Este documento presenta un laboratorio sobre cálculo integral realizado por varios estudiantes. El laboratorio analiza diferentes métodos para calcular integrales como sustitución, partes y sustitución trigonométrica. También aplica integrales a problemas de física como el movimiento de una pelota y el área entre curvas. Los estudiantes comparan los métodos manuales con el software Wolfram Alpha y concluyen que cada método es útil para diferentes tipos de problemas.

1. LABORATORIO SEGUNDO CORTE
LUIS DAVID XXI BALLEN MARTINEZ (702164)
SERGIO ALEJANDRO NIÑO CONTRERAS (702231)
OVER YESID RIVERA CARDENAS (506933)
NELSON QUINTERO
UNIVERSIDAD CATOLICA DE COLOMBIA
INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
INGENIERIA CIVIL
GRUPO 123- CÁLCULO INTEGRAL
29 DE SEPTIEMBRE DEL 2016

2. CONTENIDO
INTRODUCCION
1. OBJETIVOS FUNDAMENTALES 4
2. MARCO TEORICO 5
3. PROCEDIMIENTO DE LABORATORIO 6
4. CONCLUSION 13
5. BIBLIOGRAFIA 14

3. INTRODUCCION
Este trabajo consiste en el planteamiento y explicación del laboratorio el cual demuestre de
manera teórica, y simulada el procediendo que se manejó al monto de realizar la metodología
de resolver el laboratorio. Este Laboratorio se desarrollará en el transcurso del semestre
logrando aplicar lo visto en clase y la aplicación de área, volumen y la altura a este
planteamiento de problema, cabe resaltar que este proyecto se mostrará al final de semestre
con su respectiva exposición y explicación del tema aplicado.

4. OBJETIVOS FUNDAMENTALES
OBJETIVO GENERAL
 Identificar y aplicar los conceptos de cálculo integral vistos en clase y también fuera
de clase, aplicándolos en un problema de la vida cotidiana de esta manera conocer las
funciones principales que tiene el cálculo integral en nuestras vidas cotidianas
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Analizar el concepto de área en integral y tener el conocimiento de la aplicación de
esta.
2. Realizar la figura a la cual se le realizara el estudio, con sus respectivas
características.
3. Aplicar y realizar las respectivas integrales para la solución de esta.
4. Identificar las áreas a las cuales hay que hallar el área.
5. Exponer y explicar el proyecto a el profesor y los compañeros de la clase de cálculo
integral

5. MARCO TEORICO
 Área Bajo la curva
Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema
geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con
aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos), mejor dicho el área bajo la curva
se trata de tener una función graficada cualquiera ya sea una parábola como las
funciones cuadradas, funciones exponenciales, funciones con raíces, etc. Y luego
hallar el área que hay desde un punto de la gráfica hasta otro o mejor dicho desde
un intervalo hasta otro intervalo en la gráfica y de ahí también se saca integral
definida para después de integrar hallar el área evaluando desde los limites superior
e inferior y de ahí simplificas y operas hasta llegar a un solo valor que te del área.
Por ejemplo:
Se observa que en esta figura que f es una función ya graficada(tener en cuenta de
que f puede ser desde una función cuadrada hasta una función exponencial o
incluso una función cubica cualesquiera) y se ve que R es una área o región acotada
por los limites verticales o rectas verticales x=a y x=b o sea con respecto a x de a
hasta b por lo cual se puede hallar el área por medio de una integral definida o sea
de esta forma

6. En la cual consta de una integral de la función en la cual está la curva delimitada
por sus límites desde a hasta b y luego esa integral estará delimitada también por
sus límites desde a hasta b por eso se llama integral definida, mejor dicho se hace
una integral definida de f, de una función cualesquiera(excepto lineal) y de ahí se
integra y se evalúa en sus límites superior e inferior, siempre se evalúa por medio
del límite superior menos límite inferior y de ahí se opera(suma, resta, multiplicación,
etc.) hasta hallar el área de la región acotada por la curva.
 Área entre curvas
El área entre curvas es cuando se tienen dos funciones y se grafican en plano pero
a diferencia del área entre curva aquí cuando se tienen dos curvas y los límites del
área entre curvas son muy diferentes a los del área entre curvas ya que en el área
entre curvas para definir los limites del área es saber o ver, mejor dicho ver que
puntos del plano se cruzan las curvas o mejor dicho las funciones y ahí luego como
ven aquí por ejemplo:

7. Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos
funciones y=f(x) y y=g(x), las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a, b].
Si las gráficas están sobre el eje x y la gráfica y=g(x) está debajo de la gráfica y=f(x),
se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas, es
decir restar el área de la función y=g(x) al área de la función y=f(x), esto nos dará el
área entre 2 curvas en determinados intervalos.
Y también para encontrar el área entre dos curvas también aplicamos integral
definida solo que en vez de ser una función serán dos funciones y su integral
definida estaría acompañada o sea la integral definida de las dos curvas o mejor
dicho funciones y seria esta integral:
Esto quiere decir que las funciones f(x) y g(x) se restan en una integral definida que
iría desde a hasta b, luego se integra, se evalúa también en los límites superior
menos inferior, se opera (también suma, resta, multiplicación, etc.) hasta que salga
un solo valor constante o numérico en el cual será el área acotada entre dos curvas
o la región acotada
Claro que en la primera imagen como se puede ver el área no es lo mismo entre las
mismas curvas, y tampoco los límites del área entre las curvas serán los mismos
como se ve aquí:
Ya que desde antes de sacar la integral definida se evalúa si el límites entre una
curva y otra marcan la misma área, si marcan la misma o sea para marcar el área
se colocan rectángulos si los rectángulos marcan la misma área y se saca una sola,
pero en el caso que haya otra área primero se delimita desde donde hasta donde y

8. luego la integral definida de la función mas lejos menos la más cerca y luego se
evalúa en los límites se opera y finalmente se halla el área 2 de esa curva.
 Integral Definida
Ahora se habla de la integral definida la integral definida es aquella en la que se usa
mas que todo para hallar áreas bajo la curva y área entre curvas ya que para hallar
el área que va desde un intervalo (a hasta b) se usa la integral definida y la diferencia
entre la integral definida y la indefinida es que por ejemplo
Esta integral que se puede ver aquí es indefinida y la integral indefinida es
básicamente o solamente una integral normal en la que no tiene límites de
integración superior e inferior así como todas las integrales que se han visto y
solamente o como en todas las integrales se integra su función derivada para hallar
su función primitiva o original o sea se halla su antiderivada y por ejemplo si se
integra u(x) al intégrala su función original será U(x) o sea la función que era antes
de derivar
Y ahora por ejemplo como pueden ver aquí:
La integral definida tiene los mismos conceptos de la integral indefinida o sea al
integrar su función derivada se halla su función original solo que aquí luego de hallar
su función original lo que se hace es usar el teorema fundamental del calculo el cual
consiste en evaluar la función orginal en los limites superior e inferior o sea los
limites se remplazan el la integral dependiendo con las variables que salgan al
respecto y de ahí se opera(suma, resta, multiplicación, división, etc) y finalmente se
halla el resultado de la integral definida
 Integración por partes
Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos
tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes
que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

9. Una mala elección puede complicar más el integrando. Supondamos que tenemos
un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo x3
). Si
consideramos dv = x3
, entonces, integrando tendremos que v = x4
/4. Con lo que
hemos aumentado la potencia y esto puede ser un paso atrás.
Algo parecido ocurre con las fracciones (como 1/x). Si consideramos dv = 1/x,
tendremos v = log|x|, y probablemente obtendremos una integral más difícil.
Como norma general, llamaremos u a las potencias y logaritmos; y dv a las
exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas.
 Integral por Sustitución
El método consiste en sustituir el integrando o parte de éste por otra función para
que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Si escogemos un cambio de
variable de modo que al aplicarlo obtenemos en el integrando un función
multiplicada por su derivada, la integral será inmediata. Pero en ocasiones un
cambio mal escogido puede complicar más la integral.
En el caso de las integrales definidas, al aplicar el cambio hay que actualizar los
extremos de la integral. Por ejemplo, si los extremos de la integral inicial (con
variable x) son 0 y 1 y la nueva variable es s =2x, los nuevos extremos serán 0 y
0.5. Notemos que de este modo la variación de x es la misma.
En esta sección resolvemos integrales indefinidas por medio de este método. Los
integrandos son funciones racionales, con raíces, con funciones trigonométricas,
raíces en el denominador, logaritmos.

