Geometría i power

Geometría I
Grupo Nº 3:
Fernández
Daniel
Kurtz
Johanna
Mujica
Graciela
Elia
Ayelen

¿De qué estamos hablando?
Es un sistema que permite representar las tres
dimensiones sobre una superficie plana, además
dando así una simulación del volumen de los
objetos creando una profundidad falsa por
medio de los puntos de fuga

Sus orígenes
La necesidad de representar el espacio tridimensional sobre
el plano da lugar a la aparición de la perspectiva en el
Renacimiento, período de transición entre la Edad Media y el
mundo moderno.
A finales del siglo XV y XVI se perfecciona la perspectiva bajo
la aportación de Leonardo da Vinci en su Tratado de la
pintura (1680) con la perspectiva del color, donde los colores
se difuminan según va aumentando la distancia y la
perspectiva menguante, donde los objetos o figuras van
perdiendo nitidez con la distancia.

Auxiliados por la geometría, podemos simular el efecto visual
de la perspectiva proyectando los objetos tridimensionales
sobre un plano (bidimensional) utilizando los métodos de la
perspectiva cónica. Recibe este nombre por el hecho de que
las líneas paralelas de proyección parten de un punto (a
modo de un cono). Mediante este procedimiento se pueden
obtener imágenes realistas. Sin embargo, la perspectiva
cónica no puede imitar fielmente la visión estereoscópica del
ser humano.

Geometría
Euclidiana
Desarrollada por Euclides en su obra “Los Elementos de
Geometría”, que consta de 13 Libros.

Destacaremos las siguientes definiciones:
 Un punto es aquello que no tiene partes.
 Una recta es una longitud sin anchura.
 Los extremos de un segmento son puntos.
 Una superficie es aquello que tiene sólo
longitud y anchura.
 Los extremos de una superficie son rectas o
segmentos de rectas.
 Un sólido es aquello que tiene longitud, anchura y profundidad.
 Un extremo de un sólido es una superficie.

Postulados:
 Dado dos puntos, es posible trazar un segmento.
 Dado un segmento, es posible prolongarlo tanto como se desee.
 Dado un centro y un radio, es posible construir
una circunferencia.
 Los ángulos rectos son iguales entre sí.

El quinto postulado:
a. Si una recta intercepta a dos rectas de modo que los ángulos interiores a un lado
de ella suman menos que dos ángulos rectos, estas dos rectas se interceptarán, si
se prolongan lo suficiente, hacia el lado en que la suma de sus ángulos interiores
es menor que dos rectos.
b. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar, una segunda recta paralela a la
primera, y solo una.

 Son todas las geometrías que poseen postulados y/o propiedades que difieren con
lo establecido en Los Elementos de Euclides.
 Existen diversas geometrías no euclidianas.
 Geometría hiperbólica.
 Geometría Elíptica.
 Principales exponentes:
 Carl Gauss.
 Janos Bolyai.
 Nikolai Ivanovich Lobachevsky.
 Bernhard Riemann.
 Giovanni Gerolamo Saccheri.

Sus orígenes
 Surge a partir de que diversos matemáticos que intentaron negar el
Postulado V, de la Geometría Euclidiana.
 Recordemos que el quinto postulado se caracteriza por ser sumamente
complejo.
 Los numerosos primeros intentos en tratar, mediante el absurdo del
quinto Postulado proporcionan algunas propiedades iniciales de las
geometrías hiperbólicas y elípticas.

• Hipótesis del ángulo recto: Los ángulos D y C son iguales y
rectos.
• Hipótesis del ángulo obtuso: Los ángulos D y C son iguales y
obtusos.
• Hipótesis del ángulo agudo: Los ángulos D y C son iguales y
agudos.

