Aprendiendo de las matemáticas . . .

1. ANALISIS DE
FOURIER
Una propuesta motivacional
para su enseñanza
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2. INTRODUCCION
 El Análisis de Fourier es parte del
contenido del curso de Matemáticas
V que se imparte a los alumnos del
IV semestre de Ingeniería Eléctrica,
Electrónica y Mecánica del
Subsistema de Institutos
Tecnológicos en México.
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3. INTRODUCCION
 Previamente cursaron:
 Cálculo.
 Algebra Lineal
 Análisis Vectorial y
 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
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4. INTRODUCCION
El contenido específico del curso es:
 Series de Fourier
 Transformadas Directa e Inversa de
Fourier y Laplace
 Aplicaciones de los temas anteriores
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5. INTRODUCCION
 El objetivo general del curso es que
el alumno adquiera los conocimiento
necesarios para abordar con
posibilidades de éxito los problemas
propios de la especialidad y que se
presentan en materias como
Vibraciones, Transferencia de Calor,
Comunicaciones, Redes Eléctricas y
Control, entre otras materias.
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6. INTRODUCCION
 Tradicionamente el curso se ha dado
en forma expositiva, debido a:
 Por un lado el contenido matemático
que es de por si complejo y,
 Por el otro, el desconocimiento que
tienen los profesores de
matemáticas de las aplicaciones del
tema.
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7. INTRODUCCION
 Estoha traido como
consecuencia un bajo
rendimiento de los alumnos que
cursan la materia, lo que se
detecta por su deficiente
aprovechamiento en las
materias de la especialidad,
según reportan las academias
correspondientes.
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8. INTRODUCCION
 (Por lo demás, como los profesores de la
especialidad están deficientes en matematicas,
los problemas generados adquieren otra
dimensión)
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9. INTRODUCCION
 Esto fue lo que nos motivó para
aproximarnos a la enseñanza del
Análisis de Fourier desde la
perspectiva de sus aplicaciones
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10. MARCO TEORICO
 Esta propuesta parte de aceptar el
carácter social del conocimiento
matemático, por lo que siendo un
producto del hombre en su
interaccion social, el estudiante
tiene que construir su propio
conocimiento en su contexto
particular.
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11. MARCO TEORICO
 Se apoya en el Juego de Marcos en
el sentido que presentamos el
conocimiento en diversos
escenarios, a saber:
 Discurso didáctico (Clase en el aula)
 Graficador Matemático (Math Cad)
 Simulador Electrónico (Work Bench)
 Laboratorio de Electrónica.
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12. MARCO TEORICO
 Aproximándonos asi al objeto del
conocimiento desde diferentes vías
lo que nos proporciona visiones
alternas del mismo y mediante una
acción integradora, que intentamos
alcanzar a través de:
 La manipulación de los conceptos
matemáticos en la graficación la
simulación y el laboratorio.
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13. MARCO TEORICO
 La comunicación inter e intragrupal
que se da al resolver una serie de
cuestionarios
 Y finalmente la reflexión individual.
 Pretendemos que el alumno
construya el conocimiento
específico.
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14. INTERMEDIO
Breve charla entre
dos cómicos de la
legua.
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15. INTERMEDIO
 Marcelo: -¡Qui’ubo Tintanillo!.
 Tin Tán: -¡Qui’ubo Marcelino!.
 Marcelo: -¿On’tabas que hace
mucho que no te vicentiaba?.
 Tin Tán: -Andaba en Chapultepec,
Marcelino.
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16. INTERMEDIO
 Marcelo: -¿En Chapultepec?. ¿Y que
andabas haciendo?.
 Tin Tán: -¡¡Pescando Marcelino!!.
 Marcelo: -¿Y que pescabas?.
 Tin Tán: -¡Kauiles!
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17. INTERMEDIO
 Marcelo: -¿Kauiles?. ¿Y cómo son los
Kauiles Tintanillo!.
 Tin Tán: -¡Pos no sé Marcelino!. ¡¡No
pesqué ninguno!!.
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18. MARCO TEORICO
 Nuestra hipótesis de partida es que
el problema del aprendizaje de las
matemáticas es un problema de
representación de los conceptos y
de significado de las operaciones
matemáticas.
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19. MARCO TEORICO
