Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica conceptos como la definición de logaritmos, propiedades de los logaritmos y ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Incluye ejemplos de aplicación de estas funciones para resolver ecuaciones. El objetivo principal es identificar los conceptos y características de las funciones exponenciales y logarítmicas, y aplicarlas para resolver problemas.

1. 354
CAPÍTULO 10
Función Exponencial y Logarítmica.
Las funciones exponenciales y logarítmicas denominadas trascendentes se aplican en
el crecimiento y decrecimiento (planteado por Newton) que tienen que ver con
alimentos, bacterias, poblaciones humanas y de animales, antigüedades, interés
compuesto, etc
Objetivos:
Identificar conceptos, elementos, características de dichas funciones.
Graficar las funciones utilizando rotación y traslación con su respectiva regla de
correspondencias
Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas utilizando las leyes y propiedades
Plantear y resolver problemas prácticos de su entorno y de la vida real

2. 355

3. 356

4. 357

5. 358
ℎ( 𝑥) = |2(x−3)
− 5|
En los siguientesejerciciosdetermine labase de la funciónexponencial conociendoque la
gráfica pasa por el puntoindicado.
a) (1, 6) b) (3, 27)
f(x) = ax 𝑓( 𝑥) = ax
6 = a1 27 = a3
a = 6 a3 = 27
𝑓( 𝑥) = 6x 33 = a3
a = 3 𝑓( 𝑥) = 3x
b) (
𝟑
𝟐
, 𝟐𝟕)
𝑓( 𝑥) = ax
27= a3 2⁄
(27)2 3⁄
= (a3 2⁄
)2 3⁄
(√273
)2 = 𝑎
a = 9
ax = ay → x = y ax = by → a =
b

6. 359
Hallar x enlas siguientesecuaciones.
b)
a) 8x = 164x−8
(2)3x = (2)4(4x−8)
53x = 25x+3 3x = 16x-32
53x = (5)2x+6 𝑥 =
32
13
3x = 2x +6
4x2=28x−8
X = 6
(2)2x2
= 28x−8
c)
√ax+24
. √ax
2
3
√a34 =
1
a21x 2x2 − 8x + 8 = 0
x2 − 4x + 4 = 0
ax+2 4⁄
.a3x 2⁄
a3 4⁄ =
1
a21x (x-2)(x-2) =0
X = 2
d)
21𝑥 +
x+2
4
+
3x
2
=
3
4
(2x)x = 0,25(8x)
84x + x +2 +6x = 3 2x2 =
25
100
(23x)
91x = 1
x =
1
91
2x2 =
1
4
(23x)
2x2 =
1
22
(23x)
2x2 = 2−2 . 23x
2x2
= 23x−2
x2 = 3x − 2
x2 − 3x + 2 = 0
(x-2) (x-1)=0
x = 2 x = 1
e)
√a2−x3
. √a4−x4
. √a5x−16
= 1
a
2−x
3 . a
4−x
4 . a
5x−1
6 = ao
2−x
3
+
4−x
4
+
5x−1
6
= 0
8-4x+12-3x+10x-5 = 0
x2 = 3x − 2
3x = 18
X = 6

7. 360
10.2. Logaritmos
10.2.1. Definición
loga N= L ↔ aL = N
El logaritmode un númerose puede definircomoel exponente al que debe elevarse labase para
reproducirel número.
34 = 81 → log3 81 = 4
72 = 49 → log7 49 = 2
103 = 1000 → log101000 = 3
log6 36 = 2 ↔ 62 = 36
log3 27 = 3 ↔ 33 = 27
Resolverparax las siguientesecuaciones
log2 16 = x ↔ 2x = 16
log2 16 = 4 → 24 = 16
2x = 24
X = 4
log10 100 = x ↔ 10x = 100
10x = 102
X = 2
log10 100 = 2
log3 81 = x ↔ 3x = 81
3x = 34
X = 4
log4
1
4
= x ↔ 4x =
1
4
4x = 4−1
X = -1
log2
1
32
= x ↔ 2x =
1
32
2x = 2−5
X = -5