-(α +β +δ) = C. A α β δ
Fórmula de Lambert

Relación Gauss- F. Bolyai: comunicándose mediantes cartas los
descubrimientos de Janos.
Las geometrías no euclidianas, no fueron reconocidas por la totalidad
de la comunidad científica hasta el siglo XIX.
János Bolyai y e Nikolai Ivanovich Lobachevsk : denominados como
los autores básicos de la geometría no euclidiana.
El alemán Bernhard Riemann, buscando obtener su título de
Privatdozent, presentó su obra “Hipótesis en que se basa la geometría”.
Dato curioso:
La hipótesis en que se basa la geometría de Riemann fue publicada
recién en el año 1868, cuando el mismo matemático la presento en el
año 1854.

Geometría Hiperbólica
 Conocida como lobachevskiana o geometría Bolyai-lobachevskiana
 Cumple con los cuatro primeros postulados euclidianos.
 “Dada una recta r y un punto P externo a la recta, hay por lo
menos dos rectas distintas que pasan por el punto las cuales no
intersecan a la recta”
 Curvatura negativa.
 La suma de los ángulos interiores, de un triángulo, es siempre menor
180. Existen triángulos hiperbólicos ideales donde los tres ángulos
son iguales a cero grados.
 La geometría hiperbólica es crucial
para la Teoría de la Relatividad de Einstein
y se utiliza pródigamente en el campo
de la topografía.

Geometría Elíptica
 Satisface los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana y tiene curvatura
positiva.
 “Dada una recta r y un punto P externo a la recta, todas las rectas que pasan por el
punto intersecan a la recta”
 No existen líneas paralelas.
 La suma de los ángulos de un triángulo en la
geometría elíptica es siempre mayor que 180 grados.
 El teorema de Pitágoras no puede ser aplicado.
 Hay dos tipos principales de geometría elíptica:
la esférica
la proyectiva

Geometría Esférica
 “Un subconjunto de la geometría elíptica”
 Se basa en la superficie de una esfera en dos dimensiones.
 Los conceptos básicos de los puntos y las líneas se definen como en la geometría
euclidiana,
 Se define a la línea como “el recorrido más corto entre dos puntos” y se denomina
geodésica. Son círculos máximos, que son los círculos más grandes que se pueden
dibujar en una esfera.
 Ejemplo la line del ecuador.
 Aplicaciones la navegación y la astronomía.

Exponentes:
• Leonardo Da Vinci (1452-1519)
• Gerard Desargues (1591-1661)
• Rene Descartes (1596-1650)

CONTEXTO
• La geometría proyectiva nace
como consecuencia de los
esfuerzos realizados por los
artistas del Renacimiento para
representar de manera más
realista el mundo que les
rodeaba. El gran problema al
que se enfrentaron los pintores
del Renacimiento era cómo
plasmar el mundo
tridimensional real en un lienzo
bidimensional.

• Nació en Lyon el 21 de febrero de
1591.
• Fue matemático e ingeniero.
• Se intereso por las aplicaciones
sobre la geometría en la
arquitectura y la geometría.

Su
obra
• Las secciones cónicas.
• La invarianza de la razón
doble y las cuaternas
armónicas.
• La teoría de polares, de
ahí se obtiene su famoso
Teorema de Desargues

La
invarianza
de la razón
doble y las
cuaternas
armónicas
• Desargues demostró que la
razón doble es la misma en
cualquier sección.
• Cuaterna armónica: la
define a partir de la
involución: “A, B, E y F
forman una cuaterna
armónica si A y B son un
par de puntos conjugados
con respecto a los puntos
dobles E y F de una
involución”

Las secciones
cónicas y los
puntos
infinitos
• Como forma de
representar a un circulo
en distintas
perspectivas.
• También hace uso del
punto en el infinito.
• Ideas que tomo de
KeplerObra (1639)

Teoría de
los polares
 A partir de una circunferencia y un
punto exterior a ella A, considera
sobre cada recta que pasa por A y
corta a la circunferencia el cuarto
armónico de A respecto de los dos
puntos de intersección de la recta
con la circunferencia. Todos esos
puntos yacen en una recta que
llama polar del punto A.

