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CURSO CÁLCULO I


Continuidad

           Dr. Juan R. Mejías Ortiz




                    By PresenterMedia.com
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD

• Cuando se habla que un obrero ha permanecido en
  su puesto de trabajo en forma continua por ocho(8),
  implica que ha seguido en su labor sin parar en
  ningún momento.

• Lo mismo ocurre en el estudio del cálculo. Una
  función es continua en un intervalo si al trazar su
  gráfica se logra sin interrupción. Esto es no existe un
  hueco o salto.
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD


                La gráfica de la función
                ilustrada a la izquierda es
                continua. La misma puede
                trazarse sin interrupción.
                Las flechas muestran el
                trazado de la gráfica de la
                función.
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
• Una función es continua en x = c cuando no existe una
  interrupción en el trazado de su gráfica en c. Esto es que no
  existe un salto ni un hueco en x = c.
• Se dice que una función f(x) es continua en c cuando se
  cumplen las siguientes condiciones.
   1. La función esta definida en x = c. Esto es f(c) está definida.
   2. lim 𝑓(𝑥) existe.
       x→c
   3. lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).
       x→c
   Una función es continua es un intervalo abierto (a, b) si es continua
   en cada uno de los puntos del intervalo. Una función continua en
   toda la recta real (-∞, ∞) es continua en todas sus partes.
Discute la Continuidad de cada Función




𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1          𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 + 1                    𝑓 𝑥 = 1/𝑥 2


El dominio es toda la recta     El dominio es toda la recta     f(x) no se puede definir en f(0).
(-, ). No existe hueco ni     (-, ). No existe hueco ni     A su vez existe un salto cuando
                                                                     x = 0. Entonces, f(x) es
 salto en la gráfica de f(x),    salto en la gráfica de f(x),       discontinua en x = 0. Sin
por lo cual es continua en      por lo cual es continua en          embargo es continua en
       todo tiempo.                    todo tiempo.                      algunas partes.
                                                                    O sea, en (-, 0)  (0, )
DISCONTINUIDAD

• Se dice que una función f(x) es discontinua en c
  cuando se cumplen las siguientes condiciones.
  1. La función no está definida en x = c.
  2. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) en x = c no existe.
      𝐱→𝐜
  3. 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄).
      𝐱→𝐜
DISCONTINUIDAD

  Primera Condición

La función no está definida
en x = c. Existe un hueco
en la gráfica de f(x). Sin
embargo, es continua en
los demás puntos del
intervalo (a, b).
DISCONTINUIDAD

Segunda Condición

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)   no   existe
𝐱→𝐜
cuando x = c. Sin
embargo, es continua
en los demás puntos
del intervalo (a, b).
DISCONTINUIDAD

 Tercera Condición


𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄) cuando
𝐱→𝐜
x = c. Sin embargo, es
continua en los demás
puntos del intervalo
(a, b).
DISCONTINUIDAD

• Las discontinuidades en una función pueden ser clasificadas
  como evitable e inevitables.

• Las discontinuidades evitables son aquellas en donde f(x) se
  puede hacer continua redefiniendo a f(c) apropiadamente. Los
  ejemplos presentado en la 1ra y 2da condición son
  representan discontinuidades inevitables.

• Las discontinuidades inevitables no permite una redefinición
  de f(c).
EJERCICIOS
Identifica las discontinuidades.


                           Respuesta:

                     La función es discontinua
                         en x = -3 y x = 2.
EJERCICIOS
Identifica las discontinuidades.


                           Respuesta:

                     La función es discontinua
                     en x = -1, x = 3 y x = 5.
EJERCICIOS
Determina los intervalos donde la función
 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 es continua.

                                 Respuesta:

                            La función es continua
                             para toda x = reales.
                            Esto es continua en el
                               intervalo (-, ).

                    Teorema: Las funciones polinomiales
                          siempre son continuas.
EJERCICIOS
                                        𝒙𝟐
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 =       es   continua.
                                       𝒙−𝟏



                                         Respuesta:

                                  lim 𝒇 𝒙 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
                                   𝒙→𝟏

                                 La función es continua
                                     para toda x ≠ 1.