8. 361
log2
1
16
= x ↔ 2x =
1
16
2x = 2−4
X = -4
log1
2⁄ 16 = x (
1
2
)
x
= 16
2−x = 24
X = -4
log10 x = 3 103 = x
X = 1000
log5 x = −2 5−2 = x
1
25
= 𝑥
log16 x = −
3
2
16−3 2⁄
= x
X =
1
163 2⁄
x =
1
(√16)3
x =
1
64
logx 9 = 2
3⁄ x2 3⁄
= 9
((x)2 3⁄
)3 2⁄
= ((3)2)3 2⁄
X = (√9)3
X = 27
logx
1
81⁄ = −2 x−2 =
1
81
x−2 = 81−1
x−2 = 9−2
X = 9
10.2.2 Propiedades de los logaritmos.
1). loga 1 = 0
2). loga a = 1
3). loga ax = x
4). loga(u.v) = loga u + loga 𝑣
5). log(u v⁄ ) = loga u− loga 𝑣
6). logaun = n loga u

9. 362
7). loga N =
log bn
log ba
8). loga b =
1
log b a
9). alog x a = x
Ejemplos de aplicaciónde las propiedades
log6328 =
log328
log6 = 3,23
=
𝑒𝑛
𝑒𝑛
328
6
= 3,23
log
a b m
c n
= log (ab m)- log (cn)
= loga + logb + logm – (logc + logn)
= loga + logb + logm – logc - logn
log
ab3c2
√a2−b2 log an
= (loga
)n
log
ab3 c2
(a2
−b2
)1 2⁄
log a + log b3 + log c2 −
1
2
log (a2 − b)
log
(
a
b
)2 3⁄
√c3
d2 √e
log(
a
b
)2 3⁄
+ log c1 3⁄
− log d2 − log e1 2⁄
2
3
(log a − log b) +
1
3
log c − 2 log d −
1
2
log e
2
3
log a −
2
3
log b +
1
3
log c − 2log d −
1
2
log e
log 75 conociendo log2 = 0,3 log 3 = 0,48
log52. 3 -2 log 5+log 3
2 log (
10
2
) + log3
= 2 (log10 10 − log 2) + log 3
= 2 (1-0,3) +0,48
= 1,4 + 0,48
= 1,88

10. 363
log 1568 conociendo que log5 = 0,7 log 7 = 0,8
log 25.72 = 5 log 2 + 2 log 7
= 5 log
10
5 +2 log 7
= 5(log10 10 − log 5) + 2log 7
= 5 (1-0,7) + 2 (0,8)
= 1,5 + 1,6
= 3,1
10.2.3 Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales
Ejercicios
Resolverparax las siguientesecuaciones
 log3{log2[log2(x+ 1)]} = 1
31 = log2[log2 (x+ 1)]
23 = log2 (x + 1)
log2(x + 1) = 8
28 = x + 1
256 = x+1
X = 256-1
X = 255
 log(x2 − 4) = 2 + log(x +2)
log(x2 − 4) − log(x + 2) = 2
log
x2−4
x+2
= 2
102 =
(x+2)(x−2)
x+2
100 = x - 2
X = 102
𝐥𝐨𝐠 𝟐( 𝟐𝐱+ 𝟏) = 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟓( 𝐱 𝟐 + 𝐱 + 𝟒) = 𝟐
23 = 2x + 1 52 = x2 + x + 4
8 = 2x+1 25= x2 + x + 4
7 = 2x x2 + x − 21 = 0
X =
7
2
𝑥 =
−1±√(1)2−4(1)(−21)
2(1)
𝑥 =
−1 ±√85
2
𝑥 =
−1 ±9,2
2

11. 364
 2 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝐱 = 𝟑𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟒
log5 x2 = log5 43
log5 x2 − log5 64 = 0
log5
x2
64
= 0  3 𝐥𝐨𝐠 𝟐( 𝐱− 𝟏) + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟒 = 𝟓
5o =
x2
64
log2(x − 1)3 + log2 4 = 5
log2 (x − 1)3 4 = 5
x2
64
= 1 (x − 1)3 4 = 25
x2 = 64 (x − 1)3 =
32
4
𝑥 = √64 (x − 1)3 = 8
X= ±8 (x − 1)3 = (2)3
X = ±8 x = 3
𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( 𝐱+ 𝟒) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟗 = 𝟐
log3
(x−4)2
9
= 2 √(x − 4)23
= √922
(x−4)2
9
= 32 x – 4 = ±9
 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝐱 + 𝐥𝐨𝐠 𝟒 ( 𝐱 − 𝟑) = 𝟏
log4 x(x − 3) = 1
𝑥 ( 𝑥 − 3) = 41
x2 − 3x − 4 = 0
(x-4) ( x + 1)
X = 4 x = -1

