El documento aborda la evolución de la geometría desde Euclides y sus postulados hasta las geometrías no euclidianas, como la hiperbólica y elíptica, introducidas por Lobashevski y Riemann. También se discuten contribuciones de artistas del Renacimiento y el desarrollo de la geometría diferencial a partir de Gauss, que se centra en propiedades locales de curvas y superficies. Finalmente, se menciona el programa de Erlanger de Klein, que clasifica geometrías según las propiedades invariantes bajo transformaciones.

1. Geometría III
Cuando las rectas se vuelven curvas

2. Euclides, sus elementos y el quinto postulado
• Vivió antes que Arquímedes, aprox. Entre los a los 325 y 265 a.C.
• Alrededor del año 300 a.C. Euclides escribió su obra magna Los Elementos de
Geometría. Donde recoge todo el saber matemático de la época.
• Parece ser que esta es la obra mas difundida después de la biblia.
• La primera versión impresa apareció en Venecia en 1482 y fue una traducción del
árabe al latín.
• Los Elementos de Geometría consta de 13 libros, que reúnen un total de 465
proposiciones, 372 teoremas y 93 problemas.

3. Los postulados
• Por dos puntos distintos pasa una recta.
• Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado indefinidamente.
• Hay una única circunferencia con un centro y un diámetro dado.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Dado una recta y un punto exterior a ella, pasa por dicho una y solo una recta paralela.
El quinto postulado llama la atención de manera inmediata.

4. La geometría de las pinturas del renacimiento
• Leonardo Da Vinci (1452-1519) y Alberto Durero (1471-1528) además de pintores
del renacimiento se convirtieron en grandes teóricos que llevarían un paso mas allá a
la historia de la pintura.
• Leonardo y Durero estaban empecinados en encontrar la manera de representar en
dos dimensiones una visión de tres dimensiones.
• ¿Cómo se puede crear una sensación de profundidad en un cuadro? Esta pregunta
dio origen a los conceptos de perspectiva, proyecciones y secciones. Que configura
una geometría especial.
• Geometría proyectiva.

5. Geometría proyectiva.
• La superficie de un cuadro fue considerada como una ventana de cristal a
través de la cual el artista veía el objeto motivo de la representación.
• Las líneas de visión que parten del objeto y convergen en el ojo pasaban a
través del cristal de la ventana, y los puntos en los que las líneas cruzan la
superficie de la ventana forman la proyección del objeto sobre dicha
superficie.
• El cuadrilátero de Saccheri.

6. Geometría Hiperbólica
• Nikolai Lobashevski (1798-1856)
• Janos Bolyai (1802-1860)
• Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
• Lobashevski propuso como alternativa al quinto postulado que, dada una recta L y
un punto P no perteneciente a la recta L, un numero infinito de rectas pueden ser
trazadas por P, paralelas a L.
• La suma de las medidas de los ángulos A, B y C es menor que 180°

7. Geometría Elíptica
• Bernhard Riemann (1826-1866)
• Poco tiempo después de la construcción de la geometría de Lobashevski y
Bolyai, otra geometría no euclídea vio la luz.
• Sustituyo El quinto postulado de Euclides por otro axioma. “dada una recta
R y un punto P no pertenecientes a ella, no existen rectas que pasen por P y
sean paralelas a la recta R”.
• La suma de las medidas de los ángulos A, B y C es mayor que 180°

9. Geometría Fractal
• Benoit Mandelbrot
• El termino “fractal” significa “roto”

10. Diferencias fundamentales
Geometría Euclídea
• Tradicional (mas de 2000 años)
• Dimensión entera.
• Trata objetos hechos por el hombre
• Descrita por formulas.
Geometría Fractal
• Moderna (50 años aprox.)
• Dimensión fractal.
• Apropiada para formas naturales.
• Descrita por algoritmos recursivos
(iteración)

11. Programa de Erlanger
¿Qué es entonces la geometría?
• Félix Klein (1849-1925) escribió una memoria en 1872 que puede
considerase, junto con la conferencia de Riemann y los elementos de
Euclides, uno de los puntos esenciales del estudio de la geometría.
• En ella, Klein abordo el problema de dar una definición formal de lo que es
la geometría, mas allá de la idea intuitiva que podemos de tener de ella.
• El Programa de Erlanger clasifica cada geometría según las propiedades que
se mantiene invariantes con respecto a cierto grupo de transformaciones.

12. El nacimiento de la Geometría
Multidimensional
• En 1827 con la publicación de Disquisitiones generales circa superficies curvas de
Gauss, nacía una nueva rama de la geometría, la geometría diferencial, que
consiste en la utilización del calculo diferencial e integral en el estudio de las
curvas y superficies del espacio euclídeo tridimensional.
• Newton y Leibniz (análisis de curvas) y, posteriormente, Euler y Monge
empezaron a utilizarlas para las superficies.

13. Geometría Diferencial
• Gauss se intereso por el estudio de las superficies motivado por los
problemas con que se enfrento en sus estudios sobre geodesia y cartografía.
• En Disquisitiones estableció un nuevo modelo de estudio al considerar las
superficies espacios geométricos en si mismas.
• Mientras que la geometría ordinaria estudiaba los objetos del plano y del
espacio en su totalidad, la nueva geometría diferencial centraba su atención
en las propiedades locales de las curvas y las superficies.