Cavendish: Biografía, Experimento. Newton: Ley Universal de Gravitación, teoremas.

1. Universidad de San Carlos de Cuatemala
Licenciatura en F´ısica Aplicada (201704112)
TABAJO DE INVESTIGACI ´ON
Alfonso Alexander Pacheco Mart´ınez
GRAVITACI ´ON
F´ısica II
Escuela de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Septiembre, 13, 2017

2. holacaracola
Introducci´on
“Gravitaci´on o interacci´on gravitatoria”. Es la atracci´on entre los cuerpos, entre las ma-
sas. La gravitaci´on es la m´as extra˜na de las fuerzas de la naturaleza. No sabemos qu´e es. Dos
f´ısicos m´as importantes de la historia (Isaac Newton y Albert Einstein) intentaron entender
la gravitaci´on y c´omo funcionaba, y propusieron las mejores teor´ıas hasta la fecha. Pero no
supieron qu´e es la gravedad (a Newton le preguntaron por su teor´ıa y dijo: ”No significa nada.
La teor´ıa te dice c´omo se mueve un cuerpo, no por qu´e”).
No antes de Cavendish no se tenia una aproximacion a la constante gravitacional, inde-
pendoentemente de si la utilizo para sus mediciones que en ese entonces su fin era, determinar
la densidad de la Tierra, a pesar de esto y de no ser objetivo de Cavendish, logro un margen
de error de cerca de l %.
A pesar de ser no solo un numero, podemos deducir a partir de la constante de gravitacion
muchos de los fenomenos desconocidos en el universo, muestra de ello, los agujeros negros, con
masa muy grande que generan un campo gravitacional mas alla de lo que podemos imaginar,
asi como reafirmar cada vez la Teoria de la Relatividad de Einstein.
un universo al descubierto nos espera...

3. ´Indice
´Indice 2
1. Henry Cavendish (Biografia) 3
2. Experimento de Cavendish para Medir la Constante Gravitacional G 4
2.1. Formulaci´on Matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Constante Universal de Gravitaci´on 8
4. Ley de Gravitaci´on Universal de Newton 9
5. Teoremas de Newton 9
5.1. Teorema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2. Teorema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3. Demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6. Agujeros Negros 11
7. Bibliograf´ıa 15
8. Referencias 15
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4. 1. Henry Cavendish (Biografia)
Figura 1:
Retrato y firma de Henry Cavendish
(Portada del libro de George Wilson The
Life of the Hon. Henry Cavendish, de 1825)
Su vida est´a muy bien documentada, gracias a la
obra de George Wilson de 1851, “The life of the Hon.
Henry Cavendish”.
Primeros a˜nos
Fue hijo primog´enito de miembros de la nobleza
inglesa, lord Charles Cavendish, duque de Devonshire,
y lady Ann Gray. Naci´o en 1731 en Niza, entonces
reino de Cerde˜na, donde su madre se encontraba por
motivos de salud. Su madre muri´o dos a˜nos despu´es,
cuando naci´o su hermano Frederick.
A los 11 a˜nos entr´o a estudiar en la Escuela de
Newcome en Hackney, ingresando a los 18 a˜nos (1749)
en la Peterhouse (Universidad de Cambridge), donde
permaneci´o desde 1749 hasta 1753 (aunque no lleg´o a
graduarse). En esa ´epoca destac´o por ser un alumno
aplicado, callado, muy t´ımido, reservado y encerrado
en su mundo. Sus profesores sol´ıan decir que siempre
((estaba en la luna)), aunque en realidad se dedicaba
a razonar y reflexionar sobre diversos temas cient´ıfi-
cos.