10. DESARROLLO DEL SEGUNDO LABORATORIO
Integral por sustitución Método por Software Programa wolfram alpha

11. Integral por sustitución Método Manual

12. Integral por partes Método por Software Programa wolfram alpha

13. Integral por partes Método Manual

14. Integral por sustitución trigonométrica Método por Software Programa
wolfram alpha

16. Integral por sustitución trigonométrica Método Manual

17. Problema de aplicación de la integra a la física
1. Se lanza una balon de basquetbol con una velocidad inicial de 15 m/s desde
la punta del edificio Colpatria de 10 metros de altura
 Calcule la altura máxima que alcanza la pelota de basquetbol
 Calcule la velocidad de rebote cuando el balón cae al piso

18. Problema de aplicación de la integra a la física Método Manual

19. Problema de área entre curvas incluyendo su gráfica Método por Software
Programa wolfram alpha

20. Problema de área entre curvas incluyendo su gráfica Método Manual

21. Problema de área entre curvas incluyendo su gráfica Método Manual

22. Cuadro con los resultados en el Software Programa wolfram alpha
INTEGRAL
SUSTITUCION
INTEGRAL POR
PARTES
INTEGRAL POR
SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA
APLICACIONES DE
INTEGRALES A LA
FISICA
AREA ENTRE
CUERVAS

23. QUIESTIONARIO
1. ¿Cuál es más “amigable”?
 En mi opinión la más amigable es integral por partes ya que en esta
dependiendo el ejercicio al realizar, su procedimiento es fácil y
estratégico
2. ¿Cuál realiza las integrales más rápido?
 El que realiza las integrales más rápido es sustitución, ya que el
método de sustitución es conocer la variable que se va a remplazar y
después cambiarla para intégrala para así tener la integral mucho más
rápido y por último se le colocan los términos cambiados a la solución
dada de la integral
3. ¿Cuál da soluciones más fáciles de interpretar?
 El que realiza las integrales más fácil sustitución trigonométrica, ya
que este método es solo basado en formulas trigonométricas, al
conocerlas formulas solo es remplazar los términos y utilizar unos
método los cuales ayudan a llagar fácil al resultado final de la integral
planteada
4. ¿Cuál da la solución más confiable?
 El que es más confiable es integral por partes, ya es consecutiva la
integral por parte pero tiende hacer larga dependiendo del ejercicio
planteado, cada paso realizado por el método por partes es fácil saber
si uno comete un error para después corregirlo y así llegar}r al
resultado adecuado
5. ¿Cuál escogerías para trabajar de manera cotidiana?
 El que escogería seria las tres anteriores ya que con cada una hay
diferentes métodos para desarrollar en la vida cotidiana, de esta forma
poder realizar de manera rápida y simultanea una solución a un
problema de la vida cotidiana

24. CONCLUSION
Podemos concluir que en este laboratorio se puede conocer y explicar sin dificultad
las dimensiones de área, el volumen y altura de un objeto basándose en la
aplicación del cálculo integral, logrando de esta forma comprender la importancia
que tiene el cálculo en la vida cotidiana y clarificar como se obtiene estos datos
teórica y prácticamente.

25. BIBLIOGRAFIA
 WIKIPEDIA. (14 de agosto del 2016). HISTORIA. 22 de agosto del 2016,
https://es.wikipedia.org/wiki/Nanatsu_no_Taizai
 —Paco Tartera. (10 de mayo del 2010). CITAS Y REFERENCIAS.
NORMAS “APA”. 22 de agosto del 2016,
http://pacotartera.blogspot.com.co/2011/05/1.htmlsde dirección URL
 Wiki Nanatsu no Taizai. (10 de mayo del 2010). Siete Pecados Capitales.
22 de agosto del 2016,
http://es.nanatsu-no-taizai.wikia.com/wiki/Siete_Pecados_Capitales