3 ESO-Tema12-Funciones

Tema 12: Funciones 1

TEMA 12: FUNCIONES
1.- INTRODUCCIÓN

1.1.-COORDENADAS CARTESIANAS
Ya conocen los ejes cartesianos, así que vamos a definirlo formalmente y a hacer un
esquema.

Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares y
graduadas, una horizontal, llamada eje de las abscisas o eje OX, y una vertical, llamada
eje de ordenadas o eje OY.
El punto de intersección de los ejes es el origen de coordenadas.
Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(x,y).
La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del punto; la coordenada y,
medida en el eje vertical, es la ordenada.

A la hora de dibujar los ejes, es muy importante marcar la escala que vamos a utilizar.

2.- CONCEPTO DE FUNCIÓN
Una función es una relación entre dos magnitudes, que representamos por x (variable
independiente) e y (variable dependiente de x), que asocia a cada valor de x un único
valor de y.
El dominio de una función f es el conjunto de valores de la variable independiente en los
que está definida la función, y se representa por D(f).
El recorrido de una función f es el conjunto de valores que toma la variable
dependiente, y se representa por R(f).

2.1.-FÓRMULAS, TABLAS Y GRÁFICAS
Hay veces que dos magnitudes pueden estar relacionadas de alguna forma.

Ejemplo

¿Cuál es el área de un cuadrado?

Respuesta: A=l 2 → Esto es una fórmula.
Tenemos dos variables: el lado (l) y el área (A), donde A depende de l.

¿Cuánto vale el área según vale el lado?
Podemos hacer una tabla:
Lado 1 1,5 2 2,5 3 3,5 …
Área 1 2,25 4 6,25 9 12,25 …

Luis Alonso http://www.educa2.madrid.org/web/luis.alonsoizquierdo


Pero además podemos verlo como una gráfica,
gracias a la tabla que hemos hecho. Para ello
debemos dar nombre a los ejes: el eje horizontal
es el lado y el eje vertical es el área.

Entonces, si tenemos dos variables dependientes podemos expresarlo mediante una
fórmula, una tabla o una gráfica.
La magnitud que se fija previamente es la variable independiente y la que se deduce de
la otra es la variable dependiente.

Ejercicios 1, 2 (p. 207), 18 (p. 216).

2.2.-REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

De tabla a gráfica
Si ya tenemos la relación entre las variables dadas en forma de tabla, basta con dibujar
cada punto como el par de valores asociados, cuya abscisa es el valor de la variable
independiente y cuya ordenada es el valor de la variable dependiente.
Luego podemos interpretar los valores intermedios uniendo los puntos.

De fórmula a gráfica
Para representar gráficamente una fórmula, construimos una tabla dando valores a la
variable independiente y calculando el valor numérico de la variable dependiente
sustituyendo el primer valor en la fórmula.
Representamos los puntos como en el apartado anterior.
Y por último estudiamos si tiene sentido unir los puntos.

Dibuja las relaciones de los ejercicios 1 y 2.

Ejercicios 3 y 4 (p. 208).



3.- CONTINUIDAD
Decimos que una función es continua si puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
Es discontinua cuando no es continua.

Pero podemos verlo de una manera más formal:
• Una función f es continua en x=a si a pertenece al dominio y la variación
f(a+h)f(a) se aproxima a 0 cuando h tiende a 0.
• Si la función no es continua en x=a, entonces decimos que la función es
discontinua en x=a.
• Una función es continua en un intervalo (a,b) cuando es continua en todos sus
puntos.

Ejemplo

Explica si las siguientes gráficas corresponden a funciones continuas o
discontinuas, y en este caso, señala los puntos de discontinuidad.

a) La función es discontinua en x=2 y en x=6 porque la gráfica “pega un
salto” y por tanto no se puede dibujar alrededor de x=2 o del x=6 sin
levantar el lápiz del papel. En el resto es siempre continua, porque en los
otros tramos podemos dibujar los segmentos rectilíneos sin levantar el
lápiz del papel.
b) Es una función continua en todos sus puntos porque podemos dibujar la
gráfica sin levantar el lápiz del papel.

Ejercicios 36, 37, 38, 41, 43 (p. 179).
Ejercicios resueltos 39 y 42 (p. 179).



4.- VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN
La variación de la función en un intervalo nos indica simplemente cuánto ha variado la
función en dicho intervalo; es decir, es la diferencia entre los valores de la función en el
extremo menos el origen.
Ejemplo
La evolución del número de personas que acceden a una página web a una
determinada hora está representada en la gráfica de la página 210.
a) ¿En cuánto ha variado el número de personas conectadas de 8 a 9?
b) ¿Y de 10 a 12?
c) ¿Y de 16 a 19?
Eso es la variación de la función en un intervalo.