Vida adulta
Hasta que cumpli´o los cuarenta a˜nos, vivi´o de una renta modesta que le pasaba su padre
(del que fue ayudante en sus actividades cient´ıficas), hasta que en 1773 hered´o de su t´ıo lord
George Cavendish una considerable fortuna de 1 200 000 libras esterlinas, convirti´endose en
uno de los hombres m´as ricos de su tiempo, hasta el punto de que en palabras del cient´ıfico
franc´es Jean-Baptiste Biot, lleg´o a ser ((el m´as rico de todos los sabios, y muy posiblemente,
el m´as sabio de todos los ricos)).
Su ocupaci´on preferida continu´o siendo la investigaci´on cient´ıfica (que desarrollaba en su
propia residencia de Clapham Common, en el sur de Londres), compaginada con su sistem´atica
asistencia a las sesiones semanales de la Royal Society de Londres, donde presentaba sus
descubrimientos.
Recibi´o la Medalla Copley en 1757 e ingres´o como miembro de la prestigiosa Royal Society
en 1803.
Muerte
Muri´o en 1810, a una edad muy avanzada para el promedio de la ´epoca, y fue enterrado en
la iglesia que posteriormente se convirti´o en catedral de Derby. Sobre su muerte hay distintas
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5. versiones, aunque todas ellas coinciden al se˜nalar que falleci´o en su casa, despu´es de comunicar
a uno de sus criados que iba a morir en unos minutos.
Tras su fallecimiento dej´o abundantes notas, una copiosa biblioteca, cajas repletas de ex-
perimentos de todo tipo (muchos de ellos el´ectricos) y una cuantiosa fortuna.
Personalidad
En el ´ambito personal era muy retra´ıdo, solitario, mis´antropo, mis´ogino y exc´entrico. En
un art´ıculo publicado en 2001 por el psiquiatra, divulgador cient´ıfico y escritor brit´anico Oliver
Sacks, se sugiere que Cavendish podr´ıa haber padecido el s´ındrome de Asperger.
Nunca se cas´o ni tuvo hijos. Excepto por su familia inmediata, no ten´ıa trato cercano con
casi nadie. A Lord George Cavendish, quien ser´ıa su principal heredero, apenas le ve´ıa unos
minutos al a˜no. Su misoginia era tal que las sirvientas ten´ıan orden expresa de apartarse de
su vista, bajo amenaza de despido. Se comunicaba con ellas por medio de notas escritas.
Su traje habitual, de un violeta descolorido, estaba totalmente pasado de moda, y su
sombrero de tres picos era del siglo anterior. Hab´ıa una ligera inseguridad en su forma de
hablar, y s´olo aparec´ıa en p´ublico para reuniones cient´ıficas. Lord Brougham comentaba que
((probablemente pronunci´o menos palabras en toda su vida que cualquier otro que haya llegado
a los ochenta a˜nos, sin exceptuar a los monjes trapenses)).
En su art´ıculo dedicado a Cavendish, Oliver Sacks cita la biograf´ıa publicada por George
Wilson en 1851:
“No amaba; no odiaba; no ten´ıa esperanzas; no ten´ıa miedo [...] Una cabeza intelectual
pensando, un par de ojos maravillosamente agudos observando y un par de manos muy
h´abiles experimentando o registrando, es todo lo que veo al leer sus escritos”.
2. Experimento de Cavendish para Medir la Constante Gra-
vitacional G
El experimento de Cavendish o de la balanza de torsi´on permiti´o obtener impl´ıcitamente
en 1789 la primera medida de la constante de gravitaci´on universal G y, con este dato, a
partir de la ley de gravitaci´on universal de Isaac Newton y de las caracter´ısticas orbitales de
los cuerpos del Sistema Solar, la primera determinaci´on de la masa de los planetas y del Sol.
Debe se˜nalarse que contrariamente a lo que se ha venido afirmando en algunos textos de
f´ısica, Henry Cavendish no calcul´o esta constante (ya que no la necesitaba para sus mediciones;
esto se hizo mucho despu´es, aprovechando sus experiencias), pues su objetivo era determinar
la densidad de la Tierra, lo que consigui´o lograr con una precisi´on excepcional para su ´epoca.
