Aquí se indica criterios práctico para el trazado rápido de funciones exponenciales y funciones logarítmicas. Estos criterios han sido deducidos por el autor de este texto a partir de las propiedades de dichas funciones.

1. PRESENTACIÓN
El presente trabajo es un aporte del trabajo docente que el responsable del presente
trabajo hace, luego de años de experiencia en el desarrollo de cursos de matemática
superior en la Universidad Nacional de Cajamarca, tal como el análisis matemático,
cálculo, geometría analítica vectorial y muy en particular la matemática básica; en el
desarrollo de estos cursos se observan claras deficiencias de los estudiantes para analizar y
trazar la gráfica de funciones, en particular de las funciones trascendentes, con mayor
razón si éstos no tienen conocimientos de análisis matemático y se empeora si se
requieren resultados rápidos comprendiendo el comportamiento gráfico de dichas
funciones.
En tal sentido, este trabajo busca otorgar criterios prácticos y elementales que permitan
que los estudiantes y/o lectores, por la sencillez que implica, asimilen estos criterios,
resolviendo de este modo, las deficiencias que suelen presentarse.
Se espera que este trabajo goce de la acogida de la comunidad de estudiantes y
académicos, en especial de los estudiantes de esta Centro Superior de Estudios, y ojalá,
fuera posible, sea acogido por los estudiantes universitarios de nuestro país.
Como todo trabajo y/o obra humana, este trabajo es perfectible, en virtud de que es
posible tenga algunas deficiencias; no obstante, se espera que éstas sean resueltas con las
valiosas contribuciones que demuestren los dignos lectores.
M.Sc. Ing° Juan Julca Novoa
AUTOR
1

2. ÍNDICE
Página
Presentación ------------------------------------------------------------------------------------------- 1
CAPÍTULO I: LA FUNCIÓN EXPONENCIAL --------------------------------------------- 3
Definición ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Casos ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Propiedades -------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Ejercicios resueltos ----------------------------------------------------------------------------------- 5
CAPÍTULO II: LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA ----------------------------------------------- 14
Definición --------------------------------------------------------------------------------------------- 14
Casos --------------------------------------------------------------------------------------------------- 14
Propiedades ------------------------------------------------------------------------------------------- 15
Ejercicios resueltos ---------------------------------------------------------------------------------- 16
Lista de Material Documental Consultado ---------------------------------------------------------- 48
2

3. C AP Í TULO I : L A F UNCI Ó N E X P O NENCI AL
De fi ni c i ón : S i b es u n n úm e ro re a l p o sit ivo , d if e re n te d e 1 , en t o n ce s
la f u n ción f(x)   y) / y  b , 0  b, b  1, x  R, o t am b ién de n o ta da po r
x
(x,
exp b   y) / y  exp b (x)  b x , 0  b, b  1, x  R
(x, se llam a f u n ción
e xp o n e n cia l d e b ase b .
Ca s os
De la definición, en que se observa que 0<b, b1 (nótese que 0<b, b1 equivale a
0<b<1  1<b), se desprenden dos casos:
1) Cuando 0<b<1 ó 2) Cuando 1<b
Para el primer caso 1) Cuando 0<b<1, el comportamiento de la gráfica es tal como
sigue:
3

4. Para el segundo caso 2) Cuando 1<b, el comportamiento de la gráfica es tal como
sigue:
PROPIEDADES
De ambos casos, observando las graficas respectivas que se denominarán
funciones canónicas, se concluye que:
1) En ambos casos la función es continua.
2) En ambos casos la función es inyectiva.
3) En ambos casos la función tiene como dominio a los reales.
4) En ambos casos la función tiene como rango a los reales positivos.
5) En ambos casos la función tiene asíntota horizontal.
6) En ambos casos la función tiene como asíntota horizontal a y0.
7) En ambos casos la gráfica de la función siempre corta al eje vertical.
8) En ambos casos la función corta al eje vertical en 1.
9) En el caso en que 0<b<1, la gráfica es decreciente.
10)En el caso en que 1<b, la gráfica es creciente.
4