𝟏
𝟑
𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟐⁄ ( 𝟑𝒙 + 𝟏) = −𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟐⁄ 𝟏
log1 2⁄ (3x + 1) 1 3⁄
= −2 − 0
(3x + 1)1 3⁄
= (
1
2
) −2
( ( 3𝑥 + 1)1 3⁄
)3 = (4)3
3x+1 = 64
3x = 64-1
3x = 63
X = 21

12. 365

𝟏
𝟐
𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟑⁄ ( 𝟏− 𝟐𝐱) = 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟑⁄ 𝟏 𝟑⁄
log1 3⁄ (1 − 2x)1 2⁄
= 1 + 1
(1 − 2x)1 2⁄
= (
1
3
)2
( (1 − 2x)1 2⁄
)2 (
1
9
)2
1 − 2𝑥 =
1
81
80 = 162x
𝑥 =
80
162
X = 0,49
loga{ 1 + logb[ 1 + logc(1+ log + log p x) ] } = 0
ao = 1 + logb[ 1+ log c(1 + log + logp x) ]
1 = 1 + logb[ 1+ logc(1+ log + logp x) ]
0 = logb[1 + logc(1+ log + logp x) ]
Bo = 1 + logc(1 + logc + logp x)
1 = 1 + logc(1+ log c + log p x)
0 = logc(1 + log c + log p x)
co = (1 + logc + logp x)
0 = logp x
po = x
1 = x
X = 1

13. 366
log(35−x3
)
log(5−x)
= 3
𝑙𝑜𝑔(35 − x3) = 3log(5 − 𝑥)
log(35 − 𝑥 3) = log(5 − x)3
35 − 𝑥 3 = 125 − 75x + 15x2 − x3
15x2 − 75x + 90 = 0
x2 − 5x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
X = 3 x = 2
logx √5+ logx(5x) − 2,25 = (logx √5)2
logx 51 2⁄
+ logx 5 + logxx−
225
100
= (logx 51 2⁄
)2
1
2
logx5+ logx 5 + 1 −
9
4
= (
1
2
logx5)2
3
2
logx 5 −
5
4
=
1
4
( logx 5)2
6 logx 5 − 5 = (logx 5)2
(logx 5)2 − 6 logx 5 + 5 = 0
z2 − 6z + 5 = 0
(z – 5) (z – 1) = 0
Z = 5 Z = 1
logx 5 = 5
x5 = 5
(x5)1 5⁄
= (5 )1 5⁄
𝑥 = √55

14. 367
log4(x + 12) logx 2 = 1 logx
2
=
log4 2
log4 x
log4
(x + 12).
log4 2
log4 x
= 1
log4(x+12)log4 2
log4 x
= 1
log4 x =
log4 2
log4 x
log
3
x
log
x
3
3
+ log
x
81
3
= log
x
293
1
log
3
x
log
x
3
3
+ log
x
81
3
= 0
1
log3
x .
1
log3
x 3⁄ +
1
log3
x 81⁄ = 0
1
log3
x (log3
x−log3
3)
+
1
log3 x−log3
81 = 0
1
log3
x
(log3
x
−1)
+
1
log3
x−log3
34 = 0
1
log3
x
(log3
x
−1)
+
1
log3
x
−4
= 0
1 (log3
x − 4) + 1 log3
x(log 3
x − 1) = 0
log3
x − 4 + (log3
x)2 − log3
x = 0
(log3 x) 2 = 4 log 3
x = 2 = 9 = x
log3
x =± 2 log3
x = −2 = x = 1 9⁄
1) 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟒 𝟕𝟐 = 𝒙 ; 𝐥𝐨𝐠 𝟔 𝟐 = 𝐚 Expresar x en términosde a
24x = 72 2 = 6o log24 72 =
log6 72
log6 24
=
log6 62.2
log6 6 .22
6x.22x = 62.2
6x.62ax = 62.6a
2 log6
6
+log6
2
log6
6
+ 2 log6
2 = x
6x+2ax = 62+a

15. 368
X + 2ax = 2 +a
X (1+2a) = 2+a
𝑥 =
2+a
1+2a
2) 𝐥𝐨𝐠 𝟐( 𝐱 + 𝟏𝟎) + 𝐥𝐨𝐠 𝟐( 𝐱 + 𝟐) = 𝟓
log2 (x+ 10)(x+ 2) = 5
25
= (x + 10)(x + 2)
32 = 𝑥2
+ 12𝑥 + 20
x2
+ 12x − 32 + 20 = 0
x2
+ 12x − 12 = 0
𝑥 =
−12±√(12)2
−4(1)(−12)
2(1)
𝑥 =
−12±√192
2
.
−12±13,8
2
3) 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 𝐱 + 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝐱 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐱 = 𝟕
1
logx 16
+
1
logx 4
+
1
logx 2
= 7
1
logx 24 +
1
logx 22 +
1
logx 2
= 7
1
4 logx 2
+
1
2 logx 2
+
1
logx 2
= 7
1 + 2 + 4 = 7.4 logx
2
7 = 7.4 logx
2
x2 4⁄
= 2
7
7
= 4 logx
2
(x1 4⁄
)4
= 24
1
4
= logx
2
x = 16

16. 369
4) √ 𝟐 𝐱𝟏𝟎
.√√𝟐 𝟒𝟑
= √ 𝟏𝟐𝟖𝐱
log (x+4) = log 40 - log (x- 4)
(2x) 1 10⁄
.(2 4)1 15⁄
= (128)1 x⁄
log(x+4)-log40 + log(x- 4) = 0
2x 10⁄
.2y 15⁄
= 1281 x⁄
log
(x+y(x−y)
40
= 0
2x 10⁄
. 2y 15⁄
= 27 x⁄
10o
=
(x+y)(x−y)
40
x y
150
=
7
x
1 =
(x2
−y 2
)
40
x2 y = 1050
x2 − y2 = 40
x2 + x2 y − y = 1090
𝟕 𝟑𝐱−𝟏
= 𝟓 𝟐𝐱+𝟑
log 7(3x−1) = log 5(2x+3)
(3x-1) log 7 = (2x+3) log 5
3x log 7 - log 7 = 2x log 5 + 3 log 5
3x log 7 - 2x log 5 = 3 log5 + log 7
X (3 log7 – 2 log 5 ) = 3 log 5+ log7
𝑥 =
3 log 5+log7
3 log 7−2log 5
X = 2,58

17. 370
𝑓( 𝑥) = log3 |x − 3| + 2
|x-3|= x – 3: x – 3 ≥ 0 x – 3: x ≥ 3
- (x - 3): x – 3 < 0 - (x - 3): x <3
log3(x− 3) + 2 ∶ x ≥ 3
log3 [−(x − 3)] + 2 ∶ x < 3
(4, 2),
(2, 2),
,
h( 𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1 3⁄ |x + 2| − 4 |x+2| = x + 2: x+2 ≥ 0 x+2: x ≥ -2
-(x+2): x+2 < 0 - (x+2): x<2
log1 3⁄ (x + 2) − 4:x ≥-2
log1 3⁄ [−(x + 2)] − 4:x<-2
(-3, -4), (-1, -4),
f(x) = |log3 x − 2| log3 x − 2; log3 x − 2 ≥ 0
−(𝑙𝑜𝑔3 x − 2; log3x − 2 < 0
log3 x − 2; log3 x ≥ 2
−(log3 − 2); log3 x < 2
log3 x − 2;x ≥ 9
−(log3 x − 2);x < 9
(9, 0),
(1, -2),

18. 371
Problemas de aplicación
 Si un cristal obstruye el 3% de la luz que pasa a través del porcentaje p de luz que pasa
por n cristales sucesivos esta dado aproximadamente por la ecuación:
𝑝 = 100e−0,03n
¿Qué porcentaje de luz pasara a través de 10 cristales?
𝑝 = 100e−0,03 (10)
P = 970,4
 La inversión de S 1000 a una tasa anual del 10% compuesto en forma trimestral durante
2 años cuanto proporciona
𝐴 = 𝑝(1 +
r
n
)nt
p = cantidad inicial
𝐴 = 1000(1 +
0,1
4
) 4(2)
r = 1 2⁄
A = 1218,40 n = número de veces al año
t = tiempo
 Durante cuánto tiempo debe ser amortizado un cupon se S1000 para obtener un interés
de S450,52 a interés compuesto semestralmente al 8%
𝐴 = 𝑝(1 +
r
n
)nt
1000 = 450,52 (1 +
0,08
2
)2t
1000
450,52
= (1,04)2t
log
1000
450 ,52
= log(1,04)2t
𝑙𝑜𝑔
1000
450 ,52
= 2𝑡 log 1,04
𝑡 =
log(
1000
450 ,52
)
2 log(1,04)
t = 10

