Límites de funciones exponenciales y logaritmicas Funciones continuas y discontinuas

1. Facultad de Ciencias
Departamento Académico de Matemática
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Curso: Análisis Matemático I
Ciclo 2022-I
UNALM – 2022
Capítulo 3:
3.6. Límites de funciones Exponenciales y Logarítmicos
3.7. Funciones Continuas y discontinuas

2. LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE
UNALM – 2022
Al finalizar la sesión el estudiante calcula
los límites de funciones exponenciales y
logarítmicos y determina si la función es
continua o discontinua, aplicando
definiciones y propiedades.

3. Límites de Funciones
Exponenciales y
Logarítmicos

4. Recordemos la gráfica de las funciones exponencial
.
De las gráficas tenemos:
1. Si 0 < 𝑎 < 1, Entonces lim
𝑥→−∞
𝑎𝑥
= +∞ y lim
𝑥→+∞
𝑎𝑥
= 0
Límites de funciones exponenciales
2. Si 1 < 𝑎, Entonces lim
𝑥→−∞
𝑎𝑥
= 0 y lim
𝑥→+∞
𝑎𝑥
= +∞.

5. Teorema 1: Si 𝑓: ℝ → ℝ es una función definida por 𝑓 𝑥 = 1 +
1
𝑥
𝑥
, entonces
lim
𝑥→−
+∞
1 +
1
𝑥
𝑥
= 𝑒.
Propiedades:
1. lim
𝑥→0
1 + 𝑥 1/𝑥
= 𝑒.
2. lim
𝑥→−
+∞
1 +
𝑎
𝑥
𝑥
= 𝑒𝑎
.
3. lim
𝑥→0
𝑎𝑥−1
𝑥
= ln 𝑎, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 .
Teoremas de Límites Exponenciales

6. Teorema 3: Límites de la forma lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ] 𝑔(𝑥) se presenta los siguientes casos:
Caso I: Si existen los límites lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐵, entonces
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
[𝒇 𝒙 ] 𝒈(𝒙)
= 𝑨𝑩
.
Caso II: Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐴 ≠ 1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ± ∞, se cumple
1. Si 𝐴 > 1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = + ∞, entonces 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
[𝒇 𝒙 ] 𝒈(𝒙)
= +∞.
2. Si 𝐴 > 1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = − ∞, entonces 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
[𝒇 𝒙 ] 𝒈(𝒙)
= 𝟎.
3. Si 0 < 𝐴 < 1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = + ∞, entonces 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
[𝒇 𝒙 ] 𝒈(𝒙)
= 𝟎
4. Si 0 < 𝐴 < 1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = − ∞, entonces 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
[𝒇 𝒙 ] 𝒈(𝒙) = +∞.
Teoremas de Límites Exponenciales

7. Caso III : Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = ±∞ ( Indeterminación de la forma 1∞
)
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
[𝒇 𝒙 ] 𝒈(𝒙)
= 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 −𝟏 𝒈(𝒙)
.
Ejemplo1: Determine 𝐿 = lim
𝑥→0
1+𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1−𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Solución.- Observamos que el límite tiene indeterminacion de la forma 1∞
(caso III)
Hallamos
𝑓 𝑥 − 1 =
1+𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1−𝑠𝑒𝑛 3𝑥
− 1 =
2 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1−𝑠𝑒𝑛 3𝑥
.
Reemplazamos,
𝐿 = lim
𝑥→0
1 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→0
2 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1−𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→0
2
1−𝑠𝑒𝑛 3𝑥 = 𝑒2
.
Teoremas de Límites Exponenciales

