Este documento presenta un resumen histórico del desarrollo del método matemático desde los griegos hasta el siglo XX. Comienza describiendo las contribuciones de figuras como Hipócrates de Quío, Eudoxo, Euclides y Arquímedes en la antigua Grecia. Luego discute los intentos posteriores por demostrar el quinto postulado de Euclides y las geometrías no euclidianas propuestas por Saccheri, Riemann y otros. Finalmente, examina los intentos del siglo XX por establecer fundamentos

1. PASO 4
Transferencia de conocimiento
grupo 7
presentado a:
Carlos Edmundo López Sarasty
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
Escuela de Ciencias de la Educación - ECEDU
Licenciatura en Matemáticas
Julio - 2020

2. El método propio
la esencia del método matemático fue creado por los griegos y
lleva el razonamiento de carácter inteligible, que obliga a la firmeza
o de unas verdades atemporales, fuera del espacio y extrañamente
universales, este método se transforma en una comprensión de
cómo comprendemos las verdades matemáticas y traduce en como
realizamos esa actividad en la cotidianidad nuestra inteligencia.

3. Hipócrates de Quío 470 a. c. llevó
acabo la cuadratura de algunas lúnulas
y propuso los primeros elementos de
geometría.
Eudoxo 408-335 a.c. aporta dos contribuciones de profundo alcance y enorme
trascendencia
teoría de las proporciones aplicables a números irracionales, basada en una definición de
igualdad y desigualdad precursora de las cortaduras de Dedekind.
el procedimiento de éxhaución que constituye la primera técnica matemáticamente
rigurosa de un algoritmo infinito y que resulta extraordinariamente fecundo en el
cálculo exacto de áreas y volúmenes

4. Euclides 365-275
a. c.: autor de los Elementos, quien ordenó varios trabajos de Eudoxo, mejoró los de
Teeteto, dio además demostraciones indiscutibles de todo aquello que sus
predecesores no habían demostrado con el rigor necesario, era de opiniones
platónicas, sus Elementos de Geometría tenían un orden riguroso , eligió teoremas
y de los problemas considerados como fundamentales, no ha incluido todos aquellos
que estaba en condiciones de dar, sino únicamente aquellos capaces de funcionar
como elementos, y también por la variedad de los raciocinios"
Arquímedes de Siracusa 287 -212 a.c.
Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el
sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del
número pi.4 También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los
volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar
números muy largos. (wihipedia, s.f.)

5. Historia del quinto postulado de Euclides
el quinto postulado debiera ser un teorema que pudiese demostrar
partiendo de los postulados explícitos de Euclides y de las veintiocho
primeras proposiciones del libro Los Elementos, los cuales son
demostrados sin utilizar el quinto postulado. Esto fue pensado
matemáticos durante el tiempo.
Luego de un Sligo de este pensamiento, los matemáticos empezaron a
analizar que este postulado era independiente de los demás, y hace menos
de un siglo se dio la primera demostración matemática que efectivamente
era imposible demostrar el quinto postulado sin suponer algo que fuera
equivalente al postulado que quería demostrarse. La primera presunta
demostración del quinto postulado se debe al sistema sistematizador de la
astronomía griega, Tolomeo siglo 2 D.C. nos es conocida por proclo,
quien después de señalar la insuficiencia de la demostración de Tolomeo y
da su propia demostración del quinto postulado, esta supone que toda
recta que corte a una de dos rectas debe cortar también a la otra, y esta
hipótesis es esencial equivalente al 5." postulado que se pretende
demostrar. (Tomado de (Dou, 1970))

6. Jerónimo Saccheri (1667-1733)
El método de Saccheri
publicando el libro Euclides vindicado de todo error donde ilustra las dificultades que plantea el
quinto postulado y también de la fundamentación de las matemáticas en la fuerza de la intuición y
la tradición.
Parte de parte del cuadrilátero birrectángulo isósceles o cuadrilátero de Saccheri, está formado por
un segmento AB, las dos perpendiculares AC y BD a AB, y tomando BD igual a AC. Demuestra en
primer lugar que los ángulos del cuadrilátero en C y D son iguales y plantea las tres hipótesis
posibles de que sean ambos rectos, obtusos o agudos.
Parece que Saccheri, sea en virtud de su propia casi demos, sea por la fuerza de una tradición
bimilenaria jamás en entredicho, está convencido de que la única hipótesis te coherente es la del
ángulo recto, equivalente al quinto de Euclides
Uno de los resultados más profundos de nuestro autor es llamado teorema de Saccheri [dos rectas
situadas en un mismo plano o tiene una perpendicular común, o se cortan en una distancia finita, o
son asintóticas entre sí.]

