Este documento trata sobre la continuidad de funciones en espacios topológicos. Explica que una función continua preserva la estructura topológica al mapear conjuntos abiertos en conjuntos abiertos. Luego define la continuidad en un punto y un intervalo, y provee ejemplos para ilustrar estos conceptos. Finalmente, concluye resaltando la importancia de la continuidad para estudiar y comparar espacios topológicos.

1. Función continua en espacio topológico
Asignatura: Topología
Integrantes: Maquin Sotomayor
Alessandro Raul
Docente: Roman Leon
Elder Junior
Huacho – Perú
2023

3. introducción
Una función continua entre espacios topológicos es un
concepto importante en la topología. En términos generales,
una función entre dos espacios topológicos se considera
continua si preserva la estructura topológica de los conjuntos,
es decir, si los conjuntos abiertos en el espacio de llegada se
mapean en conjuntos abiertos en el espacio de salida.

4. CONTENID
O.
1. Introducción.
2. Continuidad en un punto.
3. Continuidad en un intervalo.
4. Funciones Continuas.
5. Ejemplos.

5. INTRODUCCIÓ
N.
La idea intuitiva de lo
que conocemos por
trazo continuo es el
dibujo de una línea sin
saltos, es decir, el
trazo de un lápiz sin
despegar la punta del
papel.

6. INTRODUCCIÓ
N.
⦿ Esta idea se traspone
al gráfico de una
función y de esto se
deduce la definición de
continuidad de una
función.
⦿ Observemos los
siguientes gráficos.
⦿

7. CONTINUIDAD EN UN
PUNTO
⦿ Definición:
Decimos que una función f es continua en un
punto x = a, si se cumplen las siguientes
condiciones:
f (a) exista Lim f (x) exista
xﾮ a
xﾮ a
Lim f (x)  f (a)

8. CONTINUIDAD EN UN
PUTO.
La primera condición
f (a) exista
Establece que
la función debe estar
definida en el punto
donde se requiere la
continuidad, es decir, f(a)
debe ser un número
real.

9. CONTINUIDAD EN UN
PUNTO.
⦿ La segunda condición
Lim f (x) exista
xﾮ a
Establece que
Los valores de la función
deben aproximarse a un
único número real en la
medida de que x se
aproxime a a por la
izquierda y por la
derecha.

10. CONTINUIDAD EN UN
PUNTO.
⦿ La tercera condición
Establece que
Los valores de la función
deben aproximarse
precisamente al número
real f(a) en la medida de
que x se aproxime a a
por la izquierda y por la
derecha.
xﾮ a
Lim f (x)  f (a)

11. CONTINUIDAD EN UN
PUNTO.
⦿ Ejemplo: La función definida por medio de
es continua en
En efecto,
f (x)  x2
x  3.
xﾮ 3
f (3)  32
 9
Lim x2
 9
x3
Lim x2
 f (3)  9

12. CONTINUIDAD EN UN
PUNTO.
⦿ En el gráfico siguiente vemos la continuidad de esta función
en el punto indicado:

13. CONTINUIDAD EN UN
PUNTO.
⦿ Ejemplo: La función definida por medio de
no es continua en
En efecto, f (1) no existe como valor numérico, puesto que
al sustituir x por el número 1 obtenemos una división por
cero. Tan solo el hecho que la función no cumpla esta
condición hace que no sea continua.
f (x) 
1
x 1
x 1.

14. CONTINUIDAD EN UN
PUNTO.
⦿ Veamos el siguiente gráfico.

15. CONTINUIDAD EN UN
INTERVALO.
⦿ Definición:
Decimos que una función
es continua en un intervalo
I, si es continua en cada
elemento del interior del
intervalo. Es decir, si se
cumplen las tres
condiciones de
continuidad en un punto,
para cada punto c en int(I).
De la gráfica del ejemplo
anterior observamos que
la función es continua en
cualquier intervalo que no
contenga el número 1.

16. FUNCIÓN
CONTINUA.
⦿Definición:
Decimos que una función es
continua, cuando ella es
continua en todo punto de su
dominio.

