fisica 1 san marcos

1. COLISIONES
DINAMICA DE CUERPO RIGIDO
Física 1
Semana 05

2. LOGROS ESPERADOS
Entender el principio de conservación de la cantidad de
movimiento y lo aplicara conjuntamente con la
conservación de energía para resolver problemas de
colisiones, utilizando fórmulas y relaciones, con orden y
precisión mostrando una buena presentación.
Analizar y explicar la condición de equilibrio de un cuerpo
rígido.
Resuelver problemas de dinámica y energía de rotación,
utilizando fórmulas y relaciones, con orden y precisión
mostrando una buena presentación.

3. Cantidad de movimiento e impulso
La cantidad de movimiento lineal Ԧ
𝑝 de un objeto de masa m moviéndose con velocidad Ԧ
𝑣 es
el producto de su masa y velocidad:
Unidad SI: kilogramo-metro por segundo (kg m/s)
Ԧ
𝑝 = 𝑚 Ԧ
𝑣
La magnitud de la cantidad de movimiento Ԧ
𝑝 de un objeto de masa m puede relacionarse a
su energía cinética 𝐸𝑘:
𝐸𝑘 =
𝑝2
2𝑚
es válida para objetos que viajan con magnitudes de velocidad mucho menores que la
rapidez de la luz.

4. El cambio en la cantidad de movimiento de un objeto ∆ Ԧ
𝑝 dividido entre el tiempo
trascurrido ∆𝑡 es igual a la fuerza neta constante Ԧ
𝐹𝑛𝑒𝑡 que actúa en el objeto:
La cantidad de movimiento lineal del objeto se conserva cuando Ԧ
𝐹𝑛𝑒𝑡 = 0.
∆ Ԧ
𝑝
∆𝑡
= Ԧ
𝐹𝑛𝑒𝑡
Si una fuerza constante actúa Ԧ
𝐹 en un objeto, el impulso Ԧ
𝐼 que se entrega al objeto en un
lapso ∆𝑡 está dado por
Ԧ
𝐼 = Ԧ
𝐹∆𝑡
Unidad SI: kilogramo-metro por cada segundo (kg m/s)
Para un cambio infinitesimal de tiempo 𝑑𝑡, la fuerza sobre el cuerpo es
𝑑 Ԧ
𝑝
𝑑𝑡
= Ԧ
𝐹

5. El impulso es una cantidad vectorial con la misma dirección que la fuerza constante que actúa
sobre el objeto. El impulso de una fuerza constante que actúa en un objeto es igual al cambio
en la cantidad de movimiento del objeto.
Ԧ
𝐼 = Ԧ
𝐹∆𝑡 = ∆ Ԧ
𝑝 = 𝑚 Ԧ
𝑣𝑓 − 𝑚 Ԧ
𝑣𝑖
Ԧ
𝐼 = න Ԧ
𝐹𝑑𝑡
Si la fuerza varia en el tiempo, el impulso esta
dado por

6. Un jugador de futbol corre detrás de un balón de 0.450 kg viajando a 3.20 m/s y lo patea
en la misma dirección cuando está en movimiento, incrementando su rapidez a 12.8 m/s.
¿Qué magnitud del impulso entregó el jugador al balón?
a) 2.45 kg m/s
b) 4.32 kg m/s
c) 5.61 kg m/s
d) 7.08 kg m/s
e) 9.79 kg m/s
Una pelota de tenis de 57.0 g está viajando directo a un jugador a 21.0 m/s. El jugador volea
la pelota directo de regreso a 25.0 m/s. Si la pelota permanece en contacto con la raqueta
por 0.060 s, ¿qué fuerza promedio actúa sobre la pelota?
a) 22.6 kg m/s2
b) 32.5 kg m/s2
c) 43.7 kg m/s2
d) 72.1 kg m/s2
e) 102 kg m/s2

7. Una bola de acero de 3.00 kg golpea una gruesa pared a 10.0 m/s en un ángulo de 60.0° con el
plano de la pared. La bola rebota de la pared con la misma velocidad y ángulo. Si la bola está en
contacto con la pared por 0.200 s, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida por la pared sobre la
bola?

