1. El documento describe el desarrollo histórico de la geometría desde las civilizaciones antiguas como Egipto y Grecia hasta la época moderna. Destaca las contribuciones de Euclides y su obra "Los Elementos" como la base de la geometría. 2. Explica que la geometría griega se volvió más abstracta con conceptos como los números irracionales y el desarrollo de métodos deductivos. 3. Señala que la trigonometría y otras ramas de la geometría prosperaron durante la era islámica y

1. 1. Introducción
La Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir') es la rama de las matemáticas
que se ocupa de las propiedades del espacio.
La geometría euclídea aporta los
contenidos que, en nuestra opinión,
esencialmente deben ser estudiados en la
educación primaria. Elaborada por Euclides
en el siglo III a. C., representa una
aportación grandiosa del antiguo
pensamiento griego a la cultura de la
humanidad.
Imagen de Euclides
(Consideramos apropiados para la educación primaria los contenidos de la geometría
euclídea, pero no la metodología deductiva del sistema axiomático de Euclides).
Pueden consultarse los "Elementos" de Euclides en
http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Euclides/euclides.htm
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
http://thales.vismath.org/euclid/
Otros desarrollos posteriores de la geometría, más apropiados para niveles educativos
más elevados son: la geometría analítica, la geometría diferencial ,la geometría descriptiva,
la geometría proyectiva, la geometría topológica, etc.
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2. El saber geométrico es el conocimiento de las propiedades del espacio geométrico.
Desde el punto de vista educativo es importante diferenciarlo del conocimiento de las
propiedades del espacio físico.
El espacio geométrico se constituye como una modelización del espacio físico; nos
permite comprender o prever ciertos fenómenos del espacio físico, pero no coincide con él.
Las figuras que manejamos en geometría no existen en la realidad, son idealizaciones
de objetos de la realidad material. No existe, por ejemplo, la línea recta ideal, pues
cualquier línea recta material mirada al microscopio resultaría curva; no existe el punto
ideal, carente de dimensiones; no existe la superficie ideal, carente de grosor ...
Aunque las figuras ideales no existen, se pueden estudiar con ayuda de sus
representaciones materiales. Desde los griegos, la regla y el compás contribuyeron a
materializar las ideas geométricas. Las construcciones que se realizan con estos
instrumentos ayudan a comprender mejor las propiedades geométricas.
Pero la validación de los teoremas geométricos se hace de forma lógica, mediante
razonamientos lógicos. Los dibujos ayudan a establecer relaciones lógicas entre las figuras,
pero no sustituyen, sino que auxilian, al razonamiento lógico.
2. Desarrollo histórico de la geometría. Algunas ideas
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus
conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres
llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
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3. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la
geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las
inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que,
precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.
Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes,
encontrando, por ejemplo, para el área del círculo de radio unidad un valor aproximado de
3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y
demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones
básicas de semejanza de triángulos.
También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica,
constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado,
del círculo, volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay
autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a
problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india,
limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de
cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de
algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas
ideas sobre la demostración de este teorema.
En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con
las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas
continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas
poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la
denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números
enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares,
cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de
1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría,
agrimensura, etc...
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4. Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación
de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la
demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de
la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que
satisfacen la ecuación a2
+ b2
= c2
.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones
geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de
demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los
problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del
cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición
de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al
álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de
áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades
algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del
diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba
limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que
conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los
problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la
resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la
trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es
que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo
aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites
o la introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de
una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el
algoritmo de Euclides.
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5. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de
un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y
suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración
matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a
exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión
lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros
sistemas matemáticos se denominaban "Elementos".
Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos
han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la
historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a
partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una
sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a
otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.
En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que
sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la
controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las
paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió
este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías
no euclídeas, que rebatieron este postulado.
Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente,
tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas
teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse.
Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones
cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las
secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con
su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se
debe a Apolonio de Perga.
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6. En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que
permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de
Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo
científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario,
mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi
completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el
desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose
escuelas por todo el Imperio.
Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la
obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos
en la circunferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en
Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y
comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.
El rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de
la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las
funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en
trigonometría plana como esférica.
Entre las obras geométricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s.
XIII), directamente influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con
distintas generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclidiano del
paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no
euclidiana.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en
muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del
medioevo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
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7. Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto de
arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver determinados
problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de
cuerpos.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó a utilizar en una de sus obras
coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de
ciertos fenómenos físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada
de la astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano
(1436-1474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la
determinación de triángulos planos y esféricos. Asimismo en esta obra se establece un
notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos
consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexión entre
los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le
considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del
enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.
Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos
procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones
trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la
elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler
(1571,1630). Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el
nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio,
Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros. Estos métodos siguieron utilizándose
incluso después de la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus
fundamentos, basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas,
comenzaron a fraguarse mucho antes.
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8. Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose
en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica.
Sin duda los dos grandes en esta materia y época fueron René Descartes (1596-1650)
y Pierrede Fermat (1601-1655).
La última parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada
"Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones
cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas
geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y
último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones,
llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la
misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está
dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de
coordenadas.
Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de
aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas
rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en
una pequeña obra: "introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos
lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los
representados por cónicas, especiales. Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares
Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la
geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos
un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva".
Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una
recta. Posteriormente identificó las expresiones x y = k2; a2
+ x2
= k y; x2
+ y2
+2ax +2by =
c2
; a2
-x2
=ky2
con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el
caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de
segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos
anteriores.
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9. La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos
espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales
por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la
geometría analítica del espacio quedó sin culminar.
En el siglo XVIII, además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la
geometría diferencial, la geometría descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos
sobre los fundamentos de la geometría.
Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado
las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la
geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al
sistema de las disciplinas geométricas.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas
planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas
espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al
caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como
casi todo en esta época, por los trabajos de Euler.
Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En
primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además
de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar,
estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas
según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados
de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo
grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de
tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También
estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y
propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas
complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas.
Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..."
que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.
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10. Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones
técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en
los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie
descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría
descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y
normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de
superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.
El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de
proyección constituyeron el contenido fundamental de los trabajos sobre geometría
proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos
geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones
cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la
nueva geometría.
La geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de
disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales
de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas
aquellas partes que la conforman actualmente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar
como parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones
algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos
del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con
numerosos problemas aplicados.
Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la
segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una
gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las
que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría
proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de
Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la
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11. proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la
geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.
Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no
euclidianas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai
Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los
conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el
rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclidiana
fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski,
que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era
imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido
en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la
primera.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no
euclidiana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los
trabajos que avalaban la nueva teoría.
En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado
Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de
forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos
puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica.
La geometría no euclidiana continuó siendo durante varias décadas un aspecto
marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las
concepciones extraordinariamente generales de Rieman.
(Puedes consultar una historia general de las matemáticas en
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Frame1.html)
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12. 3. Importancia de la geometría en el curriculum
La necesidad de la enseñanza de la geometría en el ámbito escolar responde, en
primer lugar, al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana.
Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida
cotidiana: para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre
formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los
objetos en el espacio...
La geometría está presente en múltiples
ámbitos del sistema productivo de nuestras
actuales sociedades (producción industrial,
diseño, arquitectura, topografía, etc...).
La forma geométrica es también un
componente esencial del arte, de las artes
plásticas, y representa un aspecto importante
en el estudio de los elementos de la
naturaleza.
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13. 4. La propuesta curricular del DCB
Los bloques de contenido que contempla el Diseño Curricular Base. son los
siguientes:
ORIENTACIÓN Y REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO
En este bloque se abordan los contenidos que permiten establecer puntos de referencia,
representar el espacio, y localizar y describir la situación de objetos.
Está especialmente relacionado con el bloque de "Formas en el espacio", con el de
"Organización de la información " y con el de "Medida: información cuantitativa sobre los
objetos y el tiempo. Estos contenidos convergen con otros de las áreas del Conocimiento
del Medio y de Educación Física.
Los criterios de secuenciación estarán en relación con el dominio que el niño vaya teniendo
del espacio que le rodea. Los contenidos, principalmente los de procedimientos y actitudes,
se trabajarán unidos a los del área de Conocimiento del Medio y de Educación Física .
Hechos, conceptos y principios
1. Puntos y sistemas de referencia.
o La situación de un objeto en el espacio. . Distancias, desplazamientos, ángulos y giros
como elementos de referencia.
o Sistemas de coordenadas cartesianas.
2. Los elementos geométricos.
Relaciones entre elementos geométricos: paralelismo, perpendicularidad, intersección de
rectas.
3. La representación elemental del espacio.
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14. o Planos, mapas, maquetas.
o Escalas: doble, mitad, triple, tercio, etc.
o Escalas gráficas.
4. Los instrumentos de dibujo (regla, compás, escuadra, cartabón, círculo graduado).
Procedimientos
1. Descripción de la situación y posición de un objeto en el espacio con relación a uno
mismo y/o a otros puntos de referencia apropiados.
2. Elaboración y utilización de códigos propios para describir la situación de un objeto en el
espacio.
3. Representación y lectura de puntos en los sistemas de coordenadas cartesianas.
4. Elaboración, interpretación y descripción verbal de croquis de itinerarios.
5. Lectura, interpretación y construcción a escala de planos y maquetas.
6. Lectura, interpretación y reproducción a escala de mapas.
7. Utilización de los instrumentos de dibujo habituales (regla, compás, escuadra, cartabón,
circulo graduado).