La constante gravitacional no aparece en el art´ıculo de Cavendish y no hay indicio de que
hubiese vislumbrado este c´alculo como prop´osito experimental. Una de las primeras referencias
a G apareci´o en 1873, 75 a˜nos despu´es del trabajo de Cavendish.
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6. Figura 2:
Dibujo de la secci´on vertical de la balanza
de torsi´on de Cavendish, incluyendo el
recinto en la que estaba ubicada. Las
esferas grandes estaban suspendidas de un
bastidor, de forma que se pod´ıan orientar
desde el exterior respecto a las esferas
peque˜nas mediante un sistema de poleas.
El instrumento construido por Cavendish consist´ıa
en una balanza de torsi´on con un brazo horizontal de
madera de seis pies (1,8288 m) de longitud, de cuyos
extremos colgaban dos esferas de plomo de id´entica
masa. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo.
Cerca de las esferas, Henry Cavendish dispuso dos es-
feras de plomo de unos 175 kg cada una, cuya acci´on
gravitatoria deb´ıa atraer las masas de la balanza pro-
duciendo un peque˜no giro sobre estas. Para impedir
perturbaciones causadas por corrientes de aire, Caven-
dish emplaz´o su balanza en una habitaci´on a prueba
de viento y midi´o la m´ınima torsi´on de la balanza uti-
lizando un peque˜no telescopio.
Las dos grandes esferas de plomo se colocaban en
lados alternos del brazo de madera horizontal de la
balanza. La atracci´on mutua sobre las peque˜nas bolas
hac´ıa que el brazo girase, torciendo a su vez el alambre
de soporte del brazo. El brazo dejaba de girar cuando
alcanzaba un ´angulo donde la fuerza de torsi´on del
alambre equilibraba la fuerza gravitacional combinada de la atracci´on entre las esferas de
plomo grandes y las peque˜nas. Midiendo el ´angulo de giro de la varilla, y conociendo la fuerza
de torsi´on (par) del alambre para un ´angulo dado, Cavendish fue capaz de determinar la fuerza
de atracci´on entre los dos pares de masas. Puesto que la fuerza gravitacional ejercida por la
Tierra sobre cada bola peque˜na pod´ıa medirse directamente por pesada, la relaci´on de las dos
fuerzas permiti´o calcular la densidad de la Tierra, usando la ley de la gravitaci´on universal
de Newton.
Cavendish dedujo que la densidad de la Tierra era de 5,448 ± 0,033 veces la del agua
(debido a un error aritm´etico simple, detectado en 1821 por Francis Baily, el valor err´oneo de
5, 48 ± 0, 038 aparece en el escrito de Cavendish).
Para determinar el m´odulo de torsi´on del hilo (es decir, el par ejercido por el alambre para
un determinado ´angulo de giro), Cavendish cronometr´o el periodo de oscilaci´on de la varilla de
la balanza, haci´endola girar lentamente en sentido horario y en sentido antihorario contra la
torsi´on del alambre. El periodo era de unos 20 minutos. El m´odulo de torsi´on pod´ıa calcularse
a partir de este dato, conociendo la masa y las dimensiones de la balanza. En realidad, la
varilla no estaba en reposo; Cavendish ten´ıa que medir el ´angulo de desviaci´on de la varilla
mientras que estaba oscilando.
El equipo dise˜nado por Cavendish era extraordinariamente sensible para su ´epoca. La
fuerza de torsi´on involucrada en hacer girar la balanza era muy peque˜na, del orden de 1, 74 ·
10−7 N, alrededor de 1/50.000.000 del peso de las bolas peque˜nas, o aproximadamente el peso
de un gran grano de arena.
