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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en
distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
PROBLEMA: Hallar el área de un libro rectangular que mide 17.20 cm por 15.5 cm.
Cuando se multiplica un número decimal por otro número decimal, el resultado tendrá la
suma de las cifras decimales de los dos factores.
Multiplicando 1 7 . 2 0 2 cifras decimales.
Multiplicador x 1 5 . 5 + 1 cifra decimal.
8 6 0 0 3 cifras decimales.
8 6 0 0
1 7 2 0
Producto 2 6 6 . 6 0 0
El resultado siempre tendrá la suma de las cifras decimales de los dos factores:
2.5 x 1.50 = 3.750 60 x 2.40 = 144.00 7.25 x 0.06 = .4350
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa la siguiente tabla de multiplicación. Realiza las operaciones en el espacio de
abajo.
Por 2.1 2.5 3.13
2.1 4.41
2.5
3.13
BLOQUE 3
76
2.- Encuentra el total del costo de gasolina que se pide, si sabemos que 1 litro cuesta
$ 7.12. Representa la información en la siguiente tabla. Haz las operaciones enseguida.
LITROS 1 10 15 20 25
COSTO $ 7.12
3.- Elabora una tabla en donde representes cada uno de los siguientes problemas y
resuélvelos.
1.- El kilogramo de jabón para lavar ropa cuesta $ 23.75, ¿cuál es el precio de 2, 3, 4, 5
kilogramos?
2.- Una bicicleta recorre 270.3 metros por minuto. ¿Qué distancia recorrerá en 2 minutos,
en 2.5 minutos, y en 3.5 minutos?
Tiempo (min)
Distancia (m)
77
4.- Hallar el área de las siguientes figuras con las dimensiones que se señalan.
a) Credencial de elector. b) Calculadora.
5.- Resuelve los siguientes problemas.
13.1 cm
7.3 cm
5.4 cm
8.6 cm
1.- Omar compró 3.5 kg de manzanas a
$23.90 el kilo. ¿Cuánto pagó por las
manzanas? _____________
2.- Axel compró 3 televisiones y 1
grabadora. Si cada televisión cuesta
$1380.25 y la grabadora tiene un precio de
$872.50. ¿Cuánto pagó en total? _______
3.- El siguiente letrero está instalado en el
banco: DÓLAR VENTA: $ 13.75
Teodoro compra 450 dólares.
¿Qué cantidad tiene que dar? __________
4.- Completa la tabla que representa la
variación de gasolina que consume un
automóvil al recorrer cierta distancia:
LITROS 1 3.5 5.5
Km 14.25
5.- Para hacer un vestido se utilizaron 2.7
metros de tela. Si cada metro cuesta
$34.70, ¿cuánto se gastó en la compra de
la tela?____________
6.- La mamá de Luis va a comprar en El
Paso una grabadora que le cuesta 98.75
dólares. Si el dólar está a $13.70,
¿cuántos pesos tuvo que dar para comprar
los dólares? ____________
78
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional.
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
PROBLEMA: Una liga se ha estirado 3.3 veces su tamaño original. ¿Cuál es el tamaño
original de la liga, si ésta se ha estirado totalmente hasta alcanzar 13.86 centímetros de
largo?
Las partes de una división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo.
Cociente
3.3 13.86 = 33 138.6 Dividendo
Divisor
Residuo
Otras maneras de representar una división son las siguientes:
13.86
3.3
= 13.86 ÷ 3.3 =
La PROPIEDAD anterior se relaciona con la equivalencia de fracciones. EJEMPLO:
13.86
3.3
=
13.86 𝑥 3
3.3 𝑥 3
=
41.58
9.9
13.86
3.3
= 4.2
41.58
9.9
= 4.2
Si tanto el numerador como el denominador se multiplican por el mismo número el
resultado no cambia.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes divisiones hasta que el residuo resulte cero y encuentra como
resultado un número decimal.
2 7 4 9 2 1 1.4 4 1 3.2 5 6 .1
4. 5 ÷ 4 = ______ 5 7 1
111
6
=
340
8
=
57.2
6
=
0
06 6
4.2
PROPIEDAD: Si el dividendo y el
divisor se multiplican por la misma
cantidad, el resultado no cambia.
3.3 x 10 = 33
13.86 x 10 = 138.6
Recorremos el punto una cifra a la
derecha en el multiplicando y en el
multiplicador.
-132
-6 6
79
2.- Resuelve las siguientes divisiones. Escribe correctamente el punto decimal subiéndolo
directamente del dividendo al cociente.
4 5 3 . 2 5 7 1 . 5 6 5 8 . 5 7 0 . 9 9 4
13.5
20
=
3.- Resuelve los siguientes problemas.
8.9 m
8 m
1.- Un obrero en U.S.A, por 5 horas de
trabajo se le paga 22.50 dólares. ¿Cuánto
recibe por hora trabajada?________
3.- Un obrero en Chihuahua se le paga 93.60
pesos por 8 horas de trabajo. ¿Cuánto recibe
por cada hora?___________
5.- ¿Cuál es el área de un jardín que tiene
forma de triángulo con las siguientes
dimensiones?__________
2.- ¿Cuánto mide el ancho del siguiente
rectángulo?_______________
4.- Iván invirtió su dinero en una caja de
ahorros que al año le retribuyó 3 veces más
lo invertido. Si al final del año le entregaron
$25,069.50, ¿cuánto dinero invirtió
inicialmente?_______________
6.- En la tienda de Don Tino venden 5
kilogramos de tomate en $63.75. ¿Cuánto se
pagará por 1.5 kg?___________
221.4 cm²
18 cm
80
4.- Encuentra el término que falta en cada una de las siguientes fracciones equivalentes.
3
4
=
12
5
6
=
42
13
3
=
21
12
7
=
175
2
5
=
18.5
2
4
=
10.4
6
6
=
25.2
14
2
=
12.6
1.5
4.2
=
10.5
2.5
2.2
=
4.84
4.4
2.2
=
14.08
2.5
23.75
=
99.75
5.- Para la fiesta de navidad, la maestra repartió
3
4
de pastel para varios alumnos del
grupo. Para repartírselo en cantidades iguales lo pudieron haber cortado de diferentes
maneras. Escoge las tres maneras equivalentes en que pudieron cortar el pastel.
a)
4
5
,
5
6
y
6
7
b)
3
4
,
6
6
y
6
8
c)
6
8
,
9
12
y
12
16
d)
6
4
,
9
4
y
12
4
6.- Considera que los siguientes dibujos están hechos a escala. Encuentra la medida del
lado que falta en cada uno de ellos. Utiliza el factor constante.
d 8.7
33.16
c
29.6
46.221
a
84
3
6.9
b4
3
81
6.- Para resolver un problema es necesario hacer la siguiente división:
689.70 ÷ 27.50 =
¿Cuál de las siguientes operaciones está resuelta correctamente?........................... (____)
a) b) c) d)
25 508 25.08 2.053
2750 68970 2750 6897000 2750 68970 2750 68.970
13970 13970 13970 14 97
0220 022000 22000 1 020
0000 000 195
7.- Observa la siguiente cotización del dólar frente al peso:
Dólar Venta
Menudeo 13.02 M.N
Si Mario cambia 700 pesos a dólares, ¿qué cantidad recibe?.................................... (____)
a) 53.76 dólares b) 537.63 dólares c) 52.85 dólares
8.- Resuelve los siguientes problemas.
x
16.50 m
1.- Por el uso de 12 meses del seguro del
carro Iván ha pagado $2470.08 ¿Cuánto
paga mensualmente?___________
3.- La siguiente figura representa a una
barda que se ha seccionado en partes
iguales para colocar anuncios. ¿Cuánto
mide la parte señalada por la
letra?_______________
2.- Omar compró en la tienda 6 yogurt por los
que pagó $23.94 ¿Cuál es el precio de 1
yogurt?_____________
4.- La señora Holguín pagó la cantidad de
$4152.75 durante 21 quincenas por la compra
de una televisión. ¿Cuánto pagó cada
quincena?_____________
82
PATRONES Y ECUACIONES
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones
de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la
igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
ECUACIONES: Las ecuaciones nos sirven para plantear y resolver problemas cuando los
procedimientos aritméticos se dificultan.
Para resolver un problema necesitamos:
a) Representar el valor desconocido con una literal o letra.
b) Plantear la ecuación correspondiente.
c) Resolver la ecuación.
EJEMPLOS de problemas en los que se puede plantear una ecuación:
PROBLEMA ECUACIÓN
Pienso un número. Cuando le sumo 13, obtengo 72.
¿Cuál es ese número?
x + 13 = 72
Pienso un número. Cuando le resto 578 obtengo 470.
¿Cuál es ese número.
x – 578 = 470
¿Cuál es el número que sumándole 75 nos resulta 193? x + 75 = 193
¿Cuál es el número que si lo multiplico por 3 y le resto 25 obtengo 5? 3x - 25 = 5
3x significa 3 por x.
EL MODELO DE LABALANZA
El modelo de la balanza, es un método que nos sirve para comprender la forma en que se
resuelve una ecuación.
PROBLEMA: Resuelve por el modelo de la balanza la ecuación: x + 3 = 7
=
x + 3 = 7
-3 = - 3
x = 4
PRIMERO:Se representa la ecuación en una
balanza.
PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO
x + 3 = 7
x
SEGUNDO: Para dejar sola la x, quitamos
los 3 cuadros que están en el platillo del
primer miembro y para que la balanza siga
en equilibrio, quitamos también 3 cuadros de
los 7 que están en el platillo del segundo
miembro.