8. Ejemplo 2: Determine los siguientes límites
a)lim
𝑥→2
𝑥2−16
𝑥−4
𝑥−1
b) lim
𝑥→+∞
2𝑥+1
𝑥−3
−𝑥
Solución.-
a) Como lim
𝑥→2
𝑥2−16
𝑥−4
= 6 y lim
𝑥→2
𝑥 − 1 = 1 (caso I), entonces
lim
𝑥→2
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
𝑥−1
= 61
= 6.
b) Como lim
𝑥→+∞
2𝑥+1
𝑥−3
= 2 y lim
𝑥→+∞
−𝑥 = −∞ (caso II-2), entonces
lim
𝑥→+∞
2𝑥 + 1
𝑥 − 3
−𝑥
= 0.
Ejemplos

9. Ejemplo 3: Determine 𝐿 = lim
𝑥→0
(1 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
1
2𝑥
Solución.- Al evaluar el límite directamente se obtiene indeterminación de la forma 1∞
(caso III)
Hallamos 𝑓 𝑥 − 1 = (1 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑥) − 1 = −𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Luego
𝐿 = lim
𝑥→0
(1 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
1
2𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→0
(−𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
1
2𝑥
Determinamos por separado
𝐿1 = lim
𝑥→0
−𝑠𝑒𝑛 3𝑥
1
2𝑥
= −
3
2
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
3𝑥
= −
3
2
Por tanto 𝐿 = 𝑒𝐿1 = 𝑒−3/2
.
Ejemplos

10. Ejemplo 4: Determine 𝐿 = lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥2−1
Solución.- Al evaluar obtenemos una indetermincion de la forma
0
0
.
Reescribimos el límite
𝐿 = lim
𝑥→1
ln 𝑥
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→1
ln 𝑥
1
𝑥2−1 = ln lim
𝑥→1
𝑥
1
𝑥2−1
Calculamos por separado
𝐿1 = lim
𝑥→1
𝑥
1
𝑥2−1 = 𝑒
lim
𝑥→1
𝑥−1
1
𝑥2−1 = 𝑒
lim
𝑥→1
𝑥−1
1
𝑥−1 𝑥+1 = 𝑒
1
2.
Así
𝐿 = ln 𝑒
1
2 =
1
2
.
Ejemplos

11. De las gráficas se tiene:
Si 0 < 𝑎 < 1, entonces lim
𝑥→0+
log𝑎𝑥 = +∞ y lim
𝑥→+∞
log𝑎𝑥 = −∞.
Si 1 < 𝑎, entonces lim
𝑥→0+
log𝑎 𝑥 = −∞ y lim
𝑥→+∞
log𝑎𝑥 = +∞.
0 < 𝑎 < 1
1 < 𝑎
Límites de funciones logarítmicas
Recordemos las gráficas de la función Logarítmica

12. Teorema 1: Si lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿 > 0, entonces
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒃
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒃
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈 𝑳.
Teoremas de Límites Logarítmicos
Propiedades:
1. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒍𝒏 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒂
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒍𝒏(𝟏+𝒙)
𝒙
= 𝟏

13. Ejercicios Propuestos
1.Calcule los siguientes límites:
a) lim
𝑥→+∞
𝑥3+2𝑥+3
𝑥3
𝑥2+2
. Rpta: 𝑒2
.
b) lim
𝑥→+∞
𝑥 ln 𝑥 + 1 − ln 𝑥 . Rpta: 1.
c) lim
𝑥→0+
𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑥−1
𝑥
. Rpta: +∞.
d)lim
𝑥→0
1+tan 𝑥
1−tan 𝑥
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
. Rpta: 𝑒2
.

14. Funciones Continuas y discontinuas

15. Funciones Continuas
Intuitivamente una función continua es aquella cuya gráfica no presenta saltos, ni huecos.

16. Funciones Continuas
Definición.- Una función 𝑓 es continua en el punto 𝒙𝟎 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 si cumple
1. 𝑓(𝑥0) está definida.
2. lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) existe y es un número real.
3. lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑥0
Observación.- Una función que no es continua en un punto se dice que es discontinua en
dicho punto.
En forma Matemática:
0
,
0
)
(
)
(
lim 0
0





=
→


x
f
x
f
x
x
tal que si 
 
−


− )
(
)
( 0
0 x
f
x
f
x
x

17. Ejemplo 1 : Analice la continuidad en 𝒙𝟎= 3 de la función
𝑓 𝑥 = ቊ
2𝑥 + 6, 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 3,
𝑥3
− 15, 𝑠𝑖 3 < 𝑥 < 5.
Solución.- Debemos probar que lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑥0
Analizamos límites laterales
lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3−
2𝑥 + 6 = 12 y lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3−
𝑥3
− 15 = 12.
así el límite existe
lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 12.
Por otro lado
𝑓 3 = 12
De esto
lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 12 = 𝑓 3 .
Por tanto 𝑓, es continua en 𝒙𝟎= 3.
Ejemplos

18. Ejemplo 2: Verifique que la siguiente función es continua en 𝒙𝟎= 2
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥2
− 𝑥 − 2
𝑥 − 2
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2,
3, 𝑠𝑖 𝑥 = 2.
Solución.- Debemos probar lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑥0
Analizamos límites laterales
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→2
𝑥2
− 𝑥 − 2
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥 + 1 = 3,
por otro lado
𝑓 2 = 3.
De esto se tiene
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 𝑓 2 ,
por tanto 𝑓, es continua en 𝒙𝟎= 2
Ejemplos

19. Funciones Discontinuas
Una función que no es continua en un punto 𝒙𝟎, se dice que es DISCONTINUA en
dicho punto 𝒙𝟎. En la gráfica de una función que es discontinua en el punto 𝒙𝟎 se
puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde 𝒙 = 𝒙𝟎.
Tipos de Discontinuidades
Existen dos tipos de discontinuidades removible y esencial.
I. Discontinuidad Evitable o Removible: Si existe lim
𝑥→𝒙𝟎
𝑓 𝑥 , pero
a) No existe 𝑓(𝒙𝟎)
b) Existe 𝑓(𝒙𝟎) pero lim
𝑥→𝒙𝟎
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(𝒙𝟎)
Observación.-En este caso podemos redefinir 𝑓 de tal manera que sea continua.

20. II. Discontinuidad Esencial o inevitable: Se da cuando lim
𝑥→𝒙𝟎
𝑓 𝑥 no existe, puede suceder
a) los límites laterales existen pero no son iguales : (1ª especie)
b) alguno de los límites laterales no existe (2ª especie)

21. Ejemplo1: Determine el tipo de discontinuidad de la función 𝑓 en 𝒙𝟎= −1.
𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥2
, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1,
1 − 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 < −1.
Solución.-
I. Hallamos 𝑓 −1 = (−1)2
= 1.
II. Hallamos límites Laterales
lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−1+
𝑥2
= 1 y
lim
𝑥→−1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−1−
1 − |𝑥| = 0.
Tenemos lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥 ≠ lim
𝑥→−1−
𝑓 𝑥 , es decir no existe lim
𝑥→−1
𝑓 𝑥 ,
por tanto, es discontinua en 𝒙𝟎 = −1 tiene discontinuidad esencial.
Ejemplos

22. Ejemplos
Ejemplo 2: Analice si la función si la función f es continua en x=0.
Solución.- Debemos verificar
De esto f tiene discontinuidad evitable y podemos redefinir f para que sea continua





=

=
0
;
2
0
;
)
5
(
)
(
x
x
x
x
arcsen
x
f
)
(
)
(
lim 0
0
x
f
x
f
x
x
=
→
.
5
5
)
5
(
5
lim
)
5
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
=