7. Bernhard Riemann (1826-1866)
Realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría
diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo
más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la
función zeta, la hipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de
Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la
geometría de Riemann. Tomado de (wikipedia, wikipedia, s.f.)
Las geometrías rimanianas contribuyeron a despertar una actitud crítica
acerca de la naturaleza de los objetos propios de la geometría en general
y aún de toda la matemática. Evidentemente y al contrario de lo que
pensó Kant la geometría euclídea tomada de un modo global y exclusivo,
es decir, prescindiendo de las otras, no puede considerarse como
conjunto de juicios sintéticos o priori impuestos por la mente en orden a
la estructuración de toda la geometría.

8. Georg Cantor (1845-1918)
inicia con la teoría de conjuntos da los principios, esta se quiso usar para fundamentar la matemática, pero luego
surgen las paradojas sobre la teoría, y resulta indispensable establecer una teoría libre de contradicciones, para
fundamentar la matemática como unidad que debía ser una visión total que racionaliza y justifica una praxis del
hacer global, por otro lado, lógica matemática, valida el método deductivo; Desde donde surgen 3 tendencias que
son: logicismo, formalismo e intuicionismo.
Cantor, en 1895, descubre una paradoja en los números cardinales, la que fue redescubierta por Buroli-Forti en
1897. Mas concretamente, tenemos los resultados siguientes:
TEOREMA A. Dado un número cardinal, siempre es posible determinar otro mayor.
TEOREMA B. Existe un número cardinal mayor que todos los demás.
Es claro que estos dos teoremas son contradictorios.

9. El logicismo - Gottlob Frege (1848-1925)
con su obra Conceptografía, habla de lenguaje universal, esto es, la
lógica simbólica, con la idea de eliminar toda posibilidad de
malentendido del lenguaje natural. Su intención consiste en basar
toda la matemática en la pura lógica, debido a esto sale la
“paradoja de Russell”. Frege incluye en un apéndice la
modificación de sus axiomas, lo que lo lleva a invalidar muchas de
las demostraciones del primer volumen.
El logicismo - Bertrand Russell y Alfred North Whitehead
(1861-1947)
publican Principia Mathematica en tres volúmenes en 1910, 1912,
1913. Los objetos matemáticos son objetos puramente lógicos y
los principios matemáticos son leyes lógicas o derivados de leyes
lógicas, se crea el movimiento logicista para superar la crisis por las
paradojas y Sumerge a la matemática en el universo de la lógica.

10. El formalismo -David Hilbert (1862-1943)
Habla que todo problema matemático, una vez definido ha de
tener su solución basada en la pura razón, como lo expresa: “En la
matemática no existe el ignorabimus” (Cfr. Giaquinto, M. 1983:
125), el establece los axiomas desde los cuales puede desarrollarse
toda la geometría, tanto euclídea como la no euclídea, mediante
pura deducción, luego fundamenta la matemática como la teoría
en un esquema de conceptos que puede ser llenado de material
por parte de la interpretación del sujeto, también plantea mostrar
la admisibilidad de toda la matemática con el establecimiento de
sistemas axiomáticos para las distintas ramas y tiene la idea del
desarrollo simultáneo de la lógica y de la matemática.
La matemática apropiada, es una teoría general de formalismos o
teoría general de formas

11. Ernst Zermelo (1871-1953)
En 1908, es quien publica la primera axiomatización de la teoría de
conjuntos, pero no consigue demostrar su consistencia.
Brouwer y Weyl
dicen que la intuición es la única garantía en matemática, pero
Hilbert y Bernays rechazan el revisionismo de la matemática
defendido por Brouwer y Weyl y apuntan hacia fundamentos que
garantizan la formalidad de la matemática sin sacar ninguna parte
de la matemática clásica

12. En 1931 Gödel
publica un trabajo y surge un problema al programa de Hilbert
para demostrar la coherencia de la aritmética. Esta publicación
refuta a Hilbert, cuando enuncia que en un principio todo
problema puede ser resuelto. Debemos saber, llegaremos a saber.
Gödel probó dos cosas fundamentales:
(i) si la teoría axiomática de conjuntos es consistente, entonces
existen teoremas que no pueden ser probados ni refutados.
2. no existe ningún procedimiento constructivo que
pruebe que la teoría axiomática de conjuntos sea consistente.

