El documento abarca la continuidad y discontinuidad de funciones en cálculo, explicando que una función es continua en un punto si se cumplen tres criterios relacionados con los límites y la definición de la función. Se detallan diferentes tipos de discontinuidades, como las evitables e inevitables, y se presentan ejemplos para ilustrar el análisis de continuidad en funciones polinómicas y racionales. Además, se menciona el teorema del valor intermedio y el teorema de Bolzano, que son fundamentales para entender el comportamiento de funciones continuas en intervalos cerrados.

1. U2. LÍMITE Y
CONTINUIDAD
Continuidad
Cálculo I
Dra. Ing. Calvo Olivares, Romina

2. Continuidad
De manera informal, al decir que una función 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑐 significa que no hay
interrupción de la gráfica de 𝑓 en c. Es decir, la gráfica no tiene saltos o huecos en 𝒄.
𝒇 𝒄 no está definida
ൡ
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) = 𝑳
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = 𝑳
⇒ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒇 𝒄 = 𝑳𝟐
ൡ
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐
⇒ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) no existe
𝒇 𝒄 = 𝐌
ൡ
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) = 𝑳
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = 𝑳
⇒ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳
Figuras extraídas y adaptadas de Larson &
Edwards. Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed,
2010. Pag. 71

3. Continuidad de una función en un punto: una función 𝑓 es continua en un punto 𝑐 si se
satisfacen las tres condiciones siguientes:
1. 𝑓(𝑐) está definida
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) existe, lo cual significa que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿 y éste es finito
3. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
DEFINICIONES
Continuidad
Continuidad de una función en un intervalo abierto: una función 𝑓 es continua en un
intervalo abierto (𝑎, 𝑏) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua
en la recta real (−∞, ∞) es continua en todas partes.
Continuidad de una función en un intervalo cerrado: una función 𝑓 es continua en un
intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 si es continua en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) y lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)
Es decir, la función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

4. Continuidad en un punto interior: una función 𝑓 es continua en un punto interior c de su
dominio si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒄)
Continuidad en un punto extremo: una función 𝑓 es continua en un extremo izquierdo a o
es continua en un extremo derecho b de su dominio si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) o 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒃−
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒃), respectivamente.
DEFINICIONES
Continuidad
Figura extraída de Thomas, G.,
Cálculo una Variable, 12da
edición, Pearson Education, 2010.
Pag. 74

5. Discontinuidad
Si una función 𝑓 no cumple con alguna de las tres condiciones de continuidad, se
dice que 𝒇 es discontinua en 𝒄, y que 𝑐 es un punto de discontinuidad de 𝑓 (𝑐 no
necesita estar en el dominio de 𝑓)
EVITABLE: de las tres condiciones enumeradas en la definición de continuidad en un
punto no se cumple con la primera o con la tercera. Al cumplirse con la condición de
límite, se puede redefinir la función para salvar la discontinuidad.
Tipos de discontinuidad
INEVITABLE: de las tres condiciones enumeradas en la definición de continuidad en un
punto no se cumple con la segunda, ya sea porque los límites laterales son distintos o bien
porque se van hacia ±∞. Suele denominarse discontinuidad de salto finito o infinito.

6. Tipos de discontinuidad
EVITABLE: de las tres condiciones enumeradas en la definición de continuidad en un
punto no se cumple con la primera o con la tercera. Al cumplirse con la condición de
límite, se puede redefinir la función para salvar la discontinuidad.
Casos posibles:
1. 𝒇 𝒄 no está definida
ൡ
𝟐.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) = 𝑳
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = 𝑳
⇒ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳
3. No se puede analizar.
1. 𝒇 𝒄 = 𝐌
2. ൡ
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) = 𝑳
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = 𝑳
⇒ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝑳
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(𝒄) es decir 𝑳 ≠ 𝑴
En el primer caso, se redefine la función estableciendo que 𝒇 𝒄 = 𝑳 y en el segundo, se
debe redefinir 𝒇 𝒄 para que en lugar de ser igual a 𝑴, sea igual a 𝑳.
Figuras extraídas y adaptadas de Larson &
Edwards. Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010.
Pag. 71

7. Tipos de discontinuidad
1.𝒇 𝒄 = 𝑳𝟐
2. ൡ
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = 𝑳𝟐
⇒ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) no existe
3. No se puede evaluar
En ningún caso, se puede redefinir la función dado que los límites no existen.
INEVITABLE: de las tres condiciones enumeradas en la definición de continuidad en un
punto no se cumple con la segunda, ya sea porque los límites laterales son distintos o bien
porque se van hacia ±∞. Suele denominarse discontinuidad de salto finito o infinito.
Casos posibles:
1.𝒇 𝒄 no está definida
2. ൡ
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄+
𝒇(𝒙) = ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄−
𝒇(𝒙) = ∞
⇒ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) no existe
3. No se puede evaluar
Figuras extraídas y adaptadas de Larson &
Edwards. Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010.
Pag. 71

8. Discontinuidad
inevitable en 𝒙 = 𝟎
Discontinuidad
evitable en 𝒙 = 𝟏
Continua en toda
la recta real
Continua en toda
la recta real
Ejemplos de análisis de continuidad de diferentes funciones
1.𝑓 0 no está definida
2. ൡ
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = ∞
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −∞
⇒ lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) no existe
3. No se puede evaluar
1. 𝑓 𝑐 está definida ∀𝑥 ∈ ℝ
ൡ
2.
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿
⇒ lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿
3. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑐 ∀𝑥 ∈ ℝ
1. 𝑓 𝑐 está definida ∀𝑥 ∈ ℝ
ൡ
2.
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿
⇒ lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿
3. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑐 ∀𝑥 ∈ ℝ
1. 𝑓 1 no está definida
ൡ
2.
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 2
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2
⇒ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2
3. No se puede analizar.
Continuidad
Ejemplo y figuras extraídas de Larson & Edwards.
Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag. 71

9. En 𝒙 = 𝟎:
1.𝑓 0 = 1
2. lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 1
3. lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 𝑓 0 = 1
𝒇 es continua por derecha en 𝒙 = 𝟎
En 𝒙 = 𝟏:
1.𝑓 1 = 1
2. ൡ
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 1
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 0
⇒ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) no existe
3. No se puede evaluar.
𝒇 tiene una discontinuidad inevitable en 𝒙 = 𝟏
En 𝒙 = 𝟐:
1.𝑓 2 = 2
2. ൡ
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 1
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 1
⇒ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 1
3. lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2) dado que 1 ≠ 2.
𝒇 tiene una discontinuidad evitable en 𝒙 = 𝟐 la cual se puede
“subsanar” redefiniendo la función de modo que 𝑓 2 = 1
En 𝒙 = 𝟑:
1.𝑓 3 = 2
2. ൡ
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 2
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 2
⇒ lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 2
3. lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 𝑓 3 = 2
𝒇 es continua en 𝒙 = 𝟑
En 𝒙 = 𝟒:
1.𝑓 4 = 1/2
2. lim
𝑥→4−
𝑓(𝑥) = 1
3. lim
𝑥→4−
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓 4 dado que 1 ≠ 1/2
𝒇 es discontinua por izquierda en 𝒙 = 𝟒
Ejemplo 1: analice la continuidad de la siguiente función por partes en 𝑥 = 0,1,2,3,4.
Continuidad
Solución: se analizan las 3 condiciones de continuidad en cada punto de interés.
Figura y ejemplo extraídos de Thomas, G., Cálculo una
Variable, 12da edición, Pearson Education, 2010. Pag. 74

10. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD
Si 𝑏 es un número real y 𝑓 y 𝑔 son continuas en 𝑥 = 𝑐, entonces las siguientes
combinaciones son continuas en 𝑐:
1. Múltiplo escalar: 𝑏 ∙ 𝑓, para cualquier número 𝑏.
2. Suma y diferencia: 𝑓 ± 𝑔
3. Producto: 𝑓 ∙ 𝑔
4. Cociente: 𝑓/𝑔 si 𝑔(𝑐) ≠ 0
5. Potencias: 𝑓𝑛, donde n es un entero positivo.
6. Raíces: 𝑛
𝑓, siempre que esté definida en un intervalo que contenga a 𝑐, donde 𝑛 es
un entero positivo.
Continuidad
¿Qué funciones son continuas en todos sus dominios?
Polinomiales: 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎2𝑥2
+ 𝑎1𝑥1
+ 𝑎0
Racionales: r 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, 𝑞(𝑥) ≠ 0
Trigonométricas:
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 , 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≠ 0
𝑡𝑎𝑛 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≠ 0 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 , 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 0

11. Continuidad

12. Continuidad
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS
Si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 , 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), e 𝑦0 es
cualquier valor entre 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏), entonces existe al menos un 𝑐 en 𝑎, 𝑏 para el cual
se cumple que 𝑦0 = 𝑓 𝑐 .
Como todo teorema, es fundamental el cumplimiento de la hipótesis para que sea aplicable. En
este caso es importante que la función 𝑓 sea continua. Caso contrario, el teorema del valor
intermedio no se cumple.

13. Geométricamente, el teorema del valor intermedio indica que cualquier recta horizontal 𝑦 = 𝑦0
(paralela al eje 𝑥) que cruza el eje 𝑦 entre los números 𝑓(𝑎) y 𝑓 𝑏 cruzará la curva de 𝑓 al menos
una vez en el intervalo 𝑎, 𝑏 .
Teorema del Valor Intermedio para Funciones Continuas
Figuras extraídas y adaptadas de Stewart, J., Cálculo
de una Variable-Trascendentes tempranas; 7ma
edición, Cengage Learning, 2012, pág. 126

14. Corolario del Teorema del Valor Intermedio
Continuidad
La aplicación de este corolario permite localizar los ceros de una función continua en un intervalo
cerrado.
TEOREMA DE BOLZANO
Si 𝑓 es una función continua en 𝑎, 𝑏 y si 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) tienen distinto signo, entonces 𝑓
tiene al menos un cero en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 . Es decir, 𝑓 𝑐 = 0 para al menos
un 𝑐 en 𝑎, 𝑏 .
Ejemplo 2: demostrar que la función polinomial 𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 2𝑥 − 1 tiene un cero en el intervalo 0,1 .
Solución:
Se analiza el cumplimiento de las hipótesis en el intervalo dado. La
función dada es continua en todos los reales dado que es un
polinomio. Por otra parte, se tiene que:
𝑓 0 = 03
+ 2 ∙ 0 − 1 = −1
𝑓 1 = 13
+ 2 ∙ 1 − 1 = 2
Como 𝑓 es continua en 0,1 y 𝑓 0 < 0 y 𝑓 1 > 0 entonces existe
al menos un 𝑐 para el cual 𝑓(𝑐) = 0.
El teorema no dice nada acerca de quién es 𝒄, sólo permite saber si
existe o no.
Figura y ejemplo extraídos de Larson & Edwards.
Cálculo I, Mc Graw Hill, 9° Ed, 2010. Pag. 78

16. MUCHAS GRACIAS POR SU
ATENCIÓN!