interaccion suelo estructura

Interacción
está-ca
suelo-‐
estructura
en
cimentaciones

someras

Agus5n
Deméneghi
Colina

Profesor

Facultad
de
Ingeniería

UNAM

La interacción suelo-estructura es aquella parte de la
ingeniería que estudia las deformaciones del terreno
de cimentación cuando éstas se ven afectadas por la
presencia y rigidez de la propia estructura. La
influencia de la estructura puede ser en condiciones
estáticas, lo cual es tratado por la interacción estática
suelo-estructura, o puede ser en condiciones
dinámicas, lo cual cae en el campo de la interacción
dinámica suelo-estructura.

Se conocen como métodos de interacción
estática suelo-estructura aquellos procedi-
mientos que para el cálculo de las deforma-
ciones del terreno de cimentación toman en
cuenta la rigidez de la estructura. Todos estos
métodos están basados en el principio de que
en el contacto cimiento-terreno los desplaza-
mientos tanto de la subestructura como los del
terreno son iguales, es decir, existe compati-
bilidad de deformaciones entre estructura y
suelo.

En términos generales, el procedimiento de
cálculo para la interacción suelo-estructura
consiste en tres pasos: (a) se calculan los
desplazamientos de la subestructura, (b) se
calculan los desplazamientos del terreno de
cimentación, y (c) se establece la compatibi-
lidad de deformaciones entre estructura y
suelo.

Podemos distinguir dos clases de situaciones en relación con la
interacción: (i) cuando los cimientos están suficientemente
separados, de tal forma que la carga sobre un apoyo no ejerce
influencia sobre los desplazamientos de los apoyos vecinos (este
fenómeno se presenta usualmente en zapatas aisladas), y (ii)
cuando se trata de un cimiento continuo donde el desplazamiento
de un punto de dicho cimiento está afectado por la carga repartida
en toda la subestructura (es el caso de zapatas corridas o losas de
cimentación).

Definamos el módulo de reacción o rigidez lineal vertical de un
cimiento de la siguiente forma
Kv = Qv/δv (1)
donde Qv es la fuerza vertical aplicada al cimiento y δv es el
asentamiento vertical ocasionado por Qv.
Se define la rigidez lineal horizontal de un cimiento
Kh = Qh/δh (2)
donde Qh es la fuerza horizontal aplicada al cimiento y δh es el
desplazamiento horizontal producido por Qh.

Se define la rigidez a la rotación de un cimiento
Kr = M/θ (3)
donde M es el momento aplicado al cimiento y θ
el ángulo –en radianes- producido por dicho
momento.

Utilizaremos el método de rigideces para el análisis de la
estructura (véase el anexo 1), en el que se debe cumplir
K δ + Pe + Pc = 0 (4)
donde
K = matriz de rigidez de la estructura
δ = vector de desplazamientos
Pe = vector de cargas de empotramiento
Pc = vector de cargas concentradas

La rigidez del terreno de cimentación se puede incluir en el
vector de cargas concentradas Pc, de la siguiente forma:
las fuerzas Qv, Qh y M se pueden obtener con las ecs 1 a 3
Qv = Kv δv (5)
Qh = Kh δh (6)
M = Kr θ (7)

Determinación de los módulos de reacción del suelo
La determinación de las rigideces Kv, Kh y Kr se lleva a cabo
usando su definición dada por las ecs 1 a 3. Por ejemplo, el
módulo Kv se obtiene aplicando a la zapata una carga vertical Qv y
calculando el asentamiento que produce dicha carga.
Dado el carácter no lineal de los suelos, es necesario que tanto la
carga sobre el cimiento, como sus dimensiones, sean lo más
cercano posible a sus magnitudes definitivas en la estructura,
pues de otro modo la determinación de las rigideces será sólo
aproximada.

