La continuidad gráfica de una función se refiere a la capacidad de dibujarla de un solo trazo continuo sin levantar el lápiz del papel. Una función es continua en un punto si existe el límite en dicho punto y coincide con el valor de la función. Las discontinuidades pueden ser evitables, de primera especie o de segunda especie con salto finito o infinito.

2. CONTINUIDAD
GRÁFICA
Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando
podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin
levantar el lápiz del papel.
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
1
- 1 0
y=x+1
Función continua en R
1
- 1 0
y=ex
Función continua en R
- 1 0 1
y=x – x3
Función continua en R

3. 1
0
Ejemplo 1
Función continua en R, excepto en x=0
En x=0 la función existe y vale 1.
Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la
derecha del 0 la función vale 0 (y=0).
Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito.
DISCONTINUIDAD
GRÁFICA
x + 1 , si x≤0
y =
– x , si x>0
Ejemplo 2
Función continua en R, excepto en x=0
En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese
punto no existe la función y a la izquierda del
0 su valor baja hasta – .
x=0 no forma parte del dominio.
x2 – 2 , si x<0
y =
log x , si x>0
-2 -1 0 1 2

4. Continuidad en un punto
Una función f(x), definida en x = a, es continua en
dicho punto cuando:
 Existe
xa
lim f
(x)
 Existe f(a)
 Los dos valores anteriores son iguales
Definición

5. Continuidad en un intervalo: definición
• Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus
puntos.
• Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada uno de los
puntos del intervalo (a, b), y además es continua en a por la derecha y en b por la izquierda.
Una función f(x) es continua en a
por la izquierda
si y sólo si
Una función f(x) es continua en a
por la derecha
si y sólo si xa+
lim f (x) = f(a) x
lim f (x) = f(a)
a–
f(x) = 1 – x2
es continua en
[–1, 1], pero no es continua ni
en 1 ni e n – 1 porque no lo es
por la derecha o por la izquierda.
f(x) =
1
x
no es continua en
[–1, 1], porque no está
definida en 0.
f(x) =




𝑋2 si x < 1
2 si x  1 no es
continua en [–1, 1], porque no
es continua por la izquierda
en 1.

6. 3
Función discontinua en un punto
Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua.
Estas funciones no son
continuas en el punto 1
Esta función no es
continua en los puntos 1 y
– 1
Función discontinua en 0
4

7. TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Para estudiar la continuidad de una función hay que hacerlo en todo su dominio de
definición. En aquellos puntos singulares del dominio o en aquellos puntos que no
pertenezcan al dominio de la función, estudiaremos detenidamente la función y
determinaremos el tipo de discontinuidad que pueda presentar.
1) EVITABLE , que es cuando no existe la función en dicho punto, pero sí el límite.
2) DE 1ª ESPECIE , cuando el valor de la función en dicho punto no coincide con el
límite.
3) DE 2ª ESPECIE SALTO FINITO , cuando no existe el límite, al no coincidir el límite
derecho con el izquierdo.
4) DE 2ª ESPECIE SALTO INFINITO , cuando uno de los límites derecho o izquierdo, o
los dos, son más o menos infinito.

8. Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y
no coincide con el valor de la función en el mismo.
f(x) =




x2
– 1
x – 1
si x  1
3 si x = 1
x1
lim f(x) =
x1
lim
x2
– 1
x – 1 =
x1
lim
(x – 1)(x + 1)
x – 1 =
x1
lim (x + 1) = 2  3 = f(1)
Por tanto f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto 1.
Estudiamos el comportamiento de f(x) en el punto 1:

9. g(x) =




x2
– 1
x – 1
si x  1
2 si x = 1
=




(x – 1)( x + 1)
x – 1
si x  1
2 si x = 1
= x + 1
Evitando una discontinuidad evitable
El valor que deberíamos dar a una función en un punto (en el que la función
presenta discontinuidad evitable) para que dicha función sea continua es el
verdadero valor de la función en el punto.
La siguiente función g(x), evita la discontinuidad que presenta f(x) en el punto 1:
• El verdadero valor de f(x) en el
punto 1 es 2.
• La función g(x) es continua en
el punto 1.

10. Discontinuidad inevitable
y = sig(x) presenta discontinuidad
inevitable en el punto 0 de salto 2.
y =




x + 1
x
si x  0
0 si x = 0
y = sig(x)
Esta función presenta discontinuidad
inevitable de salto infinito en el punto 0.
 Una función tiene en un punto una discontinuidad inevitable cuando existen los límites
laterales finitos en él y son distintos.
 Si f(x) es discontinua en el punto x= a, el valor |
xa+
lim f(x) –
xa–
lim f(x) | se llama salto de la
función en dicho punto.
 Si alguno de los límites laterales en el punto a es infinito se dice que el salto es infinito.
.

11. Teorema de Bolzano
Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que toma en a y
b valores de signo opuesto (es decir f(a) · f(b) < 0), entonces existe al
menos un punto c interior al intervalo en el que f(c) = 0.
c
f(x) continua en [a, b]
f(a) < 0
f(b) > 0
Entonces  c  (a, b) / f(c) = 0
f(x) continua en [a, b]
f(a) > 0
f(b) < 0
Entonces  c  (a, b) / f(c) = 0
c

12. Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en dicho intervalo al menos
un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
x1
M
x2
m
Esta función, continua en [a, b], presenta
en x1 un máximo absoluto de valor M y en
x2 un mínimo absoluto de valor m.
x1
M
x2
m
Esta función, continua en [a, b], presenta
en x1 un máximo absoluto de valor M y en
x2 un mínimo absoluto de valor m.
Teorema del máximo – mínimo
Teorema de Weierstrass

13. Lim f(x) no existe
x 1
y
x
1 5
2
1
¿f(x) es continua en x = 1?

14. ¿f(x) es continua en x = 1?
y
x
1 5
3
2
f(1) = 2
Limf(x) = 2
X 1

15. ¿f(x) es continua en x = 1?
x
1
y
5
2
1
Limf(x) = 2
X 1
f(1) = 1

16. 3
5
-3
3
-2
x
f(x)
3,5
en x = 3, x = -2, x = 3
ANALICE LA CONTINUIDAD DE f(x)

17. Dada la siguiente función a trozos estudie su
continuidad en x = 1, x = 2, x = 3 y determine
el tipo de discontinuidad en cada caso.
 