8. Decimos que ha habido una colisión cuando dos partículas se aproximan entre sí, su
interacción mutua altera su movimiento, produciendo un intercambio de cantidad de
movimiento y energía
Colisiones
ya que solo fuerzas internas entran en acción durante un choque, tanto el momento como la
energía totales se conservan.
Ԧ
𝑝1 + Ԧ
𝑝2 = Ԧ
𝑝´1 + Ԧ
𝑝´2

9. Si las energías potencial interna antes y después del choque son 𝐸𝑝 y 𝐸´𝑝 y las energías
cinéticas 𝐸𝑘 y 𝐸´𝑘 , por conservación de la energía tenemos
Introduzcamos una cantidad 𝑄, definida por
𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 = 𝐸´𝑘 + 𝐸´𝑝
𝑄 = 𝐸´𝑘 − 𝐸𝑘 = 𝐸𝑝 − 𝐸´𝑝
Cuando 𝑄 = 0, no hay cambio de energía cinética y la colisión se llama elástica. Si no es así, es
inelástica.
Cuando 𝑄 < 0, hay disminución en la energía cinética con un correspondiente aumento en la
energía potencial interna, y decimos entonces que hay colisión inelástica de primera clase (o
endoérgica).
Cuando 𝑄 > 0, hay aumento en la energía cinética a expensas de la energía potencial interna,
y tenemos entonces una colisión inelástica de segunda clase (o exoérgica).

10. Conservación de la cantidad de movimiento
Cuando se presenta una colisión en un sistema aislado, la cantidad de movimiento total del
sistema permanece constante en el tiempo tanto en magnitud como en dirección. Las
cantidades de movimiento de objetos individuales pueden cambiar, pero la suma vectorial de
todas las cantidades de movimiento no cambiará, se dice que la cantidad de movimiento total
se debe conservar.
De la tercera ley de Newton: Ԧ
𝐹21 = − Ԧ
𝐹12
Ԧ
𝐹21∆𝑡 = 𝑚1 Ԧ
𝑣1𝑓 − 𝑚1 Ԧ
𝑣1𝑖
Ԧ
𝐹12∆𝑡 = 𝑚2 Ԧ
𝑣2𝑓 − 𝑚2 Ԧ
𝑣2𝑖

11. Cuando no hay una fuerza externa neta que actúe sobre un sistema, el impulso total
del sistema se mantiene constante en el tiempo.
Ԧ
𝐹21∆𝑡 = − Ԧ
𝐹12∆𝑡
𝑚1 Ԧ
𝑣1𝑓 − 𝑚1 Ԧ
𝑣1𝑖 = −(𝑚2 Ԧ
𝑣2𝑓 − 𝑚2 Ԧ
𝑣2𝑖)
𝑚1 Ԧ
𝑣1𝑖 + 𝑚2 Ԧ
𝑣2𝑖 = 𝑚1 Ԧ
𝑣1𝑓 + 𝑚2 Ԧ
𝑣2𝑓

12. EJEMPLO
Un objeto de 2 kg que se mueve a la derecha con una velocidad de 4 m/s hace una colisión
elástica con un objeto de 1 kg que está inicialmente en reposo. La velocidad del objeto de 1
kg después del choque es:
a) mayor que 4 m/s
b) menos de 4 m/s
c) igual a 4 m/s
d) a cero
e) imposible responder con la información proporcionada.

13. Colisiones elásticas
En esta situación, tanto la cantidad de movimiento y la energía
cinética del sistema de dos objetos se conservan.
Combinando estas dos ecuaciones obtenemos esta ecuación para
resolver problemas relacionados con colisiones elásticas de
frente
𝑚1𝑣1𝑖 + 𝑚2𝑣2𝑖 = 𝑚1𝑣1𝑓 + 𝑚2𝑣2𝑓
1
2
𝑚1𝑣1𝑖
2
+
1
2
𝑚2𝑣2𝑖
2
=
1
2
𝑚1𝑣1𝑓
2
+
1
2
𝑚2𝑣2𝑓
2
𝑣1𝑖 − 𝑣2𝑖 = −(𝑣1𝑓 − 𝑣2𝑓)
Según esta ecuación la velocidad relativa de los dos objetos antes
de la colisión, es igual al negativo de la velocidad relativa de los
dos objetos después de la colisión.