Ejemplo
Determinar la rigidez lineal vertical Kv de la zapata de la fig E-1, utilizando para
ello la fórmula
de Burland y Burbridge.
El subsuelo está formado por una arena normalmente cargada, N = 15 golpes.
Solución
El asentamiento en milímetros de la zapata está dado por (Burland y Burbridge,
1985):
δ = qn B0.7 Ic
Ic = 1.17/N1.4
qn = incremento neto de presión, en kPa
B = ancho de la cimentación, en metros
Sustituyendo valores
qn = 26/1.7(2) = 7.647 t/m2 = 74.995 kPa
Ic = 0.0264
B = 1.7 m
δ = 2.870 mm = 0.00287 m
El módulo Kv vale (ec 1)
Kv = 26/0.00287 = 9059.2 t/m

La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los
módulos de reacción, para un cimiento somero de planta circular
Kv = 2ER/(1-ν2) (12)
Kh = 32(1-ν)GR/(7-8ν) (13)
Kr = 8GR3/3(1-ν) (14)
Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L
< 2.5B, mediante el siguiente artificio:
Sea A = BL el área del cimiento rectangular,
R = √ A/π (15)
Para calcular Kv y Kh usamos las ecs 12 y 13 con R obtenida de la ec 15.

Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje
que se desea calcular Kr
R = 4√ 4I/π (16)
Kr se computa con la ec 14, con R obtenida de la ec 16.
Por lo ya señalado antes, los cálculos de los módulos de
reacción con las ecs 12 a 14 son sólo aproximados, pues
el comportamiento real de los suelos es no lineal.

Otra forma aproximada de obtener los módulos de reacción es mediante la
realización de pruebas de placa (Zeevaert, 1973). Sea kv el módulo de
rigidez unitario, definido como
kv = Qv/δvA (17)
Siendo A = área del cimiento.
Si ks1 es el módulo de rigidez vertical determinado con una prueba de placa
de un pie de lado, se puede emplear la siguiente fórmula (Terzaghi, 1955)
kv = ks1 [(B+0.3)/2B]2 (18)
donde B es el ancho de la zapata en metros. En el caso de arcillas
kv = ks1 [(n+0.5)/1.5n)] (19)
donde n = L/B, siendo L la longitud del cimiento.

Sea un cimiento totalmente flexible con carga uniforme
apoyado en un suelo cohesivo totalmente saturado. El
asentamiento a largo plazo toma la forma indicada en la fig
7a (Sowers, 1962); el diagrama de reacción del terreno en
este caso es igual al de la carga, es decir, la reacción es
uniforme. Si dicho cimiento se apoya sobre un suelo
friccionante, el asentamiento se distribuye como se indica
en la fig 7b (Sowers, 1962); por ser el cimiento totalmente
flexible, la reacción del suelo es también uniforme.

Sea ahora una placa de una rigidez infinita apoyada en una
arcilla totalmente saturada (fig 8a). El hundimiento es
uniforme, pero el diagrama de reacción a largo plazo toma
la forma indicada en la fig 8a (Sowers, 1962). Si la placa se
apoya sobre un suelo friccionante, el diagrama de reacción
toma la forma de la fig 8b (Sowers, 1962).
Vemos entonces que los diagramas de asentamientos y de
reacciones del terreno dependen de la clase de suelo y de la
rigidez de la estructura. Un cimiento real puede quedar
entre los dos casos extremos señalados, pues su rigidez no
necesariamente es nula o infinita.

Interacción suelo-zapata corrida
Consideremos un marco estructural con una cimentación a base de una zapata corrida
(fig 9a), en el cual se trata de obtener los diagramas de asentamientos y de reacciones
del terreno de cimentación (fig 9, b y c).
Comencemos con el diagrama de reacciones. En el caso general, la forma del
diagrama es diferente de una reacción uniforme (fig 9b). Sustituyamos la curva de
reacción del terreno por una serie de reacciones uniformes r1, r2, ... , rn (fig 10a); el
análisis estructural lo llevamos a cabo utilizando el método de rigideces,
considerando las reacciones ri como incógnitas. A continuación, aplicando la tercera
ley de Newton, aplicamos las cargas ri sobre el terreno (fig 10b), y obtenemos los
hundimientos de éste en función de las ri, empleando el método de Chamecki (1956).
El problema de la interacción se resuelve estableciendo la compatibilidad de
deformaciones entre estructura y suelo, es decir, si el suelo está en contacto con la
estructura de cimentación, las deformaciones de ambos medios deben ser iguales.