Actitudes, valores y normas
1. Interés y gusto por la descripción precisa de situaciones, orientaciones y relaciones
espaciales, utilizando el lenguaje geométrico básico.
2. Valoración de la utilidad de los sistemas de referencia y de la representación espacial en
actividades cotidianas.
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15. 3. Sensibilidad y gusto por la elaboración y por la presentación cuidadosa de planos,
maquetas y, en general, de las construcciones geométricas.
4. Precisión y cuidado en el uso de instrumentos de dibujo.
LAS FORMAS EN EL ESPACIO
Este bloque aborda los contenidos relacionados con las formas planas y espaciales.
Se encuentra especialmente relacionado con los bloques de "Medida: información
cuantitativa sobre los objetos y el tiempo" y de la Organización y representación en el
espacio v.
Se pretende reconocer e identificar cuerpos y formas geométricas sencillas desde
perspectivas diferentes, establecer relaciones entre ellos y sus elementos, representar
formas y construir cuerpos, y por último, llegar a su descripción completa.
Se dará gran importancia a la adquisición de los contenidos actitudinales como medio de
exploración y acceso a los contenidos conceptuales.
Hechos, conceptos y principios
1. Formas planas.
o Las figuras y sus elementos (polígonos y circunferencia).
o Relaciones entre los elementos de una figura y de las figuras entre sí.
o Regularidades y simetrías.
o Suma de los ángulos de un triángulo.
2. Formas espaciales.
o Los cuerpos geométricos y sus elementos: vértices, aristas y caras.
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16. o Cubo, esfera, prismas, pirámides, conos y cilindros.
o Relación entre los elementos del cubo.
o Regularidades y simetrías.
Procedimientos
1. Descripción de la forma de objetos familiares utilizando adecuadamente el vocabulario
geométrico básico.
2. Construcción de figuras geométricas planas (polígonos y circunferencias) a partir de
datos previamente establecidos.
3. Construcción de cuerpos geométricos.
4. Comparación y clasificación de figuras planas y cuerpos geométricos utilizando diversos
criterios.
5. Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y
descomposición.
6. Búsqueda de elementos de regularidad y simetría en figuras y cuerpos geométricos.
7. Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto de un elemento dado (puntos y
ejes de simetría).
8. Utilización de los instrumentos de dibujo (regla, compás, escuadra, cartabón, círculo
graduado) para la construcción y exploración de formas geométricas.
Actitudes, valores y normas
1. Curiosidad e interés por identificar formas y relaciones geométricas en los objetos del
entorno.
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17. 2. Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas
relacionadas con la organización y utilización del espacio.
3. Gusto por la precisión en la descripción y representación de formas geométricas.
4. Disposición favorable para la utilización de los instrumentos convencionales de dibujo y
para la búsqueda de instrumentos alternativos
4. La enseñanza de la geometría. Necesidad de un acercamiento intuitivo
La enseñanza de la Geometría ha tenido tradicionalmente un fuerte carácter
deductivo.
En educación secundaria, la Geometría se ha venido apoyando en el lenguaje del
álgebra, en el álgebra vectorial. En primaria, aún sin ese carácter algebraico, formal, se ha
fomentado excesivamente el aprendizaje memorístico de conceptos, teoremas y fórmulas;
la simple apoyatura de unos conceptos en otros previos; y la temprana eliminación de la
intuición como instrumento de acceso al conocimiento geométrico, tratando de acelerar la
adquisición de tales conceptos, teoremas y fórmulas, como si en ellas estuviera condensado
el verdadero saber geométrico.
Las investigaciones sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico
parecen indicar, no obstante, que éste sigue una evolución muy lenta desde unas formas
intuitivas iniciales de pensamiento, hasta las formas deductivas finales, y que éstas
corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que estamos considerando
aquí. De manera que nosotros entendemos que en Educación Primaria hay que escapar de
las interpretaciones deductivistas e ir a una geometría de carácter experimental, intuitiva.
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18. El espacio del niño está lleno de elementos geométricos, con significado concreto
para él: puertas, ventanas, mesas, pelotas, etc. En su entorno cotidiano, en su barrio, en su
casa, en su colegio, en sus espacios de juego, aprende a organizar mentalmente el espacio
que le rodea, a orientarse en el espacio.
Ese es el contexto que nos parece especialmente útil para desarrollar las enseñanzas
geométricas, de una forma que resulte significativa para los alumnos. El estudio de su
entorno próximo y familiar, por la motivación e interés que puede despertar y por ser fuente
inagotable de objetos susceptibles de observación y manipulación.