14. EJEMPLO
Un vagón de ferrocarril de masa M se mueve con una rapidez v1 choca y se une con dos
vagones acoplados, cada uno de la misma masa M y se mueven en la misma dirección con una
rapidez v2. a) ¿Cuál es la rapidez vf de los tres vagones unidos después de la colisión en
términos de v1 y v2? b) ¿Cuánta energía cinética se pierde en la colisión? Responda en
términos de M, v1 y v2.

15. Colisiones tangenciales
Considere un problema en dos
dimensiones en el que un objeto de masa
𝑚1 colisiona con un objeto de masa 𝑚2
que está inicialmente en reposo
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥: 𝑚1𝑣1𝑖𝑥 + 𝑚2𝑣2𝑖𝑥 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑥 + 𝑚2𝑣2𝑓𝑥 → 𝑚1𝑣1𝑖 + 0 = 𝑚1𝑣1𝑓 cos 𝜃 + 𝑚2𝑣2𝑓 cos 𝜙
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦: 𝑚1𝑣1𝑖𝑦 + 𝑚2𝑣2𝑖𝑦 = 𝑚1𝑣1𝑓𝑦 + 𝑚2𝑣2𝑓𝑦 → 0 + 0 = 𝑚1𝑣1𝑓 sen 𝜃 − 𝑚2𝑣2𝑓 sen 𝜙
Si la colisión es elástica, la energía cinética del sistema se conserva (
1
2
𝑚1𝑣1𝑖
2
=
1
2
𝑚1𝑣1𝑓
2
+
1
2
𝑚2𝑣2𝑓
2
) , si se conoce 𝑣1𝑖, 𝑚1 y 𝑚2, deberá conocerse una de las cuatro incógnitas 𝑣1𝑓, 𝑣2𝑓, 𝜃
o 𝜙 para determinar el movimiento después de la colisión.
Si la colisión es inelástica, la energía cinética del sistema no se conserva.

16. EJEMPLO
Dos discos de igual masa de un juego de mesa, uno
de color naranja y el otro verde, se involucran en
una colisión indirecta perfectamente elástica. El
disco verde inicialmente en reposo es golpeado
por el disco naranja moviéndose al inicio hacia la
derecha a 5.00 m/s como en la figura a. Después
de la colisión, el disco naranja se mueve en una
dirección que forma un ángulo de 37.0° con el eje
horizontal. Mientras el disco verde hace un ángulo
de 53.0° con este eje como en la figura b. Calcule
la velocidad de cada disco después de la colisión.

23. EJEMPLO
Las masas de la figura están inicialmente en reposo. suponiendo
que 𝑚1 > 𝑚2 , calcular la velocidad y la aceleración de su
centro de masa en el instante 𝑡.

24. Cuerpo rígido
Un cuerpo rígido se considera como aquel objeto que no tiene deformaciones
por efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema con partículas cuyas
posiciones no cambian.
Las estructuras y máquinas reales nunca son totalmente rígidas y se
deforman por la acción de cargas que actúan sobre ellas.
Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios
de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los
objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre ellos.