Resultado: x = 4
x =
83
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Escribe en la siguiente tabla la ecuación que se puede plantear para resolver cada uno
de los problemas de la tabla.
PROBLEMA ECUACIÓN
Pienso un número. Cuando le sumo 15 obtengo 36.
¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando le sumo 378 obtengo 1 026.
¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando le resto 9 obtengo 16.
¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando le resto 570 obtengo 425.
¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando le sumo 12 y le resto 15 obtengo
23. ¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando le aumento 25 y le resto 10
obtengo 230. ¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando le resto 6 y le sumo 7 obtengo 22.
¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando lo multiplico por 5 obtengo 35.
¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando lo multiplico por 3 obtengo 45.
¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando lo multiplico por 3 y le sumo 12
obtengo 24. ¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando lo multiplico por 7 y le sumo 75
obtengo 201. ¿Cuál es ese número?
Pienso un número. Cuando lo multiplico por 6 y le aumento 24
obtengo 114. ¿Cuál es ese número?
El triple de un número es igual 96. ¿Cuál es ese número?
El triple de la edad de Mario es igual a la de su papá. Si su
papá tiene 81 años, ¿qué edad tiene Mario?
2.- Contesta la siguiente pregunta:
Observa la siguiente ecuación:
3x = 51
¿Cuál de los siguientes problemas puede resolverse con dicha ecuación?................(____)
a) Luis tiene la cuarta parte de la edad de su papá. Si su papá tiene 51 años,
¿cuántos años tiene Luis?
b) Iván tiene que cumplir 3 años para tener la edad de su papá. Si su papá tiene 51
años, cuál es la edad de Iván?
c) El triple de la edad de Ismael es igual a la edad de su papá. Si su papá tiene 51
años, ¿cuántos años tiene Ismael?
d) María tiene 45 años y su papá tiene el triple de ésta, ¿cuántos años tiene María?
84
3.- Aplica el modelo de la balanza y resuelve las siguientes ecuaciones. Para indicar que
quitas cuadros en los dos miembros, lo que puedes hacer es tacharlos con una cruz.
x + 4 = 8 x + 7 = 12
x = _____ x = _____
x + 1 = 10 x + 5 = 5
x = _____ x = _____
x + 3 = 6 x + 6 = 10
x = _____ x = _____
x + 7 = 8 x + 4 + 2 = 7 + 5
x = _____ x = _____
x x
x x
x
x
x
x
85
4.- Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio:
¿Con cuál de las siguientes ecuaciones podemos encontrar el valor de x
que corresponde a cada una de las barras x en la balanza?.................................... (_____)
a) 10x + 2 = 11 + x b) 2x = x + 6 + 5 c) 2x + 10 = x + 11 d) 2x – 10 = x – 11
5.- Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio:
¿Con cuál de las siguientes ecuaciones podemos encontrar el valor de x
que corresponde a cada una de las barras x en la balanza?.................................... (_____)
a) 10x + 2 = 19 + x b) 2y = y + 14 + 5 c) 2x + 10 = x + 13 d) 2x + 10 = x + 19
6.- Si observas en lo que se ha hecho, se concluye que las ecuaciones tienen la siguiente
PROPIEDAD: si sumamos la misma cantidad al primer miembro y al segundo miembro, la
igualdad se mantiene, lo mismo que si les restamos, les multiplicamos o les dividimos.
Escribe enseguida la ecuación representada en la balanza y encuentra el valor de x.
=
x = ______
10 kg
x
x x
6 kg
5 kg
x x
x
6 kg
5 kg5 kg 5 kg
8 kg
x x
x
5 kg5 kg 5 kg
8 kg
5 kg
Ecuación: ________________
86
ECUACIONES DE UN PASO
Las ecuaciones de un paso son aquellas que pueden resolverse invirtiendo la operación
indicada. El modelo de la balanza nos ha servido para comprender lo que enseguida
vamos a hacer para resolver este tipo de ecuaciones.
ECUACIONES CON SUMA
PROBLEMA: ¿Cuál es el número que sumado con 375 es igual a 1 279?
Ecuación: x + 375 = 1 279
Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la x o dejarla sola lo que hacemos es
quitar 375 del primer miembro y para que la igualdad se conserve, también quitamos 375
del segundo miembro.
Esto es lo mismo que cambiar el 375 al segundo miembro pero con signo contrario, es
decir, que si está sumando lo cambiamos restando.
x + 375 = 1 279 Despejamos x, cambiando 375 al otro miembro.
x = 1 279 – 375 Hacemos la operación del segundo miembro.
x = 904
La comprobación la hacemos sumando: 904 + 375 = 1 279
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones como en el ejemplo.
x + 2 = 6 x + 5 = 8 x + 15 = y + 9 = 43
x = 6 – 2
x = 4
5 + x = 7 x + 32 = 69 y + 74 = 183 y + 465 = 1 280
x + 2.5 = 7.8 x + 13.50 = 16.92 a + 3.9 = 14.6 y + 15 = 20 + 40
87
2.- Plantea la ecuación correspondiente para cada uno de los siguientes problemas y
resuélvela para encontrar el resultado.
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones. Reduce haciendo las operaciones aritméticas
indicadas.
x + 12 = 25 + 5 x + 13 = 14 + 6 x + 14 = 30 + 5
y + 5 + = 49 y + 15 = 12 x + 3.8 = 5.2
1.- Pienso un número. Cuando le sumo 256
obtengo 468. ¿Cuál es ese número?
3.- Pienso un número. Cuando le aumento
12.5 obtengo 49.6 ¿Cuál es ese número?
5.- Iván tiene cierta cantidad de dinero que
juntándolo con los $12 380 que tiene su
hermana Vanesa hacen un total de $23 595.
¿Cuánto dinero tiene Iván?
2.- Rosa tiene un dinero para completar una
bicicleta que cuesta $1579. Si su mamá le
da $820 que son los que le faltan, ¿cuánto
dinero es lo que tiene Rosa?
4.- La suma de las edades de Amada y
Nena son 114 años. Si Amada tiene 59
años, ¿qué edad tiene su hermana Nena?
6.- Un carro está en cierto precio en el
mercado. Al venderlo le aumentan $18 894
por los que el comprador tiene que pagar en
total $144 854. ¿Cuál es el precio del carro
sin el impuesto correspondiente?
88
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
y + 45 = 52 x + 575 = 2 380 y + 8.3 = 13.9
x + 100 = 136 y + 3.45 = 9.86 x + 7 = 13
y + 7.52 = 9.95 x +
3
4
=
13
8
x +
7
6
=
9
4
5.- Plantea la ecuación correspondiente para que resuelvas cada uno de los siguientes
problemas.
1.- ¿Qué número es, al que si se le suma 28
da como resultado 64?
3.- ¿Qué número es, al que si se le suma 35
da como resultado 44?
5.- ¿Qué número es, al que aumentándole
28 da como resultado 64?
2.- Pienso un número. Cuando le sumo 12 y
le resto 8, obtengo 15. ¿Cuál es ese
número?
4.- ¿Qué número es, al que sumándole 3.5
da como resultado 8.9?
6.- Pienso un número. Cuando le aumento
20 y le resto 10, obtengo 100. ¿Cuál es ese
número?
89
ECUACIONES CON RESTA
PROBLEMA: Pienso un número. Cuando le resto 1810, obtengo 200.
¿Cuál es ese número?
Ecuación: x – 1 810 = 200
Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la x o dejarla sola lo que hacemos es
sumar 1 810 al primer miembro y para que la igualdad se conserve, también sumamos
1 810 en el segundo miembro.
x – 1 810 + 1 810 = 200 + 1 810 - 1 810 + 1 810 = 0
Esto es lo mismo que cambiar el 1 810 al segundo miembro pero con signo contrario, es
decir, que si está restando lo cambiamos sumando.
x - 1 810 = 200 Si está restando, lo cambiamos sumando al 2° miembro.
x = 200 + 1 810
x = 2 010
La comprobación la hacemos restando: 2 010 - 1 810 = 200
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones cambiando términos. Ejemplo.
x – 12 = 25 x – 7 = 18 x – 21 = 36 x – 17 = 20
x = 25 +12
x = 37
x – 3.6 = 8.1 y – 4.2 = 7.5 y – 3.5 = 9.2 x -
1
2
=
5
4
x – 17 = 6 y – 100 = 1 910 x – 75.9 = 12.8 x – 13.4 = 4.9 + 2.3
90
ECUACIONES CON MULTIPLICACIÓN
PROBLEMA: Pienso un número. Cuando lo multiplico por 5 obtengo 315.
¿Cuál es ese número?
Ecuación: 5y = 315 5y significa 5 por y.
Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la y o dejarla sola lo que hacemos es
dividir entre 5 el primer miembro y para que la igualdad se conserve, también dividimos
entre 5 al segundo miembro.
5𝑦
5
=
315
5
Se elimina el 5 porque
5
5
= 1
Esto es lo mismo que cambiar el 5 al segundo miembro pero con signo contrario, es decir,
que si está multiplicando lo cambiamos dividiendo.
5y = 315
y =
315
5
y = 63
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones. Realiza la transposición de términos. Ejemplo.
