Este documento trata sobre la continuidad y los límites laterales en cálculo 1. Explica la definición de continuidad en un punto y en un intervalo, así como las discontinuidades removibles e inevitables. También cubre los límites laterales, la continuidad en intervalos cerrados, las propiedades de la continuidad y los límites infinitos. Resuelve ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta una introducción a los límites y sus propiedades. Explica cómo calcular límites numérica y gráficamente, y define formalmente el concepto de límite. Además, describe las propiedades de los límites, incluidos los límites infinitos y la continuidad de funciones. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar los diferentes tipos de límites y teoremas sobre límites.
EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Y DERIV...tatu906019
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre definiciones y propiedades de límites y derivadas. Contiene temas como límites laterales, límites infinitos, asíntotas, continuidad en puntos y intervalos, límites trascendentes y trigonométricos, derivación por incrementos, derivadas de funciones compuestas e inversas, y derivación de funciones implícitas. El objetivo es resolver ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de cálculo diferencial e integral.
1. El documento describe las funciones trascendentes, incluyendo las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
2. Las funciones trascendentes son aquellas cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Las funciones trigonométricas directas asocian un ángulo dado con el valor de su seno, coseno, tangente, etc.
3. La función exponencial de base a mapea cada número real x a ax. Si a>1 la función es crecient
El documento trata sobre el cálculo infinitesimal, que estudia el cambio de manera similar a como la geometría estudia el espacio. Tiene amplias aplicaciones en ciencia e ingeniería para resolver problemas que el álgebra sola no puede. Incluye cálculo diferencial y cálculo integral, relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemáticas avanzadas, el cálculo se denomina análisis y se define como el estudio de funciones.
Este documento explica los conceptos fundamentales de continuidad de funciones, incluyendo: (1) las condiciones para que una función sea continua en un punto, (2) las categorías de discontinuidad, y (3) las propiedades de funciones continuas como suma, producto, cociente, etc. También cubre límites infinitos y asíntotas verticales.
Este documento presenta una introducción a los límites y sus propiedades. Explica cómo calcular límites numérica y gráficamente, y define formalmente el concepto de límite. Además, describe las propiedades de los límites, incluidos los límites infinitos y la continuidad de funciones. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar los diferentes tipos de límites y teoremas sobre límites.
EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Y DERIV...tatu906019
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre definiciones y propiedades de límites y derivadas. Contiene temas como límites laterales, límites infinitos, asíntotas, continuidad en puntos y intervalos, límites trascendentes y trigonométricos, derivación por incrementos, derivadas de funciones compuestas e inversas, y derivación de funciones implícitas. El objetivo es resolver ejercicios aplicando estas definiciones y propiedades de cálculo diferencial e integral.
1. El documento describe las funciones trascendentes, incluyendo las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
2. Las funciones trascendentes son aquellas cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Las funciones trigonométricas directas asocian un ángulo dado con el valor de su seno, coseno, tangente, etc.
3. La función exponencial de base a mapea cada número real x a ax. Si a>1 la función es crecient
El documento trata sobre el cálculo infinitesimal, que estudia el cambio de manera similar a como la geometría estudia el espacio. Tiene amplias aplicaciones en ciencia e ingeniería para resolver problemas que el álgebra sola no puede. Incluye cálculo diferencial y cálculo integral, relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemáticas avanzadas, el cálculo se denomina análisis y se define como el estudio de funciones.
Este documento explica los conceptos fundamentales de continuidad de funciones, incluyendo: (1) las condiciones para que una función sea continua en un punto, (2) las categorías de discontinuidad, y (3) las propiedades de funciones continuas como suma, producto, cociente, etc. También cubre límites infinitos y asíntotas verticales.
Este documento introduce conceptos clave del cálculo diferencial e integral de funciones reales de varias variables, incluyendo límites, derivadas parciales, gradiente, divergencia y rotacional. Explica definiciones, teoremas y propiedades con ejemplos para facilitar la comprensión de estos temas fundamentales. En conclusión, destaca la importancia de estas herramientas matemáticas para resolver problemas que involucran magnitudes como velocidad y aceleración media.
1) El documento explica conceptos fundamentales de límites y continuidad en análisis matemático como la aproximación a un punto y la noción de pequeñas variaciones. 2) Define una función continua como aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz y discute límites de funciones simples como polinomios. 3) Presenta teoremas clave sobre límites de funciones como sumas, productos y cocientes así como límites de funciones trascendentes y aparentemente indeterminados.