 Esta hipótesis nos parece plausible,
ya que al estudiar la historia de la
construcción del conocimiento
matemático, encontramos que
cuando han surgido problemas en el
proceso, siempre han estado ligados
de una u otra forma a una nula ó
deficiente representación.
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20. MARCO TEORICO
 Es el caso de los número complejos.
Courant [4] nos dice: “que (los
números complejos) fueron
introducidos por los matemáticos en
el siglo XVI mediante símbolos para
representar las raíces cuadradas de
números negativos y poder así
resolver todas las ecuaciones
cuadráticas y cúbicas”.
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21. MARCO TEORICO
 Sin embargo, estos matemáticos “no
fueron capaces de explicar el
significado exacto de estos simbolos,
que eran considerados con cierto
temor supersticioso” ante la falta de
representación.
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22. MARCO TEORICO
 “No es hasta que casi al mismo
tiempo Wessel (1745-1818), Argand
(1768-1822) y Gauss (1777-1855)
dan la interpretación (una
representación) geométrica de estos
números, en que su manejo resulta
más natural desde un punto de vista
intuitivo”.
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23. MARCO TEORICO
 Lo mismo sucedió con la discusión
de casi 150 años alrededor del
cálculo y su manejo vía los
infinitésimos. ¿Qué sentido tiene
una cantidad infinitamente pequeña
que luego aparece y luego se
desvanece?.
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24. MARCO TEORICO
 Siguiendo con Courant: “Newton y Leibniz
sabían como obtener integrales y
derivadas mediante pasos al límite, pero
los fundamentos del cálculo se hallaban
oscurecidos por la incapacidad para
reconocer (y representar el . . .) al
concepto de límite el derecho exclusivo
como fuente de los nuevos métodos”.
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25. MARCO TEORICO
 Continua Courant: “Parece evidente
que conceptos intuitivos tales como
la superficie o la pendiente de una
curva tienen un significado absoluto
en si, sin necesidad de la idea
auxiliar de los polígonos inscritos o
rectas secantes y de sus límites”.
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26. MARCO TEORICO
 Leibniz -dice Courant- llamó a la
derivada cociente diferencial. Esas
cantidades infinitamente pequeñas
eran consideradas como una nueva
clase de números -representable
como-, no iguales a cero, sino más
pequeñas que cualquier número
real.
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27. MARCO TEORICO
 Otro ejemplo es el de la discusión de
mas de 120 años alrededor de la
cuerda vibrante. ¿Es posible que la
solución de una problema específico
pueda aceptar diferentes
representaciones?.
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28. PROPUESTA
 El curso lo iniciamos haciendo un
estudio general sobre las Series,
fijándonos como objetivo:
 Que el alumno sepa lo que es una
Serie, conozca la clasificación de las
Series (convergente, divergente) y
sepa utilizarlas para aproximar
ciertos resultados en ingeniería.
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29. PROPUESTA
 El curso formal lo iniciamos justificando el
Análisis de Fourier, específicamente las
Series de Fourier, como una técnica
matemática que nos permite emplear los
métodos estudiados en el curso de
Ecuaciones Diferencial para resolver una
ecuación integro-diferencial cuando la
señal de excitación no es derivable en
ciertos puntos del dominio
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30. PROPUESTA
 Damos el ejemplo de un circuito RC
en serie como el mostrado en la
figura:
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31. PROPUESTA
 Conectado a una fuente de
alimentación senoidal rectificada en
onda completa como la de la
gráfica:
14
10
v( t )
−1 0
− .0167 t .017
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32. PROPUESTA
 La representación analítica de esta
señal es:
v ( t) := 12 sin ( ω0⋅ t)
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33. PROPUESTA
 Con:
ω := 120⋅π
0
 Que es la frecuencia angular de la
señal de energía eléctrica de uso
común con frecuencia 60 cps y
amplitud 12 volts.
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34. PROPUESTA
 Como sabemos, esta señal no es
derivable en las esquinas que hace
su gráfica, específicamente en los
puntos:
t = ( n / 120 )
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35. PROPUESTA
 El modelo matemático de este