13. 'hipótesis del continuo
Hilbert postula, que no existe un número cardinal e tal que Co < C < C1
En 1938, Gödel probó que, si agregáramos tal hipótesis a la teoría de conjuntos, ésta no
se perturba; no pasa nada
1963 Paul Cohen prueba que, si asumiéramos que la hipótesis del continuo fuera falsa,
entonces tampoco se llega a una contradicción.
no es posible probar la validez o falsedad de la hipótesis del continuo. La podemos
aceptar o rechazar, que nada malo sucederá; no llegaremos a conflicto alguno.

14. El intuicionismo
Esta escuela fue cimentada por el matemático holandés Iuitzen E.J. Brouwer, y tuvo entre sus precursores a
Kronecker y a Poincaré. Esta tendencia tuvo entre sus filas a distinguidos matemáticos como Borel, Weyl,
Skolen, Según esta escuela, las paradojas se deben al uso del:
(i) Infinito actual en la teoría de conjuntos; es decir, al infinito se le da un carácter cerrado y acabado; es un
número transfinito,
2. del principio del tercio excluido, heredado desde la época de Aristóteles.
Por lo tanto, esta escuela se propone reconstruir la matemática sin usar al infinito como un número, es decir
no se deben usar los números transfinitos aritmética clásica como fundamentó de la matemática es la
negación de la existencia del infinito actual
Kronecker, afirma que no existen objetos matemáticos si no existen procedimientos para su construcción.

15. Henri Poincaré (1854-1912)
Quien se opone a la visión russelliana de la matemática como extensión
de la lógica. Según Poincaré, en la aplicación del principio de inducción
completa, la intuición de la sucesión completa de los números naturales
es la que permite pasar de una proposición particular a una general.
Esta escuela tuvo un final no alentador para ellos, ya que les fue
desfavorable trabajar bajo tales condiciones. Los números transfinitos
constituyen un arma importante en muchas cuestiones de la matemática
moderna. Además, Hilbert demostró que el infinito actual en realidad
no origina contradicciones. Asimismo, el uso de la prueba por
reducción al absurdo es también un recurso útil en muchas situaciones.

16. El intuicionismo de L.E.J. Brouwer
“No puede existir matemática, si no ha sido construida intuitivamente”.
(Cfr. Sabaté, F. 2007).
matemática es una libre creación mental, desarrollada a partir de una
intuición primordial (la del tiempo) e independiente de la experiencia. Los
objetos matemáticos no pueden existir si no pueden ser construidos
la intuición, como la necesaria fundamentación de todo conocimiento
la matemática es totalmente independiente de la lógica; la lógica es la que
depende del pensamiento matemático intuitivo, y, por lo tanto, el principal
objetivo de la lógica teórica es formalizar los procedimientos del
pensamiento matemático

17. Integración complementaria entre el formalismo y el intuicionismo
Hermann Weyl
matemática teórica puede solamente ser representada por medio de símbolos
Philosophy of Mathematics, and Natural Science, Weyl afirma: La matemática alcanza con Brouwer su mayor
claridad intuitiva. Logra desarrollar los comienzos del análisis en forma natural conservando siempre íntimo
contacto con la intuición en forma mucho mejor de la conseguida hasta entonces. Sin embargo, no puede
negarse que al llegar a teorías más avanzadas y generales la inaplicabilidad de las simples leyes de la lógica
resulta una torpeza casi insoportable. Y el matemático observa con dolor que el edificio que creía construido
de bloque de concreto se esfuma ante sus ojos. (Weyl, H. [1949] 1965: 60. Traducción Ímaz, C.)
La intuición, en lugar de la prueba, proporciona el fundamento último del conocimiento matemática.
la crisis en los fundamentos permitió que conociéramos mejor la esencia de la matemática.
1935, el grupo Bourbaki de matemáticos franceses empezaron a publicar una serie de libros para formalizar
muchas áreas de matemáticas basados en los nuevos fundamentos de la teoría de conjuntos. (wikipedia,
wikipedia)

18. RIGORIZACIÓN MATEMÁTICA
En el siglo XIX se da el proceso de rigorización de la matemática, que buscaba esclarecer algunos conceptos y
definirlos de una mejor manera a: las nociones de función, derivada, continuidad, integral. También se buscaba
dar un tratamiento más consistente a las series,
en el desarrollo de establecer un mayor rigor en los conceptos y métodos del Cálculo. dentro de este período
se desarrollaron nuevas geometrías y se potenció la abstracción en el álgebra.
En este período pierde su fundamentación la conmutatividad y la geometría euclidiana era cuestionada, no se
puede afirmar que esto esté relacionado con la aparición de nuevas álgebras, geometrías no euclidianas y
aritmética, pero si con el proclamar la deducción y el rigor lógicos como fundamento de las matemáticas o
criterio de validación.
Uno de los asuntos que debió ser revisado fue el concepto de función, debido a la emersión de una gran
cantidad y variedad de funciones en la actividad de las matemáticas

19. Gauss: una función era una expresión cerrada analítica y finita,
Lagrange: las series de potencias como funciones.
Lacroix: "Toda cantidad cuyo valor depende de una o varias otras es llamada una
función de estas últimas, ya sea que uno conozca o no por medio de qué
operaciones es necesario de las últimas a la primera cantidad‘’.
Fourier: afirma que no se requiere una representación analítica para una función.
A lo largo de este proceso el hecho de que aparecían cada vez más y más funciones
que no se comportaban como las algebraicas salieron las preguntas acerca de cómo
se debían reconsiderar las nociones de variable, continuidad, derivabilidad. (aruiz)
Bernard Bolzano (1781-1848): clarificar el concepto de función continua.

20. Rein Analytischer Beweis: una nueva prueba rigurosa del
teorema del valor intermedio escrito con formulaciones de la
noción de límite, continuidad de funciones y convergencia de
series infinitas, 15 Filosofía sorprendentemente similares a los
encuentros
Augustin Louis Cauchy (1789-1857): aritmética del concepto de
límite liberado de toda geometría y de toda intuición temporal.
caracterizar la continuidad de funciones en términos de una
noción rigurosa de infinitesimal, la cual define en el Cours
d´analyse como “una cantidad variable (cuyo valor) decrece
indefinidamente en forma de converger al límite 0”. (Cf. Bell, J.
2005)

21. Karl Weierstrass (1815-1897): establecer el análisis matemático sobre las
bases de números solamente, para aritmetizar
“tan cerca como se quiera” que designa a números pero que dejan de serlo
al hacerse cada vez más pequeños
variable, no como una cantidad que cambia de forma activa, sino
simplemente como un símbolo estático para cualquier miembro de un
conjunto de valores posibles
Richard Dedekind (1831-1916): quien reconoce que la propiedad de
densidad del conjunto ordenado de los números racionales, es insuficiente
para garantizar la continuidad
En Continuity and Irrational Numbers de 1872, considera que cuando los
números racionales se asocian a los puntos de una recta, “existen infinitos
puntos (sobre la recta) a los que no corresponden ningún número
racional”; de esta forma los números racionales manifiestan huecos,
incompletitud, y discontinuidad. (Cfr. Bell, J.2009).

22. Georg Cantor (1845-1918)
Muestra una oposición dogmática a los infinitesimales; muchos otros pensadores de final del siglo XIX y
principios del siglo XX, siguen oponiéndose, en distintos grados, a la idea de una explicación del
concepto del continuo sólo en términos discretos. Entre ellos, puedo nombrar a Brouwer y Weyl

23. Cambios o Avances en la matemática
En el álgebra, la resolubilidad de ecuaciones de grado superior llevó a los cimientos de la
teoría de grupos
Se desarrolla geometrías no euclidianas
la geometría se vuelve un concepto abstracto.
La teoría de conjuntos nace como una concepción fundamental, Pierde su fundamento la
propiedad de la conmutatividad
valida el método deductivo
la matemática en el universo de la lógica
admisibilidad de toda la matemática con el establecimiento de sistemas axiomáticos

24. Referencias bibliográficas
wikipedia. (s.f.). wikipedia. Obtenido de wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Fundamentos_de_las_matem%C3%A1ticas#Resoluci%C3%B3n_parcial_de_la_
crisis
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wikipedia. (s.f.). wikipedia. Obtenido de
https://es.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell#:~:text=Bertrand%20Arthur%20William%20Russell%20(Trell
ech,del%20Premio%20Nobel%20de%20Literatura.
wikipedia. (s.f.). wikipedia. Obtenido de wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
Dou, A. (1970). fundamentos de la matemática. En A. Dou, fundamentos de la matemática (pág. 78). Barcelona:
labor s.a.

25. Ortiz Fernández, A. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática. Pro Mathematica, 2(3), 31-47.
Recuperado a partir de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/promathematica/article/view/6053
Cherubini, E. (2015). LA NOCIÓN DEL CONTINUO MATEMÁTICO DE HERMANN WEYL
CONCILIANDO FORMALISMO E INTUICIONISMO. Revista Síntesis, 14-16. Recuperado a partir de
https://revistas.unc.edu.ar/index.php/sintesis/article/view/12220
aruiz. (s.f.). hisotira y fislofia. Obtenido de
http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte6/Cap22/Capitulo_22.
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