Este documento analiza las propiedades de varias funciones en diferentes apartados. En cada apartado, se calculan los límites en el infinito y en los puntos fuera del dominio, se indica la continuidad y los puntos de discontinuidad, y se identifican las posibles asíntotas. Los apartados contienen funciones polinómicas, racionales e irracionales con diferentes dominios y comportamientos asintóticos.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre límites de funciones, incluyendo:
1) La idea intuitiva de límite y cómo se acercan los valores de la función a un número cuando la variable se acerca a un punto.
2) La definición formal de límite y cómo depende de δ y ε.
3) Cómo calcular límites laterales y determinar si el límite existe.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de límites de funciones. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se acercan sus imágenes cuando los argumentos se acercan a ese punto. También define formalmente el límite y presenta métodos para calcular límites laterales, en el infinito y en puntos de discontinuidad.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de límites de funciones. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se acercan sus imágenes cuando los argumentos se acercan a ese punto. También define formalmente el límite y presenta conceptos como límites laterales, límites en el infinito y propiedades de los límites.
Determinar el límite de una función elemental por simple remplazo al valor donde será evaluado el límite buscando su respectiva imagen y resolver una indeterminada
Este documento presenta los conceptos fundamentales de límites de funciones. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se acercan sus imágenes cuando los argumentos se acercan a ese punto. También define formalmente el límite y presenta conceptos como límites laterales, límites en el infinito y propiedades de los límites.
Este documento presenta una introducción a las aplicaciones de las integrales. Explica conceptos como la tasa de variación media y la derivada, y cómo estas se pueden usar para determinar el crecimiento y decrecimiento de funciones. También cubre temas como la interpretación geométrica de la derivada, las reglas de derivación, y cómo encontrar máximos y mínimos locales de funciones derivables. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.
Limites infinitos y limites en el infinitoAngel E. RamOx
Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo en el cual dada la función f(x) = con dominio D = {x / x Î R Ù x ¹ 1}, se obtuvo que =6.
Para profundizar el significado de la expresión: f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6. Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas encabezadas por y .
1) La derivada implícita proporciona una técnica para calcular la derivada de una función definida implícitamente mediante una ecuación, sin necesidad de despejar la variable dependiente explícitamente.
2) Los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado se pueden determinar aplicando el teorema del valor extremo y encontrando los valores críticos al igualar la derivada a cero.
3) La concavidad de una función y el signo de su segunda derivada están relacionados: una función es cóncava hacia arriba
El documento explica las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales. Las asíntotas verticales son rectas x=x0 donde x0 son los polos de la función, es decir, los valores donde el denominador es 0. A medida que x se acerca a x0, el cociente tiende a infinito. Las asíntotas horizontales ocurren cuando el grado del numerador y denominador son iguales y es la recta y=cociente de los coeficientes mayores.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números reales e intervalos. Explica que los números reales (R) incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Define intervalos abiertos, cerrados e infinitos y describe operaciones como unión e intersección. Luego introduce conceptos fundamentales de funciones como dominio, periodicidad y simetría. Finalmente, define funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y radicales.
1) El documento presenta las aplicaciones de las derivadas en diferentes áreas como la física y la medicina. 2) Explica conceptos como la tasa de variación media y la derivada, y presenta reglas para calcular derivadas de funciones compuestas y logarítmicas. 3) Aplica el concepto de derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones y encontrar sus máximos y mínimos relativos.
Este documento describe funciones racionales. Explica que una función racional es una función cuya razón es un polinomio dividido por otro polinomio distinto de cero. Detalla las características de las gráficas de funciones racionales como puntos de discontinuidad y asíntotas verticales u horizontales. También define asíntotas y muestra ejemplos de trazar gráficas de funciones racionales identificando sus características clave.
Este documento introduce el concepto fundamental de la derivada de una función. Explica que la derivada de una función en un punto surge del cálculo de la tangente a la gráfica de la función en ese punto y representa la pendiente de dicha tangente. Además, muestra cómo calcular matemáticamente la derivada como un límite y resume algunas propiedades importantes como que una función debe ser continua para ser derivable.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Introduce las funciones reales de variable real, el concepto formal de límite, los límites infinitos y en el infinito, las propiedades de los límites y diferentes métodos para calcular límites, incluyendo las indeterminaciones. Finalmente, explica el concepto de continuidad y el teorema de Bolzano.
