Guía #1 de practica en Matlab de ejercicios de matemáticas 3 de la facultad de economía.

1. Universidad de El Salvador.
Facultad de Ciencias Económicas
Departamento de Matemática y estadística.
Asignatura: Matemáticas 3 / ciclo 01 2013
Docente: Saúl Quintanilla.
Instructor: Aaron Meléndez
Integración, gráficas y áreas en
Matlab.
Matlab es lenguaje de programación diseñado para resolver e implementar rutinas que requieren de un cálculo
matemático, muy útil en investigación y desarrollo. En el ámbito académico y estudiantil, no es necesario ser un
programador para utilizar Matlab, solo debe de tener habilidad para introducir las instrucciones adecuadas e interpretar
su resultado.
Este corto documento, no es una guía básica para el uso de Matlab, sino una guía esencial para su utilización como
herramienta de apoyo en los contenidos de segundo periodo de Matemáticas 3. Se espera que el estudiante, adquiera las
habilidades mínimas para el uso de Matlab en cálculo aplicado (orientado a economía) y pueda por si mismo verificar los
resultados de los ejercicios y problemas de estudio a lo largo del contenido, así como brindar competencias y herramientas
a un siguiente nivel; con ello, el estudiante podrá entenderse con estudiantes de otras universidades o estudiantes de
Ingenierías sobre el uso de software matemático.
Durante la práctica, se utilizara Matlab 5.3, versión estudiantil de 1999. Es una versión que supera las expectativas y
demandas para lo que se necesita en este Curso. Para el momento de redacción, se encuentra disponible la versión 8; que
posee muchísimas herramientas de cálculo y simulación matemática; que para lo que nos servirán en este curso, solo
representan espacio innecesario en disco duro. La ventaja esta, que las instrucciones de la versión 5, siguen siendo las
mismas en las demás versiones; así, si algún estudiante tiene el privilegio de trabajar con una versión mucho más reciente
de Matlab, podrá utilizarlo sin mayor complicación.
1. LA INTERFAZ.
Matlab 5.3, una vez instalado, debe estar localizado en el menú de programas, o un icono de acceso directo en el escritorio.
Su forma tradicional es:
Al abrir el programa, deberá de aparecer la siguiente ventana:
Ventana de comandos de Matlab
Para resolver cálculos, Matlab utiliza comandos. Al abrir el programa, siempre será necesario definir las variables a utilizar.
Comúnmente se utilizan las variables x, y, z; aunque el usuario puede utilizar la variable que quiera, por ejemplo barca,
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2. real, Firpo, alianza, pollito_triste, etc.; teniendo cuidado en la utilización de mayúsculas y minúsculas, pues Matlab hace
diferenciación de ellas (no es lo mismo ues, que UES).
Para la declaración de variables se utiliza el comando syms, dejando un espacio entre las variables.
Utilización de comando syms
2. INTRODUCCIÓN DE FUNCIONES.
Para introducir funciones o expresiones, se utilizan únicamente paréntesis como símbolos de agrupación, siendo los
símbolos más indispensables:
+ suma
- resta
* multiplicación
/ división
^ potenciación
( ) Agrupación
= Asignar un resultado a una variable
Nota: Las raíces deben expresarse en su forma exponencial.
Ejemplo: Introducir las expresiones de los ejercicios 2, 3, 15 y 17 de la parte IV de la guía de ejercicios sobre integrales
definidas e impropias (solo las expresiones contenidas dentro del integral).
Introducción de funciones
Como nota adjunta en el ejercicio 17, para Matlab log equivale a ln (logaritmo natural).El tradicional logaritmo base 10 se
escribe como log10. La base exponencial e se escribe como exp.
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3. 3. INTEGRACIÓN INDEFINIDA.
El comando para integrar, es int(función,variable) en donde en función sustituimos la expresión a integrar, y en variable
escribimos la variable respecto a la cual se integrará.
Ejemplo: Realizar la integración impropia de las funciones previamente digitadas.
resp3=int(ejercicio3,x)
resp2=int(ejercicio2,x)
resp15=int(ejercicio15,x)
resp17=int(ejercicio17,x)
Como puede darse cuenta, las respuestas se muestran en pantalla en una sintaxis un poco emborrosa. Para ello
utilizaremos el comando pretty(función), para que nos muestre en una forma más amigable el resultado:
Uso de pretty
Como se habrá dado cuenta, no se muestra la constante de integración C. Dado que Matlab utiliza una toolbox simbólica
para resolver integrales, por naturaleza no suma la variable C. Pero como todo poderoso estudiante, ya sabe que al final
de una integral indefinida, siempre se agrega la constante de integración.
4. INTEGRACIÓN DEFINIDA.
El comando a utilizar es el mismo, con la diferencia, que se añade a la expresión los intervalos de integración. Siendo
int(función,variable,limite_inferior,limite_superior).
Ejemplo: Realizar la integración definida, indicada en cada ejercicio, según las indicaciones de la parte IV de la guía de
ejercicios sobre integrales definidas e impropias.
resp2=int(ejercicio2,x,1,2)
resp3=int(ejercicio3,x,-1,1)
resp15=int(ejercicio15,x,0,1)
resp17=int(ejercicio17,x,0,exp(1))
Los resultados son:
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4. Integrales definidas y uso de vpa
Como habrá notado en la respuesta 17, una de las incomodidades de Matlab es la precisión con que intenta representar
los datos. Para reducir un resultado numérico al mínimo, utilizamos el comando vpa(función,dígitos) en donde sustituimos
la función a reducir, y especificamos la cantidad de dígitos que queremos que contenga la respuesta. Lo más recomendable
es utilizar 6, si se utiliza menos, ocurrirá un redondeo de cifra.