5x = 15 2x = 8 14x = 42 8x = 6
𝑥 =
15
5
x = 3
46x = 138 8x = 32 18x = 234 34x = 17
8x = 160 3x = 57 3x = 153 3x = 36
10x = 350 6x = 180 + 6 5x = 75 + 5 5x = 243 + 72
91
ECUACIONES CON DIVISIÓN
PROBLEMA: Pienso un número. Si lo divido entre 5 obtengo 15. ¿Cuál es ese número?
Ecuación:
𝑥
5
= 15
Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la “x” o dejarla sola lo que hacemos
multiplicar por 5 el primer miembro y para que la igualdad se conserve, también
multiplicamos por 5 el segundo miembro.
𝑥(5)
5
= 15(5) Queda sola la x porque
5
5
= 1
Esto es lo mismo que cambiar el 5 al segundo miembro pero con signo contrario, es decir,
que si está dividiendo lo cambiamos multiplicando.
𝑥
5
= 15
x = 15(5)
x = 75
La comprobación la hacemos dividiendo: 75 ÷ 5 = 15
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones. Aplica la transposición de términos. Ejemplo.
𝑥
6
= 18
𝑥
7
= 12
𝑥
2
= 57
𝑥
4
= 25
x = (18)(6)
x = 108
𝑦
2.5
= 3.7
𝑎
2.6
= 4.3
𝑥
3.1
= 5.5
𝑦
16
= 16
𝑥
25
= 25
𝑥
14
= 14
𝑦
100
= 1 000
𝑥
4
− 10 = 15
92
ECUACIONES DE LAFORMAax + b = c
PROBLEMA: Establece una regla general para resolver una ecuación de primer grado
con una incógnita.
1.- Efectuamos las operaciones aritméticas que haya.
2.- Hacemos la transposición de términos con signo contrario, reuniendo en un miembro
los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades
conocidas.
3.- Se reducen los términos semejantes en los dos miembros.
4.- Se despeja la incógnita y se resuelven operaciones para encontrar su valor.
EJEMPLO:
2x + 3 = 12 Comprobación:
2x = 12 – 3
2x = 9 2(4.5) + 3 = 12
x =
9
2
9 + 3 = 12
x = 4.5 12 = 12
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones.
5x + 2 = 17 2x – 6 = 8 46x = 90 + 45 + 5 – 2 2x = 84 + 8
3x + 30 = 87 3x = 156 – 3 5x = 243 + 72 3x = 12 + 48
10x + 13 = 63 5x – 12 = 20 2x – 124 = 430 + 22 10x = 16 + 64
93
FIGURAS Y CUERPOS
• Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un
lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la
circunferencia y el polígono inscrito en ella.
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES. CUADRADO, PENTÁGONO, ETC.
PROBLEMA: Dibuja un cuadrado a partir de un ángulo central en una circunferecncia.
Una manera de construir polígonos regulares tiene su base en lo siguiente:
Para trazar un pentágono dividimos 360° ÷ 5 = 72°, por lo que el ángulo central deberá
medir 72°.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- A partir de un ángulo central en la circunferencia, dibuja enseguida un cuadrado, un
pentágono y un hexágono regular.
Si tomamos con un compás en
la circunferencia la medida del
arco del ángulo central que de
90° y repetimos su trazo en la
circunferencia nos resultan 4
puntos que al unirlos se forma
un cuadrado.
Un ángulo central es el que
está formado por dos radios y
su vértice es el centro de la
circunferencia. Si los 360° de
la circunferencia los dividimos
entre 4 nos resulta un ángulo
de 90°.
La circunferencia es
una línea curva
cerrada cuyos puntos
están a la misma
distancia de un punto
llamado centro. Toda
circunferencia mide
360°.
90°
94
2.- Continúa en el siguiente diseño que representa a un jardín y dibuja un octágono
regular en el centro del dibujo.
PROBLEMA: Dibuja enseguida una circunferencia, señala en ella 3 puntos y únelos
para que formes un triángulo. Traza las mediatrices de los lados del triángulo que
formaste para que encuentres el centro del círculo donde se cruzan las mediatrices y
dibujes a partir de ahí un hexágono regular.
95
a
MEDIDA
• Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos
regulares.
FIGURA PERÍMETRO ÁREA
h P = 3(a)
x + 12 + x + 12 + x + x = 48
4x + 24 = 48
4x = 48 - 24
4x = 24
𝑥 =
24
4
x = 6
Ancho mide 6 cm Largo mide 12 = 18 cm
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- En los siguientes polígonos que representan a algunos objetos, se indican lagunas
medidas. Encuentra la medida que se pide en cada uno de ellos.
Window Picture
300 cm²
a
15 cm120 cm
85 cm
19 cm
x + 12
x P = 48
b
a
a
A =
𝑏ℎ
2
P = 4(a) A = a²
P = 2a + 2b A = (a)( b)
Podemos vincular las fórmulas de perímetros
y áreas de diferentes figuras con otros
conceptos como las ecuaciones.
PROBLEMA: Uno de los lados de un
rectángulo es 12 cm más largo que el otro y
su perímetro mide 48 cm. ¿Cuál es su largo?
Vitropiso
P = ________
A = ________
FÓRMULAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS
P = ________
A = ________ a = ________
P = ________
96
2.- Aplicando las fórmulas de perímetros y áreas, resuelve los siguientes problemas.
1.- Un jardín tiene forma de triángulo equilátero y su perímetro es de 36 metros.
¿Con cuál de los siguientes procedimientos se obtiene la medida de
uno de sus lados?......................................................................................................... (___)
a) b) l = 36 x 3 c) l =
3
36
d) l = 36l
2.- Una fuente de agua tiene forma de
triángulo equilátero y su perímetro es de 54 metros.
¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados?____________
40 m²
10 m
5
8 cm
12 m
a
24 cm468 cm²
b
25 cm
600 cm²
152 cm
70 cm
l =
36
3
P = ________
A = ________
b = ________
P = ________
Desk Credencial de elector
Book
a = ________
P = ________
P = ________
h = ________ A = ________
Garden
Fachada de una casa
97
3.- Un corral de vacas tiene forma de cuadrado y su perímetro es de 102.4 metros.
¿Con cuál de los siguientes procedimientos se obtiene la
medida de uno de sus lados? ……………………………………………………………… (___)
a) l =
4
102.4
b) l = 102.4 x 4 c) l =
102.4
4
d) l = 102.4l
4.- Un corral de vacas tiene forma de cuadrado y su perímetro es de 99 metros.
¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados?............................................................ (___)
a) 24 m
b) 24.75 m
c) 396 m
d) 98.01
5.- Dibuja todos los rectángulos posibles cuya área es de 24 unidades cuadradas y que
las medidas de sus lados sean enteras. Calculen el perímetro de cada uno de ellos.
Perímetros: ____________, _____________, _____________, _____________.
PROBLEMA 6.- La recámara de mi casa tiene forma de rectángulo y su perímetro es de
18 metros. ¿Cuánto mide de ancho si sabemos que de largo tiene 5 metros? __________
¿Con cuál de los siguientes procedimientos se puede obtener la medida del ancho?..(___)
a) b = 18 – 2 x 5 b) b =
18−(2 𝑥 5)
2
c) b =
18−(2 𝑥 5 )
4
d) 𝑏 =
18−8
3
b
a
98
7.- Un terreno tiene la forma
y dimensiones que se muestran enseguida
y un perímetro de 122 metros. ¿Cuál es la
medida del lado x?________
9.- El área de la guía de clase de
matemáticas es de 588 cm².¿Cuánto mide de
altura si sabemos que de base mide 21 cm?.
11.- El área de un cuadrado es de
36 cm². Si cada uno de los lados del cuadrado
aumenta 3 centímetros, ¿cuál será el área del
nuevo cuadrado?
13.- Para el cumpleaños de
Mariana se compró un pastel rectangular de
43 cm de largo y 860 cm² de área. Se piensa
partir por medio de una de sus diagonales.
¿Cuál es el ancho del pastel y el área de cada
uno de los triángulos resultantes?
x
19 m
37 m13 m
8.- Observa la siguiente tabla donde se
relacionan los datos de la base y el
perímetro de triángulos rectángulos:
BASE PERÍMETRO
4 u 12 u
6 u 18 u
15 u 45 u
Basados en la información de la tabla,
¿cuánto medirá la base cuando
el perímetro es de 75 unidades?.........(____)
a) 235 u
b) 24 u
c) 25 u
d) 30 u
10.- El área de un triángulo es de 20 cm², y
la altura es de 8 cm.
¿Cuánto mide su base? ________________
12.- Uno de los lados de un rectángulo es 3
cm más largo que el otro y su perímetro
mide 22 cm.
¿Cuánto mide su área?____________
14.- El área de un rectángulo es de 24 cm²,
y su largo es de 6 cm, ¿cuánto medirá el
área de un nuevo rectángulo si el largo y el
ancho se aumentan 4 cm?_____________
99
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores
constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
APLICACIÓN SUCESIVA DE FACTORES CONSTANTES
La aplicación sucesiva de factores constantes, consiste en aplicar varias reducciones o
varias ampliaciones a un objeto o a una figura, o aplicarle reducciones y ampliaciones.
PROBLEMA: A la figura A primero amplíala con una escala de 4 a 1 y enseguida
redúcela con una escala de 1 a 4.
4 a 1 =
4
1
= 4 veces más grande. 1 a 4 =
1
4
La cuarta parte de la figura.
Figura original Con escala de 4 a1 Con escala de
1
4
Al final la figura queda del mismo tamaño que la figura original.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Hazle 3 reducciones al siguiente cuadrado que mide 12 unidades por lado y que en
cada reducción pierda 3 unidades.
¿Cuál es la reducción total de la última con respecto a la primera? ______________
A
100
2.- Hazle 3 ampliaciones al siguiente cuadro que mide 2 unidades por lado y que en cada
ampliación aumente 4 unidades.
¿Cuál es la ampliación total de la última con respecto a la primera? ______________
3.- Amplia la siguiente figura con una escala de 3 a 1 ó
3
1
y enseguida redúcela con una
escala de 1 a 3 ó
1
3
.
¿Cuál es el efecto final de la figura en relación con la primera? _____________________
4.- Representa una fotografía que mide 6 unidades de largo por 4 unidades de ancho.
Redúcela con una escala de
1
2
y enseguida amplíala con una escala de 3 a 1.
¿Qué área tendrá al final la fotografía? ___________
101
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el
experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
PROBABILIDAD
Un juego de azar, es un evento en el que no estamos seguros de lo que va a suceder.
Un evento es determinista porque siempre estamos seguros de lo que va a suceder.
Un EJEMPLO de evento determinista es decir que mañana será viernes si hoy es jueves.
Un EJEMPLO de juego de azar es lanzar un volado, en donde no estamos seguros de lo
que va a caer.
Un juego de azar es equitativo, cuando las personas que participan tienen las mismas
posibilidades de ganar. EJEMPLO:
El juego entre dos personas lanzando una moneda, en la que una le va a que caiga sello
y la otra le va que caiga águila.
En este juego los dos tienen
1
2
de probabilidad de ganar, es decir, que el juego es
equiprobable porque ambos tienen la misma probabilidad.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Escribe en cada una de las siguientes rayas, si el evento al que se refiere es
determinista o de azar.
Decir que mañana va a llover __________________
Lanzar dos dados y decir que van a caer el 4 y el 2 __________________
Decir que mañana estará nublado __________________
Comprar un cachito de la lotería y decir que me voy a ganar un premio _______________
Meter las manos en agua para ver si se mojan __________________
Sacar 5 barajas y querer que me toquen 3 ases __________________
Decir que el profesor nació en un mes del año __________________
Jugar al dominó y esperar que me salga la mula de seis __________________
Meter las manos a la lumbre para ver si me quemo _______________________
Decir que en la palabra Matemáticas hay una letra e __________________
De una bolsa con cuatro canicas rojas, decir que al sacar una, ésta será roja
102
2.- Recuerda que la probabilidad es igual a: 𝑃 =
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
Los casos favorables es el número de oportunidades que tiene la persona de ganar.
El espacio muestral está constituido por todos los datos posibles de un evento.
Analiza los siguientes eventos o experimentos de azar y contesta lo que se te pide.
EVENTO 1.- Iván y Rosa lanzan un dado. Iván gana si obtiene el 6 en el tiro y Rosa gana
si obtiene el 3.
¿Con cuántos números puede ganar Iván en este juego? _________
Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Iván? ______
¿Cuántos números tiene un dado? ______
Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______
¿Cuál es la probabilidad de que gane Iván?
¿Con cuántos números puede ganar Rosa en este juego? _________
Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Rosa? ______
¿Cuál es la probabilidad de que gane Rosa?
¿Tienen ambos la misma probabilidad de ganar? _______
Realiza 6 lanzamientos con un dado para cada jugador y completa la tabla de frecuencias.
Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Iván
Rosa
EVENTO 2.- Omar y Ernesto juegan a lanzar una moneda. Omar gana si cae sello y
Ernesto gana si cae águila.
¿Con cuántas caras gana Omar? _____ ¿Cuántas caras tiene una moneda? ____
¿Cuál es la probabilidad de que gane Omar?
¿Cuál es la probabilidad de que gane Ernesto?
Realiza 6 lanzamientos con una moneda para cada jugador y completa la tabla de
frecuencias.
Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Omar
Ernesto
Ganador: ___________
Ganador: ___________
¿Quién crees
que gane?
¿Quién crees
que gane?
103
EVENTO 3.- Martha y Rosa juegan a lanzar un dado. Martha gana si cae uno de los
números 4, 5, o 6. Rosa gana si cae uno de los números 1 ó 2.
¿Con cuántos números puede ganar Martha en este juego? _________
Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Martha? ______
¿Cuántos números tiene un dado? ______
Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______
¿Cuál es la probabilidad de que gane Martha?
¿Con cuántos números puede ganar Rosa en este juego? _________
Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Rosa? ______
¿Cuál es la probabilidad de que gane Rosa?
Realiza 6 lanzamientos con un dado para cada jugador y completa la tabla de frecuencias.
Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Martha
Rosa
EVENTO 4.- Mario, Alonso y Fernando juegan al tiro de la rueda. Gana el que al tirar
rodando una piedra u otro objeto, este caiga en el número mayor.
¿Cuántos números tiene la rueda? ______
Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______
¿Cuál es la probabilidad de que gane cada uno de los participantes?
Realiza 6 lanzamientos con un objeto para cada jugador y completa la tabla.
Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Mario
Alonso
Fernando
1
2
3
4
6
5
8
7
Ganadora: ___________
Ganador: ___________
¿Quién crees
que gane?
¿Para quién
es injusto este
juego?
¿Quiéncrees que gane?
104
EVENTO 5.- Mario y Fernando juegan al TOMA TODO. Cada jugador tira una vez. Ganan
lo que la perinola les indique al terminar de dar vueltas. Las apuestas pueden ser las que
acuerden los jugadores (canicas, tasos, dulces, etcétera).
¿Cuántas caras tiene la perinola? ______
Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______
¿Cuál es la probabilidad de que Mario TOME TODO lo de la apuesta?
¿Cuál es la probabilidad de que TODOS PONGAN otra vez lo que están apostando?
EVENTO 6.- En un cajón tengo 4 pares de calcetines negros y 10 calcetines blancos.
¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 calcetín negro?
¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 calcetín blanco?
Haz 4 papelitos con la letra N y 10 papelitos con la B. Saca 6 veces un papelito y
regrésalo a su caja. Completa la tabla de frecuencias.
Extracción 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Papel negro
Papel blanco
EVENTO 7.- En una urna tengo 5 canicas rojas y 3 canicas blancas.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica blanca?
Haz 5 papelitos con la letra R y 3 papelitos con la B. Saca 6 veces un papelito y regrésalo
a su urna. Completa la tabla de frecuencias.
Extracción 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Papel rojo
Papel blanco
TOMA
TODO
TOMA
DOS
TOMA
UNO
TODOS
PONEN
PON
UNO
PON
DOS
Papel con mayores frecuencias:
___________________
¿Cuál saldrá más veces?
Papel con mayores frecuencias:
_______________
¿Cuál puede salir más
veces?_______________
105
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
• Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta
y relativa.
FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA
PROBLEMA: Encuentra en la siguiente lista la frecuencia absoluta y la relativa.
Edades de los alumnos que integran el equipo de basquetbol de la escuela federal 5:
14, 14, 13, 13, 13, 13, 13, 12, 12, 11.
La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato en una lista.
Una frecuencia absoluta en la lista es 5. Es decir 5 alumnos del equipo tienen 13 años.
La idea de frecuencia relativa se encuentra en el porcentaje de los alumnos que tienen 13
años del total de alumnos de la lista. Su frecuencia relativa es 50%. Es decir el 50% de
alumnos del equipo de basquetbol tienen 13 años.
Para encontrar el porcentaje lo hacemos con una regla de tres:
10 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠
100%
=
5 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠
𝑥
𝑥 =
5 𝑥 100
10
𝑥 =
500
10
x = 50%
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa la siguiente tabla y enseguida contesta las preguntas que se hacen.
Edades de los alumnos que integran el equipo de basquetbol de la escuela federal 5:
14, 14, 13, 13, 13, 13, 13, 12, 12, 11.
EDAD EN AÑOS FRECUENCIAABSOLUTA FRECUENCIARELATIVA %
14
13 5 50 %
12
11
¿Cuál es la edad con mayor porcentaje o índice? ______________
¿Cuál es el porcentaje o índice de los alumnos que tienen 12 años? _____________
¿Por qué en el equipo no habrá alumnos que tengan 15 años? _____________________
___________________________________________________.
¿Podrá el equipo de la federal 4 tener las mismas frecuencias absolutas y relativas? ____
106
2.- En la escuela se realizó una encuesta a un grupo de alumnos respecto a su taller
favorito y los resultados los presentaron en la siguiente tabla que todavía está incompleta.
Completa los datos que faltan en la tabla.
TALLER FRECUENCIAABSOLUTA FRECUENCIARELATIVA
DIBUJO 12 24%
ELECTRÓNICA 12%
COCINA 6
COMPUTACIÓN 18
MECANOGRAFÍA 16%
TOTAL 50
¿Cuál es el taller que tiene mayor preferencia? _____________________
¿Cuál es el taller que tiene menos preferencia? _____________________
Si la escuela tiene 290 alumnos inscritos en primer grado:
¿Cuántos alumnos contemplarán en la escuela que escojan el taller de dibujo? ________
¿Cuántos alumnos contemplarán en la escuela que escojan el taller de computación?
______________
¿Cuántos alumnos contemplarán en la escuela que escojan el taller de cocina? ________
3.- Realiza una investigación con todos los alumnos de tu grupo, inclusive tú, sobre la
mayor preferencia respecto a diferentes programas de televisión, construye la tabla
siguiente y elabora tus conclusiones acerca de la encuesta.