La variación de f(x) en (a,b) es V[a,b]=f(b)f(a).
Se supone que la función es continua en el intervalo [a,b].

Ejercicio resuelto 3 (p. 210).
Ejercicios 7, 8 y 9 (p. 210).

5.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Intuitivamente ya conocemos todos cuándo una función crece y cuándo decrece. Para ello
únicamente tenemos que ver su gráfica: si sube la gráfica, es que crece, y si baja, es que
decrece. Veamos formalmente qué es.

Una función es creciente si al aumentar la variable independiente, la variable
dependiente también aumenta. Es decir, la tasa de variación es positiva.
Una función es decreciente si al aumentar la variable independiente, la variable
dependiente disminuye. Es decir, la tasa de variación es negativa.
Una función es constante si al aumentar la variable independiente, la variable
dependiente vale siempre lo mismo. Es decir, la tasa de variación es cero.

Diremos siempre que es creciente, decreciente o constante en un tramo determinado.



Ejemplo
Dibuja una función continua que sólo sea decreciente en el intervalo
comprendido entre x=0 y x=6.

Ejercicio resuelto 4 (p. 211).

6.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Una función presenta un máximo en un punto si a la izquierda crece y a la derecha
decrece.
Una función presenta un mínimo en un punto si a la izquierda decrece y a la derecha
crece.
De una manera más formal:
• Una función f tiene un máximo relativo en x=a si f(a) es el mayor valor de la
función en un entorno de a.
• Una función f tiene un mínimo relativo en x=a si f(a) es el menor valor de la
función en un entorno de a.
• Una función f tiene un máximo absoluto en x=a si f(a) es el mayor valor de la
función en todo el dominio.
• Una función f tiene un mínimo relativo en x=a si f(a) es el menor valor de la
función en todo el dominio.



Ejemplo

a) Señala los máximos y los mínimos de la siguiente función.

La función presenta un mínimo en x=3, un máximo en x=0 y un mínimo en
x=3.

b) ¿Qué valor toma la función en dichos puntos?
En x=3, y=3; en x=0, y=0; en x=3, y=3.

Ejercicio resuelto 5 (p. 212)
Ejercicios 12 y 13 (p.212).

7.- SIMETRÍA Y PERIODICIDAD

7.1.-Simetrías
Una función puede ser simétrica respecto del eje de ordenadas y respecto del origen de
coordenadas. Pero nunca podrá ser simétrica respecto del eje de abscisas. Gráficamente
es muy sencillo verlo.
Una función f es par o simétrica respecto del eje de ordenadas, cuando f(x) y f(x)
toman valores iguales para todo x del dominio. Es decir: f(x) = f(x).
Una función f es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas, cuando f(x) y
f(x) toman valores opuestos para todo x del dominio. Es decir: f(x) = f(x).

7.2.-Periodicidad
Una función es periódica cuando se repite todo el rato lo mismo.
Una función es periódica cuando los valores que toma se repiten cada cierto intervalo fijo
de las abscisas T que se llama periodo. Es decir, f(x+T)=f(x).




7.3.-Puntos de corte con los ejes
Los puntos de corte con los ejes son los puntos donde la gráfica corta al eje OX
(cuando la y=0) y al eje OY (cuando la x=0).

Básicamente tenemos que mirar la gráfica y ver cuándo la gráfica corta al eje de abscisas
(y esos serán los puntos de corte de la gráfica con el eje OX) y ver cuándo la gráfica corta
al eje de ordenadas (y ése será el punto de corte de la gráfica con el eje OY, que será un
único punto).

Ejemplo resumen de todo lo visto

Observa la siguiente gráfica.

a) ¿Es una función continua o discontinua?
Es una función continua.
b) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de corte con el eje de
abscisas?
Los puntos de corte con el eje de abscisas son: A(7, 0), O(0, 0), B(6, 0).
c) ¿En qué puntos corta al eje de ordenadas?
El punto de corte con el eje de ordenadas es el origen O(0, 0).
d) Indica si tiene máximos y mínimos. ¿Cuáles son sus coordenadas?
Tiene un máximo en C(2, 4) y un mínimo en D(3, 4).
e) Describe el crecimiento y decrecimiento de la función.
La función es creciente hasta x=2, decreciente desde x=2 hasta x=3 y
creciente de x=3 en adelante.

Ejercicios 40 (p. 218), 46, 47, 48, 49, 50 (p. 219).



8.- ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN
Lo más importante al trabajar con funciones es entender y comprender el sentido de sus
gráficas. En este sentido, tenemos que ser capaces de interpretar una gráfica y contar
qué está pasando en ella con palabras.

Ejercicios 42, 43 (p. 218).
Voluntarios: 44 y 45.


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