5. GRÁFICAS RÁPIDAS.
Para realizar una gráfica rápida de una función de una variable independiente (generalmente x) se utiliza el comando
ezplot(función), en donde se sustituye la función ingresada. Dicho comando genera un gráfico con trazo rápido, en un
intervalo automático. La calidad del grafico es buena para interpretar las pendientes y concavidades de la función, más
para fines académicos de reporte y tareas, no resulta muy estético. Para ello es mejor utilizar MS Excel para generar
gráficas, dado su variedad de estilos de trazos (aunque requiere más tiempo su elaboración).
Ejemplo: Ingrese las siguientes funciones y grafíquelas.
funcion1=x
funcion2=x^2
funcion3=exp(-(x^2))
ezplot(grafica1)
hold on
ezplot(grafica2)
ezplot(grafica3)
grid on
Como puede observarse, hold on congela la pantalla y permite que las siguientes funciones se monten en una sola gráfica.
Con grid on se consigue dibujar trazas que indican la escala y mejora la percepción visual. Como el estudiante sabe, la
primera función corresponde a una recta; la segunda a una cuadrática, y la última a la campana de Gauss.
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5. Dentro del menú Tools de la ventana de gráfica, se encuentra una serie de herramientas para editar, teniendo opción de
añadir una viñeta, flechas, líneas rectas, cambiar de color la curva, cambiar el intervalo de los ejes, etc.
Gráfica de una campana de Gauss después de usar ezplot
Grafica de una campana de Gauss después de utilizar las Herramientas
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6. 6. EJEMPLO APLICADO
Guía de ejercicios parte VI #19: encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas,
Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos.
Curvas:
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1
𝑦𝑦 = 5 − 2𝑥𝑥
𝑥𝑥 = 0
𝑥𝑥 = 4
Procedimiento: Escribir las funciones más difíciles en Matlab, asignando un nombre diferente a cada una:
(preferentemente cambiar el color a las gráficas antes de que se monten sobre si, para lograrlas distinguir)
Es mucho más fácil, una vez creadas las gráficas, dibujar con el mouse, las rectas restantes:
Como puede analizarse, se tiene seis áreas que conforma el área total, lo que implica que debe calcularse seis integrales.
Como parte del ejercicio mental, el estudiante debe encontrar los puntos intercepto entre las gráficas, así como con los
ejes, para establecer los límites de integración correctos.
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7. Dichos límites pueden verificarse al hacer un cambio en los límites de los ejes, a fin de obtener un acercamiento:
Nota: los puntos cartesianos fueron ingresados manualmente
Por lo que el estudiante deberá deducir que:
Por lo tanto:
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴3 + 𝐴𝐴4 + 𝐴𝐴5 + 𝐴𝐴6
Respetando los signos según las aplicaciones de la integral para encontrar áreas, tenemos:
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = � 5 − 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
1
0
+ � (5 − 2𝑥𝑥) − (𝑥𝑥 − 1) 𝑑𝑑𝑑𝑑
2
1
− � 𝑥𝑥 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑
1
0
+ � (𝑥𝑥 − 1) − (5 − 2𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 +
2.5
2
� 𝑥𝑥 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑
4
2.5
− � 5 − 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
4
2.5
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8. Al introducirlo a Matlab, tenemos:
La respuesta es un área de 12 U2
.
7. RESUMEN DE COMANDOS ESENCIALES PARA EL CONTENIDO DE INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREAS BAJO CURVAS:
(Para tener un conocimiento completo de dichos comandos, consultar la ventana de ayuda)
syms Crea variables simbólicas. Siempre utilizarlo al iniciar Matlab.
int Resolver una integral, sea indefinidas o definidas, con respecto a una variable indicada.
ezplot Genera una grafico rápido con límites automáticos.
hold on Congela la ventana de gráficos, y permite que los gráficos se monten sobre sí.
grid on Habilita líneas punteadas que actúan como indicadores de escala en la gráfica.
AXIS Cambia los límites del plano cartesiano.
log(k) Logaritmo natural de k
log10(k) Logaritmo normal base 10 de k
exp(k) Numero e elevado a k
pretty Muestra en pantalla una función en forma legible y agradable.
simple Simplifica una función a su mínima expresión.
expand Expande una función, a varios términos (como los productos notables).
Otros comandos que podrían resultar interesantes:
diff Resolver una derivada
solve Resolver un sistema de ecuaciones
A=[a b; c d]
Guarda en A una matriz 2x2 siendo los elementos de la matriz a11=a, a12=b, a21=c y a22=d. Seguir similar
procedimiento para una matriz de nxm
AB
Devuelve la solución de un sistema de ecuaciones matricial donde A es la matriz de incógnitas y B es la matriz de
constantes.
A+B Suma de matrices
A-B Resta de matrices
A.*B Multiplicación de matrices
A*B Multiplicación escalar de matrices.
8. CONCLUSIONES.
A pesar que Matlab es potente, podría resultar poco amigable. Existen otros programas mucho más amigables al estudiante, aunque
descontinuados, o no tan potentes, siendo por ejemplo, incapaces de resolver una integral de fracciones parciales.
A pesar de todo ese potencial, Matlab no es adivino ni hace milagros. Simplemente, si se le introduce basura, devolverá basura. En sí,
solo es una herramienta que facilita el trabajo del estudiante, mas no puede sustituir la capacidad intelectual adquirida con la práctica
y lectura.
REFERENCIAS UTILIZADAS:
Help Windows de Matlab 5.3
INTEGRACIÓN, GRÁFICAS Y ÁREAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 8