25. La figura se muestra un modelo simple de la estructura de una molécula de
agua. La separación entre los átomos es d = 9.57x10-11 m. Cada átomo de
hidrógeno tiene masa de 1.0 u, y el de oxígeno, 16.0 u. Determine la posición del
centro de masa.
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
11 12
1.0 cos52.5 1.0 cos52.5 16.0 0
1.0u 1.0u 16.0u
0.068
0.068 9.57 10 6.5 10
o o
cm
cm
cm
u d u d u
X
X d
X x x
− −
+ +
=
+ +
=
= =
( )( ) ( )( ) ( )( )
1.0 52.5 1.0 52.5 16.0 0
1.0u 1.0u 16.0u
0
o o
cm
cm
u dsen u dsen u
Y
Y
+ − +
=
+ +
=

26. Centro de gravedad
El centro de gravedad de un cuerpo es el punto geométrico de aplicación de la resultante de
todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que
constituyen el cuerpo.
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
...
...
...
...
i i
i
CG
i
i
i i
i
CG
i
i
w x
w x w x w x w x
X
w w w w w
w y
w y w y w y w y
Y
w w w w w
+ + + +
= =
+ + +
+ + + +
= =
+ + +




donde 𝒘𝒊 son las magnitudes de la fuerza de gravedad de los puntos materiales.

27. Estabilidad mecánica y centro de gravedad
W
cg
W
cg
1 y 3 son proyecciones del CG inestables
2 es proyección del CG estable.
1
2
3

28. Torque o momento de una fuerza
𝒓 es el vector posición del punto de aplicación de la fuerza.
El efecto de una fuerza F sobre un cuerpo anclado en un
eje es el de su rotación alrededor de este eje. La
magnitud física vectorial que mide dicho efecto se
denomina momento de fuerza Ԧ
𝜏, el cual se define como:
t = r x F
El momento 𝝉 es perpendicular a r y F y su sentido es
determinado por la regla de mano derecha.
Su magnitud es:
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃
donde 𝜽 es el ángulo formado por r y F . Unidad es N.m
𝑭
𝒓
𝜽

29. Torque o momento de una fuerza
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica

30. Condiciones de equilibrio mecánico
En la solución de problemas de equilibrio de cuerpos rígidos se debe tener en cuenta:
Primera condición de equilibrio: El centro de masa de un cuerpo tiene aceleración cero
cuando la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es cero.
෍ Ԧ
𝐹 = 0
Segunda condición de equilibrio: La suma de los torques debido a todas las fuerzas externas
que actúan sobre un cuerpo, con respecto a cualquier punto específico, debe ser cero.
Condición de equilibrio
traslacional
Condición de equilibrio
rotacional
෍ 𝜏 = 0

31. EJEMPLO
Una viga uniforme de 35.0 kg y de longitud , 𝑙 = 5.00 m
está sostenida por una cuerda vertical situada a 𝑑 = 1.20
m de su extremo izquierdo como se muestra en la figura.
El extremo derecho de la viga se apoya en una columna
vertical. Calcule: a) la tensión en la cuerda y b) la fuerza
que ejerce la columna en el extremo derecho de la viga.

32. EJEMPLO
Encuentre las coordenadas 𝑥 y 𝑦 del centro de gravedad
de una hoja uniforme de madera, de 4.00 pies por 8.00
pies, cuando se ha recortado como se muestra en la
figura Sugerencia: La masa de cualquier segmento de la
hoja de madera es proporcional a la superficie de ese
segmento.

33. La dirección de 𝐿 es la misma que la de 𝜔 , de modo que
puede escribirse vectorialmente como
Momento angular
El momento angular con respecto 𝑂 de una partícula de
masa m que se mueve con velocidad Ԧ
𝑣 está definido por
En el caso del movimiento circular cuando 𝑂 es el centro del
círculo , los vectores Ԧ
𝑟 y Ԧ
𝑣 son perpendiculares y 𝑣 = 𝜔𝑟
𝐿 = Ԧ
𝑟 × Ԧ
𝑝 𝐿 = 𝑚Ԧ
𝑟 × Ԧ
𝑣
𝐿 = 𝑚𝑟𝑣 = 𝑚𝑟2
𝜔
𝐿 = 𝑚𝑟2
𝜔