=






=
→
→
→
−
x
x
arcsen
x
x
arcsen
x
f
x
f
x
x
x
pero 2
)
0
( =
f





=

=
0
;
5
0
;
)
5
(
)
(
x
x
x
x
arcsen
x
f

23. Definición 1: Una función 𝑓 es continua en un intervalo abierto si es continua en todos los
números del intervalo abierto.
Definición 2: Una función 𝑓 es continua a la derecha de un número 𝒂 si
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
Análogamente, 𝑓 es continua a la izquierda de un número b si
lim
𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
Definición 3: Una función 𝑓 es continua en un intervalo cerrado si es continua en todos los
números del intervalo abierto y cumple con la definición 2.
Funciones Continuas en un Intervalo

24. Teorema 1: Si 𝑓 y 𝑔 son continuas en 𝑎 y si 𝑐 es una constante, entonces las siguientes
funciones también son continuas en 𝑎.
𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔, 𝑐𝑓 y
𝑓
𝑔
si 𝑔(𝑎) ≠ 0.
Proposición:
1.Todo polinomio es continuo en todo su dominio, es decir es continuo en ℝ.
2.La función racional es continua en su dominio.
Teorema 2: Si 𝑔 fuera continua en 𝑎 y 𝑓 en 𝑔(𝑎), entonces la función compuesta 𝑓𝑜𝑔 dada
por 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) es continua en 𝑎.
Teorema 3: Si f es continua en b y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑏, entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑏), es decir
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑓(lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 ).
Teoremas de Funciones Continuas

25. Ejemplo: Determine 𝐿 = lim
𝑥→1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1− 𝑥
1−𝑥
Solución.- Podemos reescribir 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1− 𝑥
1−𝑥
como una composición de
funciones,
𝑔 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 , ℎ 𝑥 =
1− 𝑥
1−𝑥
, entonces 𝑓 𝑥 = (𝑔𝜊ℎ)(𝑥).
Ahora, dado que la función 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 es continua, luego por el Teorema
anterior tenemos
lim
𝑥→1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1− 𝑥
1−𝑥
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 lim
𝑥→1
1− 𝑥
1−𝑥
,
Calculamos el límite interior racionalizando.
lim
𝑥→1
1 − 𝑥
1 − 𝑥
1 + 𝑥
1 + 𝑥
= lim
𝑥→1
1
1 + 𝑥
=
1
2
.
Por tanto 𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1
2
=
𝜋
6
.
Ejemplos

26. Ejemplo: Consideremos la función
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥2
+ 3, 𝑠𝑖 𝑥 < 1,
10 − 𝑥, 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2,
6𝑥 − 𝑥2
, 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥.
Determine si es 𝑓 es continua en todo los reales.
Solución: Bastará analizar la continuidad en 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2.
Tenemos que no existe el límite, pues los límites laterales son distintos, así 𝑓 es discontinuan en
𝑥 = 1 y tiene una discontinuidad esencial en dicho punto.
Observamos que lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 8 y 𝑓 2 = 8. Luego 𝑓 es continua en 𝑥 = 2. Por tanto la funcion 𝑓 no
es continua en todos los reales. Ver gráfico.
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
𝑥2 + 3 = 4 lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
10 − 𝑥 = 9
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
10 − 𝑥 = 8 lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
6𝑥 − 𝑥2 = 12 − 4 = 8
Ejemplos

27. 1. Determine si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados,
en caso sean discontinuas indique que tipo de discontinuidad tiene.
a)𝑓 𝑥 = ቐ
2𝑥2−5𝑥−3
𝑥−3
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3,
6, 𝑠𝑖 𝑥 = 3.
𝑎 = 3.
b)𝑓 𝑥 = ቐ
cos 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 < 0,
0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0,
1 − 𝑥2
, 𝑠𝑖 𝑥 > 3.
𝑎 = 0.
2. Encuentre los valores de 𝑚 y 𝑛, de modo que 𝑓 se continua en todo ℝ.
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 4
𝑥 − 2
, 𝑠𝑖 𝑥 < 2,
𝑎𝑥2
− 𝑏𝑥 + 3, 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3,
2𝑥 − 𝑎 + 𝑏 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3.
Ejercicios Propuestos: