Graficos de funciones y continuidad

1. MATEMÁTICA 2: Horario 201
Semestre 2023 - 2
Semana 3
Gráficos de funciones y Continuidad.
Pontificia Universidad Católica del Perú
Estudios Generales Letras
2023 - 2
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2. Ejemplo
Dada la función
f (x) =
x3 − 8
(x − 1)2
Bosqueje la gráfica de f , indicando: Dominio, intersecciones con
los ejes y ası́ntotas vertical y oblicua. Indique el punto de
intersección de la gráfica de la función y su ası́ntota oblicua.
Solución: Dom (f ) = R − {1}
Intersecciones con los ejes
x = 0 ⇒ y = −8
y = 0 ⇒ x = 2
Ası́ntota Vertical: x = 1 con la siguiente justificación
lim
x→1+
x3 − 8
(x − 1)2
= −∞, lim
x→1−
x3 − 8
(x − 1)2
= −∞
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3. Ası́ntota Oblicua: y = mx + b, en donde
m = lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞
x3 − 8
(x − 1)2
x
= lim
x→+∞
x3 − 8
x3 − 2x2 + x
= lim
x→+∞
x3 1 − 8
x3
x3 1 − 2
x + 1
x2
= 1
b = lim
x→+∞
(f (x) − mx) = lim
x→+∞
x3 − 8
(x − 1)2
− x
= lim
x→+∞
2x2 − x − 8
x2 − 2x + 1
= lim
x→+∞
x2 2 − 1
x − 8
x2
x2 1 − 2
x + 1
x2
= 2
Se tiene y = x + 2.
Análogamente, cuando x → −∞
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4. Intersección del gráfico de f con su ası́ntota oblicua
x3 − 8
(x − 1)2
= x + 2 ⇒ x3
− 8 = x3
− 3x + 2
⇒ x =
10
3
, y =
16
3
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5. −10 −5 5 10
−10
−5
5
10
A.V: x = 1
A.O: y = x + 2
x
f (x)
Gráfica de f (x) = x3−8
(x−1)2
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6. Ejemplo
Dada la función
f (x) =
2x (x − 3) (x + 1)
(x + 3) (x − 1)
Bosqueje la gráfica de f , indicando: Dominio, intersecciones con
los ejes y ası́ntotas vertical y oblicua. Indique el punto de
intersección de la gráfica de la función y su ası́ntota oblicua.
Solución: Dom (f ) = R − {1. − 3}
Intersecciones con los ejes
x = 0 ⇒ y = 0
y = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = −1
Ası́ntotas verticales: x = 1, x = −3 con la siguiente justificación
lim
x→1+
2x (x − 3) (x + 1)
(x + 3) (x − 1)
= −∞, lim
x→1−
2x (x − 3) (x + 1)
(x + 3) (x − 1)
= +∞
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7. lim
x→−3+
2x (x − 3) (x + 1)
(x + 3) (x − 1)
= +∞, lim
x→−3−
2x (x − 3) (x + 1)
(x + 3) (x − 1)
= −∞
Ası́ntota oblicua: y = mx + b, en donde
m = lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞
2x(x−3)(x+1)
(x+3)(x−1)
x
= 2
b = lim
x→+∞
(f (x) − mx) = lim
x→+∞
2x (x − 3) (x + 1)
(x + 3) (x − 1)
− 2x
= lim
x→+∞
−8x2
x2 + 2x − 3
= lim
x→+∞
−8x2
x2 1 + 2
x − 3
x2
= −8
Se tiene
y = 2x − 8.
Análogamente, cuando x → −∞.
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8. El punto de intersección del gráfico de f con su ası́ntota se obtiene
del siguiente modo:
2x (x − 3) (x + 1)
(x + 3) (x − 1)
= 2x−8 ⇒ 2x x2
− 2x − 3
= (2x − 8) x2
+ 2x − 3
Entonces
2x3
− 4x2
− 6x = 2x3
− 4x2
− 22x + 24
Se obtiene
16x = 24 ⇒ x =
3
2
El punto de intersección es
3
2
, −5
.
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9. −10 −5 5 10
−10
−5
5
10
A.V: x = −3 A.V: x = 1
A.O: y = 2x − 8
x
f (x)
Gráfica de f (x)
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10. CONTINUIDAD
Definición
Sea f una función, se dice que f es continua en el punto de abscisa
a si verifica las siguientes condiciones:
1 Existe f (a)
2 Existe lim
x→a
f (x)
3 lim
x→a
f (x) = f (a)
Observación: Si al menos una de las condiciones anteriores no se
cumple, se dice que f es discontinua en el punto de abscisa a.
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11. Ejemplo
Analice la continuidad de la función
f (x) =



x3 − 8
x − 2
, x ̸= 2
12, x = 2
en el punto de abscisa 2.
Solución:
1 f (2) = 12,
2
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x3 − 8
x − 2
= lim
x→2
(x − 2) x2 + 2x + 4
x − 2
= lim
x→2
x2
+ 2x + 4
= 12
3 lim
x→2
f (x) = f (2)
∴ f es continua en el punto de abscisa 2.
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12. Ejemplo
Analice la continuidad de la función
f (x) =
(
2x − 3, x ≤ 1
x3−x
x−1 , x 1
en el punto de abscisa 1.
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13. Solución:
i. f (1) = −1 (Existe)
ii. Veamos la existencia de lim
x→1
f (x),
lim
x→1−
f (x) = lim
x→2
(2x − 3) = −1
lim
x→1+
f (x) = lim
x→2
x3 − x
x − 1
= lim
x→2
x x2 − 1
x − 1
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
x (x − 1) (x + 1)
x − 1
= lim
x→1+
x (x + 1) = 2
lim
x→1
f (x) no existe
∴ f es discontinua en el punto de abscisa 1.
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14. Ejemplo
El azúcar tiene un costo de 4 soles por cada kilogramo para
cantidades de hasta 60 kilogramos y de 3.50 soles por cada
kilogramo en el caso de cantidades por encima de los 60
kilogramos.
a. Si C (x)representa el costo por x kilogramos, halle C (x).
b. Analice la continuidad de la función C (x) en el punto x = 60.
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15. Solución
a. Tenemos
C (x) =



4x, 0 ≤ x ≤ 60
3.5x, x 60
b. Tenemos primero que C (60) = 240. Luego
lim
x→60−
C (x) = lim
x→60
(4x) = 240
y
lim
x→60+
C (x) = lim
x→60
(3.5x) = 210
por lo que limx→60 C (x) no existe. Ası́, la función C (x) no es
continua en x = 60.
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16. Continuidad en intervalos
1 f es continua en ]a, b[ si f es continua en cada x ∈ ]a, b[.
2 f es continua en [a, b] si
i. f es continua en ]a, b[
ii. lim
x→a+
f (x) = f (a), lim
x→b−
f (x) = f (b)
3 f es continua en [a, +∞[ si
i. f es continua en ]a, +∞[
ii. lim
x→a+
f (x) = f (a)
Análogamente se define la continuidad en otros intervalos.
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17. Ejemplo
Analice la continuidad de
f (x) =
p
−x2 + 5x − 4, 1 ≤ x ≤ 4
a. En el intervalo ]1, 4[
b. En el intervalo [1, 4]
Solución:
a. Justificamos que f es continua en cada x0 ∈ ]1, 4[
i. f (x0) =
p
−x2
0 + 5x0 − 4 existe
ii. lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
√
−x2 + 5x − 4 =
q
lim
x→x0
(−x2 + 5x − 4) =
lim
x→x0
f (x) =
p
−x2
0 + 5x0 − 4 existe
iii. De i) y ii) se tiene lim
x→x0
f (x) = f (x0)
Como f es continua en cada x0 ∈ ]1, 4[ se concluye que f es
continua en el intervalo]1, 4[.
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18. b. Para justificar la continuidad en [1, 4]
i. Ya se justificó que f es continua en ]1, 4[.
ii. f (1) = 0, f (4) = 0
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
p
−x2 + 5x − 4 = 0 = f (1) .
lim
x→4−
f (x) = lim
x→4−
p
−x2 + 5x − 4 = 0 = f (4) .
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