A partir de situaciones que resulten familiares para los alumnos(recorridos habituales,
formas de objetos conocidos...) y mediante actividades manipulativas, lúdicas (plegado,
recorte, modelado, etc), el profesor puede fomentar el desarrollo de los conceptos
geométricos contemplados en el curriculum de esta etapa educativa.
5. Los conceptos geométricos, abstractos y de difícil adquisición
Los objetos geométricos básicos (punto, línea, línea recta, etc), son nociones
aparentemente muy elementales, pero que en realidad son muy complejas, por su elevado
nivel de abstracción.
La noción de punto, por ejemplo, es una buena muestra de ese carácter esencialmente
abstracto de los elementos geométricos. El punto, como ente geométrico sin dimensiones,
carente de forma o con una forma muy regular (esférica), simple indicador de la posición en
el espacio, no existe en la realidad material. En la realidad todo ente material tiene un
tamaño y una forma: por muy pequeño que dibujemos el punto siempre podrá dividirse en
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19. partes más pequeñas; si considerábamos el punto esférico (o circular), esas partes que se
obtienen al dividirlo dejan de tener esa forma esférica (o circular).
La rectitud tampoco existe en la realidad material. Cualquier línea material,
contemplada con una lupa suficientemente potente, aparece llena de curvaturas.
La infinitud de la línea recta es un concepto muy abstracto que los alumnos de estas
edades no captan con facilidad. En primer lugar porque perciben la línea recta, en la
realidad material, con un carácter finito. Y en segundo lugar por un problema de capacidad
mental, lógica, ya que los alumnos de este periodo escolar se encuentran en el período
llamado por Piaget de "lógica concreta", en el que no cabe la consideración de entidades tan
abstractas como la infinitud.
Estos ejemplos sirven para mostrar la dificultad para la enseñanza de la geometría en
Primaria, por la contradicción existente entre el fuerte carácter abstracto de esta materia y
las capacidades lógico-concretas que poseen los alumnos de estas edades , que evolucionan
muy lentamente hacia las capacidades de abstracción
6. Evolución del pensamiento geométrico. La teoría de niveles van Hiele
De acuerdo con la teoría de Pierre y Dina Van Hiele, los estudiantes progresan a
través de niveles de pensamiento geométrico (van Hiele, 1959; van Hiele, 1986; van Hiele-
Geldof, 1984), desde un nivel visual inicial, seguido de niveles crecientemente sofisticados
de descripción, análisis, abstracción y prueba.
Los niveles son, según la teoría, secuenciales y jerárquicos, de manera que, para que
los estudiantes operen adecuadamente en uno de los niveles, deben haber dominado
amplias partes de los niveles más inferiores (Noffer, 1981). El progreso de un nivel al
siguiente, según los van Hiele, es más dependiente de la instrucción que de la edad o
maduración biológica. El profesor debería adecuar sus enseñanzas a los niveles reales de
sus alumnos, pues en otro caso el aprendizaje no sera significativo, sera meramente
memorístico, rutinario.
19

20. Los conceptos implícitamente comprendidos en un nivel llegan a ser explícitamente
comprendidos en el siguiente. Por ejemplo, las figuras son reconocidas visualmente en el
primer nivel por sus propiedades implícitas, propiedades que se hacen explicitas en el
segundo nivel.
Cada nivel tiene su propio lenguaje. Por ejemplo, en el segundo nivel, si un
cuadrilátero es un cuadrado, no es un rectángulo; en el tercero, sí.
DESCRIPCIÓN PORMENORIZADA DE LOS TRES PRIMEROS NIVELES
NIVEL 1. VISUAL: En este primer nivel, los estudiantes operan sobre las formas y
configuraciones geométricas de acuerdo con su apariencia. Reconocen y representan
mentalmente las figuras como patrones visuales. Los estudiantes dicen, por ejemplo, que
"es un rectángulo, porque parece como una puerta". Los estudiantes no son conscientes de
las propiedades de las figuras. El razonamiento es dominado por la percepción: "no hay por
qué, uno simplemente lo dice" (van Hiele, 1986, p.83). Durante la transición al nivel
descriptivo, clases de figuras comienzan a ser asociadas con sus propiedades características.
NIVEL 2. DESCRIPTIVO/ANALÍTICO: Los estudiantes pueden reconocer y
caracterizar las formas por sus propiedades. Un rombo, por ejemplo, puede ser considerado
como un cuadrilátero con sus cuatro lados iguales. Las figuras pasan a ser, así, colecciones
de propiedades más que patrones visuales. La imagen empieza a quedar de fondo. Los
estudiantes descubren que algunas combinaciones de propiedades señalan una clase de
figuras y otras no. Surgen, así, las semillas de las implicaciones geométricas. Los
estudiantes no ven, sin embargo, relaciones entre clases de figuras. En este nivel, los
objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son clases de figuras, pensadas en términos
de conjuntos de propiedades que los estudiantes asocian a esas figuras.
NIVEL 3. ABSTRACTO/RELACIONAL: En este nivel, los estudiantes pueden
formar definiciones abstractas, distinguiendo entre la necesidad y la suficiencia del
conjunto de condiciones para un concepto. Pueden clasificar figuras jerárquicamente y dar
argumentos informales para justificar esas clasificaciones. Un cuadrado, por ejemplo,
puede ser identificado como un rombo, porque puede ser pensado como "un rombo con
20

21. algunas propiedades extras". Pueden descubrir propiedades de clases de figuras por
deducción informal. Por ejemplo, deducir que la suma de los ángulos de un cuadrilátero
cualquiera es 360°, porque cualquier cuadrilátero puede ser descompuesto en dos
triángulos, en cada uno de los cuales los ángulos suman 180º. Como las figuras pueden
aparecer como conjuntos de propiedades de diversas maneras, las definiciones pueden ser
vistas no como descripciones, sino como un método de organización lógica. En este nivel,
los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son propiedades de clases de figuras.
NIVEL 4. DEDUCCIÓN FORMAL: (No lo describiremos aquí).
NIVEL 5. RIGOR/METAMATEMATICO: (Tampoco se describirá)
Se pueden ampliar estas ideas consultando:
http://www.quadernsdigitals.net/articuloquaderns.asp?IdArticle=195
http://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES/upn/vol13/sec_84.html
.
7. Recursos didácticos para la educación geométrica en los primeros niveles.
ORIENTACIÓN EN EL ESPACIO. JUEGO PSICOMOTRIZ
La orientación espacial, fruto de una paulatina organización mental del espacio
exterior, es un objetivo central de la educación geométrica en los primeros niveles
educativos.
El espacio aparece para los niños pequeños desestructurado, carente de una
organización objetiva. Es un espacio subjetivo, ligado a sus vivencias afectivas, a sus
acciones. Un espacio en el que los objetos tienen forma y tamaño variables, dependiendo de
la perspectiva con que se les contempla.
La organización lógica del espacio exterior, el desarrollo de una lógica geométrica,
está en el centro de la construcción lógica general del individuo. Las capacidades lógicas
21

22. que los niños conquistan en estas edades, como las de clasificar, ordenar y efectuar
correspondencias, a partir de las cuales construirán el edificio numérico y matemático
posterior, tienen un basamento, que es geométrico en gran medida. Los niños hacen las
primeras clasificaciones, ordenaciones y correspondencias con criterios muy simples, de
carácter sensomotor, aplicados a propiedades de la geometría métrica, como la forma, el
tamaño o la distancia.
A partir del conocimiento del propio cuerpo y del adecuado desarrollo de la
lateralidad, es importante en este primer ciclo progresar en la capacidad de establecer
puntos de referencia en el entorno que permitan al alumnado situarse y desplazarse por él,
así como dar y recibir instrucciones de forma convencional partiendo siempre de un punto
de vista propio (izquierda-derecha, giro, distancias, desplazamientos, etc.).
La percepción de un mismo objeto o lugar desde distintos puntos de vista, el recorrido
periódico de las mismas distancias, los juegos de construcciones, etc., le van
proporcionando unos datos necesarios para el conocimiento del espacio y de las relaciones
entre los cuerpos que hay en él. Así se van formando las primeras nociones topológicas:
junto- separado, abierto-cerrado, recto- curvo..., que constituyen la base sobre la que se
asienta la progresiva estructuración del espacio y la orientación de las acciones y los
objetos dentro del mismo. Las nociones de inclusión (abierto-cerrado, dentro-fuera, etc)
constituyen la base para la construcción de las ideas de figura y cuerpo geométrico. Las
nociones de proximidad (cerca-lejos, junto-separado, etc) constituyen la base para la
construcción de las ideas de longitud y distancia.
A partir de aquí, aprende a distinguir formas, a calcular objetivamente distancias y
longitudes y a determinar las posiciones de los cuerpos en el espacio. Hay que tener en
cuenta que el niño, hasta los 12 años aproximadamente, no es capaz de generalizar, y que el
conocimiento que obtenga de formas, magnitudes y posiciones no le lleva a deducir
cualidades o leyes generales.
El pasar de enfoque subjetivo, centrado en uno mismo, al establecimiento de
relaciones independientes entre los objetos que ocupan el espacio, constituye uno de los
mayores obstáculos en todo el proceso de estructuración espacial, hasta el punto de que es
22

23. frecuente que para orientarse el sujeto tenga que imaginarse, o incluso colocarse, en la
posición requerida, porque sin su cuerpo como referencia es incapaz de coseguirlo. Esto
sucede en la realización de itinerarios, interpretación de un plano o diseño del mismo, etc.
El juego psicomotor, centrado en la exploración del espacio a partir del propio cuerpo,
de una forma lúdica y activa, representa una metodología de enseñanza apropiada para este
objetivo de organización espacial. La introducción de cualquier tema matemático nuevo se
puede iniciar mediante una sesión de psicomotricidad. Esta suele tener una fase inicial de
juego estrictamente sensomotor, de movimiento libre por el espacio, inducido por una
música apropiada, en la cual el material básico es el propio cuerpo.
Es una fase en la que se va tomando contacto con el espacio exterior, con los objetos,
con las personas que lo conforman, de una forma espontánea y creativa; una fase que da
lugar a situaciones de juego colectivo.
Posteriormente conviene introducir materiales didácticos que ayudan al
establecimiento de relaciones espaciales específicas, de acuerdo con el tema geométrico
elegido como objetivo del aprendizaje y que pueden inducir la reflexión sobre aspectos
determinados de dicho tema. Finalmente, una propuesta adecuada de actividades
complementarias, de problemas suscitados a partir del uso de esos materiales, puede cerrar
el desarrollo del tema.
El juego psicomotor pueden implicar conceptos de cierta potencia geométrica. Así,
por ejemplo, juegos de recorrido manteniendo la igualdad de distancias a dos puntos fijos
pueden inducir la noción de mediatriz. Jugando con la igualdad de distancias a dos rectas
secantes, la de bisectriz. Con la igualdad de distancias a una línea recta, el paralelismo. Con
la igualdad de distancia a un punto y una recta, la parábola... De forma que no tiene que ser
contemplado como apropiado sólo para niños muy pequeños.
23

24. El material didáctico desempeña un papel primordial en esta metodología de
enseñanza. Hay que diferenciar entre el material pensado para ser usado en las sesiones de
psicomotricidad, en una sala espaciosa, amplia, y el material pensado para ser utilizado en
el aula normal de clase, sobre los pupitres.
Respecto al primer tipo de material podemos destacar en primer lugar materiales
típicos de psicomotricidad, como cuerdas, aros, pelotas, papel, etc., que además de su valor
específico para el juego psicomotriz tienen también interés para el desarrollo de conceptos
geométricos. Por ejemplo, las cuerdas pueden ser utilizadas para la construcción de líneas,
caminos, redes, etc.; los aros para la formación de circunferencias, cilindros, conos, para
juegos de giros, etc.; las pelotas para materializar esferas, para juegos de giros, para juegos
trayectorias, etc.; el papel para formar diferentes formas superficiales, para formar las caras
de los poliedros construidos con otros materiales, etc. En realidad, muy diferentes
materiales de uso habitualmente no matemático puede ser usado en contextos matemáticos,
a poco que se fuerce la imaginación.
Un material estructurado, especialmente diseñado para estos fines, es el de los
polígonos y poliedros articulados. Se trata de varillas de madera, de longitudes diferentes
(variando de decímetro en decímetro, desde uno hasta diez, hasta completar el metro), que
pueden ser unidas por articulaciones flexibles o rígidas. Las articulación flexible se pueden
conseguir al mantener juntos, con un nudo de alambre, pequeños trozos de tubos de goma,
en cuyas bocas conectan varillas de madera, con lo que se obtiene en vértice de una
estructura poliédrica.
Como materiales complementarios de mesa, para utilizar en el aula, se pueden
introducir por un lado materiales de uso corriente (en principio no matemático), y por otro
materiales especialmente diseñados para la enseñanza de la geometría. Dentro del primer
tipo podríamos citar palillos, varillas de madera, cuerdas, alambres, pajitas de refrescos,
plastilina, corcho, etc, con los cuales se pueden construir, también, estructuras poligonales
y poliédricas. Como materiales de uso específicamente geométrico destacamos básicamente
el geoplano y los poliedros troquelados. El geoplano permite formar, con gomillas
pequeñas, figuras equivalentes a las que resultan en el juego psicomotor con las cintas
24

25. elásticas, y dar una continuidad, ya en el plano de la reflexión teórica, a las actividades de
carácter lúdico. Los poliedros troquelado, combinaciones libres de polígonos
(materializados en cartulina), mediante uniones muy simples, para formar poliedros,
permiten dar una réplica sencilla, en el aula, en el terreno de la reflexión teórica, a la fase
lúdica inicial de construcción de poliedros "gigantes".
REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS. PLANOS. MAPAS.
La organización mental del espacio exterior aconseja, llegado su momento, la
introducción de sistemas de representación gráfica y plástica de dicho espacio.
Desde un primer momento es importante introducir el dibujo como una forma de
interiorización de la actividad geométrica. Por ello, cualquier situación de juego
psicomotriz y de manipulación de material didáctico, debe concluir con la expresión gráfica
de la situación mediante un dibujo. Es importante la representación con diferentes
perspectivas, que ayude a una visión más objetiva de la realidad exterior.
Un sistema de representación de gran utilidad formativa son los planos. Los planos
intentan representar con la máxima precisión los objetos del espacio exterior. Pueden dar
lugar a situaciones lúdicas, como juegos de escondite y búsqueda de objetos en un espacio
amplio (como el salón de clase, el patio del recreo, el jardín, etc). En esos juegos pueden
plantearse actividades tales como:
- Comparar el plano con la realidad.
- Situar distintos elementos.
- Reproducir un recorrido real sobre el plano y viceversa.
- Buscar recorridos equivalentes entre dos puntos determinados.
- Buscar el recorrido más corto entre dos puntos.
- Definir las pistas para ir de un lugar a otro.
25

26. Los planos pueden enriquecerse con la introducción de coordenadas, lo que hace más
sofisticado y preciso el sistema de representación.
Las coordenadas pueden introducirse con juegos como el de los "barquitos" (figuras a las
que hay que hundir mediante disparos de los que se indican sus coordenadas).
Posteriormente puede ampliarse el estudio de los planos, considerando planos callejeros,
donde se pueden realizar actividades tales como:
- Situarse y orientarse sobre el plano empezando por las zonas conocidas, ya sea el barrio
de la escuela o de la propia vivienda.
- Buscar y situar sobre el plano tiendas conocidas, viviendas de los compañeros, farmacia,
cine, etc.
- Representar itinerarios equivalentes para ir de casa al cine, de la escuela al parque, etc.
- Realizar un recorrido indicado sobre el plano o viceversa; explicar sobre el plano un
recorrido realizado.
Puede ampliarse el estudio con la introducción de mapas, con actividades tales como:
- Saber situarse sobre el plano.
- Buscar poblaciones, ríos, montañas, etc.
- Reconocer las vías principales de las secundarias, autopistas, vías férreas ,etc.
- Buscar itinerarios entre dos poblaciones o dos puntos.
- Buscar itinerarios alternativos: por autopista, carretera nacional, provincial, caminos, etc.
- Buscar el itinerario más corto en kilómetros o en tiempo.
- Dada una población, buscar posibles excursiones a un radio determinado de kilómetros.
26

27. - Orientarse sobre el terreno con la ayuda del mapa y de la brújula.
- Considerar la escala en los mapas.
- Comparar mapas con distintas escalas.
CONOCIMIENTO DE FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
Se puede comenzar por la localización de figuras geométricas en el entorno real, su
observación y detección de los elementos que las conforman.
Para el conocimiento de los cuerpos
geométricos tridimensionales un material
didáctico muy adecuado son los poliedros
articulados y poliedros troquelados,
anteriormente descritos.
Los alumnos pueden establecer ordenaciones y clasificaciones, según criterios
sencillos, aprendiendo los términos que designan las figuras, elementos y relaciones
geométricas más comunes: vértices, caras, aristas, polígonos, circunferencia, cubo, esfera...
Se trata de que los incorporen a su vocabulario, utilizándolos con propiedad en las
descripciones de objetos y situaciones.
En el último ciclo se deben iniciar los conocimientos sobre las relaciones de igualdad,
perpendicularidad y simetría, ángulos, etc. Así mismo aplicar las nociones de medida, de
longitud y superficie, aproximándose de manera intuitiva al cálculo de áreas y volúmenes
de figuras y cuerpos geométricos sencillos.
Para el conocimiento de figuras bidimensionales, un material didáctico especialmente
valioso es el geoplano. Actividades potenciales con el geoplano son:
- Construir distintos tipos de polígonos y analizar sus características para la posterior
clasificación, atendiendo a distintos criterios: número de lados, igualdad o no de los
mismos, tipo de ángulos, concavidad, convexidad.
27

28. - Descomponer polígonos.
- Triangular polígonos.
- Transformar polígonos sobre el geoplano: traslaciones, giros, simetrías.
- Calcular el área y el perímetro de los polígonos.
También se puede utilizar el tangram. Como actividades:
- Componer polígonos con todas las piezas del tangram o con parte de ellas.
- Analizar los polígonos obtenidos de acuerdo con sus características.
- Clasificar polígonos.
No se debe excluir el uso de materiales tradicionales, como reglas y compás, para
realizar diversas construcciones geométricas. Aunque tales construcciones se pueden
realizar también con ordenador, con programas tales como Cabri.
Para estudiar las simetrías de las figuras se puede utilizar el plegado de papel
(papiroflexia). Con este material se puede:
- Construir un ángulo recto, rectas perpendiculares y paralelas.