34. El cambio con respecto al tiempo del momento angular de una partícula es igual al toque de
la fuerza aplicada en ella.
La derivada con respecto al tiempo del momento angular de una partícula nos da:
Pero
𝑑 Ԧ
𝑟
𝑑𝑡
× Ԧ
𝑝 = Ԧ
𝑣 × Ԧ
𝑝 = 𝑚 Ԧ
𝑣 × Ԧ
𝑣 = 0 y de la segunda ley de Newton
𝑑 Ԧ
𝑝
𝑑𝑡
= Ԧ
𝐹
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
𝑑Ԧ
𝑟
𝑑𝑡
× Ԧ
𝑝 + Ԧ
𝑟 ×
𝑑 Ԧ
𝑝
𝑑𝑡
El torque de Ԧ
𝐹 alrededor de O es Ԧ
𝜏 = Ԧ
𝑟 × Ԧ
𝐹, obtenemos finalmente
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= Ԧ
𝜏

45. EJEMPLO
Tres masas, cada una de 2 kg están situadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados
miden cada 10 cm. Calcular el momento de inercia del sistema y su radio de giro con respecto a un
eje perpendicular al plano determinado por el triángulo y que pase a través (a) de un vértice, (b)
del punto medio de un lado, (c) del centro de masa.

46. EJEMPLO
Calcular el momento de inercia del cilindro de masa 𝑚 respecto al eje que se indica en la figura

52. EJEMPLO
En el sistema representado en la figura, M = 1,0 kg, m = 0,2 kg, r = 0,2 m. Calcular la
aceleración lineal de m, la aceleración angular del cilindro M, y la tensión de la cuerda.
Despreciar el efecto de la pequeña polea.

53. EJEMPLO
Una varilla de longitud L masa M puede rotar libremente alrededor de un pivote
en A. Una bala de masa m y velocidad v golpea la varilla a una distancia A y se
incrusta en ella. (a) Encontrar el momento angular del sistema con respecto a A
inmediatamente antes y después de que la bala de contra la varilla (b)
Determinar el momento del sistema inmediatamente antes y después de la
colisión (c) ¿Bajo qué condiciones se conservará el momentum? ¿Cuál es el valor
de Q de la colisión?

55. EJEMPLO
Determinar la altura mínima desde la cual una esfera de radio r qué rueda a lo largo del riel
empieza a caer de manera que pueda completar el movimiento circular mostrado en la figura.

56. Una gran rueda usada para moler en forma de cilindro sólido de radio 0.330 m rota
libremente en un eje vertical sin fricción. Una fuerza tangencial constante de 250 N se
aplica en el borde causando en la rueda una aceleración angular de 0.940 rad/s2. a) ¿Cuál es
el momento de inercia de la rueda? b) ¿Cuál es la masa de la rueda? c) Si la rueda parte del
reposo, ¿cuál es su velocidad angular después de 5.00 s transcurridos, suponiendo que la
fuerza actúa durante ese tiempo?
EJEMPLO

57. La rueda de un alfarero, de radio 0.50 m y un momento de la inercia de 12 kg m2, está
girando libremente a 50 rev/min. El alfarero puede detener la rueda en 6.0 s presionando
un trapo mojado contra el borde y ejerciendo radialmente hacia el centro una fuerza de 70
N. Encuentre el coeficiente efectivo de fricción cinética entre la rueda y el trapo mojado.
EJEMPLO

58. Un carrusel horizontal de 800 N con 1.50 m de radio empieza a moverse a partir del reposo,
debido a una fuerza horizontal constante de 50.0 N aplicada tangencialmente. Encuentre la
energía cinética del carrusel después de 3.00 s. (Suponga que es un cilindro sólido.)
EJEMPLO

59. BIBLIOGRAFÍA
➢ M. Alonso, E. Finn. Física I. Ed. Fondo Educativo
Interamericano, México, 1971. (Libro texto).
➢ F. Beer, E. Johnston, J. Cornwell. Mecánica vectorial
para ingenieros. Dinámica. Mg Graw Hill. Novena edición.
➢ Y. Perelman. Física Recreativa I. Ed. Mir, URSS, 1975.
➢ Y. Perelman. Física Recreativa II. Ed. Mir, URSS, 1975.
➢ Y. Perelman. Mecánica para Todos. Ed. Mir, URSS, 1976.
(Libro texto)