1) La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y tiene como dominio los números reales positivos y como rango los números reales. 2) La función logarítmica natural (ln x) es la inversa de la función exponencial natural (e^x) y su gráfica intersecta el eje x en 1. 3) Las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente son periódicas y están definidas para cualquier medida de ángulo, con rangos entre -1 y 1, excepto tangente y cotangente cuya amplitud es todo número
Este documento presenta nociones generales sobre funciones. Define una función como una relación entre dos cantidades donde una depende de la otra. Explica conceptos básicos como variable, dominio, codominio, gráfico e intervalos de monotonía. Describe diferentes tipos de funciones como lineales, cuadráticas y radicales. Finalmente, cubre temas como operaciones con funciones, funciones inversas y composición de funciones.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Este documento introduce conceptos clave del cálculo diferencial e integral de funciones reales de varias variables, incluyendo límites, derivadas parciales, gradiente, divergencia y rotacional. Explica definiciones, teoremas y propiedades con ejemplos para facilitar la comprensión de estos temas fundamentales. En conclusión, destaca la importancia de estas herramientas matemáticas para resolver problemas que involucran magnitudes como velocidad y aceleración media.
1) El documento explica conceptos fundamentales de límites y continuidad en análisis matemático como la aproximación a un punto y la noción de pequeñas variaciones. 2) Define una función continua como aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz y discute límites de funciones simples como polinomios. 3) Presenta teoremas clave sobre límites de funciones como sumas, productos y cocientes así como límites de funciones trascendentes y aparentemente indeterminados.
Este documento analiza las propiedades de varias funciones en diferentes apartados. En cada apartado, se calculan los límites en el infinito y en los puntos fuera del dominio, se indica la continuidad y los puntos de discontinuidad, y se identifican las posibles asíntotas. Los apartados contienen funciones polinómicas, racionales e irracionales con diferentes dominios y comportamientos asintóticos.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre límites de funciones, incluyendo:
1) La idea intuitiva de límite y cómo se acercan los valores de la función a un número cuando la variable se acerca a un punto.
2) La definición formal de límite y cómo depende de δ y ε.
3) Cómo calcular límites laterales y determinar si el límite existe.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de límites de funciones. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se acercan sus imágenes cuando los argumentos se acercan a ese punto. También define formalmente el límite y presenta métodos para calcular límites laterales, en el infinito y en puntos de discontinuidad.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de límites de funciones. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se acercan sus imágenes cuando los argumentos se acercan a ese punto. También define formalmente el límite y presenta conceptos como límites laterales, límites en el infinito y propiedades de los límites.
Determinar el límite de una función elemental por simple remplazo al valor donde será evaluado el límite buscando su respectiva imagen y resolver una indeterminada
Este documento presenta los conceptos fundamentales de límites de funciones. Explica que el límite de una función en un punto es el valor al que se acercan sus imágenes cuando los argumentos se acercan a ese punto. También define formalmente el límite y presenta conceptos como límites laterales, límites en el infinito y propiedades de los límites.
Este documento presenta una introducción a las aplicaciones de las integrales. Explica conceptos como la tasa de variación media y la derivada, y cómo estas se pueden usar para determinar el crecimiento y decrecimiento de funciones. También cubre temas como la interpretación geométrica de la derivada, las reglas de derivación, y cómo encontrar máximos y mínimos locales de funciones derivables. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.
Limites infinitos y limites en el infinitoAngel E. RamOx
Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo en el cual dada la función f(x) = con dominio D = {x / x Î R Ù x ¹ 1}, se obtuvo que =6.
Para profundizar el significado de la expresión: f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6. Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas encabezadas por y .
1) La derivada implícita proporciona una técnica para calcular la derivada de una función definida implícitamente mediante una ecuación, sin necesidad de despejar la variable dependiente explícitamente.
2) Los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado se pueden determinar aplicando el teorema del valor extremo y encontrando los valores críticos al igualar la derivada a cero.
3) La concavidad de una función y el signo de su segunda derivada están relacionados: una función es cóncava hacia arriba
El documento explica las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales. Las asíntotas verticales son rectas x=x0 donde x0 son los polos de la función, es decir, los valores donde el denominador es 0. A medida que x se acerca a x0, el cociente tiende a infinito. Las asíntotas horizontales ocurren cuando el grado del numerador y denominador son iguales y es la recta y=cociente de los coeficientes mayores.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números reales e intervalos. Explica que los números reales (R) incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Define intervalos abiertos, cerrados e infinitos y describe operaciones como unión e intersección. Luego introduce conceptos fundamentales de funciones como dominio, periodicidad y simetría. Finalmente, define funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y radicales.