Para evitar que las corrientes de aire y los cambios de temperatura pudieran interferir
con las mediciones, Cavendish puso todo el aparato dentro de una caja de madera de 2 pies
(0,6096 m) de grueso, 10 pies (3,048 m) de alto, y 10 pies (3,048 m) de ancho, todo ello en un
cobertizo cerrado en su finca. A trav´es de dos agujeros en las paredes de la caseta, Cavendish
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7. utilizaba unos telescopios para observar el movimiento de la barra horizontal de la balanza de
torsi´on. El movimiento de la varilla era s´olo de 0,16 pulgadas (4,064 mm). Cavendish fue capaz
de medir este peque˜no desv´ıo con una precisi´on de una cent´esima de pulgada usando escalas
de vernier en los extremos de la barra. La exactitud conseguida por Cavendish no se super´o
hasta que se realizaron los experimentos de Charles Vernon Boys en 1895. Con el tiempo, la
balanza de torsi´on de Michell se convirti´o en la t´ecnica dominante para medir la constante
gravitacional (G) y la mayor´ıa de las mediciones contempor´aneas siguen utilizando variaciones
de la misma. Es por esto que el experimento de Cavendish se convirti´o en el experimento de
Cavendish.
2.1. Formulaci´on Matem´atica
Figura 3:
Diagrama de la balanza de torsi´on utilizada
en el “experimento de Cavendish”, realizado
por el propio Henry Cavendish en 1798
El objetivo del experimento es medir el giro en la
balanza de torsi´on producido por la fuerza de grave-
dad ejercida entre las esferas externas y las masas dis-
puestas en los extremos de la balanza, lo que permite
deducir el valor de todas las fuerzas involucradas:
La fuerza de recuperaci´on en la balanza (τ), puede
escribirse en funci´on del ´angulo girado sobre la po-
sici´on de equilibrio, θ, y del m´odulo de torsi´on del
alambre k:
τ = −kθ
El ´angulo θ puede ser medido mediante un espejo
situado en la fibra de torsi´on. Si M representa la masa
de las esferas exteriores y m la masa de las esferas
en la balanza de torsi´on, se puede igualar la fuerza
de torsi´on con la fuerza de atracci´on ejercida por las
esferas mediante la f´ormula:
τ = 2
GMm
r2
L
donde G es la constante de gravitaci´on universal,
L es la distancia entre el hilo de torsi´on y las esferas m
(es decir, el brazo del esfuerzo torsor); y por ´ultimo r
es la distancia entre los centros de las esferas M y m. Por lo tanto, combinando las ecuaciones
anteriores, resulta que:
G =
kθr2
2MmL
(1)
Se tiene que k puede medirse a partir del periodo de oscilaci´on de la balanza de torsi´on,
T. Por lo tanto, si:
T = 2π
I
k
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8. y asumiendo que la masa de los elementos de la balanza de torsi´on es despreciable, el
momento de inercia de la balanza es el de las dos bolas peque˜nas:
I = mL2 + mL2 = 2mL2
entonces:
T = 2π
2mL2
k
Resolviendo para k:
k =
4π2(2mL2)
T2
Sustituyendo esta expresi´on en (1), y despejando G, el resultado es:
G =
4π2r2Lθ
MT2
Una vez que se ha determinado G, la fuerza de atracci´on sobre un objeto en la superficie
de la Tierra (mg), puede usarse para calcular la masa (MT ) y la densidad de la Tierra (ρT )
conocido el radio terrestre (RT ):
mg =
GmMT
R2
T
Masa de la Tierra:
MT =
gR2
T
G
Densidad de la Tierra:
pT =
MT
4
3
πR3
t
=
3g
4πRT G
Por lo tanto:
G = g
R2
T
MT
=
3g
4πRT pT
Despu´es de convertir a unidades del Sistema Internacional el valor obtenido por Cavendish
para la densidad de la Tierra (5,45 g/cm3), as´ı como el resto de los datos recabados, se obtuvo
el valor G = 6, 7410−11N ∗m2/kg2, lo que se encuentra dentro de un 1 % del valor actualmente
aceptado.
