fluidos

1. CLASIFICACIÓN DE LOS
FLUJOS
MECÁNICA DE FLUIDOS I
DOCENTE: Ing. Carlos A. Loayza Rivas

2. Clasificación de los flujos
Existen diferentes criterios para clasificar un flujo.
Este puede ser:
• Permanente o no permanente;
• Uniforme o no uniforme;
• Laminar o turbulento;
• Supercrítico, crítico o subcrítico;
• Tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o
irrotacional,
• Incompresible o compresible, etc.

3. Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como
variable.
0; 0; 0 ; .
  
  
  
v p
etc
t t t

Flujo permanente.
 El flujo es permanente si las
características hidráulicas del flujo en
una sección no cambian con respecto
al tiempo
 o bien, si las variaciones en ella son
muy pequeñas con respecto a sus
valores medios y éstos no varían con
el tiempo.
Matemáticamente se puede representar:
Es cuando las características
hidráulicas cambian con
respecto al tiempo.
Matemáticamente se puede
representar:
Flujo NO permanente.
0; 0; 0
  
  
  
v p
t t t

; etc.
FLUJO PERMANENTE Y NO PERMANENTE

5. FLUJO UNIFORME Y NO UNIFORME
Esta clasificación obedece a la utilización del espacio
como variable.
Flujo Uniforme
• Es cuando las variables
hidráulicas del flujo en una
longitud de su desarrollo
(velocidad, presión, densidad,
etc.) no cambian con respecto al
espacio.
Matemáticamente se puede
representar:
0 ; 0 ; 0
  
  
  
v p
L L L

Flujo NO uniforme
• Si las características hidráulicas
cambian con respecto al espacio,
tendremos un flujo no uniforme o
variable.
0 ; 0 ; 0
  
  
  
v p
L L L

Matemáticamente se representa.

6. • Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas:
una con tubería de diámetro constante y la otra con tubería de
diámetro decreciente.

7. FLUJO UNIFORME
FLUJO NO UNIFORME
FLUJO UNIFORME Y NO UNIFORME

8. FLUJO UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL.
Es cuando sus características hidráulicas o variables hidráulicas,
cambian en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las
tres direcciones. ( ESTRICATAMENTE HABLANDO UN FLUJO ES
SIEMPRE TRIDIMENSIONAL)
Flujo tridimensional
El flujo es bidimensional
Cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos
paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dicho
plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene
gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) en dos direcciones
exclusivamente.
El flujo es unidimensional
Cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una
coordenada curvilínea en el espacio usualmente la distancia medida a
lo largo del eje de la conducción.

9.  El flujo de un fluido real no puede ser completamente
unidimensional, debido al efecto de la viscosidad, ya que la
velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero en otro
punto es distinto de cero; sin embargo bajo la consideración de
valores medios de las características en cada sección se puede
considerar unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en
hidráulica, por las simplificaciones que trae consigo.
 En resumen un flujo es siempre tridimensional. Sin embargo
cuando en el flujo prevalece una dirección es considerada
unidimensional, como ocurre con las tuberías y los canales. En el
caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede
prescindir de una segunda dimensión para describir al flujo,
debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.

10. LAMINAR Y TURBULENTO
Se clasifica a los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas
viscosas y de las fuerzas de inercia.
Flujo Laminar Flujo turbulento
Flujo característico de
velocidades bajas, de
trayectorias ordenado,
rectilíneas y paralelas.
Flujo característico de
velocidades ordinarias
(altas), de trayectoria errática
o desordenada.
No existe mezcla macroscópica o
intercambio transversal entre
partículas.
Existe mezclado intenso de las partículas.