1) El documento presenta las aplicaciones de las derivadas en diferentes áreas como la física y la medicina. 2) Explica conceptos como la tasa de variación media y la derivada, y presenta reglas para calcular derivadas de funciones compuestas y logarítmicas. 3) Aplica el concepto de derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones y encontrar sus máximos y mínimos relativos.
Este documento describe funciones racionales. Explica que una función racional es una función cuya razón es un polinomio dividido por otro polinomio distinto de cero. Detalla las características de las gráficas de funciones racionales como puntos de discontinuidad y asíntotas verticales u horizontales. También define asíntotas y muestra ejemplos de trazar gráficas de funciones racionales identificando sus características clave.
Este documento introduce el concepto fundamental de la derivada de una función. Explica que la derivada de una función en un punto surge del cálculo de la tangente a la gráfica de la función en ese punto y representa la pendiente de dicha tangente. Además, muestra cómo calcular matemáticamente la derivada como un límite y resume algunas propiedades importantes como que una función debe ser continua para ser derivable.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Introduce las funciones reales de variable real, el concepto formal de límite, los límites infinitos y en el infinito, las propiedades de los límites y diferentes métodos para calcular límites, incluyendo las indeterminaciones. Finalmente, explica el concepto de continuidad y el teorema de Bolzano.
1) La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y tiene como dominio los números reales positivos y como rango los números reales. 2) La función logarítmica natural (ln x) es la inversa de la función exponencial natural (e^x) y su gráfica intersecta el eje x en 1. 3) Las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente son periódicas y están definidas para cualquier medida de ángulo, con rangos entre -1 y 1, excepto tangente y cotangente cuya amplitud es todo número
Este documento presenta nociones generales sobre funciones. Define una función como una relación entre dos cantidades donde una depende de la otra. Explica conceptos básicos como variable, dominio, codominio, gráfico e intervalos de monotonía. Describe diferentes tipos de funciones como lineales, cuadráticas y radicales. Finalmente, cubre temas como operaciones con funciones, funciones inversas y composición de funciones.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
3. CONTINUIDAD
Continuidad en un punto
Una función f es continua en c si satisface las tres condiciones siguientes:
a) f(c) está definida.
b) lim 𝑓(𝑐) existe.
𝑥→𝑐
c) lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
4. CONTINUIDAD
Continuidad en un intervalo abierto
Una función es continua en un intervalo (a,b) si es continua en cada
punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los
números reales (−∞, ∞) es continua en todas partes.
5. CONTINUIDAD
Una discontinuidad en c es removible o evitable si f se puede hacer continua
definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f(c).
Considere un intervalo abierto I que contiene un número real c. Si la función f está
definida en I (excepto posiblemente en c) y no es continua en c, se dice que f tiene
una discontinuidad en c.
Las discontinuidades se clasifican en dos categorías: removibles o no removibles.
6. CONTINUIDAD. EJEMPLOS
Solución: El dominio de f lo constituyen todos los
números reales distintos de 0, por lo tanto f es
continua en todos los valores de x de su dominio.
En x=0, f tiene una discontinuidad inevitable o no
removible. En otras palabas, no hay modo de
definir f(0) para hacer que la nueva función sea
continua en x=0.
Solución: El dominio de g lo constituyen todos
los números reales, excepto x=1. por lo tanto g
es continua en todos los valores de x de su
dominio.
En x=1, la función presenta una discontinuidad
evitable o removible. La “nueva” función es
continua para todos los números reales.
7. CONTINUIDAD. EJEMPLOS
𝑥→0
El dominio de h esta formado por todos los números
reales. La función h es continua sobre (−∞, 0) y en
0, ∞ , y puesto que lim ℎ 𝑥 = 1 h es continua en toda
la recta real.
El dominio de y esta formado por todos los números
reales. La función es continua en todo su dominio
(−∞, ∞).
9. Límites laterales
El límite por la derecha significa que x se
aproxima a c por valores superiores a c
El límite por la izquierda significa que x
se aproxima a c por valores inferiores a c
11. Continuidad sobre un intervalo cerrado
La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b
𝑥→𝑎+
Una función f es continua sobre un intervalo cerrado [a,b] si es
continua sobre el intervalo abierto (a,b) y lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) y
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
𝑥→𝑏−
12. Propiedades de la continuidad
Si b es un numero real y f y g son continuas en x=c, entonces las
siguientes funciones también son continuas en c.