Dice que en el plano
proyectivo, dos triángulos
son perspectivos desde un
punto si y sólo si son
perspectivos desde una
recta
Teorema
de
Desargues

• Nació el 25 de abril de 1849 en
Düsseldorf, Prusia (Alemania).
• Estudio Matemática y Física.
• En 1866 obtuvo el puesto de
asistente de laboratorio de Plucker.
• En 1872 ingreso como profesor en la
Universidad de Erlagen.

Su obra
• Programa de Erlagen
• Las geometrías Kleinianas:
Geometría Métrica,
Geometría Afín, Geometría
Proyectiva, la Topología
• En 1871 publico dos
artículos sobre la
geometría no euclidianas

Programa
de Erlagen
• Afirma que una geometría
es el estudio de ciertas
propiedades, que no
cambian cuando se le
aplican ciertas
transformaciones. Estas
propiedades se las llamo
invariantes.
• Incluyendo a la euclidiana
y no euclidiana.

 Matemático Italiano.
 Nació el 5 de setiembre de 1667 en San Remo,
Génova.
 Perteneciente a la Orden Jesuita, de la Compañía de Jesús.
 El duque de Saboya (Víctor Amadeo II), solía llamar a Giovanni
cuando necesitan a alguien para llevar a cabo cálculos matemáticos
difíciles.
 Saccheri murió a los 66 años, el 25 de octubre de 1733 en Milán,
Italia.
Su vida

Sus Obras
 Intentos por demostrar el postulado paralelo de Euclides.
 Trabajó en lógica matemática.
 Escribió destacables trabajos sobre geometría
no-euclidiana.
 Libros
 “Lógica demonstrativa” en el año 1701.
 “Euclidesab omni naevo vindicatus”
(Euclides liberado de toda imperfección),
en el año 1733.
 “La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque repugna a la
naturaleza de la línea recta".

 Nació el 15 de diciembre de 1802 en Kolozsvár, Imperio Austriaco (actualmente
Cluj, Rumania).
 Su padre fue el matemático Farkas Bolyai.
 En los años que van del1818 al 1822 Estudió
en la Universidad de Ingeniería Real en Viena.
 Al finalizar sus estudios, se unió al Cuerpo de
Armada de Ingeniería.
 Se retira de la armada por problemas de salud.
 El 27 de enero de 1860, fallece en lo que actualmente es Tirgu-Mures, Rumania.
Su vida

¿Sabias qué…?
 A la edad de cuatro años podía distinguir ciertas figuras
geométricas, conocía la función seno y era capaz de identificar
las principales constelaciones.
 A la edad de solo trece años aprendió cálculo y otras formas
mecánicas analíticas.
 Se destaco no solo en el área de la matemática, también era un
experto violinista e interpretó su música en Viena.

El mejor espadachín y bailarín en la Armada del Imperio Austriaco.
Experto lingüístico y habló nueve idiomas entre ellos Chino y
Tibetano.
Cada descubrimiento que Bolyai realizaba, era transmitido a su padre
por cartas.
Bolyai padre, era amigo de Gauss.
En 1945, se nombró en Cluj una universidad con su nombre que
corresponde ahora a la Universidad Babes-Bolyai.

Obras
 Reconocidas por Gauss: “Yo considero que este joven geómetra Bolyai es un genio
de primer nivel…”
 Reconocido por ser uno de los fundadores de la geometría no euclidiana.
 En 1831 creó un apéndice de solo 24 páginas, en un libro de su padre (Farkas)
sobre
matemáticas.
 Después de su muerte se
encontraron más de veinte
mil páginas de manuscritos
que se encuentran en la
biblioteca Bolyai-Teleki
en Tirgu-Mures.

