Este documento presenta una memoria sobre geometría de superficies en R4 realizada por Gema R. Quintana Portilla bajo la dirección de Fernando Etayo Gordejuela. La memoria comienza con una introducción sobre la historia del estudio de superficies y variedades. Luego se describen conceptos básicos de geometría de superficies en R3 como formas fundamentales, geodésicas y curvatura. Finalmente, se estudian nociones de geometría intrínseca y extrínseca de superficies abstractas y su inmersión en R4,

1. U NIVERSIDAD DE C ANTABRIA
FACULTAD DE C IENCIAS
D PTO . DE M ATEMÁTICAS , E STADÍSTICA Y C OMPUTACIÓN
Superficies en R4.
T RABAJO DIRIGIDO EN “M ATEMÁTICA F UNDAMENTAL”
REALIZADO POR G EMA R. Q UINTANA P ORTILLA
BAJO LA DIRECCIÓN DEL P ROF. D. F ERNANDO E TAYO G ORDEJUELA
C URSO 2007/2008

2. 2

3. Índice general
Índice general 3
Índice de figuras 5
1. Introducción. 7
1.1. Comentarios generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Descripción de la memoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Geometría de superficies en R3 . 11
2.1. La primera y la segunda formas fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Geodésicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Curvaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Curvatura y Topología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Geometría intrínseca. 23
3.1. Variedades y superficies diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Superficies riemannianas abstractas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1. Visualización de métricas riemannianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3. Inmersión de superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1. Superficies de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.2. Superficies abstractas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.3. Superficies de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Geometría extrínseca. 45
4.1. Conexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1. Complemento ortogonal a una subvariedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.2. Conexión de Levi-Civita inducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Curvaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.1. Expresión en coordenadas locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. Curvaturas de las subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4. Superficies en R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1. Elipse de curvatura normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2. Aplicaciones de la elipse de curvatura normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5. Desarrollos posteriores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6. Cuadro resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. 4 ÍNDICE GENERAL
4.7.1. Esfera S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7.2. Toro de revolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7.3. Toro de Clifford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7.4. Función holomorfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bibliografía 59

5. Índice de figuras
3.1. Triángulo esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Geodésicas del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Meridianos del toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Geodésicas densas en el toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5. Ecuador interior del toro. Geodésica asintótica al ecuador interior. . . . . . . . . . . . . 36
3.6. Geodésicas “acotadas” en el toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7. Ecuador exterior del toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.8. Pseudoesfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.9. Geodésicas del semiplano de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10. Plano estereográfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.11. Recubridor universal del toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.12. Recubridor universal de la botella de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1. Descomposicón de Tp N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Descomposición de ( X Y )p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6. 6 ÍNDICE DE FIGURAS

7. Capítulo 1
Introducción.
1.1. Comentarios generales.
El estudio de subvariedades inmersas fue llevado a cabo por primera vez por Euler en el trabajo De linea
brevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta jungente (Sobre la línea más corta que une dos
puntos de una superficie) en 1732. Usando técnicas que darían origen al cálculo variacional obtiene de la
ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie. También define la noción de curvatura
normal de una curva contenida en una superficie, pero no llega a definir la curvatura de una superficie en
un punto.
Un siglo después, Gauss en el artículo Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) destaca
que para estudiar una superficie en el espacio euclídeo tridimensional es esencial utilizar la métrica in-
ducida en la superficie por la del espacio. Consigue establecer la definición de la curvatura en términos
de dicha métrica y del operador de forma, para concluir con el Theorema Egregium que afirma que la
curvatura depende únicamente de la métrica. Esto es, es un concepto intrínseco, que se conserva, por
tanto, por isometrías locales.
En 1854, por recomendación de Gauss, Riemann se prepara para Privatdozent. Para ello era necesario
presentar una nueva tesis e impartir una lección inaugural. Era costumbre proponer tres temas al Tri-
bunal que elegía uno. Riemann propuso los temas de representabilidad de una función mediante series
trigonométricas; resolución de dos ecuaciones de segundo grado con dos cantidades indeterminadas; y
otro sobre Geometría. Gauss, presidente del Tribunal, optó por el tema de Geometría, titulado Uber die
Hipothesen welche der Geometrie zu Grunde Liegen (Sobre las hipótesis en las que se basa la Geometría),
en contra de lo habitual, que era elegir el primer tema propuesto por el candidato.
El 10 de junio de 1854, Riemann, dio la citada lección inaugural. Está considerada una obra maestra,
tanto por el fondo como por la forma, pues Riemann quiso que fuese inteligible para los miembros del
tribunal que no eran matemáticos. Parte del artículo de Gauss de 1827, para abordar tres grandes ideas:
variedades n-dimensionales, relaciones métricas y generalización de la curvatura. Siendo el origen de la
Geometría Riemanniana, y, más en general, de la Teoría de Variedades.
La definición rigurosa de variedad diferenciable no se obtiene hasta 70 años más tarde: durante 1911-
1912 Weyl impartió un curso sobre superficies riemannianas. De aquí surgió su primer libro Die Idee
der Riemannschen Fläche publicado en 1913. En él relacionaba Análisis, Geometría y Topología dando
la definición de variedad riemanniana n-dimensional. En la Teoría de la Relatividad General (Einstein,
1915) el espacio-tiempo es una variedad de dimensión 4 semi-riemanniana, y la curvatura modela la
gravedad. La luz recorre las geodésicas de dicha variedad.

