦 𝑐2, una
fuerza inicial 𝐹𝑖 y finalmente la posición de 𝑥1 𝑦 𝑥2 respecto al tiempo. Éste es solamente
un ejemplo, porque en un Sistema Mecánico Traslacional puede haber más o menos
componentes (resortes, amortiguadores y masas) así como fuerzas aplicadas y condiciones
iniciales, pero en general, esta representación sirve para ilustrar uno de los modelos que
vamos a analizar y resolver.
También es importante mencionar que la masa está asociada a la doble derivada de la
función, el amortiguador a la derivada y el resorte a la función, y la ecuación resultante
estará igualada a la fuerza que se le aplicó al sistema.
Una vez dicho lo anterior, podemos comenzar con el problema a resolver empleando el
método de la Transformada de Laplace. El problema es el siguiente:

5. Nuestro Sistema Mecánico Traslacional no representa una situación real sino una hipotética
y forzamos dos posibles interpretaciones que describirían al sistema:
1. El sistema cuenta con dos resortes de coeficientes negativos: el primero ligado a la
masa 1, y el segundo resorte ligado a la masa 1 y 2. Sin embargo, no existe la certeza
de cuál es el coeficiente de cada uno.
2. Solo existe un resorte, pero también con un coeficiente negativo. Este resorte estará
ligado a ambas masas, una en cada extremo del resorte, y en este caso se sabe que
el coeficiente del resorte único es de 𝑘 = −1.
Cual sea el caso, al finalizar la resolución de nuestro Sistema Mecánico Traslacional no
existente, podremos obtener más información e incluso verificar si nuestras hipótesis
acerca de la forzada interpretación del sistema fueron correctas o no.
Al aplicar la Transformada Directa de Laplace obtenemos:
Después de aplicar las condiciones iniciales resulta:
Después, agrupamos términos para tener las dos incógnitas del lado izquierdo:

6. El siguiente paso fue disminuir el sistema de ecuaciones multiplicando únicamente la
segunda ecuación por :
Al realizar la suma de ambos términos obtenemos la siguiente igualdad:
Al aplicar la Transformada Inversa de Laplace obtenemos finalmente el valor de la variable
y(t) y con ella y’(t) y y’’(t) para poder terminar el problema:

7. Comprobamos que sean los resultados correctos evaluando la función y la derivada con las
condiciones iniciales dadas como a continuación se presenta:
Enseguida, para poder obtener la función de x(t) tendremos que utilizar la segunda ecuación
de nuestro Sistema de Ecuaciones Diferenciales, y en ella sustituir los valores de y(t) y y’’(t)
como a continuación:
Ahora, simplemente tenemos que despejar x(t) y obtener su derivada para calcular si las
condiciones iniciales coinciden:
Confirmando que las condiciones iniciales coinciden, comprobamos que nuestras
respuestas son correctas y en seguida se graficarán. Así que, las funciones x(t) y y(t) son las
siguientes:

8. Una forma de comprender mejor la gráfica obtenida es cambiando los senos y cosenos
hiperbólicos por su equivalencia a exponencial y así, obtenemos:

9. Como se puede notar en X(t) y Y(t), ambas tienen un exponencial positivo, lo que sugiere
que su desplazamiento tenderá a infinito y nuestro sistema se destruirá al poco tiempo, así
como lo muestran las tablas obtenidas, y no tiene nada de extraño, porque al inicio se dijo
que hay dos interpretaciones forzadas del sistema, y en ambas se hace referencia a los
coeficientes negativos de los resortes donde, en lugar de quitarle energía al sistema la da.
Una vez finalizado nuestro análisis y resolución del problema correctamente, veremos cómo
se comporta el Sistema de Ecuaciones Diferenciales evaluando cada función en distintos
valores de t para ver su comportamiento:

10. Conclusiones
La realización de nuestro proyecto nos hizo entender lo que un Sistema de Ecuaciones
Diferenciales significa, desde su interpretación -la cual, a veces no tiene y habrá que forzar
una para el entendimiento de los problemas de ingeniería- hasta cómo resolver uno.
El problema asignado al equipo fue un Sistema Mecánico Traslacional que si bien, trajo
consigo una resolución relativamente fácil empleando los conocimientos adquiridos de la
Transformada Directa e Inversa de Laplace, también hubo discusiones acerca de la
interpretación del problema, donde el principal conflicto fue dar con que los resortes tienen
coeficientes negativos y no puede existir tal situación.
Creemos que este problema fue un gran ejemplo para poner en práctica todos los
conocimientos adquiridos a lo largo del curso de Ecuaciones Diferenciales, y aun
cumpliéndose los objetivos de este proyecto, llevamos con nosotros fuertes herramientas
para finalizar exitosamente la carrera de Ingeniería Mecatrónica y desarrollarnos en el
disputado mundo laboral.

11. Bibliografía
 J. Agustín Flores Ávila (2018). “Capítulo V: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales”.
Región Lagunera, Dgo. México.