PROGRAMA FRECUENCIAABSOLUTA FRECUENCIARELATIVA %
NOTICIAS
DEPORTIVO
PELÍCULAS
NOVELAS
EDUCATIVO
TOTAL
CONCLUSIONES: ________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

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  • 1. 75 PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS • Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES PROBLEMA: Hallar el área de un libro rectangular que mide 17.20 cm por 15.5 cm. Cuando se multiplica un número decimal por otro número decimal, el resultado tendrá la suma de las cifras decimales de los dos factores. Multiplicando 1 7 . 2 0 2 cifras decimales. Multiplicador x 1 5 . 5 + 1 cifra decimal. 8 6 0 0 3 cifras decimales. 8 6 0 0 1 7 2 0 Producto 2 6 6 . 6 0 0 El resultado siempre tendrá la suma de las cifras decimales de los dos factores: 2.5 x 1.50 = 3.750 60 x 2.40 = 144.00 7.25 x 0.06 = .4350 ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Completa la siguiente tabla de multiplicación. Realiza las operaciones en el espacio de abajo. Por 2.1 2.5 3.13 2.1 4.41 2.5 3.13 BLOQUE 3
  • 2. 76 2.- Encuentra el total del costo de gasolina que se pide, si sabemos que 1 litro cuesta $ 7.12. Representa la información en la siguiente tabla. Haz las operaciones enseguida. LITROS 1 10 15 20 25 COSTO $ 7.12 3.- Elabora una tabla en donde representes cada uno de los siguientes problemas y resuélvelos. 1.- El kilogramo de jabón para lavar ropa cuesta $ 23.75, ¿cuál es el precio de 2, 3, 4, 5 kilogramos? 2.- Una bicicleta recorre 270.3 metros por minuto. ¿Qué distancia recorrerá en 2 minutos, en 2.5 minutos, y en 3.5 minutos? Tiempo (min) Distancia (m)
  • 3. 77 4.- Hallar el área de las siguientes figuras con las dimensiones que se señalan. a) Credencial de elector. b) Calculadora. 5.- Resuelve los siguientes problemas. 13.1 cm 7.3 cm 5.4 cm 8.6 cm 1.- Omar compró 3.5 kg de manzanas a $23.90 el kilo. ¿Cuánto pagó por las manzanas? _____________ 2.- Axel compró 3 televisiones y 1 grabadora. Si cada televisión cuesta $1380.25 y la grabadora tiene un precio de $872.50. ¿Cuánto pagó en total? _______ 3.- El siguiente letrero está instalado en el banco: DÓLAR VENTA: $ 13.75 Teodoro compra 450 dólares. ¿Qué cantidad tiene que dar? __________ 4.- Completa la tabla que representa la variación de gasolina que consume un automóvil al recorrer cierta distancia: LITROS 1 3.5 5.5 Km 14.25 5.- Para hacer un vestido se utilizaron 2.7 metros de tela. Si cada metro cuesta $34.70, ¿cuánto se gastó en la compra de la tela?____________ 6.- La mamá de Luis va a comprar en El Paso una grabadora que le cuesta 98.75 dólares. Si el dólar está a $13.70, ¿cuántos pesos tuvo que dar para comprar los dólares? ____________
  • 4. 78 PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS • Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES PROBLEMA: Una liga se ha estirado 3.3 veces su tamaño original. ¿Cuál es el tamaño original de la liga, si ésta se ha estirado totalmente hasta alcanzar 13.86 centímetros de largo? Las partes de una división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo. Cociente 3.3 13.86 = 33 138.6 Dividendo Divisor Residuo Otras maneras de representar una división son las siguientes: 13.86 3.3 = 13.86 ÷ 3.3 = La PROPIEDAD anterior se relaciona con la equivalencia de fracciones. EJEMPLO: 13.86 3.3 = 13.86 𝑥 3 3.3 𝑥 3 = 41.58 9.9 13.86 3.3 = 4.2 41.58 9.9 = 4.2 Si tanto el numerador como el denominador se multiplican por el mismo número el resultado no cambia. ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Resuelve las siguientes divisiones hasta que el residuo resulte cero y encuentra como resultado un número decimal. 2 7 4 9 2 1 1.4 4 1 3.2 5 6 .1 4. 5 ÷ 4 = ______ 5 7 1 111 6 = 340 8 = 57.2 6 = 0 06 6 4.2 PROPIEDAD: Si el dividendo y el divisor se multiplican por la misma cantidad, el resultado no cambia. 3.3 x 10 = 33 13.86 x 10 = 138.6 Recorremos el punto una cifra a la derecha en el multiplicando y en el multiplicador. -132 -6 6
  • 5. 79 2.- Resuelve las siguientes divisiones. Escribe correctamente el punto decimal subiéndolo directamente del dividendo al cociente. 4 5 3 . 2 5 7 1 . 5 6 5 8 . 5 7 0 . 9 9 4 13.5 20 = 3.- Resuelve los siguientes problemas. 8.9 m 8 m 1.- Un obrero en U.S.A, por 5 horas de trabajo se le paga 22.50 dólares. ¿Cuánto recibe por hora trabajada?________ 3.- Un obrero en Chihuahua se le paga 93.60 pesos por 8 horas de trabajo. ¿Cuánto recibe por cada hora?___________ 5.- ¿Cuál es el área de un jardín que tiene forma de triángulo con las siguientes dimensiones?__________ 2.- ¿Cuánto mide el ancho del siguiente rectángulo?_______________ 4.- Iván invirtió su dinero en una caja de ahorros que al año le retribuyó 3 veces más lo invertido. Si al final del año le entregaron $25,069.50, ¿cuánto dinero invirtió inicialmente?_______________ 6.- En la tienda de Don Tino venden 5 kilogramos de tomate en $63.75. ¿Cuánto se pagará por 1.5 kg?___________ 221.4 cm² 18 cm
  • 6. 80 4.- Encuentra el término que falta en cada una de las siguientes fracciones equivalentes. 3 4 = 12 5 6 = 42 13 3 = 21 12 7 = 175 2 5 = 18.5 2 4 = 10.4 6 6 = 25.2 14 2 = 12.6 1.5 4.2 = 10.5 2.5 2.2 = 4.84 4.4 2.2 = 14.08 2.5 23.75 = 99.75 5.- Para la fiesta de navidad, la maestra repartió 3 4 de pastel para varios alumnos del grupo. Para repartírselo en cantidades iguales lo pudieron haber cortado de diferentes maneras. Escoge las tres maneras equivalentes en que pudieron cortar el pastel. a) 4 5 , 5 6 y 6 7 b) 3 4 , 6 6 y 6 8 c) 6 8 , 9 12 y 12 16 d) 6 4 , 9 4 y 12 4 6.- Considera que los siguientes dibujos están hechos a escala. Encuentra la medida del lado que falta en cada uno de ellos. Utiliza el factor constante. d 8.7 33.16 c 29.6 46.221 a 84 3 6.9 b4 3
  • 7. 81 6.- Para resolver un problema es necesario hacer la siguiente división: 689.70 ÷ 27.50 = ¿Cuál de las siguientes operaciones está resuelta correctamente?........................... (____) a) b) c) d) 25 508 25.08 2.053 2750 68970 2750 6897000 2750 68970 2750 68.970 13970 13970 13970 14 97 0220 022000 22000 1 020 0000 000 195 7.- Observa la siguiente cotización del dólar frente al peso: Dólar Venta Menudeo 13.02 M.N Si Mario cambia 700 pesos a dólares, ¿qué cantidad recibe?.................................... (____) a) 53.76 dólares b) 537.63 dólares c) 52.85 dólares 8.- Resuelve los siguientes problemas. x 16.50 m 1.- Por el uso de 12 meses del seguro del carro Iván ha pagado $2470.08 ¿Cuánto paga mensualmente?___________ 3.- La siguiente figura representa a una barda que se ha seccionado en partes iguales para colocar anuncios. ¿Cuánto mide la parte señalada por la letra?_______________ 2.- Omar compró en la tienda 6 yogurt por los que pagó $23.94 ¿Cuál es el precio de 1 yogurt?_____________ 4.- La señora Holguín pagó la cantidad de $4152.75 durante 21 quincenas por la compra de una televisión. ¿Cuánto pagó cada quincena?_____________
  • 8. 82 PATRONES Y ECUACIONES • Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. ECUACIONES: Las ecuaciones nos sirven para plantear y resolver problemas cuando los procedimientos aritméticos se dificultan. Para resolver un problema necesitamos: a) Representar el valor desconocido con una literal o letra. b) Plantear la ecuación correspondiente. c) Resolver la ecuación. EJEMPLOS de problemas en los que se puede plantear una ecuación: PROBLEMA ECUACIÓN Pienso un número. Cuando le sumo 13, obtengo 72. ¿Cuál es ese número? x + 13 = 72 Pienso un número. Cuando le resto 578 obtengo 470. ¿Cuál es ese número. x – 578 = 470 ¿Cuál es el número que sumándole 75 nos resulta 193? x + 75 = 193 ¿Cuál es el número que si lo multiplico por 3 y le resto 25 obtengo 5? 3x - 25 = 5 3x significa 3 por x. EL MODELO DE LABALANZA El modelo de la balanza, es un método que nos sirve para comprender la forma en que se resuelve una ecuación. PROBLEMA: Resuelve por el modelo de la balanza la ecuación: x + 3 = 7 = x + 3 = 7 -3 = - 3 x = 4 PRIMERO:Se representa la ecuación en una balanza. PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO x + 3 = 7 x SEGUNDO: Para dejar sola la x, quitamos los 3 cuadros que están en el platillo del primer miembro y para que la balanza siga en equilibrio, quitamos también 3 cuadros de los 7 que están en el platillo del segundo miembro. Resultado: x = 4 x =
  • 9. 83 ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Escribe en la siguiente tabla la ecuación que se puede plantear para resolver cada uno de los problemas de la tabla. PROBLEMA ECUACIÓN Pienso un número. Cuando le sumo 15 obtengo 36. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando le sumo 378 obtengo 1 026. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando le resto 9 obtengo 16. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando le resto 570 obtengo 425. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando le sumo 12 y le resto 15 obtengo 23. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando le aumento 25 y le resto 10 obtengo 230. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando le resto 6 y le sumo 7 obtengo 22. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando lo multiplico por 5 obtengo 35. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando lo multiplico por 3 obtengo 45. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando lo multiplico por 3 y le sumo 12 obtengo 24. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando lo multiplico por 7 y le sumo 75 obtengo 201. ¿Cuál es ese número? Pienso un número. Cuando lo multiplico por 6 y le aumento 24 obtengo 114. ¿Cuál es ese número? El triple de un número es igual 96. ¿Cuál es ese número? El triple de la edad de Mario es igual a la de su papá. Si su papá tiene 81 años, ¿qué edad tiene Mario? 2.- Contesta la siguiente pregunta: Observa la siguiente ecuación: 3x = 51 ¿Cuál de los siguientes problemas puede resolverse con dicha ecuación?................(____) a) Luis tiene la cuarta parte de la edad de su papá. Si su papá tiene 51 años, ¿cuántos años tiene Luis? b) Iván tiene que cumplir 3 años para tener la edad de su papá. Si su papá tiene 51 años, cuál es la edad de Iván? c) El triple de la edad de Ismael es igual a la edad de su papá. Si su papá tiene 51 años, ¿cuántos años tiene Ismael? d) María tiene 45 años y su papá tiene el triple de ésta, ¿cuántos años tiene María?
  • 10. 84 3.- Aplica el modelo de la balanza y resuelve las siguientes ecuaciones. Para indicar que quitas cuadros en los dos miembros, lo que puedes hacer es tacharlos con una cruz. x + 4 = 8 x + 7 = 12 x = _____ x = _____ x + 1 = 10 x + 5 = 5 x = _____ x = _____ x + 3 = 6 x + 6 = 10 x = _____ x = _____ x + 7 = 8 x + 4 + 2 = 7 + 5 x = _____ x = _____ x x x x x x x x
  • 11. 85 4.- Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio: ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones podemos encontrar el valor de x que corresponde a cada una de las barras x en la balanza?.................................... (_____) a) 10x + 2 = 11 + x b) 2x = x + 6 + 5 c) 2x + 10 = x + 11 d) 2x – 10 = x – 11 5.- Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio: ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones podemos encontrar el valor de x que corresponde a cada una de las barras x en la balanza?.................................... (_____) a) 10x + 2 = 19 + x b) 2y = y + 14 + 5 c) 2x + 10 = x + 13 d) 2x + 10 = x + 19 6.- Si observas en lo que se ha hecho, se concluye que las ecuaciones tienen la siguiente PROPIEDAD: si sumamos la misma cantidad al primer miembro y al segundo miembro, la igualdad se mantiene, lo mismo que si les restamos, les multiplicamos o les dividimos. Escribe enseguida la ecuación representada en la balanza y encuentra el valor de x. = x = ______ 10 kg x x x 6 kg 5 kg x x x 6 kg 5 kg5 kg 5 kg 8 kg x x x 5 kg5 kg 5 kg 8 kg 5 kg Ecuación: ________________
  • 12. 86 ECUACIONES DE UN PASO Las ecuaciones de un paso son aquellas que pueden resolverse invirtiendo la operación indicada. El modelo de la balanza nos ha servido para comprender lo que enseguida vamos a hacer para resolver este tipo de ecuaciones. ECUACIONES CON SUMA PROBLEMA: ¿Cuál es el número que sumado con 375 es igual a 1 279? Ecuación: x + 375 = 1 279 Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la x o dejarla sola lo que hacemos es quitar 375 del primer miembro y para que la igualdad se conserve, también quitamos 375 del segundo miembro. Esto es lo mismo que cambiar el 375 al segundo miembro pero con signo contrario, es decir, que si está sumando lo cambiamos restando. x + 375 = 1 279 Despejamos x, cambiando 375 al otro miembro. x = 1 279 – 375 Hacemos la operación del segundo miembro. x = 904 La comprobación la hacemos sumando: 904 + 375 = 1 279 ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones como en el ejemplo. x + 2 = 6 x + 5 = 8 x + 15 = y + 9 = 43 x = 6 – 2 x = 4 5 + x = 7 x + 32 = 69 y + 74 = 183 y + 465 = 1 280 x + 2.5 = 7.8 x + 13.50 = 16.92 a + 3.9 = 14.6 y + 15 = 20 + 40
  • 13. 87 2.- Plantea la ecuación correspondiente para cada uno de los siguientes problemas y resuélvela para encontrar el resultado. 3.- Resuelve las siguientes ecuaciones. Reduce haciendo las operaciones aritméticas indicadas. x + 12 = 25 + 5 x + 13 = 14 + 6 x + 14 = 30 + 5 y + 5 + = 49 y + 15 = 12 x + 3.8 = 5.2 1.- Pienso un número. Cuando le sumo 256 obtengo 468. ¿Cuál es ese número? 3.- Pienso un número. Cuando le aumento 12.5 obtengo 49.6 ¿Cuál es ese número? 5.- Iván tiene cierta cantidad de dinero que juntándolo con los $12 380 que tiene su hermana Vanesa hacen un total de $23 595. ¿Cuánto dinero tiene Iván? 2.- Rosa tiene un dinero para completar una bicicleta que cuesta $1579. Si su mamá le da $820 que son los que le faltan, ¿cuánto dinero es lo que tiene Rosa? 4.- La suma de las edades de Amada y Nena son 114 años. Si Amada tiene 59 años, ¿qué edad tiene su hermana Nena? 6.- Un carro está en cierto precio en el mercado. Al venderlo le aumentan $18 894 por los que el comprador tiene que pagar en total $144 854. ¿Cuál es el precio del carro sin el impuesto correspondiente?
  • 14. 88 4.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. y + 45 = 52 x + 575 = 2 380 y + 8.3 = 13.9 x + 100 = 136 y + 3.45 = 9.86 x + 7 = 13 y + 7.52 = 9.95 x + 3 4 = 13 8 x + 7 6 = 9 4 5.- Plantea la ecuación correspondiente para que resuelvas cada uno de los siguientes problemas. 1.- ¿Qué número es, al que si se le suma 28 da como resultado 64? 3.- ¿Qué número es, al que si se le suma 35 da como resultado 44? 5.- ¿Qué número es, al que aumentándole 28 da como resultado 64? 2.- Pienso un número. Cuando le sumo 12 y le resto 8, obtengo 15. ¿Cuál es ese número? 4.- ¿Qué número es, al que sumándole 3.5 da como resultado 8.9? 6.- Pienso un número. Cuando le aumento 20 y le resto 10, obtengo 100. ¿Cuál es ese número?
  • 15. 89 ECUACIONES CON RESTA PROBLEMA: Pienso un número. Cuando le resto 1810, obtengo 200. ¿Cuál es ese número? Ecuación: x – 1 810 = 200 Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la x o dejarla sola lo que hacemos es sumar 1 810 al primer miembro y para que la igualdad se conserve, también sumamos 1 810 en el segundo miembro. x – 1 810 + 1 810 = 200 + 1 810 - 1 810 + 1 810 = 0 Esto es lo mismo que cambiar el 1 810 al segundo miembro pero con signo contrario, es decir, que si está restando lo cambiamos sumando. x - 1 810 = 200 Si está restando, lo cambiamos sumando al 2° miembro. x = 200 + 1 810 x = 2 010 La comprobación la hacemos restando: 2 010 - 1 810 = 200 ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones cambiando términos. Ejemplo. x – 12 = 25 x – 7 = 18 x – 21 = 36 x – 17 = 20 x = 25 +12 x = 37 x – 3.6 = 8.1 y – 4.2 = 7.5 y – 3.5 = 9.2 x - 1 2 = 5 4 x – 17 = 6 y – 100 = 1 910 x – 75.9 = 12.8 x – 13.4 = 4.9 + 2.3
  • 16. 90 ECUACIONES CON MULTIPLICACIÓN PROBLEMA: Pienso un número. Cuando lo multiplico por 5 obtengo 315. ¿Cuál es ese número? Ecuación: 5y = 315 5y significa 5 por y. Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la y o dejarla sola lo que hacemos es dividir entre 5 el primer miembro y para que la igualdad se conserve, también dividimos entre 5 al segundo miembro. 5𝑦 5 = 315 5 Se elimina el 5 porque 5 5 = 1 Esto es lo mismo que cambiar el 5 al segundo miembro pero con signo contrario, es decir, que si está multiplicando lo cambiamos dividiendo. 5y = 315 y = 315 5 y = 63 ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones. Realiza la transposición de términos. Ejemplo. 5x = 15 2x = 8 14x = 42 8x = 6 𝑥 = 15 5 x = 3 46x = 138 8x = 32 18x = 234 34x = 17 8x = 160 3x = 57 3x = 153 3x = 36 10x = 350 6x = 180 + 6 5x = 75 + 5 5x = 243 + 72
  • 17. 91 ECUACIONES CON DIVISIÓN PROBLEMA: Pienso un número. Si lo divido entre 5 obtengo 15. ¿Cuál es ese número? Ecuación: 𝑥 5 = 15 Si utilizamos el método de la balanza, para despejar la “x” o dejarla sola lo que hacemos multiplicar por 5 el primer miembro y para que la igualdad se conserve, también multiplicamos por 5 el segundo miembro. 𝑥(5) 5 = 15(5) Queda sola la x porque 5 5 = 1 Esto es lo mismo que cambiar el 5 al segundo miembro pero con signo contrario, es decir, que si está dividiendo lo cambiamos multiplicando. 𝑥 5 = 15 x = 15(5) x = 75 La comprobación la hacemos dividiendo: 75 ÷ 5 = 15 ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones. Aplica la transposición de términos. Ejemplo. 𝑥 6 = 18 𝑥 7 = 12 𝑥 2 = 57 𝑥 4 = 25 x = (18)(6) x = 108 𝑦 2.5 = 3.7 𝑎 2.6 = 4.3 𝑥 3.1 = 5.5 𝑦 16 = 16 𝑥 25 = 25 𝑥 14 = 14 𝑦 100 = 1 000 𝑥 4 − 10 = 15
  • 18. 92 ECUACIONES DE LAFORMAax + b = c PROBLEMA: Establece una regla general para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. 1.- Efectuamos las operaciones aritméticas que haya. 2.- Hacemos la transposición de términos con signo contrario, reuniendo en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 3.- Se reducen los términos semejantes en los dos miembros. 4.- Se despeja la incógnita y se resuelven operaciones para encontrar su valor. EJEMPLO: 2x + 3 = 12 Comprobación: 2x = 12 – 3 2x = 9 2(4.5) + 3 = 12 x = 9 2 9 + 3 = 12 x = 4.5 12 = 12 ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones. 5x + 2 = 17 2x – 6 = 8 46x = 90 + 45 + 5 – 2 2x = 84 + 8 3x + 30 = 87 3x = 156 – 3 5x = 243 + 72 3x = 12 + 48 10x + 13 = 63 5x – 12 = 20 2x – 124 = 430 + 22 10x = 16 + 64
  • 19. 93 FIGURAS Y CUERPOS • Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES. CUADRADO, PENTÁGONO, ETC. PROBLEMA: Dibuja un cuadrado a partir de un ángulo central en una circunferecncia. Una manera de construir polígonos regulares tiene su base en lo siguiente: Para trazar un pentágono dividimos 360° ÷ 5 = 72°, por lo que el ángulo central deberá medir 72°. ACTIVIDADES DE CLASE 1.- A partir de un ángulo central en la circunferencia, dibuja enseguida un cuadrado, un pentágono y un hexágono regular. Si tomamos con un compás en la circunferencia la medida del arco del ángulo central que de 90° y repetimos su trazo en la circunferencia nos resultan 4 puntos que al unirlos se forma un cuadrado. Un ángulo central es el que está formado por dos radios y su vértice es el centro de la circunferencia. Si los 360° de la circunferencia los dividimos entre 4 nos resulta un ángulo de 90°. La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto llamado centro. Toda circunferencia mide 360°. 90°
  • 20. 94 2.- Continúa en el siguiente diseño que representa a un jardín y dibuja un octágono regular en el centro del dibujo. PROBLEMA: Dibuja enseguida una circunferencia, señala en ella 3 puntos y únelos para que formes un triángulo. Traza las mediatrices de los lados del triángulo que formaste para que encuentres el centro del círculo donde se cruzan las mediatrices y dibujes a partir de ahí un hexágono regular.
  • 21. 95 a MEDIDA • Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. FIGURA PERÍMETRO ÁREA h P = 3(a) x + 12 + x + 12 + x + x = 48 4x + 24 = 48 4x = 48 - 24 4x = 24 𝑥 = 24 4 x = 6 Ancho mide 6 cm Largo mide 12 = 18 cm ACTIVIDADES DE CLASE 1.- En los siguientes polígonos que representan a algunos objetos, se indican lagunas medidas. Encuentra la medida que se pide en cada uno de ellos. Window Picture 300 cm² a 15 cm120 cm 85 cm 19 cm x + 12 x P = 48 b a a A = 𝑏ℎ 2 P = 4(a) A = a² P = 2a + 2b A = (a)( b) Podemos vincular las fórmulas de perímetros y áreas de diferentes figuras con otros conceptos como las ecuaciones. PROBLEMA: Uno de los lados de un rectángulo es 12 cm más largo que el otro y su perímetro mide 48 cm. ¿Cuál es su largo? Vitropiso P = ________ A = ________ FÓRMULAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS P = ________ A = ________ a = ________ P = ________
  • 22. 96 2.- Aplicando las fórmulas de perímetros y áreas, resuelve los siguientes problemas. 1.- Un jardín tiene forma de triángulo equilátero y su perímetro es de 36 metros. ¿Con cuál de los siguientes procedimientos se obtiene la medida de uno de sus lados?......................................................................................................... (___) a) b) l = 36 x 3 c) l = 3 36 d) l = 36l 2.- Una fuente de agua tiene forma de triángulo equilátero y su perímetro es de 54 metros. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados?____________ 40 m² 10 m 5 8 cm 12 m a 24 cm468 cm² b 25 cm 600 cm² 152 cm 70 cm l = 36 3 P = ________ A = ________ b = ________ P = ________ Desk Credencial de elector Book a = ________ P = ________ P = ________ h = ________ A = ________ Garden Fachada de una casa
  • 23. 97 3.- Un corral de vacas tiene forma de cuadrado y su perímetro es de 102.4 metros. ¿Con cuál de los siguientes procedimientos se obtiene la medida de uno de sus lados? ……………………………………………………………… (___) a) l = 4 102.4 b) l = 102.4 x 4 c) l = 102.4 4 d) l = 102.4l 4.- Un corral de vacas tiene forma de cuadrado y su perímetro es de 99 metros. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados?............................................................ (___) a) 24 m b) 24.75 m c) 396 m d) 98.01 5.- Dibuja todos los rectángulos posibles cuya área es de 24 unidades cuadradas y que las medidas de sus lados sean enteras. Calculen el perímetro de cada uno de ellos. Perímetros: ____________, _____________, _____________, _____________. PROBLEMA 6.- La recámara de mi casa tiene forma de rectángulo y su perímetro es de 18 metros. ¿Cuánto mide de ancho si sabemos que de largo tiene 5 metros? __________ ¿Con cuál de los siguientes procedimientos se puede obtener la medida del ancho?..(___) a) b = 18 – 2 x 5 b) b = 18−(2 𝑥 5) 2 c) b = 18−(2 𝑥 5 ) 4 d) 𝑏 = 18−8 3 b a
  • 24. 98 7.- Un terreno tiene la forma y dimensiones que se muestran enseguida y un perímetro de 122 metros. ¿Cuál es la medida del lado x?________ 9.- El área de la guía de clase de matemáticas es de 588 cm².¿Cuánto mide de altura si sabemos que de base mide 21 cm?. 11.- El área de un cuadrado es de 36 cm². Si cada uno de los lados del cuadrado aumenta 3 centímetros, ¿cuál será el área del nuevo cuadrado? 13.- Para el cumpleaños de Mariana se compró un pastel rectangular de 43 cm de largo y 860 cm² de área. Se piensa partir por medio de una de sus diagonales. ¿Cuál es el ancho del pastel y el área de cada uno de los triángulos resultantes? x 19 m 37 m13 m 8.- Observa la siguiente tabla donde se relacionan los datos de la base y el perímetro de triángulos rectángulos: BASE PERÍMETRO 4 u 12 u 6 u 18 u 15 u 45 u Basados en la información de la tabla, ¿cuánto medirá la base cuando el perímetro es de 75 unidades?.........(____) a) 235 u b) 24 u c) 25 u d) 30 u 10.- El área de un triángulo es de 20 cm², y la altura es de 8 cm. ¿Cuánto mide su base? ________________ 12.- Uno de los lados de un rectángulo es 3 cm más largo que el otro y su perímetro mide 22 cm. ¿Cuánto mide su área?____________ 14.- El área de un rectángulo es de 24 cm², y su largo es de 6 cm, ¿cuánto medirá el área de un nuevo rectángulo si el largo y el ancho se aumentan 4 cm?_____________
  • 25. 99 PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. APLICACIÓN SUCESIVA DE FACTORES CONSTANTES La aplicación sucesiva de factores constantes, consiste en aplicar varias reducciones o varias ampliaciones a un objeto o a una figura, o aplicarle reducciones y ampliaciones. PROBLEMA: A la figura A primero amplíala con una escala de 4 a 1 y enseguida redúcela con una escala de 1 a 4. 4 a 1 = 4 1 = 4 veces más grande. 1 a 4 = 1 4 La cuarta parte de la figura. Figura original Con escala de 4 a1 Con escala de 1 4 Al final la figura queda del mismo tamaño que la figura original. ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Hazle 3 reducciones al siguiente cuadrado que mide 12 unidades por lado y que en cada reducción pierda 3 unidades. ¿Cuál es la reducción total de la última con respecto a la primera? ______________ A