8. 8 1. Introducción.
Posteriormente, en 1937, Whitney escribió el survey Topological properties of differentiable manifolds en
el que se recogen sus principales resultados hasta la fecha, incluyendo su conocido teorema de inmersión
que afirma que toda variedad n-dimensional admite un embedding en el espacio euclídeo 2n-dimensional.
Es decir, toda variedad se puede considerar como subvariedad de un espacio euclídeo. Aplicando esto
al caso de las superficies obtenemos que el espacio euclídeo 4-dimensional es el espacio ambiente ideal
para su estudio.
En 1969 Little inicia el estudio de las superficies del espacio euclídeo 4-dimensional, desde un punto de
vista riemanniano.
Los objetivos fundamentales de esta memoria son entender y explicar las construcciones básicas de la
geometría y la topología de las superficies de R4 , distinguir las propiedades intrínsecas de las extrínsecas
y analizar qué conceptos de la teoría clásica de superficies son susceptibles de ser definidos en este caso.
Para alcanzar estos objetivos necesitaremos repasar la teoría clásica, introducir las superficies rieman-
nianas abtractas y el formalismo de la derivada covariante. Ilustraremos todos los conceptos con una
colección grande de ejemplos, en los que realizaremos los cálculos correspondientes.
1.2. Descripción de la memoria.
El trabajo se divide en cuatro capítulos, siendo el primero de los cuales esta introducción.
El segundo capítulo trata la geometría de superficies en el espacio euclídeo tridimensional sirviendo co-
mo recordatorio de lo visto en la carrera y, a la vez, propiciando la introducción en materia. En él se lleva
a cabo un repaso de los principales conceptos, haciendo especial hincapié en la diferencia existente entre
conceptos intrínsecos y extrínsecos. Aunque en R3 esto no parece tener especial importancia, ya que
estamos “acostumbrados” a considerar un único vector normal a la supeficie, veremos que lo interesante
es cómo varían estos conceptos al cambiar el espacio ambiente. Sirva como ejemplo de esto la noción
de área de una superficie. Se trata de un concepto intrínseco el cual en R3 suele ser calculado de forma
extrínseca (usando el producto vectorial). Es al cambiar la dimensión del espacio ambiente cuando nos
damos realmente cuenta del significado de concepto intrínseco.
El capítulo tercero comienza con la introducción de variedades riemannianas, particularizando este con-
cepto al caso de superficies riemannianas para poder así hacer un estudio de la geometría intrínseca de
superficies abstractas. Esto es, sin ninguna referencia al espacio ambiente. A continuación se aborda el
problema de la existencia de un embedding isométrico de una variedad riemanniana, dando las refer-
encias de los últimos avances en este campo y señalando qué cuestiones aún permanecen abiertas. El
capítulo se cierra con varios ejemplos que ilustran todos los conceptos definidos: la esfera, el toro de
revolución, el cilindro, el toro de Clifford, la pseudoesfera, el plano hiperbólico, el plano estereográfico,
la botella de Klein, el plano proyectivo real y la banda de Möbius.
El último capítulo hace referencia a la geometría extrínseca de superficies inmersas en R4 . Para introducir
conceptos como las segundas formas fundamentales1 de una superficie, o la elipse de curvatura normal,
se precisa el de derivada covariante. Se hace especial énfasis en la elipse de curvatura normal que es el
objeto en relación al que se construye la geometría extrínseca de las superficies en R4 . Se termina con
una visión general de todos los conceptos relativos a la geometria de las superficies, cúales y cómo se
1
Hay dos, las asociadas a una base del plano normal.

9. 1.2 Descripción de la memoria. 9
generalizan de R3 a R4 y a Rn . Este capítulo incluye también la geometría extrínseca de los ejemplos
que aparecen en el capítulo tercero.

10. 10 1. Introducción.

11. Capítulo 2
Geometría de superficies en R3.
Definición 2.0.1. Un subconjunto no vacío S de R3 se dice que es una superficie regular si para todo
punto p ∈ S existe un entorno abierto W ⊂ R3 de p y una aplicación x : U ⊂ R2 → R3 desde un
abierto no vacío U ⊂ R2 sobre W ∩ S satisfaciendo lo siguiente:
1. x es diferenciable;
2. x es un homeomorfismo;
3. para todo p ∈ R2 la diferencial (dx)p es inyectiva.
Una aplicación x que cumple las tres condiciones anteriores se llama parametrización o sistema de
coordenadas locales. Al entorno abierto W de p en S 1 se le llama entorno coordenado en p. El par
(U, x) se denomina carta (o parametrización) de S en p. Un atlas de S es una colección de cartas cuyos
entornos coordenados constituyen un recubrimiento abierto de S. Se dice que la superficie regular S es
una superficie simple si admite un atlas constituido por una sola carta.
Consideremos dos cartas (U, x) y (V, x) de una superficie regular S tales que W = x(U ) ∩ x(V ) = ∅.
¯ ¯
El homeomorfismo ϕ = x ◦ x
¯ −1 se llama cambio de cartas.
Definición 2.0.2. Una aplicación entre dos superficies f : S1 → S2 ⊂ R3 es diferenciable si para todo
punto p de S existe una carta (U, x) de S en p tal que la aplicación f ◦ x es diferenciable en el sentido
usual.
Nótese que los cambios de cartas son difeomorfismos.
Definición 2.0.3. Sea x : U ⊂ R2 → R3 , con U abierto no vacío, x = (x1 , x2 ),una aplicación
∂x ∂x
diferenciable. La superficie parametrizada x se dice que es regular si x1 = ∂x1 y x2 = ∂x2 son
linealmente independientes en U .
Un punto de U en el que x1 × x2 = 0 se llama punto regular; y si x1 × x2 = 0, singular. La restricción
de x al conjunto de puntos regulares es una superficie parametrizada regular.
Definición 2.0.4. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y sea p ∈ S. Un vector w ∈ R3 se dice que es
un vector tangente a S en p si existe una curva diferenciable α : (a, b) ⊂ R → R3 tal que α(t0 ) = p
y α (t0 ) = w, t0 ∈ (a, b). El conjunto de todos los vectores tangentes a S en p se denomina plano
tangente a S en p, Tp S.
1
W es abierto en S, no en R3 . Suponemos que S está dotado de la topología usual heredada de R3 .

12. 12 2. Geometría de superficies en R3 .
Tp S es un subespacio vectorial de R3 de dimensión dos. Si (U, x) es una carta de S en p = x(u0 , v0 ) con
(u0 , v0 ) ∈ U , entonces x1 = x1 (u0 , v0 ) y x2 = x2 (u0 , v0 ) forman una base de Tp S. Se denomina recta
normal al subespacio vectorial de dimensión uno (Tp S)⊥ . Sus elementos se llaman vectores normales.
Evidentemente, fijada una carta x : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 de S en p, podemos elegir un vector normal
x1 ×x
unitario en cada punto q = x(u, v) ∈ x(U ) ⊂ S n(q) = x1 ×x2 (u, v) ∈ (Tq S)⊥ , donde × denota el
2
producto vectorial de R3 .
Definición 2.0.5. Una superficie regular S se dice que es orientable si admite un atlas cuyos jacobianos
de los cambios de cartas son positivos, lo que es quivalente a la existencia de una aplicación diferencia-
ble n : S → S2 tal que n(q) ∈ (Tq S)⊥ , ∀q ∈ S, lo que se llama un campo de vectores normal unitario
a S.
Si S está orientada, es decir, si se ha fijado un tal atlas, lo que llamaremos una orientación, entonces la
aplicación n : S → S2 viene completamente determinada por la orientación de S y se denomina apli-
cación (esferical) de Gauss de la superficie orientada S.
2.1. La primera y la segunda formas fundamentales.
Definición 2.1.1. Sean S ⊂ R3 una superficie regular y p ∈ S. Entonces el producto escalar usual de
R3 induce, por restricción, un producto escalar en el plano tangente Tp S ⊂ R3 a S en p. Su forma
cuadrática I = Ip : Tp S → R es lo que se llama primera forma fundamental de S en p.
∂x ∂x
Sea la carta de S (U, x), x = x(u, v). Entonces las aplicaciones diferenciables x1 = ∂u , x2 = ∂v , y
n = x1 ×x2 constituyen en cada p ∈ U una base positiva de R3 .
x1 ×x2
Las funciones diferenciables:
g11 = x1 · x1
g12 = x1 · x2 = x2 · x1 = g2,1
g22 = x2 · x2
se llaman los coeficientes de la primera forma fundamental. Así, la matriz de la primera forma funda-
g11 g12 g 11 g 12
mental es g = . Denotaremos su inversa como g −1 =
g21 g22 g 21 g 22
Usualmente se escribe I = g11 du2 + 2g12 dudv + g22 dv 2 .
La primera forma fundamenta permite tratar cuestiones métricas sobre la superficie S sin ninguna refer-
encia al espacio ambiente R3 . Eso es lo que se conoce por geometría intrínseca de la superficie. No es
más que lo que podría ser “medido” por un “habitante” de la superficie. Ejemplos de conceptos intrínsec-
os son los siguientes:
Definición 2.1.2. Sea α(t) = x(u(t), v(t)), t ∈ (a, b) ⊂ R una curva parametrizada regular2 , se define
su longitud de arco entre a y b como:
b b b 2 2
du du dv dv
l(t) = α (t) dt = α (t) · α (t)dt = g11 + 2g12 + g22 dt
a a a dt dt dt dt
2
Es decir, α (s) = 1.