Su vida
 Nació el 17 de septiembre de 1826, en una aldea
cercana a Dannenberg, Alemania.
 Su padre Friedrich Bernhard Riemann .
 En 1840 Riemann entro directamente en la clase
de tercero en el Liceo de Hanover y luego se
traslado al Johanneum Gymnasium en Lüneburg.
 En 1847 su padre reunió el dinero suficiente para que comenzara a
estudiar matemáticas.
 Fue alumno y discípulo de gauss, en 1859, se doctoro en matemática,
formuló por primera vez la hipótesis de Riemann (el cual sigue sin
resolverse),

Dio sus primeras conferencias en 1854, en las cuales fundó el campo
de la geometría de Riemann.
Lo ascendieron a profesor extraordinario en la universidad de
Göttingen en 1857 y se hizo profesor ordinario en 1859.
En 1862 se casó con Elise Koch.
Murió, el 20 de julio de 1866, de
tuberculosis en su tercer viaje a Italia
en Selasca.

Obras
 Diversos aportes en el área de la matemática:
 Geometría de Riemann
 Superficie de Riemann
 Integración de Riemann
 Función zeta de Riemann
 Variedad de Riemann
 Tensor métrico
 Combinó las ideas de Gauss referentes a la geometría no-euclidian,con
algunos principios de la última obra de Gauss sobre la medición de las
superficies curvas. Formando un importante sistema de Geometría
Diferencial que reveló formas generales para realizar las mediciones en un
espacio de cualquier curvatura y de un número cualquiera de dimensiones.
 La unificación de todas las geometrías se conoce hoy en día como geometría
de Riemann y es básica para la formulación de la Teoría de la Relatividad de
Einstein.

 Espacios curvos.
 En dicho espacio las trayectorias más cortas entre puntos son líneas curvas.
 Los triángulos se modifican al moverlos y la suma de sus ángulos, en lugar de ser
180 grados, varía cuando los triángulos se trasladan.
 La geometría de Riemann es una aplicación que a cada punto de la variedad, le
asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que
varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras
magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden
obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.
 El propósito de Riemann era introducir un nuevo objeto en las matemáticas que le
capacitase para describir todas las superficies, por complicadas que fueran.
 Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales se necesita una colección
de diez números en cada punto del espacio para describir sus propiedades. Por muy
retorcido o distorsionado que este en el espacio, esta colección de números en cada
punto es suficiente para codificar toda la información sobre dicho espacio. Hoy, esa
colección de números se denomina, el tensor métrico de Riemann.
 Hablando crudamente, cuanto mayor es el valor del tensor métrico, mayor es el
arrugamiento de la superficie, digamos de una hoja de papel, y el tensor métrico nos
da un medio para medir la curvatura en cada punto. Si alisamos completamente la
hoja arrugada, entonces recuperaremos la formula de Pitágoras.

Su vida
 Nació el 1 de julio de 1788 en Metz, Francia.
 Fue un matemático e ingeniero,
 Realizo sus estudios en la Escuela Politécnica y en la Academia Militar de su
ciudad natal.
 Fue oficial del ejército de Napoleón y participó en la campaña contra Rusia.
 Entre los años 1813 y 1814 estuvo retenido en la prisión de Saratoff, después
de haber sido dado por muerto durante la retirada de Moscú.
 Tras su vuelta a Francia se dedico a poner por escrito y dar a conocer sus
descubrimientos
 Murió en Paris, el 22 de diciembre de 1867.

Obras:
 Sus descubrimientos matemáticos más importantes, que renovaron la
geometría proyectiva, fueron gestados durante los años de cautiverio.
 La obra más conocida de Poncelet, Tratado de las propiedades proyectivas
de las figuras -1822-. Está centrado en tres ideas:
 Figuras homólogas.
 Principio de continuidad.
 Principio de dualidad.

Figuras Homólogas
Dos figuras son homólogas si una de ellas procede de la otra mediante una
sucesión de proyecciones y secciones. Se trata luego de encontrar para
cualquier figura su homóloga más sencilla, estudiar en ella las propiedades
invariantes mediante sección y proyección, y llegar de este modo a
propiedades de la figura originaria.

Principio de continuidad
Si una figura deriva de otra mediante un cambio continuo, toda propiedad de
la primera vale para la segunda. Este teorema afirma que los puntos de
intersección de los pares de lados opuestos de un hexágono inscrito en una
cónica están en línea recta.