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9. 3. Constante Universal de Gravitaci´on
Figura 4:
En primer lugar, la fuerza de atracci´on de
una distribuci´on esf´erica de masa de radio
R y masa M sobre una part´ıcula de masa m
situada fuera de la esfera, es equivalente al
de una part´ıcula cuya masa sea la de la
esfera situada en su centro.
Figura 5:
La Constante se puede determinar una vez que se
conoce el valor de la masa de la Tierra.
Aplicamos la segunda ley de Newton a un cuerpo
de masa m que cae libremente, sabiendo que su ace-
leraci´on de ca´ıda, en las proximidades de la superficie
de la Tierra es g.
mg = G
Mm
R2
M =
R2g
G
G = g
R2
M
Como el radio R de la Tierra es conocido y g tambi´en
puede ser medido mediante varias experiencias, una de
las m´as simples es la medida del tiempo t que tarda
en caer un cuerpo una determinada altura h, h =
gt2
2
.
Si la aceleraci´on de la gravedad g y el radio de
la Tierra, supuesta esf´erica es R ≈ 6,371 · 106 m ≈
2,090 · 107 ft, tenemos que la masa de la Tierra es
M ≈ 5,972 · 1024 Kg ≈ 4,092 · 1023 slug.
G = g
(6,371 · 106)2
(5,972 · 1024)
≈ 6, 674 · 10−11 Nm2
Kg2
G = g
(2, 090 · 107)2
(4,092 · 1023)
≈ 3, 438 · 10−8 lbft2
slug
Hasta ahora (fig. 5), se han hecho alrededor de 300
intentos para determinar G, la mayor parte de ellos
mediante m´etodos de torsi´on similares a la balanza
que utiliz´o Henry Cavendish en 1798, cuando calcul´o
el valor mediante un experimento con una vara y dos
esferas de plomo en sus extremos.
En las ´ultimas d´ecadas, aunque se ha ido incremen-
tando la precisi´on de las mediciones, no se ha podido
converger en un valor consistente y los resultados son
discrepantes.
Esto sugiere la presencia de errores sistem´aticos
que todav´ıa no se han identificado en los experimen-
tos, aunque se piensa que est´an relacionados con las
medidas de la atracci´on gravitacional entre masas ma-
crosc´opicas.
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10. 4. Ley de Gravitaci´on Universal de Newton
As´ı, con todo esto resulta que la ley de la gravitaci´on universal predice que la fuerza
ejercida entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados una distancia r es proporcional al
producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:
F = G
m1m2
r2
(2)
donde
F, es el m´odulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su direcci´on se encuentra en
el eje que une ambos cuerpos.
G, es la constante de gravitaci´on universal. Es decir, cuanto m´as masivos sean los cuerpos
y m´as cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraer´an.
Aunque en la ecuaci´on (2) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravita-
toria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma m´as general con la que poder describir
completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos ´unicamente su valor, tambi´en podemos
encontrar directamente su direcci´on. Para ello, se convierte dicha ecuaci´on en forma vectorial,
para lo cual ´unicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos
cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que
ambos cuerpos se encuentran en las posiciones r1, r2, la fuerza (que ser´a un vector ahora)
vendr´a dada por:
F12 = −G
m1m2
||r2 − r1||2
ˆu12 = −G
m1m2
||r2 − r1||3
(r2 − r1)
donde ˆu12 es el vector unitario que va del centro de la gravedad del objeto 1 al del objeto 2.
5. Teoremas de Newton
Newton demostr´o, en dos teoremas, que resulta correcto reemplazar un objeto masivo con
simetr´ıa esf´erica por un punto, que concentra toda la masa de este objeto y que se ubica en
su centro. Esta posibilidad ha sido utilizada en los c´alculos anteriores, cuando hemos reem-
plazado la Tierra –supuestamente una esfera perfecta–, por una masa puntual en su centro.