13. 2.1 La primera y la segunda formas fundamentales. 13
Nótese que la longitud de arco no depende de la parametrización.
Definición 2.1.3. Sea la superficie regular S parametrizada por x. Sean las curvas α(t) = x(f1 (t), f2 (t)),
β(t) = x(h1 (t), h2 (t)) contenidas en S y secantes en el punto p = α(t0 ) = β(t0 ). Se define el ángulo
formado por ambas en p como:
2 dfi dhj
α (t0 )β (t0 ) i,j=1 gij (p) dt |t0 dt |t0
cos θ = =
α (t0 ) β (t0 ) I(α (t0 ))I(β (t0 ))
De la definición anterior obtenemos que el ángulo formado por las curvas paramétricas es:
g12 (p)
cos(x1 (p), x2 (p)) =
g11 (p)g22 (p)
Luego si g12 = 0 las curvas paramétricas son ortogonales y la parametrización se dice parametrización
ortogonal.
Definición 2.1.4. Se define el área de una región acotada R de una superficie regular S parametrizada
por x como:
A = A(R) = x1 ×x2 dudv = det(g)dudv = 2
g11 g22 − g12 dudv
x−1 (R) x−1 (R) x−1 (R)
√
dA = det gdudv es lo que se conoce como la diferencial de área.
Vamos a introducir ahora un concepto extrínseco, la segunda forma fundamental de una superficie. Ésta
va a depender del vector normal, el cual a su vez queda determinado por el espacio ambiente3 . Para ello
sean las notaciones precedentes y las siguientes:
∂2x ∂2x ∂2x ∂2x ∂n ∂n
x11 = 2
; x12 = = = x21 ; x22 = 2
; n1 = ; n2 =
∂u ∂u∂v ∂v∂u ∂v ∂u ∂v
Claramente, para i, j = 1, 2 tenemos xi · nj = 0 y, derivando respecto de j, xij n = −xi nj .
[x1 ,x2 ,x ]
Las funciones diferenciables Lij = xij n = √det gij = Lji i, j = 1, 2, donde [x1 , x2 , xij ] indica
el producto mixto, se denominan coeficientes de la segunda forma fundamental. Asociada a ellos se
L11 L12
define la matriz L = . Nótese que L no necesariamente es definida positiva.
L21 L22
Definición 2.1.5. Sea S ⊂ R3 una superficie regular. Para cada punto p ∈ S la forma bilineal asociada
a (Lij ), Tp S × Tp S → R tal que Lp (xi , xj ) = Lij (p), o, más bien, su forma cuadrática II = IIp :
Tp S → R asociada se denomina segunda forma fundamental de S en p.
Escribiremos II = L11 du2 + 2L12 dudv + L22 dv 2 . Así como la primera forma fundamental determina la
geometría intrínseca de una superficie, la segunda forma fundamental determina la geometría extrínseca
de la misma. Es decir, la forma en que la superficie se encuentra embebida en R3 y como se curva en
relación a dicho espacio ambiente.
Definición 2.1.6. Dado un vector unitario w ∈ T pS − {0} se llama curvatura normal de S en p en la
dirección w al número kn (w) = II(w) ∈ R.
3
Es por esto que los conceptos extrínsecos no son percibidos por los “habitantes” de la superficie.

14. 14 2. Geometría de superficies en R3 .
En general si w = w1 x1 + w2 x2 ∈ Tp S − {0}, la curvatura normal de S en p en la dirección w se
obtiene:
w II(w) II(w)
kn (w) = II = =
w w 2 I(w)
Teorema 2.1.7. Sean las notaciones precedentes. Se verifican las siguientes ecuaciones:
2
xij = Γk xk + Lij n ecuaciones de Gauss;
ij
k1
2
nj = − Lk xk ; i, j = 1, 2 ecuaciones de Weingarten.
j
k=1
Los Γk
ij se denominan símbolos de Christoffel y vienen dados por
2 2
1 ∂gij ∂gik ∂gij
Γl
i,j = Γijk g lk
= − + g lk ∀i, j, k ∈ {1, 2}
2 ∂ui ∂uj ∂uk
k=1 k=1
con Γijk = xij xk , (u1 , u2 ) = (u, v). Los Lk se llaman coeficientes de Weingarten y se definen
j
2
L1 L1
Lk
j = g ik Lij . Matricialmente se expresan (Lk ) =
j
1 2 = g −1 L
L2 L2
1 2
i=1
Demostración. Sabemos que xi · n = x2 · n = 0 y n · n = 1 luego el tercer coeficiente de xij =
2 k
k=1 Γij xk + Lij n con respecto a la base {x1 , x2 , n} es Lij = xij · n. Del mismo modo, tenemos
Γijk = xij xk = 2 Γl xl xk = 2 Γl glk , de donde γij = 2 Γijk g lk .
l=1 ij l=1 ij
l
k=1
Consideremos ahora las igualdades siguientes:
∂gjk ∂xj xk
= = xij · xk + xj · xik
∂ui ∂ui
∂gik ∂xi xk
= = xij · xk + xi · xjk
∂uj ∂uj
∂gij ∂xi xj
= = xik · xj + xi · xjk
∂uk ∂uk
Sumando las dos primeras y restando la tercera obtenemos:
2
∂gjk ∂gik ∂gij
2xij · xk = 2 Γl glk = 2Γijk = 2xij · xk =
ij + −
∂ui ∂uj ∂uk
l=1
Se sigue de aquí que
2
1 ∂gij ∂gik ∂gij
Γl =
ij + − g lk ; i, j, l = 1, 2
2 ∂ui ∂uj ∂uk
k=1
Por último, como n · n = 1, por lo que nj · n = 0 se sigue que el tercr coeficiente de nj = − 2 Lk xk
k=1 j
en la base {x1 , x2 , n} es 0. Análogamente,como xi · n = 0 de donde xij n + xi nj = 0, obtenemos que
2 2 2
Lij = xij · n = −xi · nj = xi Lk x k
j = gik ⇒ Lk
j = gik Li
j
k=1 k=1 i=1