Zapata
corrida
MARCO ESTRUCTURAL (a)
DIAGRAMA DE ASENTAMIENTOS (b)
DIAGRAMA DE REACCIONES (c)
(Acisef3)
MARCO ESTRUCTURAL CON CIMENTACIÓN
A BASE DE ZAPATA CORRIDA
FIGURA 9

Zapata
corrida
r4
r3 r5
r2 r6
r1 r7
(a) REACCIONES DEL TERRENO
r1 r7
r2 r6
r3 r5
r4
r7
(b) CARGAS SOBRE EL TERRENO
CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA Y EL SUELO
FIGURA 10

El incremento de esfuerzo vertical vale
σzijk = Izijk rkdk/ak (21)
donde Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al esfuerzo normal
vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área ak
(Zeevaert, 1973).
Los esfuerzos normales vertical y horizontales se obtienen aplicando la ec 21
para todas las cargas rk, es decir
nr
σzij = Σ Izijk rkdk/ak (24)
k=1
nr
σxij = Σ Ixijk rkdk/ak (25)
k=1
nr
σyij = Σ Iyijk rkdk/ak (26)
k=1

Comportamiento lineal
En forma aproximada, se puede resolver la interacción considerando que la deformación
bajo el punto i de un estrato de suelo de espesor Hj está dada por
δij = (Hj/Eij) [σzij - ν(σxij +σyij)] (47)
donde Eij es el módulo de deformación del suelo y ν su relación de Poisson.
Sustituyendo las ecs 24 a 26 en la ec 47
nr
δij = (Hj/Eij) Σ [ Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) ] rkdk/ak
k=1
Sea Iijk = Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) (48)
nr
δij = (Hj/Eij) Σ Iijk rkdk/ak
k=1
Tomando en cuenta todos los estratos de subsuelo, y una posible deformación previa δoi, la
deformación del punto i es
ne nr
δi = δoi + Σ (Hj/Eij) Σ Iijk rkdk/ak (49)
j=1 k=1

En el suelo, desarrollamos la ec 49 para i = 1:
δ1 = (H1/E11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + I113r3d3/a3)
+ (H12/E12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + I123r3d3/a3)
En la tabla 11 se muestran los valores de influencia para este
problema.

3.2 m 3.2 m
2 m
PLANTA
En la estructura:
35 t 50 t 35 t E = 1,130,000 t/m2
I = 0.05163 m4
3.7 t/m 0.5 m
Estrato 1 0.8 m
Estrato 2 1.6 m
Roca
ELEVACIÓN
CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y
TERRENO DE CIMENTACIÓN (EJEMPLO 3)
FIGURA 13

3.2 m 3.2 m
Área 1 Área 2 Área 3
1 2 3 2 m
1.6 m 3.2 m 1.6 m
PLANTA
0.5 m
Estrato 1 (1,1) (2,1) (3,1) 0.8 m
Estrato 2 (1,2) (2,2) (3,2) 1.6 m
Roca
ELEVACIÓN
CÁLCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 3)
FIGURA 16

3.2 m 3.2 m
2 m
(a) PLANTA
En la estructura:
35 t 50 t 35 t E = 1,130,000 t/m2
I = 0.05163 m4
3.7 t/m 0.5 m
NAF
Estrato 1 Eu = 500 t/m2 Arcilla totalmente saturado 0.8 m
Estrato 2 Eu = 560 t/m2 Arcilla totalmente saturado 1.6 m
Roca
(b) ELEVACIÓN
CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y
TERRENO DE CIMENTACIÓN (EJEMPLO 4)
FIGURA 17

En el suelo, desarrollamos la ec 49 para i = 1:
δ1 = (H1/E11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + I113r3d3/a3)
+ (H12/E12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + I123r3d3/a3)
En la tabla 11 se muestran los valores de influencia para este problema.