11. 3 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
( )

    

 

   

 
 


  
 

   
 
 

 
I
I
I
T
V
I
m
F ma a L LT
L
F L L V
T
F L V
dV V
F A L L VL
dy L
F uVL
F L V VL
F VL
VD VD
Existe un parámetro que es función , y cuyo valor permite
diferenciar el flujo, es decir, si es laminar o turbulento, denominado
Número de Reynolds
 
 
 

VD
Re

12. DEDUCCION MATEMATICA DEL
NUMERO DE REYNOLDS
FLUJO LAMINAR: Un flujo es laminar
si el número de Reynolds es menor a
2000.
Re<2000
FLUJO TURBULENTO: Un flujo es
turbulento si el número de Reynolds es
mayor a 4000.
Re>4000
 Flujo en transición
2000<Re>4000

13. FLUJO ROTACIONAL E IRROTACIONAL
Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot adquiere valores
distintos de cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si
en su seno del campo de flujo, el vector rotacional de es igual a cero para
cualquier punto e instante.
V
V
Flujo Lineal Irrotacional Flujo Lineal Rotacional
Si bien el término rotación implica un
giro de partículas, esto no significa
que es rotacional todo movimiento
efectuado de acuerdo a una
trayectoria curva o bien que todo
movimiento rectilíneo es Irrotacional.
El movimiento a bajas
velocidades de un
fluido viscoso, es
generalmente
rotacional.

14. Descripción del Movimiento
El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está
en condiciones de conocer:
 El cambio de posición de una partícula
 La variación de la velocidad en un punto.
Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido:
Método de Euler: También conocido como local, consiste en elegir un
punto y determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada
instante sin considerar el camino que después siga cada partícula
individual (trayectoria). Elegida la posición de una partícula en el
espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a
saber:

15. v v(r, t)

x y z
V V (x,y,z,t)i V (x,y,z,t)j V (x,y,z,t)k
  
Las variables dependientes son: Vx, Vy y Vz
Las variables independientes son: x, y, z, t.
r(x,y,z)

16. Entonces la posición de la partícula se tiene conocida
en cualquier instante si el vector de posición se
determina como función del tiempo “t” y la posición
inicial o sea:
o
r
0
( , )
r r r t

0
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
r ai b j ck
r x a b c t i y a b c t j z a b c t k
  
  
Las variables dependientes son: x, y, z.
Las variables independientes son: a, b, c, t.
De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo
analítico es más simple. Es el que normalmente se emplea en los
libros de mecánica de fluidos.
r

17. Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente
Se supone que en un instante “t0” se conoce el
campo de velocidad de un flujo.
Línea de Corriente
se define línea de corriente toda línea trazada
idealmente en el seno líquido de modo que la
tangente en cada uno de sus puntos proporcione la
dirección del vector velocidad correspondiente. No
existe posibilidad de que dos líneas de corriente
tengan un punto común, pues ello significaría que
en el punto de intersección existieran dos vectores
distintos.
V
V
( )
Lc t



18. Si el flujo es no permanente para otro instante “t” la
configuración de las líneas de corriente es otra. Si el
flujo es permanente la configuración de dos líneas de
corriente es la misma en cualquier momento.
Línea de corriente para un instante “t”

19. Ecuaciones de la línea de corriente
En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el
punto “1” está infinitamente próximo a “2”, de manera que se puede
considerar que
Como son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego:
1 2
 
V V V
1 2
 
V V V
V y dr

20. 0
V dr
 
;
  
V dr v dr sen u
u
0 0

   
 V dr
0
  
x y z
i j k
V dr V V V
dx dy dz
      0
     
y z x z x y
i V dz V dy j V dz V dx k V dy V dx

y z
V dz V dy
Donde: = Vector unitario perpendicular al plano “0”, “1” y “2”
Como son paralelos

21. ..............(1)

y z
V V
dy dz
...............(2)

x z
V V
dx dz
...............(3)
 y
x
V
V
dx dy
Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):
 
y
x z
V
V V
dx dy dz

22.  
, , , ,
x y z
V V y V x y z t


La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente
para un instante “t”. Donde, recordamos que:
•Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que
sigue una partícula con el transcurrir del tiempo.

23. dr
V
dt

...........(1)
dr Vdt

 
............ 2

   

   

x y z
dr dxi dy j dzk
V V i V j V k
 
    
x y z
dxi dy j dzk V i V j V k dt
.............(3)
  
x
x
dx
dx V dt dt
V
.............(4)
  
y
y
dy
dy V dt dt
V
.............(5)
  
z
z
dz
dz V dt dt
V
Luego (2)→(1)

24. y
x z
V
V V
dx dy dz
 
 
, , , ,
 
x y z
V V y V x y z t
Comparando (3), (4), (5) y acomodando:
La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la
Trayectoria.
“Si el flujo es no permanente la línea de corriente y
trayectoria son líneas distintas, pero si el flujo es
permanente significa lo mismo”.
La razón está en que el flujo permanente el campo de
velocidad no cambia con el tiempo.
- Toda partícula que pase por “a0” sigue la misma
trayectoria.
- En cada punto a0, a1, … an el vector velocidad permanece
igual

25. 0 0
a V

1 1
a V

n n
a V

Todas las partículas que pasen por
Todas las partículas que pasen por
Todas las partículas que pasen por
Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las líneas de corriente
que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas líneas de corriente
definen una superficie que se denomina tubo de flujo ó tubo de corriente y que
no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como
vena líquida o vena fluida. Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección
se le denomina filete hidráulico.
Tubo de Flujo

26. CAMPO POTENCIAL, SOLENOIDAL Y ARMONICO
CAMPO POTENCIAL
Es un campo vectorial en el que existe una función escalar (denominada función
potencial o potencia), tal que:
F  
Donde:
F = campo potencial vectorial
 = función escalar o función potencial de F

27. ;
rot F F 
 
Calculemos el donde
i j k
F
x y z
x y z
  
  
  
  
  
  
  
     
0 0 0
  
i j k
0
 
F
Lo que demuestra que si el campo de es potencial, es Irrotacional; lo cual
justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo
Irrotacional.
F
2 2 2 2 2 2
     
     
        
     
           
     
     
i j k
y z z y x z z x x y x y

28. Para el caso particular del campo vectorial de velocidades:
V 
 
V  Es un campo potencial de velocidades
 = función potencial de velocidades
Verificándose también: 0
V
 
Lo que justifica que el campo potencial de velocidades es un campo
Irrotacional.

29. Es un campo vectorial, en el que existe una función vectorial (denominada
función Solenoidal), tal que:
 
F W
Donde:
F = Campo solenoidal
W F
= función solenoidal vectorial de
Calculemos la divergencia de F
??
 
F F W
 
    ??
       
F W W
CAMPO SOLENOIDAL

30.  
   
   
 
      
   
 
     
 
   
y y
z z x x
w w
w w w w
W i j k
y z x z x y
  ??
  
W
 
 
   
 
      
 
       
 
   
   
        
 
     
 
y y
z z x x
w w
w w w w
i j k i j k
x y z y z x z x y
 
2 2
2 2 2 2
   
 
 
   
       
   
 
   
           
 
   
y y
z z x x
w w
w w w w
W
x z x y y x y z z y z x
Sumando términos obtenemos:
  0
  
W
F 0
 
“Lo que demuestra que si el campo de es
solenoidal, se verificará que su divergencia es
nula”.
F
Además se cumple que es normal a para
que el producto escalar sea cero
 F
 
90
  

31. Para el caso particular del campo de velocidades:
V W
 
V = Es un campo solenoidal de velocidades
W V
= Es una función solenoidal vectorial de
Verificándose también: 0
 
V
“Condición de flujo incompresible (líquidos)”.

32. Es un campo vectorial, que sucede para flujos incompresibles y que además es
Irrotacional.
Por ser incompresible; el campo cumple:
0
 
V Condición de campo Solenoidal
Por ser Irrotacional; el campo cumple:
0
 
V y V 
  condición de campo potencial
  
( – ) = 0
(

–  ) = 0
2
0
 
 Ecuación de Laplace o Laplaceano
En resumen un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace,
donde recibe el nombre de función armónica”.

CAMPO ARMONICO O LAPLACEANO

33. Movimiento plano es aquel que es idéntico en todos los planos
perpendiculares a una dirección, llamado dirección de
identidad.
FUNCIÓN CORRIENTE (ѱ)
Se puede suponer un líquido incomprensible en movimiento
bidimensional, permanente, que se desarrolla en planos
perpendiculares al eje “z” ,de modo que su estudio puede
hacerse en el plano x y; se puede considerar luego una familia
de L.C. (líneas de corriente), las que no cambiarán con el
tiempo por tratarse de un movimiento permanente.
f(x,y,z)
 
MOVIMIENTO PLANO DE FLUIDOS

34. Familia de líneas de corriente
De la ecuación analítica de las líneas
de corriente (flujo bidimensional)

35. Definición: La función corriente es una función
escalar que define a una familia de líneas de
corriente. Esta función tiene un valor constante
diferente para cada línea de corriente.
 
, .
 
x y Cte
En el punto “P” sobre una línea de
corriente, los tres vectores indicados
en la figura son normales entre sí, de
modo que se cumple:  
V k
i j
x y
 
  
 
0 0 1
i j k
V
x y az
  
  

 
( )
 
 
 
V i j a
y x
( )
 
x y
V V i V i b
Pero:

36. Comparando (a) y (b)
x
y
V
y
V
x




 

Siendo las
componentes de la
velocidad en
coordenadas
cartesianas.
En coordenadas polares

37. De la ecuación analítica de las líneas de corriente para
un flujo plano:  y
x
V
V
dx dy
Desarrollando: 0
   
x y x y
V dy V dx V dy V dx
Sustituyendo:
 
 
 

 
 

 
x
y
V
y
V
x

en la expresión anterior, resulta:
0
 
 

dy dx
ay x
0


d
.

 Cte
Integrando, resulta:
“Lo que confirma que la función
corriente “ψ” tiene un valor constante
diferente para cada línea de corriente”.

38. Además sabemos que V y 
 son ortogonales es decir:
Siendo:
 
    
 
 

x y
V V i V j y i j
x y
x
V
y




y
V
x


 

Donde se conoce que:
Luego: y x
V i V j

   
Además si son ortogonales 0
   
V y V
 
   
x y y x
V V i V j V i V j

     
   
 x y y x
V V V V V
0
  

V

39. Conclusiones:

40. Consideremos dos líneas de corriente separadas una distancia
“n” normal a las dos líneas de corriente según Fig.
Demostración:
1 2
y
 
1 2,
 
y

42. El estudio del flujo plano es posible solo si se cumple que el campo de
velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una
función escalar (∅), llamada función potencial tal que:
Donde recordamos que si el campo de velocidades es potencial, es
irrotacional, los cual justifica que se pueda decir indistintamente campo
potencial o campo irrotacional.
V  

43. Es una función escalar que se define a una familia de líneas equipotenciales. Esta
función tiene un valor constante diferente para cada línea equipotencial.
Y
n ∅3 ∅2 ∅1
V
Z º X
∅ (X, Y) = Cte

44. Por definición de campo potencial de
velocidades, se sabe:
Donde: V = Campo potencial de
velocidades
∅ = Función potencial de
velocidades
.........(1)
 
V 

45. Desarrollando (1):
Pero
Comparando (a) y (b)
Componente de la velocidad en
coordenadas cartesianas, relacionada
con la Función Potencial.
V i j
x y
 
 
 
  
 
 
 
.................( )
 
  
 
 
V i j a
x y
......................( )
 
x y
V V i V i b

 


 



x
y
V
x
V
y

46. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LAS LÍNEAS
EQUIPOTENCIALES

47. Es otro vector ≠ del vector , pero que define la dirección de la
línea equipotencial , tangente a
De la ecuación analítica de las líneas de corriente tenemos:
(1)
 y
x
V
V
dx dy
:

 V
" "

" "

y
 
x y
y x
V V
V V
 
 
 
 

 
 
Como son líneas ortogonales, la ecuación analítica de las líneas
equipotenciales se obtiene sustituyendo en (1)
como se aprecia en la figura anterior,
luego;
 
2


y x
V V
dx dy

48. La expresión (2), constituye la ecuación analítica de las líneas equipotenciales.
Desarrollando (2):
 
0........ 3
    
x y x y
V dx V dy V dx V dy
Sustituyendo:
 
3
 
   
 
x y
V y V en
x y
 
0
 
  
 
dx dy
x y
 
0
 
 
 
dx dy
x y
 
0
d 
Integrando:
cte
  “Lo cual confirma que la función potencial tiene un valor
constante diferente para cada línea equipotencial”.

49. Conclusiones
 El módulo de es igual al módulo del gradiente de ,
Puesto que entonces:
V " "

V 
 
...........(1)
 
V
 El módulo del gradiente de es la derivada de según la normal a las
líneas equipotenciales
" "


 Cte
" "

...........(2)
'

 
n


Pero de (1):
V

 
Luego:
.............(3)
'



V
n

'
V
n





50. = separación entre dos líneas equipotenciales normales a
'
n
 
y
 
“La velocidad es inversamente proporcional a la separación de los equipotenciales”.

51. ECUACIONES DE CAUCHY – RIEMANN.
Del desarrollo anterior se desprende que las funciones no son
independientes sino que están relacionadas entre sí a través de las siguientes
expresiones, conocidas como ecuaciones de Cauchy – Riemann
" " " "
y
 
En coordenadas cartesianas
x
y
V
y
V
x




 

(1)
“Componentes de la velocidad en coordenadas
cartesianas, relacionada con la Función Corriente.”
(2) “Componente de la velocidad en coordenadas
cartesianas, relacionada con la Función Potencial.”

52. Comparando (1) y (2)
“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en
coordenadas cartesianas”
En coordenadas Polares
(3)
“Componentes de en coordenadas polares,
relacionada con la Función Corriente.”
V
“Componentes de en coordenadas polares,
relacionada con la Función Potencial.”
V

53. Comparando (3) y (4):
“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en
coordenadas polares”.

54. RED DE CORRIENTE
Es una representación diagramático de las líneas de corriente y
equipotenciales del escurrimiento, por lo tanto es una malla formada por la
función de corriente y la función potencial .
Esta malla resulta ser cuadrada.

 Cte 
 Cte

55. Sabemos que:
'
 
 
 
V y V
n n
 
Igualando ambas expresiones:
'
n n
 
 

 
Tomemos derivadas ordinarias:
'
d d
dn dn
 

Si tomamos: resulta que , lo que significa que las líneas
corrientes y las equipotenciales, además de ser ortogonales formarían una
malla de cuadrados.
,

d d
  '
dn dn

En conclusión, el estudio del flujo
plano en un cierto contorno, se
refiere a la obtención de la red de
corriente para ese contorno y a partir
de la red de corriente, que es única
en cada contorno, deducir la
distribución de velocidades o la
distribución de presiones en las
zonas de interés.
En el diseño de una presa de tierra es
indispensable contar con el trazo de
la red de corriente.

58. Ejercicio 2
  
2 2
V 6x yzi 8xy z j W k
Hallar el componente W, sabiendo que para Z = 0; se tiene W = 0
y que la divergencia de dicho campo es 40 xyz.
  
V 40 xyz
 
 
  
    
 
  
 
x y z
i j k iV j V k V
x y z
40
y
x z
V
V V
xyz
x y z

 
  
  
   
  
  
  
2 2 z
V
6x yz 8xy z 40 xyz
x y z
Solución
•Se tiene el siguiente campo de velocidades;

59. 
  

z
V
12xyz 16xyz 40xyz
z



z
V
12xyz
z
  
z
V 12xyz z
  
 
z
V z
z
0 0
V 12xy z z

2
z
z
V 12xy
2
2
6
z
V xyz

2
6
W xyz
 

60. F
3.- QUE VALORES DEBEN TENER a, b y c, PARA QUE EL
CAMPO VECTORIAL SEA UN CAMPO POTENCIAL; SI SE
SABE:
   
 
      
 
2
F 2a x 4b 5c 11 y 2a 4b c z i    
2 2 7 21 3 5
ax by c z j x a b y cz k
   
       
   
Solución
Condición del campo potencial: 0
 
F
Donde:
i j k
x y z
  
   
  
  
x y z
F F i F j F k
0
x y z
i j k
F
x y z
F F F
  
  
  

61. Desarrollando el determinante:
0
y y
z x z x
F F
F F F F
i j k
y z z x x y
 
   
   
 
     
   
 
     
 
   
Donde:
   
 
      
 
2
x
F 2a x 4b 5c 11 y 2a 4b c z
 
 
   
 
y
F ax 2by 2c 7 z
 
 
   
 
z
F 21x 3a b y 5cz
    ( )
y
z
F
F
3a b 2c 7 0 3a 2c b 7 I
y z

 

          
 
 
 
    ( )
x z
F F
2a 4b c 21 0 2a 4b c 21 II
z x
 
 
         
 
 
 
  
4 5 11 0 4 5 11 ( )
y x
F F
a b c a b c III
x y

 

           
 
 
 
Resolviendo por métodos numéricos las ecuaciones (I), (II) y (III), resulta:
2
3
5
a
b
c


