Explicación de los conceptos de continuidad y discontinuidad. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.

1. CURSO CÁLCULO I
Continuidad
Dr. Juan R. Mejías Ortiz
By PresenterMedia.com

2. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
• Cuando se habla que un obrero ha permanecido en
su puesto de trabajo en forma continua por ocho(8),
implica que ha seguido en su labor sin parar en
ningún momento.
• Lo mismo ocurre en el estudio del cálculo. Una
función es continua en un intervalo si al trazar su
gráfica se logra sin interrupción. Esto es no existe un
hueco o salto.

3. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
La gráfica de la función
ilustrada a la izquierda es
continua. La misma puede
trazarse sin interrupción.
Las flechas muestran el
trazado de la gráfica de la
función.

4. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
• Una función es continua en x = c cuando no existe una
interrupción en el trazado de su gráfica en c. Esto es que no
existe un salto ni un hueco en x = c.
• Se dice que una función f(x) es continua en c cuando se
cumplen las siguientes condiciones.
1. La función esta definida en x = c. Esto es f(c) está definida.
2. lim 𝑓(𝑥) existe.
x→c
3. lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).
x→c
Una función es continua es un intervalo abierto (a, b) si es continua
en cada uno de los puntos del intervalo. Una función continua en
toda la recta real (-∞, ∞) es continua en todas sus partes.

5. Discute la Continuidad de cada Función
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 1/𝑥 2
El dominio es toda la recta El dominio es toda la recta f(x) no se puede definir en f(0).
(-, ). No existe hueco ni (-, ). No existe hueco ni A su vez existe un salto cuando
x = 0. Entonces, f(x) es
salto en la gráfica de f(x), salto en la gráfica de f(x), discontinua en x = 0. Sin
por lo cual es continua en por lo cual es continua en embargo es continua en
todo tiempo. todo tiempo. algunas partes.
O sea, en (-, 0)  (0, )

6. DISCONTINUIDAD
• Se dice que una función f(x) es discontinua en c
cuando se cumplen las siguientes condiciones.
1. La función no está definida en x = c.
2. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) en x = c no existe.
𝐱→𝐜
3. 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄).
𝐱→𝐜

7. DISCONTINUIDAD
Primera Condición
La función no está definida
en x = c. Existe un hueco
en la gráfica de f(x). Sin
embargo, es continua en
los demás puntos del
intervalo (a, b).

8. DISCONTINUIDAD
Segunda Condición
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) no existe
𝐱→𝐜
cuando x = c. Sin
embargo, es continua
en los demás puntos
del intervalo (a, b).

9. DISCONTINUIDAD
Tercera Condición
𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄) cuando
𝐱→𝐜
x = c. Sin embargo, es
continua en los demás
puntos del intervalo
(a, b).

10. DISCONTINUIDAD
• Las discontinuidades en una función pueden ser clasificadas
como evitable e inevitables.
• Las discontinuidades evitables son aquellas en donde f(x) se
puede hacer continua redefiniendo a f(c) apropiadamente. Los
ejemplos presentado en la 1ra y 2da condición son
representan discontinuidades inevitables.
• Las discontinuidades inevitables no permite una redefinición
de f(c).

11. EJERCICIOS
Identifica las discontinuidades.
Respuesta:
La función es discontinua
en x = -3 y x = 2.

12. EJERCICIOS
Identifica las discontinuidades.
Respuesta:
La función es discontinua
en x = -1, x = 3 y x = 5.

13. EJERCICIOS
Determina los intervalos donde la función
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 es continua.
Respuesta:
La función es continua
para toda x = reales.
Esto es continua en el
intervalo (-, ).
Teorema: Las funciones polinomiales
siempre son continuas.

14. EJERCICIOS
𝒙𝟐
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = es continua.
𝒙−𝟏
Respuesta:
lim 𝒇 𝒙 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
𝒙→𝟏
La función es continua
para toda x ≠ 1.
Esto es continua en el
intervalo (-, 1)  (1, ).

15. EJERCICIOS
𝒙 𝟒 −𝟑𝒙 𝟐 +𝟐
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = es continua.
𝒙 𝟐 −𝟑𝒙−𝟒
Respuesta:
𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 ≠ 𝟎
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) ≠ 𝟎
𝒙 ≠ 𝟒 𝒙 ≠ −𝟏
La función es continua
para todo número real
excepto -1 y 4. O sea,
(-,-1 )  (-1, 4)  (4,)

16. EJERCICIOS
𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙−𝟏)
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = es continua.
𝒆 𝒙 −𝟏
Respuesta:
𝒆𝒙− 𝟏 ≠ 𝟎
𝒙 ≠0
La función es continua
para todo número real
excepto 0. O sea,
(-,0)  (0, 4)

17. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
Una función f(x) es continua en el
intervalo cerrado [a, b] si es continua en
el intervalo abierto (a, b) y
lim+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑦 lim− 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑏
La función f(x) es continua por la
derecha en a y continua por la izquierda
en b.

18. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
Discute la continuidad de 𝑓 𝑥 = 16 − 𝑥 2
El dominio de f(x) es el intervalo cerrado
[-4, 4] y es continua en el intervalo
abierto (-4, 4) y es continua por la
derecha y por la izquierda. Esto es:
lim 𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(−4)
𝑥→−4+
lim 𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(4)
𝑥→4−
Así que f(x) es continua en [-4, 4].

19. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es un
número intermedio entre f(a) y f(b), existe al menos un
número c en [a, b] tal que f(c) = k.
Teorema del valor intermedio con un solo Teorema del valor intermedio con más de
valor c. un valor c.

20. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
La aplicación del Teorema nos permite determinar los ceros de una
función continua en [a, b]. Para ello debe haber f(x) < 0 y f(x) > 0.
1
Determina si 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 3 tiene cero en [1, 2].
16
Como la función es polinomial es continua en (a, b).
𝟏
Evalúa f(1). Esto es 𝒇 𝟏 = (𝟏) 𝟒 − 𝟏 𝟑 + 𝟑 = 𝟐. 𝟎𝟔𝟑
𝟏𝟔
𝟏
Evalúa f(2). Esto es 𝒇 𝟐 = (𝟐) 𝟒 − 𝟐 𝟑
+ 𝟑 = −𝟒
𝟏𝟔
Como f(1) =2.063 > 0 y f(2) = −4 < 0 el teorema garantiza la
existencia de un c en [1, 2] tal que f(c) = 0. Observe la gráfica.

21. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
(c, 0)