15. 2.2 Geodésicas. 15
Obsérvese que los símbolos de Christoffel son un concepto intrínseco, esto es, sólo dependen de la
primera forma fundamental, y que la matriz (Lk ) no es simétrica en general.
j
2.2. Geodésicas.
La noción de geodésica de una superficie nace de la necesidad de generalizar el concepto de recta en el
plano . Es decir, se definen las geodésicas de una superficie como las curvas sobre la superficie que mejor
verifiquen (localmente al menos) las propiedades de la recta en el plano:
tiene curvatura cero;
es el camino más corto entre dos puntos;
dados dos puntos existe una única recta pasando por ambos;
toda recta queda determinada por un punto y un vector no nulo;
los vectores tangentes a una recta son todos paralelos.
Definición 2.2.1. Sea una curva regular α(s) = x(u(s), v(s)) contenida en una superficie S y parametriza-
da por la longitud de arco4 . Se llama curvatura geodésica kg de α a la función diferenciable
˙
kg (s) = [n(s), T (s), T (s)]
donde [·, ·, ·] es el producto mixto; n(s) = n(u(s), v(s)); y T , el vector tangente unitario a la curva5 .Se
dice que α es una geodésica si kg (s) = 0 ∀s.
Se demuestra que la curvatura geodésica es un concepto intrínseco6 . Es decir, podemos definir el vector
curvatura geodésica como sigue:
    
2 2
du1  d2 u2 dui duj  du2  d2 du1 dui duj 
kg =  + Γ2
ij − + Γ1ij det(g)
ds ds2 ds ds ds ds2 ds ds
i,j=1 i,j=1
El hecho de que las geodésicas sólo dependan de la primera forma fundamental de la superficie es lo que
nos va a permitir definirlas en superficies abstractas.
Definición 2.2.2 (Caracterizaciones de las geodésicas). Sea α(s) = x(u(s), v(s)) una curva parametriza-
da de modo natural7 contenida en una superficie S entonces α es una geodésica si y sólo si ∀s satisface
una de las condiciones equivalentes siguientes:
1. kg (s) = 0
4
Es decir, satisfaciendo
2 2
du1 du1 du2 du2
g11 + g12 + g22 =1
ds ds ds ds
5 α(s)
˙
T = ˙
α(s)
= α(s), porque α está parametrizada por la longitud de arco.
˙
6
kg es el módulo de la curvatura en s = s0 de la curva α∗ obtenida por la proyección ortogonal de α sobre el plano tangente
a S en p = α(s0 ). Podríamos decir que mide lo que la curva se “tuerce” vista desde la superficie.
7
Esto es, por la longitud de arco.

16. 16 2. Geometría de superficies en R3 .
2. k(s) = kn (s), donde k(s) es la curvatura8 de α en s y kn (s) la curvatura normal 9 ;
3. Verifica las ecuaciones diferenciales de las geodésicas:
2
d2 ul dui duj
+ Γl
i,j =0 ∀l = 1, 2
ds2 ds ds
i,j=1
4. Si k(s) = 0, entonces el plano osculador10 de α es ortogonal a Tα(s) S.
El problema de encontrar las geodésicas de una superficie no es trivial. Sirva como muestra de ello el
dz
caso del elipsoide, que necesita funciones hiperelípticas para poder ser resuelto (integrales de p(z) , donde
p(z) es un polinomio de grado 6). No obstante existen algunas situaciones concretas en las que se pueden
utilizar otras técnicas de tipo geométrico o topológico,por ejemplo, para determinar si una curva es una
geodésica. Un argumento de este tipo es el hecho de que cualquier plano de simetría interseca a la super-
ficie en una geodésica11 . De aquí es inmediato que los meridianos de una superficie de revolución son
geodésicas.
El teorema de longitud mínima de las geodésicas afirma que si en la distancia entre dos puntos de una
superficie se alcanza el mínimo, la curva en la que lo hace es una geodésica. El recíproco es falso. Es
decir, las geodésicas no minimizan las distancias. Basta tomar p, q ∈ S2 no diametralmente opuestos,
entonces existen dos geodésicas de distinta longitud uniendo p y q (las correspondientes a los dos arcos
de la circunferencia máxima que pasa por ambos).Por otro lado, puede ocurrir que no exista ninguna
geodésica sobre S uniendo dos puntos. La condición suficiente para que exista una geodésica que min-
imice las distancias en una superficie conexa es que sea cerrada. Lo que sí es cierto es que ∀p ∈ S existe
un entorno abierto V ⊂ S de p en el que dos puntos cualesquiera pueden ser unidos por una geodésica
de longitud mínima, además tal geodésica está contenida en V .
El teorema de existencia y unicidad de las geodésicas afirma que dados p ∈ S y w ∈ Tp S tal que
w = 1 existe una única geodésica α(s) sobre S tal que α(0) = p y α(0) = w. Es decir, por cada punto
˙
de una superficie S pasa una única geodésica en una dirección dada.
Gracias a todo lo anterior podemos afirmar que las geodésicas de una superficie se comportan (cuanto
menos, localmente) como las rectas en el plano.
Una conclusión inmediata del teorema de existencia y unicidad de las geodésicas es que las geodésicas
de la esfera S2 son las circunferencias máximas.
2.3. Curvaturas.
En la teoría de curvas, al medir la variación de la recta tangente a lo largo de una curva regular α se
obtiene la curvatura. La forma de extender esta idea a superficies regulares es midiendo la variación del
8 ˙
k(s) = T (s)
9 ˙
kn (s) = T (s)n(s) lo que determina la curvatura de α(s) debida a la forma en que S está embebida en R3 .
10
El plano osculador a α en s = s0 tiene por ecuación [x − α(s0 ), α(s0 ), α(s0 )] = 0.
˙ ¨
11
El vector normal a la superficie es invariante por reflexión en el plano de simetría, luego está contenido en él. Al igual que
el vector α de la curva intersección.
¨