Principio de dualidad
Fundado en la correspondencia entre polo y polar relativaa una cónica:
Dice que todo enunciado de geometría proyectiva plana permanece válido si
se sustituyen los puntos por rectas, las rectas por puntos, la concurrencia de
rectas por la colineación de puntos, etc. y viceversa.
Las líneas que unen los vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una
Cónica, pasan por un mismo punto

Su vida
 Nació el 9 de mayo de 1746 en Beaune, Francia,.
 Hijo de un vendedor ambulante. Estudió en las escuelas de Beaune, Lyon y
en la escuela militar de Mezieres.
 Ejerció como profesor de física a partir de los 16 años, a los 19 como
profesor de matemática.
 Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases
de geometría descriptiva durante más de diez años.
 Murió en París el 28 de julio de 1818.

Obra:
 Inventor de la geometría descriptiva.
 La geometría descriptiva es la que nos permite representar superficies
tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional.
 Libros:
• Geometria Descriptiva -1799-
• Aplicación del algebra a la geometría -1805-
• Aplicación del análisis a la geometría -1807-
• Estatica Tratado Elemental -1810-
 El sistema diédrico, también conocido como sistema Monge, que fue desarrollado
en su primera publicación en el año 1799.

Su vida
 Nació el 15 de abril de 1452 en villa Toscana de Vinci,
República de Florencia.
 Hijo natural de una campesina, Caterina (que se casó poco
después con un artesano de la región), y de Ser Piero, un
rico notario florentino.
 En 1460 se trasladó junto a su familia a Florencia, donde se
formó.
 Con 16 años entró en el taller del pintura de la escultora
Andrea Verrocchio, en Florencia, donde aprendió la técnica
pictórica y también nociones de mecánica e hidráulica.

 En 1472 ya figuraba como miembro del gremio de pintores, por lo
que pudo recibir encargos y trabajar por cuenta propia.
 En 1472 comenzó sus estudios de anatomía humana. A pesar de que
terminó pocas obras en este período.
 Leonardo consiguió un notable prestigio como pintor, arquitecto,
ingeniero y humanista.
 El 2 de mayo de 1519 murió en Cloux, Francia; su testamento legaba
a su alumno y fiel amigo Melzi todos sus libros, manuscritos y
dibujos, que éste se encargó de retornar a Italia.

Su obra
 Ayuda al matemático Luca Pacioli en su libro “La divina proporción”.
 Autor de “Tratado de la pintura”
 “La perspectiva es el freno y timón de la pintura. La pintura se basa en la perspectiva, que no
es otra cosa que un conocimiento perfecto de la función del ojo”
 “Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo”
 “No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar alguna de las ciencias matemáticas”
 Leonardo da Vinci domina por completo la perspectiva. Experto en otras formas de
transmitir profundidad como el “sfumatto” y el “claroscuro”.
 Sus obras más conocidas son:
 La Gioconda
 La Santa Cena

Alemán
Nacio en el año 1777 y fallecio en el año 1855
Matemático, físico y astrónomo.
Virtuoso matemático.
Aportes a la geometría:
1.Geometría diferencial
2.Geometría riemanniana

En 1796 demostró que se puede dibujar
un polígono regular de 17 lados con
regla y compás.
Fue el primero en probar rigurosamente
el teorema fundamental del álgebra.
En 1801 publicó el libro Disquisitiones
Arithmeticae, con seis secciones
dedicadas a la Teoría de números,
dándole a esta rama de las matemáticas
una estructura sistematizada.

Ruso
Nació en el año 1792 y falleció en el 1856
Aportes a la geometría:
Critica a la geometría euclidiana
Sistema de geometría no euclidiana
Principios de la geometría y geometría
imaginaria

Demonstración del Quinto
Postulado.
Critica a la geometría euclidiana
Sistema de geometría no euclidiana
Principios de la geometría y
geometría imaginaria

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