circuito es la ecuación integral
siguiente:
1 ⌠
v ( t ) := R ⋅ i( t ) + ⋅  i( t ) d t
C ⌡
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36. PROPUESTA
 Esta característica -no derivabilidad
de la señal de excitación en ciertos
puntos de su dominio- invalida las
técnicas aprendidas en el curso de
Ecuaciones Diferenciales para
resolver una ecuación integro-
diferencial.
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37. PROPUESTA
 Este es el caso de un filtro RC
conectado a un rectificador de onda
completa en una fuente de
alimentación.
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38. PROPUESTA
 Circuito de la fuente en onda
completa:
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39. PROPUESTA
 En este momento le estamos
indicando al alumno que lo que
aprenda en el Tema va a tener un
uso muy específico.
 “Hacer el análisis de una fuente de
alimentación en onda completa, que
es uno de los primeros circuitos que
se estudian en el curso de Circuitos
Electrónicos I”.
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40. PROPUESTA
 Asi buscamos crear el conflicto
cognitivo en el alumno al señalarle
que existen problemas propios de su
especialidad que solamente podrá
resolver si conoce y maneja las
Series de Fourier y que esta solución
le va proporcionar información que
para el Ingeniero es fundamental.
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41. DESARROLLO
 Enseguida damos la definición de
Serie de Fourier como la
representación alterna de una
función periódica, con período finito,
en términos de.
∞
A0
f ( t ) :=
2
+ ∑ ( A n⋅ cos ( n⋅ ω0⋅ t) + Bn⋅ sin ( n ⋅ ω0⋅ t ) )
n =1
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42. DESARROLLO
 Hacemos diversos ejemplos con funciones
que cumplen los requisitos para ser
representables mediante una Serie de
Fourier.
 Aquí estamos abordando la algoritmia y
pretendemos que el alumno adquiera
habilidad para obtener la Serie de Fourier
como la representación alterna de ciertas
funciones.
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43. DESARROLLO
 Cuestionamos la condición de
existencia de una integral indefinida
–como una antiderivada- y de una
integral definida –como el área
debajo de una curva- y asi
descubrimos las condiciones que
debe cumplir una función para que
sea representable mediante una
Serie de Fourier.
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44. DESARROLLO
 Empleamos el Math Cad para
observar la aproximación numérica y
gráfica de la serie a la función a
medida que tomamos más términos
de la serie.
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45. DESARROLLO
 En esta etapa el alumno está
manipulando los elementos
matemáticos y los está relacionando
con la reprentación gráfica haciendo
objetivo el discurso matemático
yendo más allá de la simple
memorización.
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46. DESARROLLO
 Regresamos a nuestra señal inicial y
obtenemos su Serie de Fourier, la
que nos queda como:
cos ( 240πn ⋅ t )
15
24 48
v ( t) :=
π
−
π
⋅ ∑ ( 4n 2
−1)
=
n 1
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47. DESARROLLO
 Cuya gráfica utilizando 15 términos
de la Serie es:
14
10
v( t)
−1 0
− .0167 t 0.0170
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48. DESARROLLO
 Que como ya habíamos mostrado, y
anticipado, en la serie de ejercicios
que realizamos, representa la misma
función en la medida que una
tabulación numérica y la gráfica de
la Serie y de la función original son
“idénticas”.
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49. DESARROLLO
 Aquí encontramos la razón de ser de la
Serie de Fourier.
 Una función que no es derivable en
ciertos puntos de su dominio tiene una
representación alterna mediante una
función-serie que es derivable en todo su
dominio y ahora si podemos emplear la
técnica de las ecuaciones integro-
diferenciales para estudiar nuestro
circuito.
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50. DESARROLLO
 Resolvemos nuestro circuito con
carga en el condensador y
encontramos que el voltaje en tal
elemento está dado por:
sin ( 240n ⋅ πt − φ( n ) )
40
24 24
V( t ) :=
π
−
π⋅ C
⋅ ∑ ( 2
n ⋅ Z( n ) ⋅ 4n − 1 )
n =1
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51. DESARROLLO
 Con:
 C = 0.001 faradios es el valor del
condensador en el circuito.
 R = 1000 Ohms es el valor de la
resistencia en el circuito.
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52. DESARROLLO
 Y donde:
2
Z( n ) := R + 
2  1 