19. 372
 Cuanto tiempo tarda una inversión en duplicar su valor si gana el 5% de interés
compuesto en forma “continua”.
𝐴 = 𝑝ert
2𝑝 = 𝑝e0,05t
𝑒 𝑟 2 = 𝑒 𝑟e0,05t
𝑒 𝑟 2 = 0,05𝑡 𝑒𝑟 e1
er 2 = 0,05t
𝑡 =
er 2
0,05
t = 13,86
Ley de crecimiento y decrecimiento.
A = Aoekt
Si inicialmente unapoblaciónde insectosesde 500 y despuésde 35 días es1000 después de
cuantosdías lapoblaciónllegará a2000
1eros datos obtiene A.
500 = Ao ek(0)
500 = Ao 1 = Ao = 500 = Ao=500 ekt 3ros datos( t)
2dos datos(k =? ) 𝐴 = 500 e0,019 t
1000 = 500ek(35)
2000 = 500 e0,019 t
1000
500
= ek(35) 2000
500
= e0,019t
𝑙𝑛 2 = 𝑟ek(35) 4 =e0,019t
𝑙𝑛 2 = 35𝑘 𝑙𝑛 e1 ln4=0.019t
𝐾 =
ln(2)
35
t=
𝑙𝑛4
0.019
A 500 1000 2000
t 0 35 t

20. 373
K = 0,019 t=70
Un barco que tiene entre tripulantes y pasajeros a 1500 personas, socorre a los
náufragos de otro barco que suman 500. Si al principio se tenían alimentos para 15 días.
¿Cuántos días pueden navegar en las nuevas condiciones si se asigna a cada persona
las 3/4 partes de una ración normal? Sol. 15 días.
AUTOEVALUACIÓN
1.- Al resolver para x la ecuación (
4
9
)
𝑥
(
27
8
)
𝑥−1
=
𝑙𝑜𝑔4
𝑙𝑜𝑔8
se obtiene:
( )− 5 ( )− 3 (. )2 ( )5
2.-Una de las soluciones de x en la ecuación 0.5𝑥2
.22𝑥+2
= 64−1
es:
(. ) − 2 ( )− 1 ( )3 ( )5
3.- Al resolver para x la ecuación 𝑙𝑜𝑔4( 𝑥 + 12). 𝑙𝑜𝑔 𝑥2 = 𝑙𝑜𝑔55 se obtiene:
( )− 5 ( )− 2 ( ) 2 (. )4
4.- Al simplificar la expresión 36log65
+ 101−log2
− 3
log
9 36 se obtiene:
( )− 6 ( )3 ( )12 (. )24
5.- La solución para x de la ecuación logay + loga
(y+5) + logao.02 = 0 es:
(. )5 ( )4 ( )2 ( )− 12
6.- Al resolver para x la ecuación 2log3
(x+4) − log3 9 = 2 se obtiene:
( )− 5 ( )− 3 ( )2 (. )5
7.- La suma de las soluciones de la ecuación 10.x2logx
= x3
es:
( )10 (. )10+ √10 ( )10 + 10√10 ( )100 + √10
8.- Al resolver el sistema de ecuaciones {
3x
. 2y
= 576
log
√2
(y−x) = 4 se obtiene de solución a:

21. 374
( ) (2,6) ( )(3,5) ( )(5,2) ( )(−8,+2)
9.- De las siguientes proposiciones la única FALSA es:
( )Si log[log3{log2(lnex)}] = 0 → x = 8 ( )eln|x+1|
= {
x + 1; x > −1
−x − 1; x < −1
( )cos(log(
1
10
)
−
3π
4
) =
√2
2
( )ϵln(ϵ3ln2 )
= 8
10.-Delinear y escribir las reglas de correspondencia de las siguientes funciones:
a) f(x) = −3x−3−5 2|x|
b) g(x) = 2|x|
c) h(x) = e|1−|x||
d) i(x) = −log3(3 − x) − 2
e) j(x) = ln|x| − 2 f) k(x) = ln|x + 1| g) l(x) = |ln|x − 2| | h) m(x) = sgn[|ex − 1| − 1]
En un cajón había cierta cantidad de soles un niño retira 1, enseguida su hermano retiró 1/3
del resto, el otro hermano 1/2 de lo que aún quedaba y finalmente el hermano mayor se llevó
1/11 de lo que aún había. Determinar cuántos soles había en el cajón, si el padre de ellos
encontró sólo $ 30,00
SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN
1) 𝑐 2) 𝑎 3) 𝑑 4) 𝑑 5) 𝑎 6)𝑑 7) 𝑏 8) 𝑐 9) 𝑐
100 soles

22. 375