Este documento presenta un taller sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica los objetivos del taller, incluyendo cambiar entre expresiones exponenciales y logarítmicas, evaluar funciones logarítmicas, y resolver ecuaciones logarítmicas. Luego, detalla las propiedades de los logaritmos y muestra ejemplos de cómo usarlas para resolver problemas. Finalmente, proporciona ejercicios y problemas verbales para practicar el uso de funciones exponenciales y logarítmicas.

1. Taller: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Por: José Díaz
Objetivos: (2 min)
1) Cambiar expresiones exponenciales a expresiones logarítmicas y viceversa.
2) Evaluar funciones logarítmicas.
3) Resolver ecuaciones logarítmicas.
4) Aprender a utilizar las propiedades de los logaritmos.
5) Escribir expresiones logarítmicas como una suma o resta de logaritmos.
6) Escribir expresiones logarítmicas como un logaritmo simple.
Para resolver los problemas de expresiones exponenciales y logarítmicas sin dificultades
lo recomendable es que el estudiante aprenda a utilizar e interpretar las diferentes
propiedades que se utilizan para llegar a la solución. Apréndetelas de memoria.
Propiedades de los logaritmos: (10 min)
y = log a x si y solo si x = a y (1)
a > 0, a ≠ 1
log a 1 = 0 (2)
log a a = 1 (3)
a log a M = M (4)
log a a r = r (5)
M 
log a   = log a M − log a N (6)
N
log a (MN ) = log a M + log a N (7)
log a M r = r log a M (8)

2. Cambio de Base
logb M ln (M )
log a M = = (9)
log b a ln (a )
¿Cómo se utilizan las propiedades para resolver problemas?: (15 min)
Los siguientes ejemplos muestran como se utilizan las propiedades para resolver
problemas:
Ejemplo # 1: Expresa el logaritmo como una suma o resta de logaritmos.
(
log a u 2v 3 )
( ) ( )
= log a u 2 + log a v 3 Propiedad (7)
= 2 log a u + 3 log a v Propiedad (8)
Ejemplo # 2: Expresa el logaritmo como una suma o resta de logaritmos.
 x( x + 2 ) 
log  2 
 ( x + 3) 
= log[x( x + 2)] − log[( x + 3) 2 ] Propiedad (6)
= log( x ) + log( x + 2) − log[( x + 3) 2 ] Propiedad (7)
= log(x ) + log( x + 2 ) − 2 log( x + 3) Propiedad (8)

3. Ejemplo # 3: Expresa cada logaritmo como un logaritmo sencillo.
 x +1
 x 
ln  + ln  − ln x − 1
2
( )
 x −1  x 
= ln ( x ) − ln ( x − 1) + ln ( x + 1) − ln( x ) − ln (x 2 − 1) Propiedad (6), cancelar términos
= ln ( x + 1) − ln ( x − 1) − ln (x 2 − 1) Cambiar orden de términos
= ln ( x + 1) − ln ( x − 1) − (ln[( x + 1)( x − 1)]) Factorizar último término
= ln ( x + 1) − ln ( x − 1) − [ln ( x + 1) + ln ( x − 1)] Propiedad (7)
= ln ( x + 1) − ln ( x − 1) − ln ( x + 1) − ln ( x − 1) Cambiar signos último término
= −2 ln ( x − 1)
Aplicaciones: (10 min)
Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar
algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de
bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma
un objeto para llegar a cierta temperatura, etc. Algunos de los modelos utilizados en estos
problemas son:
Modelo de crecimiento y decrecimiento.
A(t ) = A0e kt
si el modelo es de crecimiento k > 0 , si es de decrecimiento k < 0 .
Ley de enfriamiento de Newton.
u (t ) = T + (u0 − T )e kt , k < 0
Modelo logístico de crecimiento.
c
P(t ) = , a , b y c son constantes, c > 0 y b > 0
1 + ae − bt

4. Ejercicios: (33 min)
1) Demuestra que si x =
e y − e− y
2
( )
, entonces y = ln x + x 2 + 1 .
2) ¿Cuál es el valor de x que hace cierta la ecuación?
log(x ) − 3 = log( x ) − 3
3) Halla el valor de x .
(
log x 2 + x + 44 = 2 )
4) Halla el valor exacto.
log 9
e e2

5. 5) Halla el valor de x .
log ( x )
x = 108
6) Halla el valor de x .
( 2)
3
2− x
= 2x
2
7) Halla el valor de x .
log[log( x )] = 2
Problemas Verbales (aplicaciones): (20 min)
1) El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que
puede ser modelado con la siguiente ecuación A(t ) = A0e kt . Si inicialmente habían 1000
mosquitos y después de un día la población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos
habrán en la colonia después de 3 días? ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la
colonia tenga 10000 mosquitos?

6. 2) Un pollo que tiene una temperatura de 40oF es movido a un horno cuya temperatura es
de 350oF. Después de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170oF. Si el pollo está listo
para comer cuando su temperatura llegue a 185oF, ¿Cuánto tiempo tomará cocinarlo?
3) El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación
230
P(t ) = . ¿Cuántas abejas habían inicialmente?¿Cuánto tiempo le tomará a
1 + 56.5e −0.37 t
las abejas tener una población igual a 180? ¿Cuál será la población de las abejas cuando
t →∞?