  • 26. 100 2.- Hazle 3 ampliaciones al siguiente cuadro que mide 2 unidades por lado y que en cada ampliación aumente 4 unidades. ¿Cuál es la ampliación total de la última con respecto a la primera? ______________ 3.- Amplia la siguiente figura con una escala de 3 a 1 ó 3 1 y enseguida redúcela con una escala de 1 a 3 ó 1 3 . ¿Cuál es el efecto final de la figura en relación con la primera? _____________________ 4.- Representa una fotografía que mide 6 unidades de largo por 4 unidades de ancho. Redúcela con una escala de 1 2 y enseguida amplíala con una escala de 3 a 1. ¿Qué área tendrá al final la fotografía? ___________
  • 27. 101 NOCIONES DE PROBABILIDAD • Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. PROBABILIDAD Un juego de azar, es un evento en el que no estamos seguros de lo que va a suceder. Un evento es determinista porque siempre estamos seguros de lo que va a suceder. Un EJEMPLO de evento determinista es decir que mañana será viernes si hoy es jueves. Un EJEMPLO de juego de azar es lanzar un volado, en donde no estamos seguros de lo que va a caer. Un juego de azar es equitativo, cuando las personas que participan tienen las mismas posibilidades de ganar. EJEMPLO: El juego entre dos personas lanzando una moneda, en la que una le va a que caiga sello y la otra le va que caiga águila. En este juego los dos tienen 1 2 de probabilidad de ganar, es decir, que el juego es equiprobable porque ambos tienen la misma probabilidad. ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Escribe en cada una de las siguientes rayas, si el evento al que se refiere es determinista o de azar. Decir que mañana va a llover __________________ Lanzar dos dados y decir que van a caer el 4 y el 2 __________________ Decir que mañana estará nublado __________________ Comprar un cachito de la lotería y decir que me voy a ganar un premio _______________ Meter las manos en agua para ver si se mojan __________________ Sacar 5 barajas y querer que me toquen 3 ases __________________ Decir que el profesor nació en un mes del año __________________ Jugar al dominó y esperar que me salga la mula de seis __________________ Meter las manos a la lumbre para ver si me quemo _______________________ Decir que en la palabra Matemáticas hay una letra e __________________ De una bolsa con cuatro canicas rojas, decir que al sacar una, ésta será roja
  • 28. 102 2.- Recuerda que la probabilidad es igual a: 𝑃 = 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Los casos favorables es el número de oportunidades que tiene la persona de ganar. El espacio muestral está constituido por todos los datos posibles de un evento. Analiza los siguientes eventos o experimentos de azar y contesta lo que se te pide. EVENTO 1.- Iván y Rosa lanzan un dado. Iván gana si obtiene el 6 en el tiro y Rosa gana si obtiene el 3. ¿Con cuántos números puede ganar Iván en este juego? _________ Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Iván? ______ ¿Cuántos números tiene un dado? ______ Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______ ¿Cuál es la probabilidad de que gane Iván? ¿Con cuántos números puede ganar Rosa en este juego? _________ Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Rosa? ______ ¿Cuál es la probabilidad de que gane Rosa? ¿Tienen ambos la misma probabilidad de ganar? _______ Realiza 6 lanzamientos con un dado para cada jugador y completa la tabla de frecuencias. Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6° Iván Rosa EVENTO 2.- Omar y Ernesto juegan a lanzar una moneda. Omar gana si cae sello y Ernesto gana si cae águila. ¿Con cuántas caras gana Omar? _____ ¿Cuántas caras tiene una moneda? ____ ¿Cuál es la probabilidad de que gane Omar? ¿Cuál es la probabilidad de que gane Ernesto? Realiza 6 lanzamientos con una moneda para cada jugador y completa la tabla de frecuencias. Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6° Omar Ernesto Ganador: ___________ Ganador: ___________ ¿Quién crees que gane? ¿Quién crees que gane?
  • 29. 103 EVENTO 3.- Martha y Rosa juegan a lanzar un dado. Martha gana si cae uno de los números 4, 5, o 6. Rosa gana si cae uno de los números 1 ó 2. ¿Con cuántos números puede ganar Martha en este juego? _________ Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Martha? ______ ¿Cuántos números tiene un dado? ______ Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______ ¿Cuál es la probabilidad de que gane Martha? ¿Con cuántos números puede ganar Rosa en este juego? _________ Entonces, ¿cuántos son los casos favorables para Rosa? ______ ¿Cuál es la probabilidad de que gane Rosa? Realiza 6 lanzamientos con un dado para cada jugador y completa la tabla de frecuencias. Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6° Martha Rosa EVENTO 4.- Mario, Alonso y Fernando juegan al tiro de la rueda. Gana el que al tirar rodando una piedra u otro objeto, este caiga en el número mayor. ¿Cuántos números tiene la rueda? ______ Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______ ¿Cuál es la probabilidad de que gane cada uno de los participantes? Realiza 6 lanzamientos con un objeto para cada jugador y completa la tabla. Lanzamientos 1° 2° 3° 4° 5° 6° Mario Alonso Fernando 1 2 3 4 6 5 8 7 Ganadora: ___________ Ganador: ___________ ¿Quién crees que gane? ¿Para quién es injusto este juego? ¿Quiéncrees que gane?
  • 30. 104 EVENTO 5.- Mario y Fernando juegan al TOMA TODO. Cada jugador tira una vez. Ganan lo que la perinola les indique al terminar de dar vueltas. Las apuestas pueden ser las que acuerden los jugadores (canicas, tasos, dulces, etcétera). ¿Cuántas caras tiene la perinola? ______ Entonces, ¿cuál es el espacio muestral en este juego? ______ ¿Cuál es la probabilidad de que Mario TOME TODO lo de la apuesta? ¿Cuál es la probabilidad de que TODOS PONGAN otra vez lo que están apostando? EVENTO 6.- En un cajón tengo 4 pares de calcetines negros y 10 calcetines blancos. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 calcetín negro? ¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 calcetín blanco? Haz 4 papelitos con la letra N y 10 papelitos con la B. Saca 6 veces un papelito y regrésalo a su caja. Completa la tabla de frecuencias. Extracción 1° 2° 3° 4° 5° 6° Papel negro Papel blanco EVENTO 7.- En una urna tengo 5 canicas rojas y 3 canicas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja? ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica blanca? Haz 5 papelitos con la letra R y 3 papelitos con la B. Saca 6 veces un papelito y regrésalo a su urna. Completa la tabla de frecuencias. Extracción 1° 2° 3° 4° 5° 6° Papel rojo Papel blanco TOMA TODO TOMA DOS TOMA UNO TODOS PONEN PON UNO PON DOS Papel con mayores frecuencias: ___________________ ¿Cuál saldrá más veces? Papel con mayores frecuencias: _______________ ¿Cuál puede salir más veces?_______________
  • 31. 105 ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS • Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA PROBLEMA: Encuentra en la siguiente lista la frecuencia absoluta y la relativa. Edades de los alumnos que integran el equipo de basquetbol de la escuela federal 5: 14, 14, 13, 13, 13, 13, 13, 12, 12, 11. La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato en una lista. Una frecuencia absoluta en la lista es 5. Es decir 5 alumnos del equipo tienen 13 años. La idea de frecuencia relativa se encuentra en el porcentaje de los alumnos que tienen 13 años del total de alumnos de la lista. Su frecuencia relativa es 50%. Es decir el 50% de alumnos del equipo de basquetbol tienen 13 años. Para encontrar el porcentaje lo hacemos con una regla de tres: 10 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 100% = 5 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑥 𝑥 = 5 𝑥 100 10 𝑥 = 500 10 x = 50% ACTIVIDADES DE CLASE 1.- Completa la siguiente tabla y enseguida contesta las preguntas que se hacen. Edades de los alumnos que integran el equipo de basquetbol de la escuela federal 5: 14, 14, 13, 13, 13, 13, 13, 12, 12, 11. EDAD EN AÑOS FRECUENCIAABSOLUTA FRECUENCIARELATIVA % 14 13 5 50 % 12 11 ¿Cuál es la edad con mayor porcentaje o índice? ______________ ¿Cuál es el porcentaje o índice de los alumnos que tienen 12 años? _____________ ¿Por qué en el equipo no habrá alumnos que tengan 15 años? _____________________ ___________________________________________________. ¿Podrá el equipo de la federal 4 tener las mismas frecuencias absolutas y relativas? ____
  • 32. 106 2.- En la escuela se realizó una encuesta a un grupo de alumnos respecto a su taller favorito y los resultados los presentaron en la siguiente tabla que todavía está incompleta. Completa los datos que faltan en la tabla. TALLER FRECUENCIAABSOLUTA FRECUENCIARELATIVA DIBUJO 12 24% ELECTRÓNICA 12% COCINA 6 COMPUTACIÓN 18 MECANOGRAFÍA 16% TOTAL 50 ¿Cuál es el taller que tiene mayor preferencia? _____________________ ¿Cuál es el taller que tiene menos preferencia? _____________________ Si la escuela tiene 290 alumnos inscritos en primer grado: ¿Cuántos alumnos contemplarán en la escuela que escojan el taller de dibujo? ________ ¿Cuántos alumnos contemplarán en la escuela que escojan el taller de computación? ______________ ¿Cuántos alumnos contemplarán en la escuela que escojan el taller de cocina? ________ 3.- Realiza una investigación con todos los alumnos de tu grupo, inclusive tú, sobre la mayor preferencia respecto a diferentes programas de televisión, construye la tabla siguiente y elabora tus conclusiones acerca de la encuesta. PROGRAMA FRECUENCIAABSOLUTA FRECUENCIARELATIVA % NOTICIAS DEPORTIVO PELÍCULAS NOVELAS EDUCATIVO TOTAL CONCLUSIONES: ________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________