5. A modo de observación debe notarse que por, definición, estas propiedades han
resultado de analizar funciones exponenciales con exponente variable x cuyo
coeficiente es positivo; además que el coeficiente de la base de dichas funciones
son positivas (conforme a la definición, la base se comparará con 1, es decir si es
mayor que 1, la gráfica será creciente y, si la base es menor que 1, la gráfica será
decreciente); esto, acoplado a las propiedades 1, 3, 5, 7, 9 y 10, constituyen los
aspectos medulares que se tomarán en cuenta para analizar (establecer los criterios
elementales) para graficar otras funciones exponenciales; pues, lo que se explique
más adelante, como criterios elementales, para graficar otras funciones
exponenciales son sólo la utilización (o a lo más, la extrapolación) de estas
propiedades que se estarán llevando a un modo más general.
A continuación, para efecto de ilustrar lo vertido, se desarrollarán los siguientes
ejercicios.
Ejercicios Resueltos
1) Graficar ( )
Resolución
Cambiamos de notación de función a notación de relación, así:
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota y=4, esto debido a que en la función canónica
( ) , se identifica que su asíntota es y=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será horizontal.
Base 7, donde 1<7, entonces por la observación hecha a las gráficas de la
función canónica exponencial, la curva será creciente así asíntota
Intercepto con el eje y, hacemos x=0 en , es decir: que
resolviendo: , es decir y=5, lo que indica que la curva corta al
eje vertical en 5.
5

6. Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
Al observar la gráfica, es evidente que:
xR  x  , 
Dom(f)=
y 4, 
Ran(f)=
2) Graficar ( )
Resolución
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota , esto debido a que en la función canónica
( ) , se identifica que su asíntota es y=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será horizontal.
Base 0,19, donde 0,19<1, entonces por la observación hecha a las gráficas
de la función canónica exponencial, la curva será decreciente así:
asíntota
6

7. Intercepto con el eje y, hacemos x=0 en , es decir:
que resolviendo: , es decir , lo que indica que
la curva corta al eje vertical en .
Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
Al observar la gráfica, es evidente que:
xR  x  , 
Dom(f)=
y 3, 
Ran(f)=
3) Graficar ( )
Resolución
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota y=8, esto debido a que en la función canónica
( ) , se identifica que su asíntota es y=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será horizontal.
7

8. Base 5, donde 1< 5, entonces por la observación hecha a las gráficas de la función
canónica exponencial, la curva será creciente así: asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el exponente ( ),
esto implica que la base cambiaría a un número menor que 1 (es decir
( ) ) de modo que el comportamiento de la gráfica cambia a curva
decreciente, así: asíntota
Además, también existe signo negativo como coeficiente en la base
( ( ) ), esto implica que la gráfica debe reflejarse al otro
lado de la asíntota, así: asíntota
Intercepto con el eje y, hacemos x=0 en , es decir: que
resolviendo: , es decir , lo que indica que la curva
corta al eje vertical en .
Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
8

9. Al observar la gráfica, es evidente que:
xR  x  , 
Dom(f)=
y ,8
Ran(f)=
4) Graficar ( )
Resolución
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota y=11, esto debido a que en la función canónica
( ) , se identifica que su asíntota es y=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será horizontal.
Base , donde 1< , entonces por la observación hecha a las gráficas de la función
canónica exponencial, la curva será creciente así: asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el exponente ( ),
esto implica que la base cambiaría a un número menor que 1 (es decir
( ) ) de modo que el comportamiento de la gráfica cambia a curva
decreciente, así: asíntota
Además, también existe signo negativo como coeficiente en la base
( ( ) ), esto implica que la gráfica debe reflejarse al otro
lado de la asíntota, así: asíntota
Intercepto con el eje y, hacemos x=0 en , es decir: que
resolviendo: , es decir , lo que indica que la curva
corta al eje vertical en .
9

10. Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
Al observar la gráfica, es evidente que:
xR  x  , 
Dom(f)=
y    , 11
Ran(f)=
5) Graficar ( ) ( )
Resolución
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
( )
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota y=-2, esto debido a que en la función canónica
( ) , se identifica que su asíntota es y=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será horizontal.
10

11. Base ( ), donde ( )< 1, entonces por la observación hecha a las gráficas de la
función canónica exponencial, la curva será decreciente así: asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el exponente ( ( ) ),
esto implica que la base cambiaría a un número mayor que 1 (es decir ( )
( ) ) de modo que el comportamiento de la gráfica cambia a curva
creciente, así: asíntota
Además, también existe signo negativo como coeficiente en la base
( ( ) ), esto implica que la gráfica debe reflejarse al otro lado de la
asíntota, así: asíntota
Intercepto con el eje y, hacemos x=0 en ( ) , es decir: ( )
que resolviendo: ( ) , es decir , lo que indica que
la curva corta al eje vertical en .
Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
11