TABLA 11
VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 4)
RELACIÓN DE POISSON = 0.5
Punto Izijk Ixijk Iyijk nu Iijk
1,1,1 0.4868711 0.3181542 0.2659320 0.5 0.1948280
1,1,2 0.0017431 0.0526524 0.0031307 0.5 -0.0261484
1,1,3 0.0000189 0.0034808 0.0000384 0.5 -0.0017408
1,2,1 0.2791369 0.0579433 0.0297519 0.5 0.2352893
1,2,2 0.0402185 0.0912394 0.0048027 0.5 -0.0078026
1,2,3 0.0009920 0.0114948 0.0001265 0.5 -0.0048186
2,1,1 0.0016360 0.0431202 0.0029179 0.5 -0.0213830
2,1,2 0.9737421 0.6363085 0.5318640 0.5 0.3896559
2,1,3 0.0016360 0.0431202 0.0029179 0.5 -0.0213830
2,2,1 0.0355775 0.0649898 0.0042220 0.5 0.0009717
2,2,2 0.5582739 0.1158866 0.0595037 0.5 0.4705787
2,2,3 0.0355775 0.0649898 0.0042220 0.5 0.0009717
3,1,1 0.0000189 0.0034808 0.0000384 0.5 -0.0017408
3,1,2 0.0017431 0.0526524 0.0031307 0.5 -0.0261484
3,1,3 0.4868711 0.3181542 0.2659320 0.5 0.1948280
3,2,1 0.0009920 0.0114948 0.0001265 0.5 -0.0048186
3,2,2 0.0402185 0.0912394 0.0048027 0.5 -0.0078026
3,2,3 0.2791369 0.0579433 0.0297519 0.5 0.2352893

δ1 = (0.8/500)[(0.194828/2)r1-(0.02614844/2)r2
-(0.00174077/2)r3] + (1.6)/(560)[(0.23528931/2)r1
-(0.00780255/2)r2-(0.00481864/2)r3]
Tomando en cuenta que r1 = r3
δ1 = 0.000483712 r1 – 0.00003206525 r2 (50)
En forma análoga se obtiene
δ2 = -0.000031436 r1 + 0.00098398 r2 (51)
Resolviendo el sistema de ecuaciones 27, 28, 29, 50 y 51:
δ1 = 0.014285 m, δ2 = 0.013224 m
θ4 = 0.00075212
r1 = 30.487 t/m, r2 = 14.413 t/m

Interacción
estructura-‐suelo

plás-co
parcialmente
saturado

(arcilla
expansiva)

Interacción estructura-suelo plástico parcialmente
saturado
En un suelo plástico parcialmente saturado, además
de los asentamientos producidos por las cargas de
una estructura, se presentan deformaciones debidas a
cambios de humedad en el suelo. Un ejemplo de esta
clase de fenómeno lo constituyen las arcillas
expansivas, que sufren fuertes cambios volumétricos
al variar su humedad natural.

Habíamos obtenido:
δ1 = 0.000817668 r1 + 0.0000349723 r2 (55)
δ2 = 0.0000634471 r1 + 0.00163405 r2 (56)
Resolviendo el sistema de ecuaciones 52 a 56 obtenemos
δ1 = 0.021759 m, δ2 = 0.020075 m
θ4 = 0.0010381
r1 = 26.129 t/m, r2 = 11.271 t/m
Supongamos que por un aumento de humedad en el suelo, en campo libre
la arcilla sufre una expansión de 3 cm en los puntos 1 y 3, y de 5 cm en el
punto 2 (fig 16). Aplicando la ec 49 en las ecs 55 y 56 obtenemos
δ1=-0.03+0.000817668r1+0.0000349723r2 (57)
δ2 =-0.05+0.0000634471r1+0.00163405r2 (58)
Resolviendo el sistema de ecuaciones 52, 53, 54, 57 y 58
δ1 = -0.013950 m, δ2 = -0.018469 m
θ4 = 0.0020384
r1 = 18.835 t/m, r2 = 18.565 t/m

