Este documento presenta varios temas relacionados con la investigación de operaciones, incluyendo la teoría de dualidad, análisis de sensibilidad, modelos de transporte y métodos para resolver problemas de transporte. Explica que la teoría de dualidad establece que cada problema de programación lineal tiene un problema dual asociado, y que ambos problemas tienen la misma solución óptima. También describe el procedimiento para realizar un análisis de sensibilidad y varios métodos para resolver problemas de transporte como el método de la esquina noroeste.

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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“Antonio José de Sucre”
Edo. Falcón
Catedra: Investigaciones de operaciones
Investigación de Operaciones: Dualidad, Análisis de
Sensibilidad y Transporte
Autor: Nelson Manaure Abreu
C.I.:12790996
Punto Fijo, junio de 2020.

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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCION......................................................................................................................... 3
Teoría de Dualidad .................................................................................................................... 4
Relacionesentre modelo dual y primal ................................................................................... 4
Razones para llevar a cabo un análisis de sensibilidad.............................................................. 6
Procedimiento para el análisis de sensibilidad......................................................................... 6
Definición y estructura del modelo de transporte........................................................................ 7
Modelos de Transportes Balanceados y no balanceados.......................................................... 7
Balanceo del modelo de transporte........................................................................................ 9
Técnicas para la solución del problema de transporte.............................................................11
Método de la esquina noroeste .........................................................................................11
Método del costo mínimo..................................................................................................11
Método de aproximación de Vogel (MAV)..........................................................................11
Pruebas para determinar si una solución básica es factible o no óptima...................................12
Método del banquillo........................................................................................................12
Método de los multiplicadores...........................................................................................13
Ejemplo...............................................................................................................................13
Aplicación: Método esquina noroeste ................................................................................14
Aplicación Método Multiplicadores....................................................................................15
Aplicación costo mínimo óptimo........................................................................................15
CONCLUSION ...........................................................................................................................17
BIBIOGRAFÍA............................................................................................................................18

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INTRODUCCION
La programación Lineal, es un modelo matemático en el que se plantean funciones
de tipo lineal entre variables con la finalidad de buscar un resultado/objetivo.
Ahora bien, dentro de la Programación lineal, se ubica la teoría de la dualidad…
pero… ¿A qué hace referencia esta teoría y por qué se aplica? Un problema dual
(programación lineal) se origina de otro problema de programación lineal y el
resultado de ambos problemas generará el mismo resultado, que enfocados en el
campo de la investigación de operaciones en las empresas se trata de buscar los
mejores resultados en ciertos procesos problemáticos.
En el trabajo que se presenta a continuación, revisaremos cuáles son las principales
razones por las cuales se aplica ésta teoría y además se presentarán los pasos que
se deben cumplir para la resolución de problemas.
Asimismo, se explicará el proceso necesario para lograr hacer un análisis de
sensibilidad, en el que se consideran específicamente las variables importantes de
un problema en estudio.
Por otra parte, se planteará el Modelo de Transporte, aplicado normalmente para
abordar problemáticas dirigidas principalmente a la movilización/distribución de
materia prima o productos terminados desde unos puntos orígenes hasta otros
puntos denominados destinos. Para ello, se abordarán diferentes métodos que
buscan optimizar este proceso reduciendo los costos que se derivan de ésta
operación; los métodos que se estarán trabajando son: Esquina noroeste, Costo
Mínimo, Método de Vogel.
Y Finalmente se estudian los métodos que permite hacer pruebas para determinar
si una solución es factible o no óptima: Método del banquillo y de los multiplicadores.

4. 4
Teoría de Dualidad
Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de
programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el
problema asociado (sombra) es llamado el problema PRIMO. Los dos juntos son
llamados problemas duales ya que ambos están formados por el mismo conjunto
de datos. La solución básica factible óptima de estos problemas es tal que una
puede fácilmente ser usada para la solución de la otra. La dimensión del problema
de programación lineal influencia la elección del cálculo del primo o del dual.
Si el primo tiene más ecuaciones que variables, es frecuentemente más fácil obtener
la solución del dual ya que menor número de iteraciones son requeridas. Además
si el primo tiene solución, el dual tendrá solución. Una vez que el problema dual es
formulado, el procedimiento de solución es exactamente el mismo que para
cualquier problema de programación lineal.
Relaciones entre modelo dual y primal
En el desarrollo de la Programación Lineal, se descubrió la existencia de un
problema que se encuentra estrechamente relacionado con un problema de
Programación Lineal dado: Dicho problema se denominó Problema dual. Cada
problema dado (problema principal, problema primo, problema primero), de
programación lineal, tiene un problema dual que tiene las siguientes características:
1) En problemas de gran número de restricciones, resolver el problema dual en la
computadora es más eficiente que resolver el problema principal.
2) En algunas ocasiones resulta más sencilla la resolución del problema dual que la
del problema principal, en términos de menor número de iteraciones.
3) Los valores óptimos de las variables del dual, proporcionan una interpretación
económica del problema principal.
4) Algunas veces se puede evitar el uso de variables artificiales (superávit),
mediante la aplicación del método de solución denominado Dual-Simplex
5) Facilita el estudio del impacto sobre la optimalidad por cambios en el problema
original.
Al respecto, Hillier y Lieberman señalan que entre las relaciones más importantes
entre los problemas primal y dual se encuentran:

