Flujo entre dos láminas
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Modelado de flujo entre dos láminas paralelas donde una está en movimiento y la otra inmóvil. Además hay un diferencial de presión.
![𝜇𝑑𝑣 𝑥 =
∆𝑃
𝐿
𝑦𝑑𝑦 + 𝑐1 𝑑𝑦
𝜇 ∫ 𝑑𝑣 𝑥 =
∆𝑃
𝐿
∫ 𝑦𝑑𝑦 + 𝑐1 ∫ 𝑑𝑦 + 𝑐2
𝜇𝑣 𝑥 =
∆𝑃
2𝐿
𝑦2
+ 𝑐1 𝑦 + 𝑐2
Aplicando las condiciones frontera que en este caso son
C.F.1 en y = y0, vx = v0
C.F.2 en y = -y0, vx = 0
𝜇𝑣0 =
∆𝑃
2𝐿
𝑦0
2
+ 𝑐1 𝑦0 + 𝑐2
0 =
∆𝑃
2𝐿
𝑦0
2
− 𝑐1 𝑦0 + 𝑐2
Restando las dos ecuaciones
𝜇𝑣0 = 2𝑐1 𝑦0
𝑐1 =
𝜇𝑣0
2𝑦0
0 =
∆𝑃
2𝐿
𝑦0
2
− (
𝜇𝑣0
2𝑦0
) 𝑦0 + 𝑐2
𝑐2 = −
∆𝑃
2𝐿
𝑦0
2
+ (
𝜇𝑣0
2
)
Sustituyendo
𝜇𝑣 𝑥 =
∆𝑃
2𝐿
𝑦2
+
𝜇𝑣0
2𝑦0
𝑦 −
∆𝑃
2𝐿
𝑦0
2
+ (
𝜇𝑣0
2
)
Factorizando y despejando
𝑣 𝑥 = −
∆𝑃𝑦0
2
2𝐿𝜇
[1 − (
𝑦
𝑦0
)
2
] +
𝑣0
2
(1 +
𝑦
𝑦0
)
Adiomensionalizado
𝑣 𝑥
𝑣0
= (−
∆𝑃𝑦0
2
2𝐿𝜇𝑣0
) [1 − (
𝑦
𝑦0
)
2
] +
1
2
(1 +
𝑦
𝑦0
)
Se define el grupo adimensional
(−
∆𝑃𝑦0
2
2𝐿𝜇𝑣0
) ≡ ℵ
Graficando en función de ℵ](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. Flujo entre dos láminas paralelas, una en movimiento Un fluido newtoniano incompresible, en régimen estable laminar fluye entre dos láminas paralelas, según la figura siguiente, en la cual se indica que la placa superior se mueve a una velocidad v0, en tanto la inferior está inmóvil. Además existe una diferencia de presiones entre los extremos del señalado ducto con una pared móvil. Obtenga perfiles de v0 contra y. y y0 v0 x dP/dx z -y0 vx = 0 P1, x = 0 P2, x = L El ancho de las láminas en la dirección z es w. Tomando la componente vx en un coordenado cartesiano, se tiene que 𝜕𝑣 𝑥 𝜕𝑡 + 𝑣 𝑥 𝜕𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝑣 𝑦 𝜕𝑣 𝑥 𝜕𝑦 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣 𝑥 𝜕𝑧 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑥 + 𝜇 𝜌 ( 𝜕2 𝑣 𝑥 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝑣 𝑥 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝑣 𝑥 𝜕𝑧2 ) La ecuación de continuidad, considerando el ancho mucho mayor que el espesor w >> 2y0 y con L >> 2y0 permite despreciar efectos en los extremos y lleva a la conclusión vx = vx(y) y vy = vz = 0 La ecuación se reduce a 0 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜇 𝜌 ( 𝜕2 𝑣𝑥 𝜕𝑦2 ) 0 = − 𝑑𝑃 𝑑𝑥 + 𝜇 ( 𝑑2 𝑣 𝑥 𝑑𝑦2 ) Ya habíamos concluido en ejemplos previos que 𝑑𝑃 𝑑𝑥 = ∆𝑃 𝐿 ∆𝑃 𝐿 = 𝜇 ( 𝑑2 𝑣 𝑥 𝑑𝑦2 ) 𝜇 𝑑 𝑑𝑦 ( 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑦 ) = ∆𝑃 𝐿 Separando variables e integrando 𝜇 ∫ 𝑑 ( 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑦 ) = ∆𝑃 𝐿 ∫ 𝑑𝑦 + 𝑐1 𝜇 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑦 = ∆𝑃 𝐿 𝑦 + 𝑐1
- 2. 𝜇𝑑𝑣 𝑥 = ∆𝑃 𝐿 𝑦𝑑𝑦 + 𝑐1 𝑑𝑦 𝜇 ∫ 𝑑𝑣 𝑥 = ∆𝑃 𝐿 ∫ 𝑦𝑑𝑦 + 𝑐1 ∫ 𝑑𝑦 + 𝑐2 𝜇𝑣 𝑥 = ∆𝑃 2𝐿 𝑦2 + 𝑐1 𝑦 + 𝑐2 Aplicando las condiciones frontera que en este caso son C.F.1 en y = y0, vx = v0 C.F.2 en y = -y0, vx = 0 𝜇𝑣0 = ∆𝑃 2𝐿 𝑦0 2 + 𝑐1 𝑦0 + 𝑐2 0 = ∆𝑃 2𝐿 𝑦0 2 − 𝑐1 𝑦0 + 𝑐2 Restando las dos ecuaciones 𝜇𝑣0 = 2𝑐1 𝑦0 𝑐1 = 𝜇𝑣0 2𝑦0 0 = ∆𝑃 2𝐿 𝑦0 2 − ( 𝜇𝑣0 2𝑦0 ) 𝑦0 + 𝑐2 𝑐2 = − ∆𝑃 2𝐿 𝑦0 2 + ( 𝜇𝑣0 2 ) Sustituyendo 𝜇𝑣 𝑥 = ∆𝑃 2𝐿 𝑦2 + 𝜇𝑣0 2𝑦0 𝑦 − ∆𝑃 2𝐿 𝑦0 2 + ( 𝜇𝑣0 2 ) Factorizando y despejando 𝑣 𝑥 = − ∆𝑃𝑦0 2 2𝐿𝜇 [1 − ( 𝑦 𝑦0 ) 2 ] + 𝑣0 2 (1 + 𝑦 𝑦0 ) Adiomensionalizado 𝑣 𝑥 𝑣0 = (− ∆𝑃𝑦0 2 2𝐿𝜇𝑣0 ) [1 − ( 𝑦 𝑦0 ) 2 ] + 1 2 (1 + 𝑦 𝑦0 ) Se define el grupo adimensional (− ∆𝑃𝑦0 2 2𝐿𝜇𝑣0 ) ≡ ℵ Graficando en función de ℵ