La interacción suelo-estructura se puede resolver
mediante un método iterativo. Esto tiene aplicación en
la práctica cuando se dispone de un paquete o un
programa de computadora que sustituye al terreno de
cimentación por “resortes”, que representan el módulo
de reacción de dicho terreno. Dado que no se conoce a
priori la “constante del resorte”, pues depende del
diagrama de reacción del suelo, que es lo que
justamente se está buscando, se tiene que recurrir a un
procedimiento iterativo (Chamecki, 1956), que consiste
en suponer valores iniciales de las “constantes de los
resortes”, y con ellas computar por una parte las
deformaciones de la estructura, y por otra las
deformaciones del suelo; la diferencia entre
deformaciones de estructura y suelo permite ajustar la
“constante del resorte”; el proceso se repite hasta que
coinciden las deformaciones de estructura y terreno.

El método se usa de la siguiente forma:
a)  En el terreno se entra con las cargas ri y se determinan las deformaciones
δi con la matriz de flexibilidades del suelo (se puede iniciar con la reacción
uniforme); los módulos de reacción (o “constantes de los resortes”) se
obtienen
Kvi = ri di / δi (59)
b) En la estructura se entra con las Kvi y se calculan las deformaciones ; las
reacciones ri por unidad de longitud (en t/m) se obtienen
ri = Kvi δi / di (60)
donde di es la longitud en que actúa ri.
Con estos valores de ri se entra nuevamente al suelo (inciso a), y el proceso
se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y suelo.

Ilustremos el proceso anterior con la zapata de la fig 19 (ejemplo 6). Los datos de
estructura y suelo son los mismos del ejemplo 3 (fig 13). De acuerdo con la ec 4
K δ + Pe + Pc = 0
Las reacciones del terreno se pueden incorporar en el vector de cargas
concentradas Pc (fig 19b). De esta forma, obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones
(δ1): (21365.442+Kv1)δ1–21365.442δ2-34184.707θ4 – 5.92 – 35 = 0 (61)
(δ2): -42730.884δ1+(42730.884+Kv2)δ2+68369.414θ4 –11.84 – 50 = 0 (62)
(θ4): -34184.707δ1 +34184.707δ2+72927.375θ4 + 3.15733 = 0 (63)

En el terreno de cimentación habíamos obtenido la
siguiente matriz de flexibilidades (ecs 50 y 51)
δ1 = 0.000483712 r1 – 0.00003206525 r2 (64)
δ2 = -0.000031436 r1 + 0.00098398 r2 (65)
Las iteraciones se realizan de la siguiente forma
1ra iteración
Iniciamos el proceso considerando una reacción
uniforme r1 = r2 = r3 = 22.45 t/m

Terreno de cimentación. Aplicando las ecs 64, 65 y 59
δ1 δ2 Kv1 Kv2
m m t/m t/m
0.010139 0.021385 3542.592 3359.425
Estructura. Con los Kvi anteriores, y aplicando las ecs 61, 62, 63 y 60
δ1 δ2 r1 r2
m m t/m t/m
0.013295 0.014729 29.437 15.463
1ra iteración

2da iteración
Terreno de cimentación. Con los ri anteriores y aplicando las ecs 64, 65 y 59
δ1 δ2 Kv1 Kv2
m m t/m t/m
0.013743 0.014290 3427.089 3462.699
δ1 δ2 r1 r2
m m t/m t/m
0.013498 0.014775 28.912 15.988

4ta iteración
Terreno de cimentación. Aplicando las ecs 64, 65 y 59
δ1 δ2 Kv1 Kv2
m m t/m t/m
0.013495 0.014779 3433.069 3452.402
δ1 δ2 r1 r2
m M t/m t/m
0.013493 0.014782 28.952 15.948

Interacción
suelo-‐losa
de

cimentación

Una losa de cimentación se puede modelar como
una retícula de barras ortogonales entre sí. La
solución es más precisa a medida que se
incrementa el número de éstas. Para una retícula
de barras horizontales

Ejemplo
de
diseño
de
una
zapata

corrida

Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata
corrida de concreto reforzado de la figura A, de acuerdo con las
Normas de Cimentaciones del RCDF-2004.
Terreno de cimentación: zona II, FR ≤ 0.7
En la estructura:
Concreto: fc’ = 25 MPa
Acero: fy = 420 MPa
Considerar una vida útil de 50 años
Asentamiento permisible = 10 cm

4 m 4 m
0.3 m
B
PLANTA
320 kN 640 kN 320 kN
10 kN/m
NAF 0.8 m
Arcilla preconsolidada Eu = 2316 kPa, As' = 78, Aske = 0.3 γsat = 16 kN/m3
Estrato 1 cu = 52 kPa cv = 0.00082 cm2/s, Φ' = 28°, OCR = 2 0.6 m
Arcilla preconsolidada Eu = 3724 kPa, As' = 86, Aske = 0.3 γsat = 18 kN/m3
Estrato 2 cu = 64 kPa cv = 0.00076 cm2/s, Φ' = 30°, OCR = 2 1.4 m
Roca
ELEVACIÓN

SOLUCIÓN
Estados límite de falla
Se debe verificar
qult ≤ qR
qR = 5.14 cu fc FR + pv (33)
fc = 1 + 0.25 B/L + 0.25 D/B (34)
para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las
desigualdades anteriores, dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1,
respectivamente.
0.35 ≤ FR ≤ 0.70
Para condiciones normales se recomienda
0.45 ≤ FR ≤ 0.55
qult = Σ Q Fc / A
Suponemos ancho de la zapata B = 1.4 m, y un peralte de la losa de la
zapata h = 25 cm
qult = 189.97 kPa < qR = 194.08 kPa ∴ Cumple

Estados límite de servicio
Asentamiento inmediato
Trabajamos bajo el centro de la zapata, y a la mitad de cada estrato.
Usando la ley de Hooke:
)(
)(
o
u
yxz
u z
E
Δ
+−
=
σσνσ
δ
Estrato 1
ν = 0.5, q = 137.17 kPa, z = 0.3 m
σz = 133.43 kPa
σx = 100.13 kPa
σy = 70.19 kPa
Eu = 2316 kPa
)6.0(
2316
)19.7013.100(5.043.133 +−
=uδ
δu = 0.0125 m
Procediendo en forma análoga para el estrato 2, con Eu = 3724 kPa, obtenemos δu = 0.0217 m
δuT = 0.0125 + 0.0217 = 0.0342 m

Asentamiento a largo plazo
o
A
veo
zveo
Pcon z
p
p s
Δ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−=Δ
−
'
1
1
σ
δ
pveo = pcie + pvo’
pvo’ = 0.8(16)+(16-9.81)(0.3) = 14.657 kPa
pveo = pvo’ = 14.657 kPa
( ) mPcon 01753.06.0
657.14
43.133657.14
1
78
1
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−=Δ
−
δ
( )PconPcpo δµδ Δ=Δ (18)

Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria, y
( ) mañosPcpo 0131.010131.050, ==Δδ
Procediendo en forma similar para el estrato 2: δ50 años = 0.0120 m
δ50 años = 1.31 + 1.20 = 2.51 cm
(Zapata corrida con Skempton.xls)
Asentamiento total
El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido, es decir
δT = 3.43 + 2.51 = 5.94 cm < 10 cm ∴ Cumple

Diseño estructural
Interacción suelo-estructura
Método directo (Deméneghi, 1996)
El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces.
El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula
ne nr
δi = δoi + Σ (Δzj/Esij) Σ Iijk rkdk/ak (49)
j=1 k=1
Donde
Iijk = Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) (48)
Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al incremento de esfuerzo
normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el
área ak (Zeevaert, 1973). Las demás cantidades Ixijk e Iyijk se obtienen en forma
similar, usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal.

8 m
1 2 3 4 5 7 7 8 9
1.4 m
PLANTA
1
2 3 4 5 6 7 8 9
Distancias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m
0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 m
Estrato 1 (1,1) (2,1) (5,1) (9,1)
Estrato 2 (1,2) (2,2) (5,2) (9,2) ELEVACIÓN
DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES
FIGURA B

Método iterativo
El análisis de interacción se puede llevar a cabo en forma iterativa (Ccmaflx02.for;
Mafdatx0210). Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos,
una reacción uniforme, la cual vale
r = ΣQ/longitud de la zapata
r = 1536.32/8 = 192.04 kN/m
Usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49), la cual
se exhibe en el anexo 1, se calculan las deformaciones del suelo. En el anexo 3 se
exhiben los resultados de este primer cálculo del análisis a corto plazo (primera
iteración).

El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es
Kvi = ri di / δi (I)
Sustituyendo valores se obtienen los valores de Kv mostrados en el anexo 3.
Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Ejemplo A E
zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000).
Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas rEi sobre el terreno
i
Eivi
Ei
d
K
r
δ
= (J)
A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la
ecuación 49. El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la
estructura. En el anexo 3 se presentan los resultados de la última iteración. Con los valores de
Kv de esta última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos
mecánicos sobre la zapata corrida (Ejemplo A E zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000). Se
encuentran los siguientes valores máximos

CORTO
PLAZO
Momento
negativo, kN.m
179.04
Momento
positivo, kN.m
181.23
Cortante centro,
kN
265.72
Cortante
extremos, kN
168.91
Estas magnitudes son similares a las halladas con el método directo. Las diferencias se deben
básicamente a que en el procedimiento directo se aplican reacciones repartidas sobre la
estructura, mientras que con el método iterativo las reacciones sobre la estructuras son cargas
puntuales (a través de los resortes).

162.91
(+)
(-) (-)
-177.5 -200.5 -200.5 -177.5
-207.6 -207.6
c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m
320 320
181.5
(+) (+)
87.7
44.1
(-) -87.7 (-) -44.1
-181.5
-320
-320
d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN
DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DE
ELEMENTOS MECÁNICOS
CORTO PLAZO
FIGURA E

207.4
(+)
(-) (-)
-167.8
-159.4 -167.8 -159.4
-179.4 -179.4
c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m
320 320
187.5
(+) (+)
67.8
55.43
(-) -67.8 (-) -55.43
-187.5
-320
-320
d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN
DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DE
ELEMENTOS MECÁNICOS
LARGO PLAZO
FIGURA F

Magnitudes aproximadas del módulo de reacción
Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes
valores del módulo de reacción vertical
v
v
v
Q
K
δ
=
v
v
v
vv
v
q
a
Q
a
K
k
δδ
===
Corto plazo
Bajo el centro de la zapata corrida
3
/82.4010
0342.0
17.137
mkN
q
k
v
v
vc ===
δ
mkNakK vcvc /1.5615)4.1)(1(82.4010 ===
En las orillas de la zapata se puede usar
vcvo kk 1.2=
3
/7.8422)82.4010(1.2 mkNkvo ==
mkNakK vovo /9.5895)4.1)(5.0(7.8422 ===

Largo plazo
Se toma el asentamiento total de la zapata
δ = δu + δ’ = 3.43 + 2.37 = 5.80 cm
3
/2365
0580.0
17.137
mkN
q
k
v
v
vc ===
δ
mkNakK vcvc /3311)4.1)(1(2365 ===
3
/5.4966)2365(1.2 mkNkvo ==
mkNakK vovo /55.3476)4.1)(5.0(5.4966 ===

Ejemplo
de
cimentación

compensada

Ee Eu Ep Ecs cv Gdin
NAF kPa kPa kPa kPa cm2/s ξ kPa
2 m Limo arcilloso sensitivo
Gamma = 17 kN/m3 4 m 4955 3980 6200 11295 2x10-3 5 3400
Arcilla limosa sensitiva
Gamma = 14 kN/m3 4 m 4905 4000 6795 12400 1.2x10-3 5 3300
Arcilla limosa sensitiva Lentes permeables
Gamma = 12 kN/m3 5 m 5005 3890 7200 12805 1x10-3 5 3200
Arena muy compacta
ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES
(Cc cimentación compensada ejemplo 130901) FIGURA A

109 110 111 112 113 114 115 116 117
100 101 102 103 104 105 106 107 108
91 92 93 94 95 96 97 98 99
82 83 84 85 86 87 88 89 90
73 74 75 76 77 78 79 80 81
64 65 66 67 68 69 70 71 72
30.6 m 55 56 57 58 59 60 61 62 63
46 47 48 49 50 51 52 53 54
37 38 39 40 41 42 43 44 45
28 29 30 31 32 33 34 35 36
19 20 21 22 23 24 25 26 27
10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
20 m
NUMERACIÓN DE NUDOS DE LA CIMENTACIÓN
(Cc cimentación compensada ejemplo 0210) FIGURA B

97 98 99 100 101 102 103 104
204 205 206 207 208 209 210 211 212
89 90 91 92 93 94 95 96
195 196 197 198 199 200 201 202 203
81 82 83 84 85 86 87 88
186 187 188 189 190 191 192 193 194
73 74 75 76 77 78 79 80
177 178 179 180 181 182 183 184 185
65 66 67 68 69 70 71 72
168 169 170 171 172 173 174 175 176
57 58 59 60 61 62 63 64
159 160 161 162 163 164 165 166 167
30.6 m 49 50 51 52 53 54 55 56
150 151 152 153 154 155 156 157 158
41 42 43 44 45 46 47 48
141 142 143 144 145 146 147 148 149
33 34 35 36 37 38 39 40
132 133 134 135 136 137 138 139 140
25 26 27 28 29 30 31 32
123 124 125 126 127 128 129 130 131
17 18 19 20 21 22 23 24
114 115 116 117 118 119 120 121 122
9 10 11 12 13 14 15 16
105 106 107 108 109 110 111 112 113
1 2 3 4 5 6 7 8
20 m
NUMERACIÓN DE BARRAS
FIGURA C

Magnitudes aproximadas de los módulos de reacción
Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes
valores del módulo de reacción vertical
v
v
v
Q
K
δ
=
v
v
v
vv
v
q
a
Q
a
K
k
δδ
===
Corto plazo
Bajo el centro de la losa de cimentación
3
/1114
0330.00415.0
83
mkN
q
k
ue
vc =
+
=
+
=
δδ
mkNakK vcvc /7102)55.2)(5.2(1114 ===

En las orillas de la losa se puede usar
vcvo kk 8.23.2 −≅
3
/2.3119)1114(8.2 mkNkvo =≅
mkNakK vovo /4.9942)55.2)(25.1(2.3119 ===
En las esquinas
vcve kk 76 −≅
3
/7798)1114(7 mkNkve =≅
mkNakK veve /1.12428)275.1)(25.1(7798 ===

Largo plazo
Se toma el asentamiento total de la zapata
δ = 0.0415 + 0.0330 + 0.0594 = 0.1339 m
3
/8.522
1339.0
70
mkN
q
kvc ===
δ
mkNakK vcvc /8.3332)55.2)(5.2(8.522 ===
vcvo kk 8.23.2 −≅
3
/8.1463)8.522(8.2 mkNkvo =≅
mkNakK vovo /4666)55.2)(25.1(8.1463 ===
vcve kk 76 −≅
3
/6.3659)8.522(7 mkNkve =≅
mkNakK veve /5.5832)275.1)(25.1(6.3659 ===

Gracias
por
su
atención

Agus5n
Deméneghi
Colina

agusdeco@gmail.com

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