17. 2.3 Curvaturas. 17
plano tangente, lo que nos permite ver la relación existente entre la geometría de S y la del espacio am-
biente. Esto es equivalente a observar la variación de la aplicación de Gauss en un entorno de cada punto
de S. El instrumento básico para medir esta variación es la aplicación de Weingarten.
Sea S una superficie regular y sea la carta (U, x). La aplicación de Gauss n : x(U ) ⊂ S → S2 ⊂ R3 es
diferenciable. Luego si α(t) ⊂ x(U ) es una curva diferenciable sobre S, por lo que α (t) ∈ Tα(t) S, en-
tonces n(t) = n(α(t)) es una curva diferenciable sobre S2 . De donde n (t) = n (α(t)) ∈ Tn(α(t)) S2 =
Tα(t) S. Por último, si w ∈ Tp S, α(0) = p y α (0) = w, entonces n(0) = n(p) y n (0) ∈ Tn(p) S2 =
Tn(p) S. Lo que define la aplicación (dn)p : Tp S → Tp S tal que (dn)p (α (0)) = n (0) = (n ◦ α) (0).
Esta aplicación mide la variación de n en p y se le llama diferencial de n en p. En particular, si w = α (0),
Dw n(p) = (dn)p (w) mide la variación de n en p en la dirección w ∈ Tp S − {0} lo que se denomina
derivada direccional de n en p en la dirección w.
Definición 2.3.1. La aplicación Ap := −(dn)p : Tp S → Tp S tal que Ap (α (0)) = −n (0) se llama
aplicación de Weingarten.
La aplicación de Weingarten depende de la orientación de x(U ) ⊂ S, es decir, del sentido de n, cam-
biando de signo al cambiar la orientación de x(U ).
Teorema 2.3.2. La aplicación de Weingarten es una aplicación lineal simétrica respecto del producto
escalar <, >p : Tp S × Tp S → R, es decir A(v)w = vA(w) ∀v, w ∈ Tp S, y su forma bilineal simétrica
asociada es la segunda forma fundamental. Además se tiene que A es un endomorfismo con matriz
coordenada en la base {x1 , x2 } de Tp S g −1 L.
Demostración. Sea w ∈ Tp S, w = w1 x1 + w2 x2 , w1 , w2 ∈ R. Consideremos una curva diferenciable
α(t) = x(u(t), v(t)) ⊂ x(U ) ⊂ S tal que α(0) = p y α (0) = w. Se sigue de α (t) = du x1 + dv x2 ∈
dt dt
Tα(t) S que w = α (0) = du |0 x1 + dv |0 x2 ∈ Tp S con xi = xi (p), i = 1, 2, de donde du |0 = w1 y dv |0 =
dt dt dt dt
w2 . Consideremos ahora la aplicación de Gauss n : x(U ) ⊂ S → S2 ⊂ R3 y la curva diferenciable
compuesta n(t) = n(α(t)) por lo que n (t) = n1 du + n2 dv ∈ Tn(α(t)) S2 =< n(α(t)) >⊥ = Tα(t) S. Se
dt dt
sigue que n(0) = n(p) y n (0) = w1 n1 + w2 n2 ∈ Tp S. Luego la aplicación de Weingarten está definida
por: A : Tp S → Tp S con A(w) = −(dn)p (w) = −n (0) = −(w1 n1 + w2 n2 ) = w1 (−n1 ) + w2 (−n2 ).
Lo anterior prueba que la aplicación de Weingarten está bien definida pues es independiente de la elección
de la curva α. Además es una aplicación lineal tal que A : Tp S → Tp S, xj → A(xj ) = −nj =
2 k k L1 L1
1 2
k=1 Lj xk , j = 1, 2; por lo que la matriz de A en la base {x1 , x2 } de Tp S es (Lj ) = L2 L2
.
1 2
Por último, veamos que A(v)w = vA(w) y que L(v, w) = A(v)w: como xi n = 0, tenemos que
xij n + xi nj = 0, i, j = 1, 2, de donde Lij = −nj xi = xij n = xji n = −ni xj = Lji . Se sigue que
A(xi )xj = −ni xj = −nj xi = A(xj )xi = xi A(xj ). Luego, si v = v1 x1 + v2 x2 ∈ Tp S, obtenemos
2 2
A(v)w = vi wj (A(xi )xj ) ⇒ A(v)w = vi wj (xi A(xj )) = vA(w)
i,j=1 i,j=1
 
2 2 2
L(v, w) = Lij vi wj = − (ni xj )vi wj = − vi ni  wj xj  = A(v)w
i,j=12 i,j=1 i=1 j=1
El estudio de la aplicación de Weingarten es equivalente al estudio de la función curvatura normal de la
superficie S en un punto p: kn : Tp (S) − {0} → R. Así S estará más curvada en p en la dirección donde

18. 18 2. Geometría de superficies en R3 .
la curvatura normal sea mayor.
Ahora bien, el estudio de esta aplicación es, a su vez, equivalente al estudio de la restricción de kn al
compacto S1 = S1 (Tp S) = {w ∈ Tp S tales que w = 1} ⊂ Tp S. De esta restricción se sigue que
p
kn tiene un máximo y un mínimo absolutos k1 = kn (e1 ) y k2 = kn (e2 ) en los elementos e1 , e2 ∈ S1 , p
respectivamente. Por lo que k2 ≤ k(w) ≤ k1 ∀w ∈ Tp S − {0}. Estas dos cantidades se denominan
curvaturas principales de S en p.
Definición 2.3.3. Se definen la curvatura de Gauss de S en p como K = K(p) = k1 k2 y la curvatura
1
media de S en p como H = H(p) = 2 (k1 + k2 ).
Una superficie con curvatura media nula en todo punto se dice superficie minimal.
Teorema 2.3.4. Sean las notaciones precedentes. Entonces tenemos:
1. k1 y k2 son los autovalores de la aplicación de Weingarten y e1 y e2 son los correspondientes
autovectores unitarios, es decir, A(ei ) = ki ei , i = 1, 2, por lo que K = det A y H = 1 traza(A).
2
Además, si k1 = k2 las direcciones e1 , e2 son únicas y ortgonales; y si K1 = k2 siempre podemos
tomar e2 ∈ S1 tal que e1 e2 = 0, de donde {e1 , e2 } es una base ortonormal de Tp S.
p
2.
det L 1 g11 L22 + g22 L11 − 2g12 L12
K= yH =
det g 2 det g
Por otro lado, como la ecuación característica de la aplicacion de Weingarten es λ2 −2Hλ+K =
√ √
0 obtenemos que k1 = H + H 2 − K y que k2 = H − H 2 − K.
Una de las utilidades de la curvatura de Gauss es que nos permite obtener una clasificación de los puntos
de la superficie como sigue:
si K > 0 el punto se dice elíptico;
si K < 0 el punto se dice hiperbólico;
2 2
si K = 0 y k1 + k2 = 0 el punto se dice parabólico;
si K = 0 y k1 = k2 = 0 el punto se dice plano.
La clasificación anterior no depende de la elección de la orientación, por lo que estos conceptos son
invariantes geométicos. En un punto elíptico, p, se tiene k1 k2 > 0 de donde todas las curvas pasando por
dicho punto están curvadas hacia el mismo lado del plano tangente, Tp S; por lo que todos los puntos de
un entorno abierto V ⊂ S de p están situados al mismo lado del plano tangente. Es decir, localmente
Tp S interseca a S solamente en un punto. Del mismo modo, en todo punto hiperbólico k1 k2 < 0. Luego
existen curvas pasando por dicho punto que estan curvadas hacia distinto lado del plano tangente, por
lo que en todo entorno abierto del mismo existen puntos situados a ambos lados del plano tangente; es
decir, localmente el plano tangente interseca a S dejando parte de S a ambos lados del mismo.
Es interesante conocer qué condiciones son necesarias y suficientes para que ciertas funciones dadas
sean los coeficientes de la primera y la segunda formas fundamentales de una suprficie regular, lo que es
análogo al teorema fundamental de las curvas en el planteamiento, pero no en la solución. La respuesta
a esto se da en el siguiente teorema.