                                  Esto es continua en el
                                intervalo (-, 1)  (1, ).
EJERCICIOS
                                       𝒙 𝟒 −𝟑𝒙 𝟐 +𝟐
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 =                es   continua.
                                        𝒙 𝟐 −𝟑𝒙−𝟒


                                          Respuesta:

                                        𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 ≠ 𝟎
                                       (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) ≠ 𝟎
                                          𝒙 ≠ 𝟒 𝒙 ≠ −𝟏
                                   La función es continua
                                   para todo número real
                                    excepto -1 y 4. O sea,
                                  (-,-1 )  (-1, 4)  (4,)
EJERCICIOS
                                       𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙−𝟏)
Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 =             es   continua.
                                          𝒆 𝒙 −𝟏


                                          Respuesta:

                                           𝒆𝒙− 𝟏 ≠ 𝟎
                                               𝒙 ≠0
                                   La función es continua
                                   para todo número real
                                      excepto 0. O sea,
                                        (-,0)  (0, 4)
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO

Una función f(x) es continua en el
intervalo cerrado [a, b] si es continua en
el intervalo abierto (a, b) y

 lim+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎      𝑦 lim− 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
 𝑥→𝑎                   𝑥→𝑏

La función f(x) es continua por la
derecha en a y continua por la izquierda
en b.
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
Discute la continuidad de 𝑓 𝑥 = 16 − 𝑥 2

El dominio de f(x) es el intervalo cerrado
[-4, 4] y es continua en el intervalo
abierto (-4, 4) y es continua por la
derecha y por la izquierda. Esto es:

       lim     𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(−4)
      𝑥→−4+

        lim 𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(4)
        𝑥→4−

Así que f(x) es continua en [-4, 4].
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
    Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es un
    número intermedio entre f(a) y f(b), existe al menos un
    número c en [a, b] tal que f(c) = k.




Teorema del valor intermedio con un solo   Teorema del valor intermedio con más de
                valor c.                                  un valor c.
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
La aplicación del Teorema nos permite determinar los ceros de una
función continua en [a, b]. Para ello debe haber f(x) < 0 y f(x) > 0.
                             1
      Determina si 𝑓 𝑥 =         𝑥 4 − 𝑥 3 + 3 tiene cero en [1, 2].
                            16

         Como la función es polinomial es continua en (a, b).
                                     𝟏
       Evalúa f(1). Esto es 𝒇 𝟏 =       (𝟏) 𝟒 −   𝟏   𝟑   + 𝟑 = 𝟐. 𝟎𝟔𝟑
                                     𝟏𝟔

                                     𝟏
       Evalúa f(2). Esto es 𝒇 𝟐 =       (𝟐) 𝟒 −   𝟐   𝟑
                                                          + 𝟑 = −𝟒
                                     𝟏𝟔

Como f(1) =2.063 > 0 y           f(2) = −4 < 0 el teorema garantiza la
existencia de un c en [1, 2] tal que f(c) = 0. Observe la gráfica.
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO



                          (c, 0)

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Continuidad (Cálculo I)

  • 1. CURSO CÁLCULO I Continuidad Dr. Juan R. Mejías Ortiz By PresenterMedia.com
  • 2. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD • Cuando se habla que un obrero ha permanecido en su puesto de trabajo en forma continua por ocho(8), implica que ha seguido en su labor sin parar en ningún momento. • Lo mismo ocurre en el estudio del cálculo. Una función es continua en un intervalo si al trazar su gráfica se logra sin interrupción. Esto es no existe un hueco o salto.
  • 3. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD La gráfica de la función ilustrada a la izquierda es continua. La misma puede trazarse sin interrupción. Las flechas muestran el trazado de la gráfica de la función.
  • 4. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD • Una función es continua en x = c cuando no existe una interrupción en el trazado de su gráfica en c. Esto es que no existe un salto ni un hueco en x = c. • Se dice que una función f(x) es continua en c cuando se cumplen las siguientes condiciones. 1. La función esta definida en x = c. Esto es f(c) está definida. 2. lim 𝑓(𝑥) existe. x→c 3. lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐). x→c Una función es continua es un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo. Una función continua en toda la recta real (-∞, ∞) es continua en todas sus partes.
  • 5. Discute la Continuidad de cada Función 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 1/𝑥 2 El dominio es toda la recta El dominio es toda la recta f(x) no se puede definir en f(0). (-, ). No existe hueco ni (-, ). No existe hueco ni A su vez existe un salto cuando x = 0. Entonces, f(x) es salto en la gráfica de f(x), salto en la gráfica de f(x), discontinua en x = 0. Sin por lo cual es continua en por lo cual es continua en embargo es continua en todo tiempo. todo tiempo. algunas partes. O sea, en (-, 0)  (0, )
  • 6. DISCONTINUIDAD • Se dice que una función f(x) es discontinua en c cuando se cumplen las siguientes condiciones. 1. La función no está definida en x = c. 2. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) en x = c no existe. 𝐱→𝐜 3. 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄). 𝐱→𝐜
  • 7. DISCONTINUIDAD Primera Condición La función no está definida en x = c. Existe un hueco en la gráfica de f(x). Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).
  • 8. DISCONTINUIDAD Segunda Condición 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) no existe 𝐱→𝐜 cuando x = c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).
  • 9. DISCONTINUIDAD Tercera Condición 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 ≠ 𝒇(𝒄) cuando 𝐱→𝐜 x = c. Sin embargo, es continua en los demás puntos del intervalo (a, b).
  • 10. DISCONTINUIDAD • Las discontinuidades en una función pueden ser clasificadas como evitable e inevitables. • Las discontinuidades evitables son aquellas en donde f(x) se puede hacer continua redefiniendo a f(c) apropiadamente. Los ejemplos presentado en la 1ra y 2da condición son representan discontinuidades inevitables. • Las discontinuidades inevitables no permite una redefinición de f(c).
  • 11. EJERCICIOS Identifica las discontinuidades. Respuesta: La función es discontinua en x = -3 y x = 2.
  • 12. EJERCICIOS Identifica las discontinuidades. Respuesta: La función es discontinua en x = -1, x = 3 y x = 5.
  • 13. EJERCICIOS Determina los intervalos donde la función 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 es continua. Respuesta: La función es continua para toda x = reales. Esto es continua en el intervalo (-, ). Teorema: Las funciones polinomiales siempre son continuas.
  • 14. EJERCICIOS 𝒙𝟐 Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = es continua. 𝒙−𝟏 Respuesta: lim 𝒇 𝒙 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒙→𝟏 La función es continua para toda x ≠ 1. Esto es continua en el intervalo (-, 1)  (1, ).
  • 15. EJERCICIOS 𝒙 𝟒 −𝟑𝒙 𝟐 +𝟐 Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = es continua. 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙−𝟒 Respuesta: 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 ≠ 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) ≠ 𝟎 𝒙 ≠ 𝟒 𝒙 ≠ −𝟏 La función es continua para todo número real excepto -1 y 4. O sea, (-,-1 )  (-1, 4)  (4,)
  • 16. EJERCICIOS 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙−𝟏) Determina los intervalos donde 𝒇 𝒙 = es continua. 𝒆 𝒙 −𝟏 Respuesta: 𝒆𝒙− 𝟏 ≠ 𝟎 𝒙 ≠0 La función es continua para todo número real excepto 0. O sea, (-,0)  (0, 4)
  • 17. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO Una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y lim+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑦 lim− 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏) 𝑥→𝑎 𝑥→𝑏 La función f(x) es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
  • 18. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO Discute la continuidad de 𝑓 𝑥 = 16 − 𝑥 2 El dominio de f(x) es el intervalo cerrado [-4, 4] y es continua en el intervalo abierto (-4, 4) y es continua por la derecha y por la izquierda. Esto es: lim 𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(−4) 𝑥→−4+ lim 𝑓 𝑥 = 0 = 𝑓(4) 𝑥→4− Así que f(x) es continua en [-4, 4].
  • 19. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es un número intermedio entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en [a, b] tal que f(c) = k. Teorema del valor intermedio con un solo Teorema del valor intermedio con más de valor c. un valor c.
  • 20. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO La aplicación del Teorema nos permite determinar los ceros de una función continua en [a, b]. Para ello debe haber f(x) < 0 y f(x) > 0. 1 Determina si 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 3 tiene cero en [1, 2]. 16 Como la función es polinomial es continua en (a, b). 𝟏 Evalúa f(1). Esto es 𝒇 𝟏 = (𝟏) 𝟒 − 𝟏 𝟑 + 𝟑 = 𝟐. 𝟎𝟔𝟑 𝟏𝟔 𝟏 Evalúa f(2). Esto es 𝒇 𝟐 = (𝟐) 𝟒 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 = −𝟒 𝟏𝟔 Como f(1) =2.063 > 0 y f(2) = −4 < 0 el teorema garantiza la existencia de un c en [1, 2] tal que f(c) = 0. Observe la gráfica.
  • 21. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (c, 0)