 120n ⋅π⋅C 

 Es la impedancia y.
φ( n ) := atan 
1 

 120πn R⋅ C  2
2  1 
Z( n ) := R +  
 120n ⋅π⋅C 
 1 
 Es el angulo 120πn R⋅C 
φ( n ) := atan  de fase del circuito.
 
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53. DESARROLLO
 La gráfica de la señal de salida
medida en el condensador es:
14
10 24
π
V( t)
−1 0
− 0.0169 t 0.017
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54. DESARROLLO
 Y ahora si estamos en posibilidad de
encontrarle significado y representación a
la Serie de Fourier:
 La parte constante de la Serie, 24/π
representa la Componente Continua de la
Señal de entrada y es el Valor Promedio
de esta señal.
 Es el valor constante de salida que es el
que queremos obtener en la fuente de
alimentación. Es el valor deseable.
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55. DESARROLLO
 La parte alterna de la Serie:
s in ( 240n ⋅π − φ n ) )
20
24 t (
πC
⋅
⋅ ∑ ( 2
n ⋅Z( n ) ⋅ 4n − 1 )
n =1
 Representa la Componente Alterna
de la señal de entrada y aparece a la
salida como un ruido. Esta
componente es indeseable
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56. DESARROLLO
 En el Math Cad manipulamos los
parámetros del circuito (Resistencia y
Condensador) y vemos bajo que
condiciones obtenemos los mejores
resutados, a saber:
 Señal constante óptima con
 Mínima señal alterna a la salida.
 Aquí inducimos en el alumno la reflexión
mediante una serie de preguntas.
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57. DESARROLLO
 Esta es información que nos está
dando la matemática.
 Posteriormente pasamos al Work
Bench y simulamos un circuito como
el que estamos estudiando
verificando que las predicciones
matemáticas se cumplen.
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58. DESAROLLO
 En esta etapa el alumno está
manipulando elementos virtuales del
circuito mediante la simulación y los
está relacionando con la expresión
matemática y gráfica reafirmando el
discurso matemático, yendo más
allá de la simple algoritmia
matemática.
10/18/12 58

59. DESARROLLO
 En seguida pasamos al laboratorio y
armamos el circuito con los
componentes físicos comprobando
las predicciones del análisis
matemático y de la simulación.
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60. DESARROLLO
 En esta etapa el alumno está
manipulando los elementos físicos
reales del circuito y los está
relacionando con la expresión
matemática, gráfica y la simulación,
cerrando finalmente el camino que
nos trazamos desde el principio.
10/18/12 60

61. RESULTADOS
 Entre los resultados obtenidos al
enseñar al Análisis de Fourier en esta
forma son:
 El grupo muestra un marcado interés en
el tema. Lo que detectamos por su
participación en clase, mediante
aclaración de dudas, contestar
preguntas, entregar tareas, asistencia
casi al 100% a clase e interesarse en el
tema al buscar ampliar el conocimiento
por su cuenta.
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62. RESULTADOS
 El aprovechamiento de los alumnos es
muy bueno en general y excelente en
ciertos casos, lo que hemos detectado al
entrevistar a los profesores de la
especialidad, los que reportan:
 Interés en los temas abordados.
 Insistencia en el uso de los métodos
matemáticos para resolver los
problemas.
 Insisivos en las preguntas que plantean.
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63. RESULTADOS
 Por ser el contenido de la materia
particularmente complejo, los alumnos
por lo general se inscribían en el grupo
donde el profesor era menos exigente,
lo que les garantizaba aprobarla. Al
aplicar este método para enseñar
Fourier, nuestro grupo ha pasado de
tener cuando mucho 8 alumnos a tener
en el último semestre 23 alumnos mas 3
oyentes del otro profesor.
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64. OBSERVACIONES
 Al hablar de aplicaciones no hemos
encontrado ninguna dificultad para
que el alumno sepa de que se trata.
Es decir, no existe ningún dispersor
de esfuerzos.
 La paquetería utilizada es muy
amigable por lo que el alumno no
dedica esfuerzos adicionales para
aprender su manejo.
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65. OBSERVACIONES
 Por el enfoque que le deamos al curso
continuamente estamos utilizando el
internet para obtener información adicional
por lo que el alumno desarrolla el hábito de
aprender por si mismo.
 Integramos un grupo de alumnos que para
cubrir sus prácticas profesionales están
programando Visual Basic para hacer
simulación mas elaborada enfocada
directamente a nuestros objetivos.
10/18/12 65