12. Al observar la gráfica, es evidente que:
xR  x  , 
Dom(f)=
y  , 2
Ran(f)=
6) Graficar ( ) | |
Resolución
De la función propuesta, extraemos la expresión libre de valor absoluto, haciendo
que ésta se iguale a una expresión “y” libre, así:
( ) | | | |
de modo que, ahora se tiene que:
Luego procedemos a procesar esta última expresión.
Identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota y=8, esto debido a que en la función canónica
( ) , se identifica que su asíntota es y=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será horizontal.
12

13. Base 5, donde 1< 5, entonces por la observación hecha a las gráficas de la función
canónica exponencial, la curva será creciente así: asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el exponente ( ),
esto implica que la base cambiaría a un número menor que 1 (es decir
( ) ) de modo que el comportamiento de la gráfica cambia a curva
decreciente, así: asíntota
Además, también existe signo negativo como coeficiente en la base
( ( ) ), esto implica que la gráfica debe reflejarse al otro
lado de la asíntota, así: asíntota
Intercepto con el eje y, hacemos x=0 en , es decir: que
resolviendo: , es decir , lo que indica que la curva
corta al eje vertical en .
Para efectos de gráfica, considerando el valor absoluto que tiene la función
propuesta para graficar, bastará con reflejar por encima del eje x la parte de la
gráfica de , que está por debajo de dicho eje.
Con todo lo procesado y esta última indicación, a continuación trazamos la gráfica:
13

14. Al observar la gráfica, es evidente que:
xR  x  , 
Dom(f)=
Ran(f)= [ [
C AP Í TULO I I : FUNCI Ó N LO G ARÍ TMI C A
De fi ni c i ón : S i b es u n n úm e ro re a l p o sit ivo , d if e re n te d e 1 , en t o n ce s
la f un ció n f(x)  (x, y) / y  logb x, 0  b, b  1, 0  x, s e lla m a f u n ción
lo ga rít m ica d e ba se b .
Casos
De la definición, en que se observa que 0<b, b1 (nótese que 0<b, b1 equivale a
0<b<1  1<b), se desprenden dos casos:
14

15. 1) Cuando 0<b<1 ó 2) Cuando 1<b
Para el primer caso 1) Cuando 0<b<1, el comportamiento de la gráfica es tal como
sigue:
Para el segundo 2) Cuando 1<b, el comportamiento de la gráfica es tal como sigue:
15

16. PROPIEDADES
De ambos casos, observando las graficas respectivas que se denominarán
funciones canónicas, se concluye que:
1) En ambos casos la función es continua.
2) En ambos casos la función es inyectiva.
3) En ambos casos la función tiene como dominio a los reales positivos.
4) En ambos casos la función tiene como rango a los reales.
5) En ambos casos la función tiene asíntota vertical.
6) En ambos casos la función tiene como asíntota vertical a x0.
7) En ambos casos la gráfica de la función siempre corta al eje horizontal.
8) En ambos casos la función corta al eje horizontal en 1.
9) En el caso en que 0<b<1, la gráfica es decreciente.
10)En el caso en que 1<b, la gráfica es creciente.
A modo de observación debe notarse que por, definición, estas propiedades han
resultado de analizar funciones logarítmicas con argumento variable x cuyo
coeficiente es positivo; además que el coeficiente del logaritmo de dichas funciones
son positivas (conforme a la definición, la base se comparará con 1, es decir si es
mayor que 1, la gráfica será creciente y, si la base es menor que 1, la gráfica será
decreciente); esto, acoplado a las propiedades 1, 4, 5, 7, 9 y 10, constituyen los
aspectos medulares que se tomarán en cuenta para analizar (establecer los criterios
16

17. elementales) para graficar otras funciones logarítmicas; pues, lo que se explique
más adelante, como criterios elementales, para graficar otras funciones logarítmicas
son sólo la utilización (o a lo más, la extrapolación) de estas propiedades que se
estarán llevando a un modo más general.
A continuación, para efecto de ilustrar lo vertido, se desarrollarán los siguientes
ejercicios.
Ejercicios Resueltos
1) Graficar ( ) ( )
Re so lu ció n
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
( )
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota x=2 que se ha originado de (x-2)=0, esto debido a que en la función
canónica ( ) ( ) , se establece que su asíntota es x=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será vertical.
Base 7, donde 1< 7, entonces por la observación hecha a las gráficas de la función
canónica logarítmica, la curva será creciente así:
asíntota
Cabe aclarar que la gráfica está a la derecha de la asíntota porque es creciente (es
decir sube de izquierda a derecha) y , además, porque obedeciendo a la definición
debe cumplirse que 0< x-2 que implica que 2 < x, que indica a la derecha de la
asíntota x=2 y que además constituye el Dominio de esta función-
Intercepto con el eje x, hacemos y=0 en ( ), o sea ( )
que resolviendo: , es decir x , lo que indica que
la curva corta al eje horizontal en 3.
Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
17

18. Al observar la gráfica, es evidente que:
x 2 , 
Dom(f)=
yR  y  , 
Ran(f)=
2) Graficar ( ) ( )
Re so lu ció n
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
( )
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota x=5 que se ha originado de ( 5 – x )=0, esto debido a que en la función
canónica ( ) , se establece que su asíntota es x=0; en este ejercicio se ha
generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será vertical.
Base , donde 1< , entonces por la observación hecha a las gráficas de la función
canónica logarítmica, la curva será creciente así:
asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el argumento del logaritmo
( ( ), esto implica que la gráfica se reflejará a la izquierda de
la asíntota x=5, puesto que obedeciendo a la definición debe cumplirse que 0< 5 - x
18

19. que implica que x < 5, que efectivamente indica que la curva estará a la izquierda de
la asíntota x=5 y que además constituye el Dominio de esta función; es decir:
asíntota
Intercepto con el eje x, hacemos y=0 en ( ),
O sea ( ) que resolviendo: , es decir
x , lo que indica que la curva corta al eje horizontal en 4; este resultado está a la
izquierda de la asíntota x=5 de modo que refuerza la deducción anterior.
Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
Al observar la gráfica, es evidente que:
x  , 5
Dom(f)=
yR  y  , 
Ran(f)=
19

20. 3) Graficar f(x) ( )
( )
Re so lu ció n
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
( )
( )
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota que se ha originado de 11 – 2x =0, esto debido a que en la
función canónica ( ) , se establece que su asíntota es x=0; en este
ejercicio se ha generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será vertical.
Base , donde < 1, entonces por la observación hecha a las gráficas de la
función canónica logarítmica, la curva será decreciente así:
asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el argumento del logaritmo
( ( )
( ), esto implica que la gráfica se reflejará a la
izquierda de la asíntota , puesto que obedeciendo a la definición debe
cumplirse que 0< 11 - 2x que implica que x < , que efectivamente indica que la
curva estará a la izquierda de la asíntota y que además constituye el Dominio
de esta función; es decir:
asíntota
Intercepto con el eje x, hacemos y=0 en ( )
( ),
O sea ( )
( ) que resolviendo: ( ) ,
, lo que indica que la curva corta al eje horizontal en 5; este resultado está
a la izquierda de la asíntota de modo que refuerza la deducción anterior.
20

21. Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
Al observar la gráfica, es evidente que:
11
x  ,
Dom(f)= 2
yR  y  , 
Ran(f)=
4) Graficar ( ) ( )
Re so lu ció n
Cambiamos la notación de función a notación de relación, así:
( )
Luego identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
Asíntota que se ha originado de 5 – x = 0, esto debido a que en la función
canónica ( ) , se establece que su asíntota es x=0; en este ejercicio se ha
generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será vertical.
Base 2, donde 1< 2, entonces por la observación hecha a las gráficas de la función
canónica logarítmica, la curva será creciente así:
asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el argumento del logaritmo
( ( ), esto implica que la gráfica cambiará de
comportamiento de modo que se convertirá en decreciente (pero siempre a la
21

