Este documento presenta el modelo dual de programación lineal. Explica cómo construir el problema dual a partir del problema primal asignando variables duales a cada restricción primal y construyendo restricciones duales para cada variable primal usando los coeficientes. También muestra un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de construcción del problema dual a partir del problema primal original. Luego, introduce el modelo de transporte como un problema de minimización de costos sujeto a restricciones de oferta y demanda en nodos de origen y destino.

1. UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA: INGENIERÍAEN SISTEMAS
Curso: Investigación de Operaciones
Catedrático: Ing. Noé Abel Castillo Lemus
MODELO O
METODO DUAL
MODELO DE
TRANSPORTE

2. DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL
 El problema dual se define sistemáticamente a
partir del modelo de PL primal (u original).
 Nuestra definición del problema dual requiere
expresar el problema primal en la forma de
ecuación que se presentó en la sección 3.1
(todas las restricciones son ecuaciones con
lado derecho no negativo, y todas las variables
son no negativas). Este requerimiento es
consistente con el formato de la tabla inicial
simplex.

3. DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL
 Las ideas clave para construir el dual a partir del primal se resumen como
sigue:
 1. Asigne una variable dual por cada restricción primal.
 2. Construya una restricción dual por cada variable primal.
 3. Los coeficientes de restricción (columna) y el coeficiente objetivo de la
variable primal j-ésima definen respectivamente los lados izquierdo y derecho
de la restricción dual j-ésima.
 4. Los coeficientes objetivo duales son iguales a los lados derechos de las
ecuaciones de restricción primales.
 5. Las reglas que aparecen en la tabla 4.1 rigen el sentido de optimización, la
dirección de las desigualdades y los signos de las variables en el dual. Una
forma fácil de recordar el tipo de restricción en el dual (es decir,# o $) es que
si el objetivo dual es de minimización (es decir, apunta hacia abajo), entonces
todas las restricciones serán del tipo $ (es decir, apuntan hacia arriba).

4. DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL
 Los siguientes ejemplos demuestran en la
tabla 4.1 el uso de las reglas; incluso,
muestran que nuestra definición incorpora
automáticamente todas las formas del primal.

5. Problema Dual Primal. Ejemplo
Problema primal y
original
Maximizar:
 Z=5x1 + 12x2 + 4x3
 x1 + 2x2 + x3 <= 10
 2x1 - x2 + 3x3 = 8
 x1, x2, x3 >=0
Problema primal
Forma de Ecuación
Maximizar:
 Z=5x1 + 12x2 + 4x3 + 0x4
 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10
 2x1 - x2 + 3x3 + 0x4 = 8
 x1, x2, x3 , x4 >=0

6. Problema Dual Primal. Ejemplo
Problema primal
Forma de Ecuación
Maximizar:
 Z=5x1 + 12x2 + 4x3 + 0x4
Sujeto a:
 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10
 2x1 - x2 + 3x3 + 0x4 = 8
 x1, x2, x3, x4>=0
Variable dual para
restricción primal
Maximizar:
Variable dual y1 Para la
restricción x1 + 2x2 + x3
+ x4 = 10; 10y1
 Variable dual y2 Para
la restricción 2x1 - x2
+ 3x3 + 0x4 = 8: 8y2=

7. Construcción de una tabla para cada
variable primal
Variable primal Restricción Dual Lado Izquierdo Lado derecho
X1 1 Y1 + 2Y2 5
X2 2 2Y1 – Y2 12
X3 3 Y1 + 3Y2 4
X4 4 Y1 + 0Y2 0

8. Uso de la reglas de la tabla
 Se minimiza: W = 10y1 + 8y2
 y1 + 2y2 >= 5
 2y1 - y2 >= 12
 y1 + 3y2 >= 4
 y1 >= 0
 y2 = Irrestricta

9. Modelo de transporte
La red que aparece en la figura 5.1 representa el
problema. Hay m orígenes y n destinos, cada uno
representado por un nodo. Los arcos representan las
rutas que unen los orígenes con los destinos. El arco
(i, j) que une el origen i con el destino j transporta
dos piezas de información: el costo de transporte por
unidad, cij y la cantidad transportada, xij. La
cantidad de la oferta en el origen i es ai y la cantidad
de l demanda en el destino j es bj. El objetivo del
modelo es minimizar el costo de transporte total al
mismo tiempo que se satisfacen las restricciones de
la oferta y la demanda.

10. Modelo de transporte. Ejemplo
 MG Auto cuenta con tres plantas en Los
Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns, y dos
importantes centros de distribución en Denver
y Miami. Las capacidades trimestrales de las
tres plantas son 1000, 1500 y 1200
automóviles, y las demandas de los dos
centros de distribución durante el mismo
periodo son de 2300 y 1400 automóviles. La
distancia en millas entre las plantas y los
centros de distribución aparece en la tabla 5.1.

11. Modelo de transporte. Ejemplo