- Construir distintos tipos de polígonos: cuadrado, rectángulo; triángulo equilátero,
isósceles, rectángulo...; hexágono regular, octágono regular...
- Buscar la mediatriz de un segmento.
- Buscar la bisectriz de un ángulo.
La simetría de las figuras se puede estudiar también con ayuda de espejos.
Actividades concretas con espejos pueden ser:
- Situar una figura plana frente a un espejo y analizar los resultados.
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29. - Situar una figura plana a cierta distancia de un espejo en distintas posiciones y
analizar los resultados.
- Colocar un espejo sobre los distintos polígonos y buscar sus ejes de simetría.
Relacionar la existencia de los ejes de simetría con la regularidad de los polígonos.
- Componer dibujos simétricos a partir de un polígono y un espejo.
- Situar segmentos o líneas frente a dos espejos en ángulo y estudiar las figuras que se
generan. Relacionar los cambios de las figuras obtenidas en función de los cambios
en la posición de los dos espejos.
- Situar figuras planas frente a dos espejos en ángulo y estudiar las figuras que se
generan.
- Comprobar la simetría de un dibujo a partir de una figura plana y dos espejos.
- Analizar las variaciones de imagen de una figura plana en función de la distancia
que guarde en relación a los dos espejos.
Con la fotocopiadora, se puede estudiar las relaciones de semejanza entre figuras. En
particular:
- Realizar ampliaciones y reducciones de segmentos. Medir los segmentos antes y
después de las transformaciones y establecer la relación con las ampliaciones y
reducciones efectuadas.
- A partir de dibujos de polígonos regulares realizar ampliaciones y reducciones.
Establecer comparaciones entre las medidas de lados y ángulos antes y después de
las transformaciones.
- Ampliar dibujos realizados a mano sobre cuadrículas u otras tramas.
MOSAICOS
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30. Representan un excelente modo de
conectar geometría y arte.
Se puede plantear experimentalmente la construcción de mosaicos combinando
polígonos regulares y tratar de que los estudiantes razonen por qué hay un número fijo de
modelos, analizando los ángulos coincidentes en los vértices de los mosaicos.
Se puede estudiar la simetría de los mosaicos, con ayuda de espejos.
8. Recursos para la enseñanza de la Geometría a través de Internet
Para la enseñanza de la geometría en los primeros niveles de Primaria, planteamos la
posibilidad de usar un recurso clásico, como es el programa LOGO (la geometría de la
tortuga), que puede complementar las actividades de juego psicomotriz. Se puede encontrar
información en
http://www.ecu.edu.au/pa/ecawa/sig/logo/paul_dench/turtle/turtle-6.html#para2
Para las actividades de representación espacial, pueden utilizarse programas de dibujo
del ordenador para tratar de representar mediante planos espacios como el salón de clase, el
patio del recreo, el jardín, etc, promoviendo la confrontación de dibujos de diferentes
alumnos para obligarles a comparar y evaluar los sistemas de representación empleados.
Posteriormente se pueden ampliar dichas actividades considerando planos callejeros de la
ciudad, existentes en Internet, para representar y analizar itinerarios familiares a los
alumnos y avanzar hacia la exploración de otros nuevos.
El conocimiento de figuras geométricas puede hacerse mediante la utilización del
geoplano
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_125_g_4_t_3.html
Los alumnos pueden hacer clasificaciones de las figuras obtenidas, de acuerdo con la
cantidad de vértices, caras, aristas, diagonales, ángulos, etc, que intervienen y considerando
relaciones de igualdad, perpendicularidad, simetría, etc. Las propiedades métricas de la
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31. figura puede estudiarse específicamente usando programas como Cabri, del cual existen
versiones para Internet
http://www.cabri.net/cabrijava/index-f.html
Las relaciones angulares pueden analizarse con ayuda del geoplano circular
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_127_g_4_t_3.html
Los ángulos de los polígonos regulares se estudian en
http://www.coolmath.com/interior.htm
Está última dirección sirve para estudiar los mosaicos, que amplia la visión de las
relaciones angulares en los polígonos. Se pueden consultar en
http://www.shodor.org/interactivate/activities/tessellate/index.html
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_163_g_4_t_3.html
Las coordenadas cartesianas pueden introducirse de la mano del geoplano de
coordenadas
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_166_g_1_t_3.html
Para el estudio de los poliedros pueden consultarse variadas direcciones
http://vitalsoft.org.org.mx/Prometeo/ejemplos/regpoly.html
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_128_g_4_t_3.html
http://www.pntic.mec.es/mem2000/superficies/PoliReg.html
http://www.coolmath.com/polyhedra.htm
Algunos de estos recursos se pueden encontrar también en nuestra página web
http://www.uco.es/~ma1marea/alumnos/primaria/indice.html
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