66. OBSERVACIONES
 Lo que dice Moreno A. en [15] acerca de
que:
 “ . . Las acciones cognitivas están mediadas
por los instrumentos y los conocimientos
producidos permanecen instrínsecamente
vinculados a dichos instrumentos”,
 Lo tomamos en consideración y
proponemos representaciones y significados
alternos para los mismos conceptos y
operaciones matemáticas.
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67. CONCLUSIONES
 Por los resultados obtenidos
podemos decir que la representación
y el significado de los conceptos y
las operaciones matemáticas son
fundamentales en el proceso de
construcción del conocimiento
matemático.
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68. CONCLUSIONES
 Al aproximarnos al objeto del
conocimiento desde diferentes vías
es posible obtener información
alterna del mismo y al integrar estos
elementos, aparentemente
dispersos, tendremos una visión
global del objeto a conocer
definiendo asi lo que llamamos
“conocimiento matemático”.
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69. CONCLUSIONES
 Finalmente podemos decir que si al
diseñar actividades para estudiar
las Series de Fourier están
presentes elementos que despierten
el interés del alumno, la
construcción del conocimiento
matemático se dará de manera
natural con una gran carga de
significado.
10/18/12 69

70. BIBLIOGRAFIA
1. Aleksandrov, A.D. y Kolmogorov, a. N.
(1976) “Visión General de la
Matemática” La matemática: Su
contenido, métodos y significado”.
Editorial Alianza. Madrid.
2. Avila, R. (1998) “La enseñanza del
Cálculo” Tesis Doctoral.
3. Brousseau, G. (1993) “Fundamentos y
Métodos de la Didáctica de las
Matemáticas”. Tomado de: Lecturas en
Didáctica de las Matemáticas.
10/18/12 70

71. BIBLIOGRAFIA
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es la Matemática?. Aguilar Ediciones, S.
A.; Madrid, España.
5. Cheng, D. K. (1966) Analysis of Linear
Systems. Addison-Wesley Pub. U. S. A.
6. Churchill, R. V. (1972). Operational
Mathematics. International Student Edit.
U. S. A.
7. Churchill & Brown; (1987); Fourier
Series and Boundary Value Problems.
McGraw Hill Int. Edit. U. S. A.
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72. BIBLIOGRAFIA
8. Duval, R. (1988) “Gráficas y Ecuaciones.
La articulación de dos registros”.
Traducción de B. M. Parra. Tomado de
la: Antología de Educación Matemática.
9. Foucault, M. (1985) Las Palabras y las
Cosas; Siglo XXI Edit. México.
10. Hit, F. (1996) Educación Matemática y
Uso de Nuevas Tecnologías. Tomado de:
“Perspectivas en Educación Matemática”
10/18/12 72

73. BIBLIOGRAFIA
11. Hsu; H. P. (1998); Análisis de Fourier;
Edit. Iberoamericana; México.
12. Kuhn, T. (1996). ¿Qué son las
revoluciones científicas? Y otros ensayos.
13. Millman & Halkias (1972) Integrated
Electronics Int. Student Edit. U. S. A.
14. Moreno, L y Santos, L. (2001) De la
herramienta al Instrumento: una
perspectiva informática. Tomado de:
Educación Matemática Vol. 13 No. 2
10/18/12 73

74. BIBLIOGRAFIA
15. Moreno, L. (2001) Cognición, mediación
y tecnología. Cometarios al libro: Origins
of the Modern Mind” de M. Donald. En
Avance y Perspectiva Vol.20
16. Simón, K. R. (1968) Mecánica. Aguilar
Editores. España
17. Williams, W. E. (1975) Series de Fourier
y problemas con valores en la frontera;
Limusa, México.
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