Estos teoremas dan validez a los m´etodos utilizados en la resoluci´on de los ejemplos anteriores.
Destaquemos que la posibilidad de reemplazar un cuerpo con simetr´ıa esf´erica por una
masa puntual en su centro, se debe exclusivamente a que la fuerza depende del inverso del
cuadrado de la distancia entre las part´ıculas.
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11. 5.1. Teorema I
La fuerza gravitacional que act´ua sobre un cuerpo que se ubica fuera de un cascar´on esf´erico
y homog´eneo, de masa M, es la misma que experimentar´ıa si toda la masa del cascar´on se
concentrara en el centro de la esfera.
5.2. Teorema II
Un objeto, cualquiera sea su forma, que se ubique dentro de un cascar´on esf´erico y ho-
mog´eneo de materia, no experimenta ninguna fuerza gravitacional proveniente del cascar´on.
5.3. Demostraci´on
dF =
Gm(r + x)dM
(R2 + r2 + 2rx)
3
2
=
GMm
2R
(r + x)dx
(R2 + r2 + 2rx)
3
2
F =
R
−R
GMm
2R
(r + x)
(R2 + r2 + 2rx)
3
2
dx =
GMm
2R
R
−R
(r + x)
(R2 + r2 + 2rx)
3
2
dx
⇒ u = R2 + r2 + 2rx ⇒ x =
u2 − R2 − r2
2r
⇒ r + x =
u2 + R2 − r2
2r
⇒ F =
GMm
2R
R
x=−R
u2 + R2 − r2
2r
udu
r
u2
=
GMm
4Rr2
x=R
x=−R
(1 +
r2 − R2
u2
)du
F =
GMm
4Rr2
(u +
R2 − r2
u
)
x=R
x=−R
=
GMm
4Rr2
(
√
R2 − r2 + 2rx +
(R − r) − (R + r)
√
R2 − r2 + 2rx
)
R
−R
F =
GMm
4Rr2
( (R + r)2 +
(R − r)(R + r)
(R + r)2
− (R − r)2 −
(R − r)(R + r)
(R − r)2
)
continua dem...
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12. Teorema I
r > R r − R > 0
F =
GMm
4Rr2
((R + r) + (R − r) − (r − R) −
(R − r)(R + r)
(r − R)
)
F =
GMm
4Rr2
(2R + R − r + R + r) =
GMm
4Rr2
(4R)
F =
GMm
r2
Teorema II R > r
F =
GMm
4Rr2
(2R + R − (R − r) − (R + r))
F =
GMm
4Rr2
(0) = 0
6. Agujeros Negros
El concepto de agujero negro es una de las consecuencias m´as interesantes y desconcer-
tantes de la teor´ıa gravitacional moderna, pero la idea b´asica puede entenderse con base en
los principios newtonianos.
La R´apidez de Escape de una Estrella
Pensemos primero en las propiedades de nuestro Sol. Su masa M = 1,99 · 1030 kg y radio
R = 6,96 · 108 m son mucho mayores que los de cualquier planeta pero, en comparaci´on con
otras estrellas, nuestro Sol no es excepcionalmente masivo. ¿Qu´e densidad media ρ tiene el
Sol?
ρ =
M
V
=
M
4
3
πr3
=
1,99 · 1030
4
3
π(6,96 · 108)3
= 1410
kg
m3
La temperatura del Sol var´ıa entre 5800oK (unos 5500oC o 10, 000oF) en la superficie
y 1,5 · 107oK (unos 2,7 · 107oF) en el interior, as´ı que seguramente no contiene s´olidos ni
l´ıquidos. No obstante, la atracci´on gravitacional junta los ´atomos de gas hasta hacer al Sol, en
promedio, 41 % m´as denso que el agua y unas 1200 veces m´as denso que el aire que respiramos.