2
1
1 2
4 2 3
1 3
x si x
x si x
f x
si x
x si x



 

 
 

  


18. Ejemplo 1
x – 4 , si x < 2  Función lineal
Sea f(x) =
- 2 , si x ≥ 2  Función constante
A la izquierda de x=2 ( función lineal ) es continua.
A la derecha de x=2 ( función constante) es continua.
Miramos si es continua en el punto x=2
1) f(2) = 2 – 4 = – 2
Es decir, x = 2 es un punto del dominio de la función.
2) Lím f(x) = 2 – 4 = -2 Lím f(x) = -2
x2- x2+
El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho
límite y vale - 2.
3) f(2) = lím f(x)  - 2 = - 2
x2
La función es también continua en x = 2. Es continua en R

19. Ejemplo 2
x2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática
Sea f(x) =
x - 3 , si x > 3  Función lineal
A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua.
A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua.
Miramos si es continua en el punto x=3
1) f(3) = NO existe.
Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función.
2) Lím f(x) = 32 – 9 = 0 Lím f(x) = 3 – 3 = 0
x3- x3+
El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe
dicho límite y vale 0.
3) f(3) <> lím f(x) , al no existir f(3)
x3
La función en x=3 presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE.

20. Ejemplo 3
x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática
Sea f(x) =
ex , si x > 1  Función exponencial
A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua.
A la derecha de x=1 ( función exponencial) es continua.
Miramos si es continua en el punto x=1
1) f(1) = 12 – 2 = 1-2= -1
Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función.
2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = e1 = e
x1- x1+
El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO
existe límite.
3) No se puede cumplir al no existir límite.
La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO FINITO.

21. Ejemplo 4
x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática
Sea f(x) =
ln (x – 1) , si x > 1  Función logarítmica
A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua.
A la derecha de x=1 ( función logarítmica) es continua.
Miramos si es continua en el punto x=1
1) f(1) = 12 – 2 = 1-2= -1
Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función.
2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = ln (1 – 1) = ln 0+ = -  x1-
x1+
El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO
existe límite.
3) f(1) <> lím f(x) , al no existir límite.
x1
La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO
INFINITO.

22. Ejemplo 5
Hallar el valor de k para que la función sea continua en todo R
x2 – 2 , si x ≤ 2
Sea f(x) =
x – k , si x > 2
A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua.
A la derecha de x=1 ( función lineal ) es continua.
Miramos si es continua en el punto x=2
1) f(2) = 22 – 2 = 4-2= 2
Es decir, x=2 es un punto del dominio de la función.
2) Lím f(x) = 22 – 2 = 4 – 2 = 2 Lím f(x) = 2 - k
x2- x2+
Para que exista el límite ambos límites laterales deben ser iguales: 2 = 2 – k 
Luego, en este caso k debe ser 0.
3) Si k = 0 f(2) = lím f(x) , pues 2 = 2
x2
Si k = 0, la función también es continua en x=2, y por tanto en todo R.

23. VEAMOS AHORA SI LA GRÁFICA

26. Ejemplos:
 
1
1)
2
x
Sea f x
x



Determine los puntos donde f(x) es discontinua.
2) Estudia la continuidad de las funciones:
  2
)
1
x
a g x
x


  3
3
)
1
x
b h x
x



 
3
2
)
30
x
c t x
x x

 
  2
4
)
2 8
x
d r x
x x


 
  3 2
5
)
1
x
e k x
x x x


  

30. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

31.  
2
25
1. , 5.
5
x
Sea f x si x
x

  

¿Qué valor debe asignarse a f(-5) para que f sea continua
en x = -5
2. Considérese la función . ¿Qué valor debe
tener f(0) para que f sea continua en x = 0
 
1 1 x
f x
x
 

3. Sea la función: .¿Qué valor debe asignarse a
f(1) para que f sea continua en x = 1?
 
5
1
1
x
f x
x




32. 4. Dada la función:
2 , 2
( ) 2 , 2 1
3 , 1
x a si x
f x ax b si x
x b si x
  


    

  

Hallar “a + b”. Sabiendo que f(x) es continua.
5. La función f definida por   2
2
, 2
6
, 2
x si x
f x x x
x
x ax b



   


 

Es continua en x = 2. Hallar “ab”

33. 3
5
1
2 1
1.
2 1
x
x x
Lim
x x

 
 
3
5
1
1
3.
1
x
x
Lim
x



1
5 2
2.
1
x
x
Lim
x

 

7. Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es “y”,
entonces el volumen de la cosecha C puede modelarse con la función de M & M:
2 6 4
3 5 6
7 42 9 3
( ) 0
8 4 2 12
y y y
C y y
y y y y
  
 
   
¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa
indefinidamente?
3 2
1
3 2
4.
1 1
x
Lim
x x


 
6. Calcula el valor de cada uno de los siguientes limites: