1. Balance de ecuación de movimiento
En un coordenado cartesiano podemos considerar cada componente de la velocidad como un escalar,
así para la dirección x:
𝜕(𝜌𝑣 𝑥)
𝜕𝑡
+ (𝑣̅ ∙ ∇)(𝜌𝑣 𝑥) = (𝑝̇ 𝑣) 𝑥 + 𝑉∇2(𝜌𝑣 𝑥) − (𝜌𝑣 𝑥)(∇ ∙ 𝑣̅)
Acumulación Transp. Generación
convectivo Transporte molecular
y podríamos escribir el análogo para las ecuaciones en y y z.
Ecuación de continuidad
Un de las propiedades más importantes que se conserva en un sistema es la masa total, y este hecho
permite realizar simplificaciones en los balances de otras propiedades, ya que tanto el momento como
el calor se asocian a la masa de los sistemas.
En procesos ordinarios –en velocidades menores a la velocidad de la luz y sin reacciones nucleares- la
masa no se genera y si se considera al continuo como un “continuo homogéneo”, entonces no habrá
fenómenos difusivos.
Esto significa que de ambos flux, se elimina el transporte molecular.
∇ ∙ 𝜑 = ∇ ∙ (ӕ𝑣̅) + ∇ ∙ (−𝛿∇ӕ)
También eliminamos el término de generación por lo que el balance global queda:
𝐷ӕ
𝐷𝑡
=
𝜕ӕ
𝜕𝑡
+𝑣̅ ∙ (∇ӕ) = ӕ̇ 𝐺 + 𝛿∇2
ӕ − ӕ(∇ ∙ 𝑣̅)
Derivada material Transp. Molec.
𝜕ӕ
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (ӕ𝑣̅)= 0
Para el caso de masa usaremos ӕ = 𝜌, por lo tanto:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (𝜌𝑣̅)= 0
Desarrollando el producto punto:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ (𝑣̅ ∙ ∇)𝜌 + 𝜌 (∇ ∙ 𝑣̅)= 0
Los casos más frecuentes que nos permiten hacer simplificaciones son:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 (𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜)
2. Si además trabajamos con fluido incompresible, ρ = ctte. La densidad sale como constante del producto
punto y nuestra ecuación termina siendo:
𝜌(∇ ∙ 𝑣̅) = 0
(∇ ∙ 𝑣̅) = 0
En cartesiano, esto se escribe:
𝜕𝑣 𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
(Buscar las ecuaciones de continuidad para distintos sistemas coordenados)
Ejemplo: Consideremos un flujo unidireccional en un coordenado cartesiano, tal que tenga lugar entre
dos láminas paralelas, de modo que el ancho de las mismas y su longitud sean mucho mayores que la
distancia entre ellas; así los efectos en los extremos pueden despreciarse. La figura siguiente pretende
ilustrar el caso
Flujo en dirección x y z
2B
L x
2B vx
y
vx x
Utilizaremos la ecuación de continuidad:
𝜕𝑣 𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
Como sólo hay velocidad en dirección x, vy = vz = 0 (y constantes)
Por lo tanto,
𝜕𝑣 𝑥
𝜕𝑥
= 0
Esto significa que la velocidad en x es constante y no una función vx ≠ vx(x)
por lo tanto vx = vx(y, z)
Como se especificó que las dimensiones del ejemplo son tales que no hay ejemplo en los extremos, la
velocidad en dirección x sólo dependerá de y:
vx = vx(y)
3. Ejemplo 2:
Para un coordenado cilíndrico con flujo axial (en sentido z), aplique la ecuación de continuidad para
identificar la simplificación de términos posibles.
z
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
vr = vθ = 0 y son constantes
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
La integral de vz con respecto z es constante:
vz = vz (r, θ, z)
si no está girando el flujo, entonces la conclusión es vz = vz (r)
Ejemplo 3
Considere ahora el caso de una esfera con flujo únicamente radial.
1
𝑟2
𝜕(𝑟2
𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕(𝑣 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
+
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑣 𝜑
𝜕𝜑
= 0
1
𝑟2
𝜕(𝑟2
𝑣𝑟)
𝜕𝑟
= 0
𝜕(𝑟2
𝑣𝑟)
𝜕𝑟
= 0
r2
vr = constante