Veamos ahora la rapidez de escape de un cuerpo en la superficie del Sol.
v =
2GM
R
=
8πGρ
3
R
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13. Con cualquier forma de esta ecuaci´on, podemos calcular la rapidez de escape para un
cuerpo en la superficie solar: v = 6,18 · 105 m/s (cerca de 2.2 millones de km/h o 1.4 millones
de mi/h). Este valor, que es cerca de 1/500 de la rapidez de la luz, es independiente de la
masa del cuerpo que escapa; s´olo depende de la masa y el radio (o la densidad media y el
radio) del Sol.
En 1783 el astr´onomo aficionado John Mitchell se˜nal´o que, si un cuerpo con la misma den-
sidad media que el Sol tuviera un radio 500 veces mayor, la magnitud de su rapidez de escape
ser´ıa mayor que la r´apidez de la luz c. Al apuntar que “toda la luz emitida de semejante cuerpo
tendr´ıa que regresar a ´el”, Mitchell se convirti´o en la primera persona en sugerir la existencia
de lo que ahora llamamos agujero negro, un objeto que ejerce tal fuerza gravitacional sobre
otros cuerpos que ni siquiera pueden emitir su propia luz.
Agujeros negros, el radio de Schwarzschild y el horizonte de eventos
La primera expresi´on para la rapidez de escape de la ecuaci´on tambi´en sugiere que un
cuerpo de masa M act´ua como agujero negro, si su radio R es menor o igual que cierto
radio cr´ıtico. ¿C´omo podemos determinar dicho radio cr´ıtico? Podr´ıamos pensar que se puede
determinar su valor con s´olo hacer v = c en la ecuaci´on. De hecho, esto s´ı da el resultado
correcto, pero s´olo porque dos errores se compensan.
La energ´ıa cin´etica de la luz no es mc2/2, y la energ´ıa potencial gravitacional cerca de un
agujero negro no est´a dada por la ecuaci´on. En 1916 Karl Schwarzschild us´o la teor´ıa general
de la relatividad de Einstein (que en parte es una generalizaci´on y extensi´on de la teor´ıa
gravitacional newtoniana) para deducir una expresi´on para el radio cr´ıtico Rs, llamado ahora
radio de Schwarzschild.
El resultado es el mismo que si hubi´eramos igualado v a c en la ecuaci´on:
c =
2GM
Rs
Despejando el radio de Schwarzschild Rs, tenemos:
Rs =
2GM
c2
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14. a) Un cuerpo con radio R mayor que el radio de Schwarzschild Rs. b) Si el cuerpo colapsa a un radio menor
que Rs, es un agujero negro con una rapidez de escape mayor que la rapidez de la luz. La superficie de la
esfera de radio Rs se denomina el horizonte de eventos del agujero negro.
Visita a un Agujero Negro
En puntos alejados de un agujero negro, sus efectos gravitacionales son los mismos que
los de cualquier cuerpo normal con la misma masa. Si el Sol se colapsara para formar un
agujero negro, las ´orbitas de los planetas no se afectar´ıan. Sin embargo, en las cercan´ıas del
agujero negro las cosas son dr´asticamente distintas. Si el lector decidiera convertirse en un
h´eroe de la ciencia y saltara a un agujero negro, quienes se quedaran atr´as observar´ıan varios
efectos extra˜nos al moverse usted hacia el horizonte de eventos, casi todos asociados con la
relatividad general.
Si usted llevara un radiotransmisor para informar de sus experiencias, habr´ıa que resinto-
nizar el receptor continuamente a frecuencias cada vez m´as bajas por el efecto denominado
desplazamiento gravitacional al rojo. Junto con este desplazamiento, los observadores perci-
bir´ıan que los relojes de usted (electr´onicos o biol´ogicos) avanzar´ıan cada vez m´as lentamente
por el efecto llamado dilataci´on del tiempo. De hecho, a los observadores no les alcanzar´ıa la
vida para ver c´omo usted llega al horizonte de eventos.