22. derecha de ), puesto que la función original con base mayor que uno, tendrá
como equivalente una función logarítmica con base menor que uno debido a la
presencia del signo negativo del logaritmo, así:
( ) ( ) ( ) que por propiedad de logaritmos queda
equivale a
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
En resumida cuenta se tiene:
( )
( )
Esto sustenta lo que se ha dicho, que la gráfica ahora se ha convertido en
decreciente, así:
asíntota
Además, existe signo negativo como coeficiente en el argumento del logaritmo
( ( )
( ), esto implica que la gráfica se reflejará a la izquierda
de la asíntota , puesto que obedeciendo a la definición debe cumplirse que
0< 5 - x que implica que x < 5, que efectivamente indica que la curva estará a la
izquierda de la asíntota y que además constituye el Dominio de esta función;
es decir:
asíntota
Intercepto con el eje x, hacemos y=0 en ( ),
O sea ( ) que resolviendo: ( ) ,
, lo que indica que la curva corta al eje
horizontal en -11; este resultado está a la izquierda de la asíntota de modo
que refuerza la deducción anterior.
22

23. Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
Al observar la gráfica, es evidente que:
x  , 5
Dom(f)=
yR  y  , 
Ran(f)=
5) Graficar ( ) | ( )|
Re so lu ció n
De la función propuesta, extraemos la expresión libre de valor absoluto, haciendo
que ésta se iguale a una expresión “y” libre, as :
( ) | ( )| | |
de modo que, ahora se tiene que:
( )
Luego procedemos a procesar esta última expresión.
Identificamos lo esencial para trazar la gráfica:
23

24. Asíntota que se ha originado de 5 – x = 0, esto debido a que en la función
canónica ( ) , se establece que su asíntota es x=0; en este ejercicio se ha
generalizado dicho criterio, pero la asíntota siempre será vertical.
Base 2, donde 1< 2, entonces por la observación hecha a las gráficas de la función
canónica logarítmica, la curva será creciente así:
asíntota
Pero existe signo negativo como coeficiente en el argumento del logaritmo
( ( ), esto implica que la gráfica cambiará de
comportamiento de modo que se convertirá en decreciente (pero siempre a la
derecha de ), puesto que la función original con base mayor que uno, tendrá
como equivalente una función logarítmica con base menor que uno debido a la
presencia del signo negativo del logaritmo, así:
( ) ( ) ( ) que por propiedad de logaritmos queda
equivale a
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
En resumida cuenta se tiene:
( )
( )
Esto sustenta lo que se ha dicho, que la gráfica ahora se ha convertido en
decreciente, así:
asíntota
Además, existe signo negativo como coeficiente en el argumento del logaritmo
( ( )
( ), esto implica que la gráfica se reflejará a la izquierda
de la asíntota , puesto que obedeciendo a la definición debe cumplirse que
0< 5 - x que implica que x < 5, que efectivamente indica que la curva estará a la
izquierda de la asíntota y que además constituye el Dominio de esta función;
es decir:
asíntota
24

25. Intercepto con el eje x, hacemos y=0 en ( ),
O sea ( ) que resolviendo: ( ) ,
, lo que indica que la curva corta al eje
horizontal en -11; este resultado está a la izquierda de la asíntota de modo
que refuerza la deducción anterior.
Para efectos de gráfica, considerando el valor absoluto que tiene la función
propuesta para graficar, bastará con reflejar por encima del eje x la parte de la
gráfica de ( ), que está por debajo de dicho eje.
Con estos datos, a continuación trazamos la gráfica:
Al observar la gráfica, es evidente que:
x  , 5
Dom(f)=
Ran(f)= [ [
25

26. LISTA DE MATERIAL DOCUMENTAL CONSULTADO
1) STEWART, J. "Cálculo, Trascendentes Tempranas". Editorial Thomson. 4 ed. Tr.
de Andrés Sestier. México 2002. p. 1151
2) FIGUEROA GARCÍA, R. “Cálculo I”. Editorial América. Perú 1996. p. 123-p.32.
3) Dorofeiev, Potapov y otros. “Temas selectos de Matemáticas Elementales”
Editorial MIR. Moscú 1975.
4) Marian Wisniewski, P. y Gutiérrez Banegas, A. L. “Introducción a la matemáticas
Universitarias”. Editorial Mc Graw-Hill. México 2003. P. 366
5) Saal Riqueos, C. et al. “Introducción al Cálculo”. Vol. I. Editorial Gómez. Perú S/A.
p. 160 – p. 163
6) http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#Las%20
funciones%20exponenciales
7) http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#funciones
%20trascendentes.
8) http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html
Observación: Las páginas Web de Internet fueron consultadas en el lapso de febrero
del 2010 a julio de 2010.
26