La geometría y las matemáticas son ciencias antiguas que comenzaron como conocimientos prácticos y han evolucionado a través de contribuciones significativas de figuras como Apolonio, Euclides y Eratóstenes. Euclides, con su obra 'Elementos de geometría', estableció un sistema deductivo basado en definiciones, postulados y teoremas, mientras que Eratóstenes logró calcular el diámetro terrestre. Pitágoras, por su parte, transformó las matemáticas en una disciplina liberal, y su famoso teorema refleja su método de formulación abstracta.

1. Historia de la geometría y las matemáticas
La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de
conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el
Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y
Diodoro Sículo mientras las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste
del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, partiendo
de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones
cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).
Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los
cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan
alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten
establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin, en este momento
hablaremos algunos de los griegos que más influyeron en la evolución de estas dos
ciencias..
Apolonio, quien fuera conocido como “El gran geómetra”, introdujo las nociones de
parábola, elipse e hipérbola espiral. Fue célebre también por su tratado “Secciones
Cónicas”. El estudio de las cónicas se refiere a las figuras que pueden obtenerse al
cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían
estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a
las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el
ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no
disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las
mismas que se le aproxima mucho. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los
únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras
aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema. Fue también un
importante fundador de la astronomía matemática griega, la cual usó modelos
geométricos para explicar la teoría planetaria.
Por su parte Euclides (330-275) fue el autor de los Elementos de geometría, una de las obras
más famosas de la historia del conocimiento científico. La significatividad de este trabajo,
reside en su método, ya que Euclides recoge toda la obra de sus antecesores. En efecto, éste
estará inspirado en la lógica deductiva de Aristóteles. Los elementos de geometría están
divididos en 13 libros. El primero reúne 23 definiciones, 5 postulados y 9 nociones comunes.
Las definiciones, se ocupan de delimitar los conceptos, esto es, las “entidades matemáticas”
que se van a utilizar. La primera definición dirá: punto es aquello que no tiene partes”, “la línea
es longitud sin latitud”. Los postulados son los primeros principios (en el sentido aristotélico)
propios de la disciplina en cuestión. En este punto, las formulaciones de Euclides ponen en
evidencia, la concepción de una geometría en la que los problemas se resuelven a través del
trazado de figuras con regla y compás. En efecto, dice literalmente: “trazar una línea recta
desde un punto cualquier a otro cualquiera” lo cual, sin duda pretende afirmar: “existe una
recta y solo una que pase por dos puntos, cualesquiera que sean”. De esta forma, el problema
más famoso de la época griega, el de la cuadratura del círculo, esto es, hallar con regla y
compás un cuadrado cuya área sea igual al círculo dado, era imposible de resolver con el
método de la regla y el compás.

2. Las nociones comunes expresan principios comunes a toda la ciencia y a todo
razonamiento. La primera de ellas afirma: “cosas iguales a una y la misma son iguales
entre sí” y la octava: “el todo es mayor que las partes”. Luego, aparecen los teoremas
que son 48 en la primer aparte. El primero de ellos dice: “Dada una recta delimitada,
construir sobre ella un triángulo equilátero”. La construcción debe realizarse con regla
y compás. Solo figuran “entidades” previamente definidas. La validez de la
construcción se demostrará como evidente, apoyándose en las definiciones,
postulados y nociones comunes. Los teoremas que se suceden, se podrán valer
también de los teoremas anteriores y todos ellos concluyen con la misma fórmula: ”
que es lo que se había de hacer”
Los elementos aparecen así con todo el poder de su fascinación intelectual, en ellos no
se utiliza sino lo definido previamente, las “entidades matemáticas”, todos sus
teoremas se basan en construcciones visuales y en la evidencia de las definiciones,
postulados y nociones comunes. En suma, la obra es un gran edificio deductivo. El
mérito de Euclides no fue el de hallar los teoremas sino el de haberlos integrado como
eslabones de una gran cadena que conforma el sistema euclidiano.
En el bando de las matemáticas Eratóstenes (275-194) fue un científico destacado, fue
director de la famosa biblioteca de Alejandría. Se interesó por la astronomía, la
historia, la geografía, la filosofía y las matemáticas. También fue poeta y crítico teatral.
El logro más importante de Eratóstenes fue el de calcular por primera vez el diámetro
terrestre. Para cual comparó la sombra proyectada por el sol durante solsticio de
verano en dos sitios distantes: Siena y en Alejandría. El ángulo de los rayos de sol,
proyecta sombras de diferente longitud, de manera tal que esto le permitió
determinar que la distancia angular de estos dos puntos respecto a la circunferencia
terrestre era de siete grados. Basándose entonces, en que la distancia entre ambas
ciudades era (a medidas actuales) de 800 km., estimó la longitud de la circunferencia
con notable exactitud.
Pocas noticias en cambio se tienen de la vida de Pitágoras nacido en el siglo VI a.c. que
puedan tenerse por seguras ya que el haber fundado una suerte de secta religiosa, lo
hizo acreedor de una dimensión legendaria a cerca de su historia personal. Se le
atribuye a Pitágoras, haber transformado las matemáticas en una disciplina liberal, que
utilizó como método la formulación abstracta independientemente del contexto
material. El famoso teorema de Pitágoras, que establecer la relación entre los lados de
un triángulo rectángulo, es un claro ejemplo de una formulación abstracta.
El método pitagórico, representa el esfuerzo para elaborar leyes generales sobre casos
particulares. Sin embargo, este esfuerzo puede adquirir una dimensión simbólica en
tanto podría representar un método para la purificación y perfección del alma, de
manera tal que fuera posible descubrir la armonía del mundo. El universo era un
cosmos ordenado armónicamente y en un sentido sensible se articulaba con la
armonía musical, aunque su naturaleza inteligible era de tipo numérico: el número era
entonces, la clave de todas las cosas…