19. 2.3 Curvaturas. 19
Lema 2.3.5. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y x = x(u1 , u2 ) una parametrización de S. Entonces
tenemos:
2
∂Γl ∂Γl
ij
ik
− + Γm Γl − Γm Γl
ik mj
l l
ij mk = Lik Lj − Lij lk , i, j, k, l = 1, 2
∂uj ∂uk
m=1
2
∂Lij ∂Lik
− = Γl Llj − Γl Llk
ik ij
∂uk ∂uj
l=1
Las primeras se denominan ecuaciones (segundas) de Gauss y las siguientes, ecuaciones de Codazzi-
Mainardi. Juntas reciben el nombre de ecuaciones de compatibilidad.
Teorema 2.3.6 (Teorema fundamental de superficies). Sean gij , Lij : U ⊂ R2 → R, i, j = 1, 2
funciones diferenciables, con U abierto conexo, tales que g12 = g21 , L12 = L21 , g11 > 0, g22 >
2
0, g11 g22 − g12 > 0, y tales que satisfacen las ecuaciones de compatibilidad. Entonces existe (salvo
movimiento del espacio R3 ) una única superficie regular simple S defiida en un entorno abierto V ⊂ U
de cada punto de U , tal que los gij y los Lij son los coeficientes de la primera y la segunda formas
fundamentales de S.
La demostración del resultado precedente se basa en considerar las ecuaciones de Gauss-Weingarten
como sistema de ecuaciones en derivadas parciales lineales de primer orden cuyas condiciones de com-
patibilidad se satisfacen por hipótesis.
El siguiente teorema prueba que la curvatura de Gauss de una superficie es un concepto intrínseco, de-
pendiendo únicamente de la parametrización de la superficie.
Teorema 2.3.7 (Teorema Egregio de Gauss). La curvatura de Gauss es intrínseca. Ésta se define en
téminos de los coeficientes de la primera forma fundamental y de sus derivadas como sigue:
∂Γ2 ∂Γ2
Γ1 Γ2 + Γ2 Γ2 − Γ2 Γ2 − Γ1 Γ2 +
11 12 11 22 12 12 12 11
11
∂u2 − 12
∂u1
K=
g11
Demostración. Consideremos las componenetes del llamado tensor de curvatura de Riemann (de
primera clase):
2
l ∂Γl ∂Γl
ij
Rijk = ik
− + Γm Γl − Γm Γl
ik mj ij mk i, j, k = 1, 2
∂uj ∂uk
m=1
el cual es intrínseco, puesto que solamente depende de los coeficientes de la primera forma fundamental
y de sus primeras y segundas derivadas.
Ahora, por las ecuaciones de Gauss, tenemos que Rijk = Lik Ll − Lij Ll .
l
j k
Por otro lado, considerando el tensor de curvatura de Riemann de segunda clase: Rmijk = 2 gml Rijk ,
l=1
l
que también es intrínseco, y teniendo en cuenta que Ljm = 2 gjl Ll , tenemos:
l=1 m
2 2 2
l
Rmijk = gml Rijk = Lik gml Ll
j − Lij gml Ll
k = Lik Ljm − Lij Lkm
l=1 l=1 l=1
L11 L22 −L2 R1212
de donde R1212 = L11 L22 − L2 . Luego K =
12 2
12
g11 g22 −g12
= 2
g11 g22 −g12

20. 20 2. Geometría de superficies en R3 .
2.4. Curvatura y Topología.
Teorema 2.4.1 (Fórmula de Gauss-Bonnet). Sea M una superficie orientada, sea γ una curva cer-
rada, regular a trozos, contenida en un entorno coordenado geodésico, que encierra una región R,
simplemente conexa y sean α1 , α2 , ...αn los ángulos externos de la curva, entonces:
n
KdA + kg ds + αi = 2π
R γ i=1
donde kg es la curvatura geodésica de los arcos regulares de γ y K es la curvatura de Gauss.
Nota 2.4.2. Si aplicamos la fórmula anterior a un triángulo12 geodésico (sus lados son geodésicas de la
superficie) obtenemos:
3
KdA + αi = 2π
R i=1
Ahora, supongamos que la superficie regular S es compacta. Entonces se verifica que S es triangula-
ble, es decir, admite una triangulación (incluso, constituida por triángulos geodésicos). Esto es, hay una
familia finita de triángulos R1 , ..., Rm ⊂ S tal que S = i=1 m y si Ri ∩ Rj = ∅, i = j entonces
Ri ∩ Rj es un lado completo o un vértice. Denotando por V el número de vértices de la triangulación;
por L, el de lados; y por C, el de triángulos el número entero, que no depende de la triangulación elegida,
χ(S) = V − L + C se denomina característica de Euler-Poincaré de la superficie.
La característica de Euler Poincaré es un invariante topológico. Toda superficie regular conexa y com-
pacta S ⊂ R3 es difeomorfa a la esfera S2 con g asas, donde g es el género de la superfice, y entonces
χ(S) = 2 − 2g.
Teorema 2.4.3 (Gauss-Bonnet). Sea S una superficie regular compacta orientada con curvatura de
Gauss K. Entonces
KdA = 2πχ(S)
S
donde χ(S) es la característica de Euler-Poincaré de la superficie.
Demostración. Como S es compacta entonces es orientable, es decir, admite un campo de vectores
diferenciable, normal y unitario n : S → S2 , el cual orienta a S. Sea {R1 , ..., Rm } una triangulación
de S constituida por triángulos geodésicos con fronteras Ci = δSi orientadas porsitivas y tales que cada
uno esté contenido en un entorno coordenado de una parametrización ortogonal13 compatible con la
orientación de S y con dominio homeomorfo a un círculo abierto.
Ahora, para cada i = 1, ..., m denotemos por θi1 , θi2 , y θi3 los ángulos externos de Ci , y sean φij =
π − θij los correspondientes ánguls internos. entonces, como la curvatura geodésica es nula en cada Ci ,
obtenemos, aplicando la fórmula de Gauss-Bonnet a cada Ri , i = 1, ..., m, que:
3 3 3
KdA = 2π − θij = 2π − (Π − φij ) = 2π − 3π + φij
Ri j=1 j=1 j=1
12
Una región simple R contenida en una superficie S se denomina triángulo si tiene exactamete tres vértices y trés ánglos
externos.
13
Esto es, g12 = 0.