En su marco de referencia, usted llegar´ıa al horizonte de eventos en un tiempo muy corto
pero de forma un tanto desconcertante. Al caer con los pies por delante hacia el agujero negro,
la atracci´on gravitacional sobre los pies ser´ıa mayor que sobre la cabeza, que estar´ıa un poco
m´as lejos del agujero. Las diferencias en la fuerza gravitacional que act´ua sobre las distintas
partes de su cuerpo ser´ıan suficientes para estirarlo a usted en la direcci´on hacia el agujero
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15. negro y comprimirlo en la direcci´on perpendicular. Estos efectos (llamados fuerzas de marea)
separar´ıan sus ´atomos y luego los desgarrar´ıan, antes de que usted llegara al horizonte de
eventos.
Detecci´on de agujeros negros
Figura 6:
Sistema de estrella binaria en el que una
estrella ordinaria y un agujero negro giran
uno alrededor del otro. El agujero negro no
puede verse, pero pueden detectarse los
rayos x de su disco de acreci´on.
Figura 7:
Esta imagen de color falso muestra los
movimientos de estrellas en el centro de
nuestra galaxia durante un periodo de
nueve a˜nos. Un an´alisis de estas ´orbitas con
la tercera ley de Kepler indica que las
estrellas se mueven alrededor de un objeto
invisible, cuya masa es de unas
3,7 · 106
veces la masa del Sol. La barra de
escala indica una longitud de 1014
m (670
veces la distancia entre la Tierra y el Sol) a
la distancia del centro gal´actico.
Si la luz no puede escapar de un agujero negro,
y si los agujeros negros son tan peque˜nos, ¿c´omo sa-
bemos que tales cosas existen? La respuesta es que si
hay gas o polvo cerca de un agujero negro, tender´a a
formar un disco de acreci´on que girar´a en torno del
agujero y caer´a en ´el, como en un remolino (figura
8). La fricci´on dentro del material del disco hace que
pierda energ´ıa mec´anica y caiga en espiral hacia el
agujero negro, comprimi´endose al hacerlo. Esto causa
un calentamiento del material, como sucede con el aire
comprimido en una bomba para bicicleta. Se pueden
alcanzar temperaturas por encima de 106 K en el dis-
co de acrecentamiento, de modo que no s´olo se emite
luz visible (como hacen los cuerpos al “rojo vivo” o al
“blanco vivo”), sino tambi´en rayos x. Los astr´onomos
buscan estos rayos x (emitidos antes de que el mate-
rial cruce el horizonte de eventos), para detectar la
presencia de un agujero negro. Se han hallado varios
candidatos prometedores, y los astr´onomos han expre-
sado una confianza considerable en la existencia de los
agujeros negros.
La masa de los agujeros negros en sistemas de es-
trella binaria, como el de la figura 8, es unas cuantas
veces mayor que la del Sol, y cada vez hay m´as pruebas
de la existencia de agujeros negros supermasivos mu-
cho mayores. Se cree que hay uno en el centro de nues-
tra galaxia, la V´ıa L´actea, a unos 26,000 a˜nos luz de
la Tierra en la direcci´on de la constelaci´on Sagitario.
Im´agenes de alta definici´on del centro gal´actico reve-
lan estrellas que giran a m´as de 1500 km/s en torno a
un objeto invisible que coincide con la posici´on de una
fuente de ondas de radio llamada Sgr A* (figura 9).
Al analizar estos movimientos, los astr´onomos pueden
inferir el periodo T y el eje semimayor a de la ´orbita
de cada estrella. As´ı, se puede calcular la masa mX
del objeto invisible utilizando la tercera ley de Kepler.
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16. 7. Bibliograf´ıa
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Gravitacion: Introducci´on a la Mec´anica - Nelson Hole, Fac. de CC F´ısica y Matematicdas
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