17. EJEMPLO # 1.
⦿ Determinar si la función
es continua.
⦿Respuesta:
Ya que el dominio de esta función es todo el
conjunto de números reales, entonces, debemos
probar las tres condiciones de continuidad en cada
número real.
f (x)  3x3
 5

18. EJEMPLO # 1.
Para hacer esto escogemos un número arbitrario,
es decir, un número a cualquiera, y verificamos las
tres condiciones.
f (a) exista f (a)  3a3
 5
Lim f (x) exista
xﾮ a xﾮ a
Lim (3x3
 5)  3a3
 5
xﾮ a
Lim f (x)  f (a)
Obviamente los resultados
anteriores coinciden, y por
lo tanto esta condición se
cumple

19. Ejemplo # 1.
La gráfica de esta función es

20. EJEMPLO # 2.
⦿ Determinar si la función
es continua.
Respuesta: Observamos que la función dada posee
dos reglas o formas para transformar el argumento
x.
f (x)  
3x  5, si x  2
 x2
, si x  2

21. EJEMPLO # 2.
la primera de ellas es válida solo cuando el
argumento x obtiene sus valores en el intervalo,
(ﾥ ,2]
la segunda regla es válida solo cuando el
argumento x obtiene sus valores en el intervalo
(2,ﾥ )
Precisamente, cuando x = 2, hay un cambio de
regla.

22. EJEMPLO # 2.
Estas observaciones nos ayudaran a determinar la
continuidad de la función dada.
Sea x = a en el intervalo
(ﾥ ,2]
entonces,
f (a)  a2
existe existe
xﾮ a
Lim x2
 a2 Es claro que los
valores anteriores
son iguales

23. EJEMPLO # 2.
Concluimos que la función es continua para los
valores de x menores que 2.
Consideremos x = a en el intervalo con valores
mayores que 2.
f (a)  3a  5 existe xﾮ a
Lim 3x  5  3a  5 existe
Es claro que los
valores anteriores
son iguales

24. EJEMPLO # 2.
Solo queda estudiar la continuidad cuando x = 2.
f (2)  22
 4 existe
Lim x2
 22
 4
xﾮ 2
Lim 3x  5  3.2  5 11
xﾮ 2
Los límites laterales son
distintos, en consecuencia el
límite no existe

25. EJEMPLO # 2.
Como consecuencia la
segunda condición
falla, lo que nos hace
concluir que la función
no es continua en x
= 2. Por lo tanto, la
función no es
continua. Veamos su
gráfica.

26. conclusión
En resumen, una función continua entre espacios topológicos es
una función que respeta la estructura topológica de los conjuntos.
Esta definición es fundamental en la topología y se utiliza para
entender cómo las funciones interactúan con la topología de los
espacios que están relacionando. Una función continua es aquella
para la cual los conjuntos abiertos en el espacio de llegada se
mapean en conjuntos abiertos en el espacio de salida. La
continuidad en topología es esencial para definir conceptos más
avanzados, como homeomorfismos y diversas propiedades
topológicas. En resumen, la continuidad es un concepto clave que
permite estudiar y comparar diferentes espacios topológicos.

27. bibliografía
https://www.youtube.com/watch?v=TP4qKZVG7tEhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_t
opol%C3%B3gico#:~:text=Un%20espacio%20topol%C3%B3gico%20es%20una,espacios
%20topol%C3%B3gicos%20se%20llama%20topolog%C3%ADa.
https://www.youtube.com/watch?v=bvUtQziCKP0https://es.wikipedia.org/wiki/Base_de_e
ntornos
https://www.google.com/search?q=Interior,+cerradura+y+frontera+ppt&sca_esv=5710666
75&tbm=isch&source=lnms&sa=X&ved=2ahUKEwjGjLCWj-
GBAxUhBtQKHS9OBY0Q_AUoAXoECAIQAw&biw=1448&bih=767&dpr=0.9#imgrc=
v6ltkPAW9R3WMMEspacios Métricos y Topológicos (Wikilibro).
https://es.slideshare.net/walexander03/interior-exterior-y-frontera-de-un-conjuntoKelley,
John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
https://www.matesfacil.com/topologia/abiertos/bolas-abiertos-topologia-
usual.htmlhttps://slideplayer.es/slide/1104377/
https://www.pesmm.org.mx/Serie%20Textos_archivos/T18.pdf
https://www.matem.unam.mx/~max/TOP/N11.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=zw0lqdIuwv4
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/web-topologia/Adherencia.htm