21. 2.4 Curvatura y Topología. 21
Por tanto,
m m 3
KdA = KdA = 2πm − 3πm + φij
S i=1 Ri i=1 j=1
Por otro lado, como la triangulación está formada por m triángulos y cada lado está en dos de ellos,
se sigue que el número de lados es L = 3m , de donde 3πm = 2π 3m = 2πl. Ahora, puesto que
2 2
m 3
i=1 j=1 φij es la suma de todos los ángulos de la triangulación, y en cada vértice los ángulos suman
2π, obtenemos que m i=1
3
j=1 φij = 2πV , con V el número de vértices de la triangulación. En estas
condiciones, escribiendo C = m, tenemos:
m 3
KdA = 2πm − 3πm − φij = 2π(C − L + V ) = 2πχ(S)
S i=1 j=1
Del teorema anterior podemos extraer las siguientes consecuencias:
Si S es una superficie regular conexa y compacta con curvatura de Gauss K(p) > 0 ∀p ∈ S,
entonces χ(S) > 0, por lo que χ(S) = 2, de donde S es difeomorfa a S2 .
Sea S una superficie regular compacta con curvatura de Gauss K. Entonces tenemos:
• si χ(S) ≥ 0 (resp. χ(S) > 0), entonces existe un punto p ∈ S tal que K(p) ≥ 0 (resp.
K(p) > 0);
• si χ(S) ≤ 0 (resp. χ(S) < 0), entonces existe un punto p ∈ S tal que K(p) ≤ 0 (resp.
K(p) < 0).
Sea S una superficie regular orientada con curvatura de Gauss K y consideremos un polígono
(curvilíneo) geodésico orientado positivo, R, con m lados, ángulos externos θi , y ángulos inter-
m
nos φi = π − θi , i = 1, ..., m. Entonces de la fórmula R KdA + i1 θi = 2π, obtenemos
m
R KdA = i=1 φi + (2 − m)π. En particular, si R es un triángulos geodésico, es decir,
3
m = 3, tenemos R KdA = i=1 φi − π.
Si K ≤ 0, entonces una geodésica γ de S no puede poseer puntos múltiples14 , ni dos geodésicas
γ1 y γ2 de S pueden tener más de una intersección, en el supuesto que sus trazas constituyan la
frontera de una región simple de S.
Demostración. Supongamos que es cierto. Entonces en el primer caso, m = 1 y φ = φ1 ≥ 0 y
R KdA = φ + π > 0, lo que contradice la hipótesis de que K ≤ 0.
En el segundo caso m = 2, φ1 > 0 y φ2 > 0, de donde R KdA = φ1 + φ2 > 0 lo que es una
contradicción.
Si existen dos geodésicas cerradas simples γ1 y γ2 sobre una superficie conexa y compacta con
K > 0 en todo punto, entonces se cortan.
Demostración. En primer luegar nótese que S es difeomorfa a la esfera y que toda geodésica
cerrada simple divide a S en dos regiones. Ahora supongamos por reducción al absurdo que existen
dos geodésicas cerradas simples en la superficie γ1 y γ2 tales que no se cortan. Sin pérdida de
14
Luego S no posee geodésicas cerradas.

22. 22 2. Geometría de superficies en R3 .
generalidad podemos suponer que la región R1 con frontera γ1 está contenida en R2 con frontera
γ2 . En estas condiciones aplicamos la fórmula de Gauss-Bonnet a R1 y R2 , obteniendo:
n
kg (s)ds + KdA + θi1 = 2π
δR1 R1 i=1
m
kg (s)ds + KdA + θi2 = 2π
δR2 R2 i=1
Donde θi1 . θi2 son los ángulos externos de γ1 y γ2 . Como γ1 y γ2 son geodésicas δR1 kg (s)ds =
2 2
δR2 kg (s)ds = 0. Además i=1 θi1 = i=1 θi2 = 0, ya que los ángulos externos de una curva
regular son todos nulos.
Por otro lado,
KdA = KdA + KdA ⇒ KdA = 0
R2 R1 R2 −R1 R2 −R1
Lo que es una contradicción.

23. Capítulo 3
Geometría intrínseca.
3.1. Variedades y superficies diferenciables.
Definición 3.1.1. Sea M un conjunto.
Una aplicación x : U ⊂ M → Rn inyectiva y con imagen un subespacio abierto de Rn se
llama carta1 . A la imagen de cada elemento de M , x(m) = (x1 (m), ..., xn (m)),se le llama el
conjunto de coordenadas de m (respecto de la carta dada). A U se le llama dominio de la carta.
Escribiremos x : M → Rn aún cuando el dominio no sea todo M .
Se llama atlas sobre M a una colección A de cartas sobre Rn cuyos dominios recubran todo M .
Se llama atlas C ∞ a un atlas A tal que para cualesquiera dos cartas x, y ∈ A cuyos dominios U ,V
tengan intersección no vacía resulta que x(U ∩ V ), y(U ∩ V ) son abiertos de Rn y la composición
y ◦ x−1 : x(U ∩ V ) ⊂ Rn → y(U ∩ V ) ⊂ Rn es un difeomorfismo C ∞ . La composición y ◦ x−1
se denomina cambio de coordenadas o cambio de carta.
Definición 3.1.2. Una variedad diferenciable es un conjunto M dotado de un atlas maximal2 . Se llama
dimensión de la variedad M a la dimensión del espacio euclídeo Rn donde toman valores las cartas.
Definición 3.1.3. Se denomina superficie a toda variedad diferenciable de dimensión dos.
El conjunto F(M ) de funciones diferenciables de una variedad diferenciable es un anillo respecto de las
operaciones de suma y producto de funciones.
Definición 3.1.4. Sean M una variedad diferenciable y x : U → Rn una carta. Designaremos las
∂
funciones coordenadas por xi , es decir, x(p) = (x1 (p), ..., xn (p)). Se llama derivada parcial, ∂xi , al
operador
∂
: F(U ) → F(U )
∂xi
∂ ∂(f ◦x−1 )
definido como ∂xi
(f )(p) = ∂ti
, siendo (t1 , ...tn ) las coordenadas en Rn .
x(p)
En particular, las propias funciones coordenadas de la carta se pueden derivar:
∂ ∂(xj ◦ x−1 ) ∂tj j
(xj ) = = = δi
∂xj ∂ti ∂ti
1
Obsérvese que una carta no es más que la inversa de una parametrización.
2
Todas las variedades diferenciables que vamos a considerar serán Hausdorff y verificarán el segundo axioma de numerabil-
idad. Por tanto serán metrizables, paracompactas y admitirán particiones diferenciables de la unidad.