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Propiedad de dualidad débil. Si x es una solución factible para el problema primal y
y es una solución factible para el problema dual, entonces cx<=yb
Propiedad de dualidad fuerte: Si x* es una solución óptima para el problema primal
y y* es una solución óptima para el problema dual, entonces cx*=y*b
Estas dos propiedades implican que cx<yb para soluciones factibles si una o ambas
son no óptimas para sus problemas respectivos, mientras que la igualdad se cumple
cuando ambas son óptimas.
La propiedad de dualidad débil describe la relación entre cualquier par de soluciones
de los problemas primal y dual en donde ambas soluciones son factibles para sus
problemas respectivos. En cada iteración, el método simplex encuentra un par
específico de soluciones para los dos problemas, donde la solución del problema
primal es factible pero la del dual es no factible (excepto en la última iteración). La
siguiente propiedad describe esta situación y la relación entre este par de
soluciones.
Propiedad de soluciones complementarias: en cada iteración, el método simplex
identifica de manera simultánea una solución EV, x, para el problema primal y una
solución complementaria, y , para el problema dual (que se encuentra en el renglón
0, como los coeficientes de las variables de holgura), donde cx=yb
Si x no es óptima para el problema primal, entonces y no es factible para el problema
dual.
Propiedad de soluciones complementarias óptimas: Al final de cada iteración, el
método simplex identifica de manera simultánea una solución óptima x* para el
problema primal y una solución óptima complementaria y* para el problema dual
(que se encuentra en el renglón 0 como los coeficientes de las variables de holgura),
donde cx*=y*b
Propiedad de simetría: En el caso de cualquier problema primal y su problema dual,
las relaciones entre ellos deben ser simétricas debido a que el dual de este
problema dual es este problema primal.
Teorema de la dualidad: Las siguientes son las únicas relaciones posibles entre los
problemas primal y dual
Si un problema tiene soluciones factibles y una función objetivo acotada (y por ende,
una solución óptima), entonces ocurre lo mismo con el otro problema, de manera
que se aplican tanto la propiedad de dualidad débil como la fuerte.
Si uno de los problemas tiene soluciones factibles y una función objetivo no acotada
(es decir, no tiene solución óptima), entonces el otro problema no tiene soluciones
factible.

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Si un problema no tiene soluciones factibles, entonces el otro problema no tiene
soluciones factibles o bien la función objetivo es no acotada.
Razones para llevar a cabo un análisis de sensibilidad
Los principales motivos por los cuales se decide aplicar un análisis de sensibilidad
a determinada situación son que:
– Es un método para predecir el resultado de una decisión si una situación resulta
ser diferente al compararla con las predicciones claves.
– Ayuda a evaluar el riesgo de una estrategia.
– Sirve para identificar qué tan dependiente es el resultado con respecto a una
variable particular de entrada. Analiza si la dependencia ayuda a evaluar el riesgo
asociado.
– Ayuda a tomar decisiones informadas y apropiadas.
– Sirve para buscar errores en el modelo, al encontrar relaciones inesperadas entre
las entradas y los resultados.
Procedimiento para el análisis de sensibilidad
Con respecto al procedimiento para el análisis de sensibilidad, López Daniel, señala
que después de que se ha obtenido la solución óptima por el método Simplex-Dual
puede darse el caso de que uno o varios parámetros del problema de programación
lineal se cambien dando origen a la solución de un nuevo problema. Sin embargo
aplicando la técnica de análisis de sensibilidad no es necesario resolver el ejercicio
desde un principio.
La utilidad de un análisis de sensibilidad en programación lineal permitirá obtener
una interpretación razonable de los resultados ya obtenidos, en cierto sentido este
análisis de sensibilidad convierte una solución estática de los modelos de
programación lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones
faltantes.
En general se supone que todos los parámetros del modelo son conocidos, pero
ocurre que en realidad en la mayoría de los casos son estimaciones. Por todo esto
es que el análisis de sensibilidad se convierte en una pieza importante para la toma
de decisiones. El análisis de sensibilidad permite ver que efecto tienen sobre la
solución óptima el hecho que los valores de los parámetros cambien.
En general es necesario:
 Determinar los parámetros que si cambian producen cambios en la solución
óptima.

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 Determinar el intervalo de valores para que no cambie la solución óptima
(intervalo permisible)
 Determinar el intervalo de valores para que la solución siga siendo factible.
 En definitiva, interesa saber qué tan sensible es la solución óptima a los datos
inexactos.
Definición y estructura del modelo de transporte
Modelos de Transportes Balanceados y no balanceados
La red que se presenta en la figura anterior ilustra el problema. Hay m orígenes y n
destinos, cada uno representado por un nodo. Los arcos representan las rutas que
unen los orígenes con los destinos. El arco (i,j) que une el origen i con el destino j
transporta dos piezas de información: el costo de transporte por unidad, cij y la
cantidad transportada, xij. La cantidad de la oferta en el origen i es ai y la cantidad
de la demanda en el destino j es bj. El objetivo del modelo es minimizar el costo de
transporte total al mismo tiempo que satisfacen las restricciones de la oferta y la
demanda.
Ejemplo:
La compañía transportista cobra 8 centavos por milla por automóvil. En la tabla
anterior se reflejan los costos de transporte por automóvil en las diferentes rutas,
redondeados al dólar más cercano. El modelo de Programación Lineal del problema
es:
Distancia en millas

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Todas estas restricciones son ecuaciones porque la oferta total desde los tres
orígenes (=1000+1500+1200=3700 automóviles) es igual a la demanda total en los
destinos (=2300+1400= 3700)
La estructura especial del problema de transporte permite una representación
compacta el problema utilizando el formato tabla de transporte (ver tabla de Modelo
MODELO DE TRANSPORTE MG
COSTO DE TRANSPORTE POR AUTOMOVIL

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de transporte). Este formato permite modelar muchas situaciones que no tienen
que ver con bienes de transporte.
La solución óptima para el ejemplo anterior envía 1000 automóviles de Los Ángeles
a Denver (x11=1000), 1300 de Detroit a Denver (x21=1300), 20 de Detroit a Miami
(x22=200) y 1200 de Nueva Orlans a Miami (x32=1000). El costo de transporte
mínimo asociado se calcula como 1000*$80+1300*$100+200*$108+1200*$68=
$313.200,00
Balanceo del modelo de transporte
La representación de la tabla transporte asume que el modelo esta balanceado, es
decir, que la demanda total es igual a la oferta total. Si el modelo está
desbalanceado, podemos agregar un origen o un destino ficticios para restaurar el
balance.
Ejemplo: En el modelo de MG, suponga que la capacidad de la planta de Detroit es
de 1300 automóviles (en lugar de 1500). La oferta total (=3500) es menor que la
demanda total (=3700) lo que significa que no se satisfará una parte de la demanda
en Denver y Miami. Como la demanda excede la oferta, se agrega un origen (planta)
ficticio con una capacidad de 200 automóviles (=3700-3500) para balancear el
modelo de transporte. El costo de transporte por unidad de la planta ficticia a los
destinos es ero porque la planta no existe.

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La tabla anterior da el modelo balanceado junto con su solución óptima. La solución
muestra que la planta ficticia envía 200 automóviles a Miami, es decir que a Miami
le faltarán 200 automóviles para satisfacer su demanda de 1400 automóviles.
Podemos estar seguros de que un destino específico no experimente escases al
asignar un costo de transporte por unidad muy alto desde el origen ficticio a dicho
destino. Por ejemplo una penalización de $1000 en la celda ficticia de Miami evitará
que haya escasez en Miami. Desde luego, no podemos utilizar este artificio con
todos los destinos, porque debe haber escasez en alguna parte. El caso en que la
oferta excede la demanda se puede demostrar asumiendo que la demanda en
Denver es de sólo 1900 automóviles. Entonces, tenemos que agregar un centro
de distribución ficticio para que “reciba” la oferta excedente. De nuevo el costo de
transporte por unidad al centro de distribución ficticio es cero, a menos que una
fábrica “envía todas sus existencias”. En este caso, se asigna un costo alto de
transporte por unidad de la fábrica designada al destino ficticio tal y como se observa
en la siguiente tabla:

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Técnicas para la solución del problema de transporte
Método de la esquina noroeste
El método se inicia en la celda de la esquina noroeste (ruta) de la tabla (variable
x11).
Paso 1. Asigne lo más posible a la celda seleccionada, y ajuste las cantidades
asociadas de oferta y demanda restando la cantidad asignada.
Paso 2. Tache la columna o fila con oferta o demanda cero para indicar que no se
hagan más asignaciones en esa fila o columna. Si una fila y una columna den cero
al mismo tiempo, tache sólo una, y deje una oferta (demanda) cero en la fila
(columna) no tachada.
Paso 3. Si se deja sin tachar exactamente una fila o columna, deténgase. De lo
contrario, muévase a la celda a la derecha si acaba de tachar una columna, o abajo
si acaba de tachar una fila. Vaya al paso 1.
Método del costo mínimo
El método del costo mínimo determina una mejor soluci´n iicial al concentrarse en
las rutas más económicas. Asigna lo más posible a la celda con el costo unitario
mínimo (los empaques se rompen arbitrariamente). Luego se tacha la fila o columna
satisfecha y se ajustan las cantidades de oferta y demanda cmo corresponda. Si
una fila o una columna se satisfacen al mismo tiempo, solo se tacha una, igual que
en el método de la esquina noreste. A continuación, seleccione la celda no tachada
con el costo unitario mínimo y repita el proceso hasta que se deje sin tachar
exactamente una fila o una columna.
Método de aproximación de Vogel (MAV)
Este método es una versión mejorada del método del costo mínimo que por lo
general, pero no siempre, produce mejores soluciones iniciales.
Paso 1: Para cada fila (columna) determine una medida de penalzación restando el
elemento de costo unitario mínimo en la fila (columna) del siguiente elemento de
costo mínimo en la misma (columna)
Paso 2. Identifique la fila o columna con la penalización máxma, que rompa los
empates arbitrariamente Asigne lo más posible a la variable con el costo unitari
mínimo en la fila o columna seleccionada. Ajuste la oferta y la demanda, y tache la
fila o columna satisfecha. Si una fila y una columna se satisfacen al mismo tiempo,
sólo se tacha una de las dos, y a la fila restante (columna) se le asigna una oferta
(demanda) cero.
Paso 3.
(a) Si exactamente una fila o columna son oferta o demanda cero permanece sin
tachar, deténgase.

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(b) Si una fila (columna) con oferta (demanda) positiva permanece sin tachar,
determine las variables básicas en la fila (columna) mediante el método del
costo mínimo. Deténgase.
(c) Si todas las filas y columnas no tachadas tienen oferta y demanda cero
(restantes), determine las variables cero por el método del costo mínimo.
Deténgase.
(d) De lo contrario, vaya al paso 1
Pruebas para determinar si una solución básica es factible o no óptima
Método del banquillo
La forma de verificar si la solución actual puede mejorarse es examinar las variables
no básicas actuales (casilleros vacíos) en busca de mejoras potenciales en el valor
de la función objetivo. Si existe una de tales variables, será la variable que entra, en
cuyo caso una de las variables básicas actuales debe dejar la solución (como en el
método simplex).
A fin de determinar la variable que entra y la que sale, se identifica un circuito
cerrado para cada variable no básica. El circuito comienza y termina con la variable
no básica designada. Un circuito consiste en segmentos horizontales y verticales
sucesivos (conectados) cuyos puntos extremos deben ser variables básicas
(casilleros llenos), excepto para los 2 segmentos de inicio y terminación en la
variable no básica.
El circuito se utiliza para comprobar si el valor de la función objetivo puede mejorarse
cuando la variable no básica se aumenta sobre su valor actual de cero. El
procedimiento consiste en encontrar el aumento o disminución en el costo de
transporte como resultado de aumentar unidades en la variable no básica
investigada.
Este valor se encuentra asignando signos positivos y negativos alternos en los
costos asociados a las variables que forman el circuito, empezando con el costo de
la variable no básica. La suma de los costos del circuito puede hacerse en el sentido
de las manecillas del reloj o en sentido contrario.
El resultado obtenido en la suma de los costos del circuito puede ser positivo o
negativo. Si es positivo indica que el asignar unidades a la variable que se está
considerando aumenta el costo total de transporte. Pero si este valor es negativo,
la solución puede mejorarse asignado a la variable no básica el valor más pequeño
de las variables que deben reducir su valor en el circuito que se está considerando.
El procedimiento termina hasta que todas las variables no básicas tienen valor
positivo en la suma de los costos del circuito.

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Método de los multiplicadores
Este método reproduce interacciones parecidas al método del banquillo. La principal
diferencia ocurre en la forma en que las variables no básicas se evalúan en cada
iteración. Para cada fila i existen multiplicadores con la variable 𝑢𝑖; similarmente
para cada columna j existen multiplicadores con la variable 𝑣𝑗 . En donde, para cada
variable 𝑥𝑖𝑗 de la solución actual se aplica la ecuación 1 y de la misma manera para
cada variable no básica se aplica la ecuación 2.
Dónde:
𝑢𝑖 = Variable multiplicadora de la fila
𝑣𝑗 = Variable multiplicadora de la columna
𝐴𝐹𝑖𝑗 = Criterio de factibilidad
Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de las
ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores
(usualmente se establece 𝑢1 = 0 ; 𝑢1 = 10 ) cualquiera de los dos valores, y
resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar los multiplicadores
desconocidos. El circuito comienza en la variable no básica con signo positivo y
termina con la misma variable no básica designada. Un circuito consiste en
segmentos con signos alternados (conectados) solo con las variables básicas.
Ejemplo
Una fábrica dispone de tres centros de distribución A, B y C cuyas disponibilidades
de materia prima son 100, 120 tm respectivamente. Dicha materia prima debe ser
entregada a cinco almacenes I, II, III, IV y V, los cuales deben de recibir en su orden
40, 50, 70, 90 y 90 tm. Determinar una solución que optimice el costo de envío.

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Como se observa en la tabla anterior el problema está balanceado, es decir, el total
de la oferta es igual al total de la demanda.
Aplicación: Método esquina noroeste
Costo inicial= 40(10)+50(20)+10(5)+60(8)+60(30)+30(10)+90(4)=4390

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Aplicación Método Multiplicadores
Aplicación costo mínimo óptimo

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Interpretación:
El costo óptimo es de $ 2190, con las siguientes asignaciones:
 La fábrica 1 debe entregar al cliente 3, 70 de materia prima (tm) a un precio
de 5 dólares y al cliente 4 entrega 30 tm a un precio de 9 dólares.
 De la fábrica 2 al cliente 1, 40 tm a un precio de 2 dólares, al cliente 2 entrega
50 tm a un precio de 10 dólares y al cliente 5 entrega 30 tm a un precio de 5
dólares.
 De la fábrica 3 al cliente 4 entrega 60 tm a un precio de 10 dólares y al cliente
5 entrega 60 tm a un precio de 4 dólares; para obtener un costo mínimo
óptimo de 2190

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CONCLUSIÓN
En la investigación presentada se abordaron distintas temáticas referentes a la
programación lineal dirigida a ofrecer posibles soluciones a las problemáticas
presentadas por determinada organización, en este sentido, haremos un conjunto
de precisiones al respecto:
 Los modelos, métodos y técnicas presentadas están basados en modelos
matemáticos, los cuales buscan dar un resultado concreto a la problemática
planteada.
 En el análisis de sensibilidad apoya al proceso de toma de decisiones porque,
entre otras cosas permite predecir comportamiento de variables antes que se
tomen las decisiones definitivas por parte de los gerentes de una
organización.
 En el modelo de transporte, se busca optimizar la movilización de los
recursos (materia prima, productos terminados entre otros) con el propósito
de reducir los costos que por este motivo pudieran afectar a la empresa.
De acuerdo a lo planteado, es importante que las organizaciones empleen este tipo
de modelos en sus principales operaciones al momento de hacer una importante
toma de decisiones, pues estas no deberían tomarse de manera empírica sino
basadas en datos científicos que apunten al logro de objetivos, pues una mala
decisión puede afectar seriamente el desemeño futura de la organización.

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BIBIOGRAFÍA
 Hiller Frederic , Lieberman Gerald. Introducción a la investigación de
Operaciones. Novena Edicion. Mc Graw Hill. México 2010
 López Daniel, Investigación de Operaciones I. Instituto tecnológico de El
Mante.
 Valencia Nuñez Edison Roberto. Investigación Operativa. Universidad
Técnica de Ambato. Ecuador