𝑔
1. Múltiplo escalar 𝑏𝑓
2. Suma y diferencia 𝑓 ± 𝑔
3. Producto 𝑓𝑔
𝑓
4. Cociente , 𝑔(𝑐) ≠ 0
13. Continuidad de una función compuesta.
Si g es continua en c y f es continua en g(c), entonces la función compuesta dada
por 𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 es continua en c.
Ejemplos. Describa los intervalos donde cada función es continua.
Propiedades de la continuidad
14. a) La función tangente 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 no está definida en 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑛𝜋.
En todos los demás puntos es continua, entonces es continua en todos
los intervalos abiertos.
Propiedades de la continuidad
15. Puesto que 𝑦 =
1
𝑥
es continua, excepto en
x=0, y la función seno es continua para
todos los valores reales de x, resulta que
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 1
es continua en todos los valores
𝑥
reales salvo en x=0. En x=0, no existe el
límite de g(x). Por lo tanto g es continua en
los intervalos −∞, 0 𝑦 (0, ∞).
Propiedades de la continuidad
17. EJERCICIOS
1)
Solución: Para que la función f sea continua
en x=3, debe ocurrir que:
Como la función se define de diferentes manera
a la derecha y a la izquierda de x=3, debemos
usar límites laterales.
Límite por la derecha:
𝑥→3
Por lo tanto, lim 𝑓(𝑥) no existe, no hay
continuidad en x=3.
18. EJERCICIOS
Mientras que
2).
Solución: Debemos analizar la continuidad en los puntos x=5 y
x=9, en vista de que el resto de los puntos, la función es
continua.
Continuidad en x=5: Haciendo uso de los límites laterales
21. LIMITES INFINITOS
𝑥→𝑐
Sea f una función definida en todo numero real de un
intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente,
en el propio c). La expresión:
lim 𝑓 𝑥 = ∞
𝑥→𝑐
Significa que para toda 𝑀 > 0 existe una δ > 0 tal que
f(x) > 𝑀, siempre que 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿.
Del mismo modo, la expresión
lim 𝑓 𝑥 = −∞
Significa que para todo 𝑁 < 0 existe una δ > 0 tal que
f(x) > 𝑀, siempre que 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿.
22. LIMITES INFINITOS
Determine los límites al infinito a partir de la gráfica.
Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda o por
la derecha, (𝑥 − 1)2 es un número positivo
1
pequeño. Así, el cociente es un número
(𝑥−1)2
grande y f(x) tiende a infinito por ambos lados
de x=1. De modo que se puede concluir:
23. Determine los límites al infinito a partir de la gráfica.
Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, (𝑥 − 1) es un
LIMITES INFINITOS
−1
número negativo pequeño. Así, el cociente es un
número positivo grande y f(x) tiende a infin𝑥
it
−
o
1
por la
izquierda de x=1. De modo que se puede concluir:
Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, (𝑥 − 1) es un
−1
número positivo pequeño. Así, el cociente es un
número negativo grande y f(x) tiende a men𝑥
o
−
s1
infinito
por la derecha de x=1. De modo que se puede concluir:
24. ASINTOTAS VERTICALES
• Definición: Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende
a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x=c es una
asíntota vertical de la gráfica de f.
• NOTA. Si la gráfica de una función f tiene una asíntota vertical en x=c,
entonces f no es continua en c.
25. Ejemplos. Calcular las asíntotas verticales
Cuando x=-1, el denominador de la función es igual a 0 y el numerador
no lo es. Por tanto, se puede concluir que x=-1 es una asíntota vertical.
26. Ejemplos. Calcular las asíntotas verticales
Al factorizar el denominador se anula en x=-1 y en x=1. Además, dado
que el numerador no es 0, la gráfica tiene dos asíntotas verticales.
27. Ejemplos. Calcular las asíntotas verticales
Al reescribir la función cotangente, se observa que las asíntotas verticales
tienen lugar en todos los valores de x, tales que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 y cos 𝑥 ≠ 0. Por
consiguiente la gráfica de esta función tiene infinitas asíntotas verticales.
28. Ejemplos. Calcular límites al infinito
Puesto que el denominador es 0 cuando x=1 (y el numerador no se anula), se
sabe que la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x=1. Esto
significa que cada uno de los límites dados son ∞ o −∞
En la gráfica se observa que la función tiende a ∞ por la
izquierda de 𝑥 = 1 y a −∞ por la derecha de 𝑥 = 1.
29. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES INFINITOS
Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que
1. Suma o diferencia
2. Producto
3. Cociente