24. 24 3. Geometría intrínseca.
Definición 3.1.5. Sea M una variedad diferenciable. Un campo vectorial X sobre M es una aplicación
X : F(M ) → F(M ) que verifica las siguientes propiedades:
Es R-lineal: X(αf + βg) = αX(f ) + βX(g), para cualesquiera f, g ∈ F(M ), α, β ∈ R.
Verifica la ley de Leibnitz: X(f g) = X(f )g + f X(g), para cualesquiera f, g ∈ F(M ).
Denotaremos X(M ) el conjunto de campos vetoriales sobre la variedad M .
∂
En cada carta x : U → Rn un campo vectorial admite una expersión única como X = ∂xi
Xi donde
X i ∈ F(U ), y la experión está sumada en i según el convenio de Einstein3 , de donde
∂ ∂f i
X(f ) = X i (f ) = X
∂xi ∂xi
Definición 3.1.6. El espacio vectorial real de dimensión n que tiene como base las derivadas parciales
en un punto p de una variedad M se denomina espacio tangente de la variedad en el punto y lo deno-
taremos Tp M . Sus elementos se llaman vectores tangentes.
Si X ∈ X(M ) es un campo vectorial en M , p ∈ M y x : U → Rn es una carta con p ∈ U , entonces
∂
X(p) = ∂xi X i (p) es un vector tangente.
La ley del cambio de carta es la que permite cambiar de carta. Todas las construcciones anteriores son
independientes de la carta escogida. Si X ∈ X(M ) es un campo vectorial y si las expresiones locales
∂ ∂
de X en dos cartas x : U → Rn , y : V → Rn son X = ∂xi X i ; Y = ∂yα Y α , la relación entre las
funciones coordenadas del campo X en una y otra carta es:
∂xi α
Xi = Y
∂y α
Definición 3.1.7. El conjunto T M = ˙ p∈M Tp M de vectores tangentes a una variedad diferenciable se
denomina fibrado tangente de la veriedad4 .
T M también tiene estructura de variedad diferenciable, de dimensión doble de la de M . Además, ori-
entable. De modo natural se establece la proyección π : T M → M , que a cada vector le hace correspon-
der el punto en que es tangente.
Una sección σ del fibrado tangente es una aplicación σ : M → T M tal que π ◦ σ = idM . Es decir,
es una aplicación que a cada punto p le hace corresponder un vector σ(p) ∈ Tp M . Por tanto, un campo
vectorial sobre una variedad no es más que una sección diferenciable del fibrado tangente de la variedad.
Definición 3.1.8. La aplicación tangente o diferencial de una aplicación ϕ : M → N entre variedades
se define del siguiente modo geométrico: al vector v = α (t0 ) ∈ Tp M le hace corresponder el vector
ϕ∗ (v) = (ϕ ◦ α) (t0 ) ∈ Tϕ(p) M , esto es, componiendo la curva α con la aplicación ϕ se obtiene una
nueva curva en N y la aplicación tangente hace corresponder a la velocidad de la primera curva (es
decir, al vector v) la velocidad de la segunda.
3
Según el convenio de sumación de Einstein siempre que un índice se repita dos veces, una situado como subíndice y la
otra como superíndice se entiende que se están sumando todas las cantidades que se obtienen al variar el índice entre todos los
posibles valores (en nuestro caso, entre 1 y n).
4
T M se define como unión disjunta para que tenga estructura de variedad diferenciable. Por ejemplo si consideramos
M = R2 , T M = R2 . Si hubiésemos definido T M = p∈M Tp M no como unión disjunta tendríamos que T M = R2 ∪ −
{(0, 0)} ∪ R2 (denotando R2 , R2 los semiplanos abiertos inferior y superior) lo cual no es una variedad diferenciable.
+ − +

25. 3.1 Variedades y superficies diferenciables. 25
Resulta que es un homomorfismo de espacios vectoriales y que es isomorfismo si la aplicación es difeo-
morfismo. Más aún, se tiene el recíproco que es el teorema de la función inversa para variedades5 : si la
aplicación tangente es isomorfismo en p entonces la aplicación ϕ es un difeomorfismo en un entorno de p.
La aplicación tangente se puede definir así entre los fibrados tangentes ϕ∗ : T M → T N y verifica las
siguientes propiedades:
ϕ ψ
(ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗ , siempre que se tenga M1 → M2 → M3 .
id∗ = id, siendo id : M → M la identidad.
La expresión en coordenadas locales es la siguiente:
∂ ∂ ∂ϕα
ϕ∗ =
∂xi y α ∂xi
siendo x : U → Rm , x(p) = (x1 (p), ..., xm (p)), una carta de M; y : V → Rn , y(q) = (y 1 (q), ..., y n (q)),
una carta de N; ϕα = y α ◦ ϕ.
Así, en coordenadas se tiene la matriz jacobiana
∂ϕ1 ∂ϕ1
 
∂x1
··· ∂xm
 .
. .. .
. 
 . . . 
∂ϕn ∂ϕn
∂x1
··· ∂xm
Es claro que si ϕ∗ : Tp M → Tϕ(p) N es un isomorfismo de espacios vectoriales entonces la matriz jaco-
biana es cuadrada (m = n) y de determinante no nulo. Como las cartas son difeomorfismos, la aplicación
jacobiana y ◦ ϕx−1 : x(U ) → y(V ) también tiene determinante no nulo en el punto x(p). Aplicando el
teorema de la función inversa, existen entornos U de x(p) y V de y(ϕ(p)) tales que y ◦ϕ◦x−1 |U → V
es un difeomorfismo. Entonces ϕ|x−1 (U ) : x−1 (U ) → y −1 (V ) es un difeomorfismo. Con lo que queda
probado el teorema de la función inversa para variedades.
Algebraicamente, la aplicación tangente actúa sobre los campos vectoriales haciendo corresponder a
cada campo X ∈ X(M ) un campo vectorial ϕ∗ (X) ∈ (N ) que queda definido por su actuación osbre
las funicones de N como:
ϕ∗ (X)(h) = X(h ◦ ϕ), ∀h ∈ F(N )
Definición 3.1.9. Sean M y N dos variedades diferenciables y f : M → N una aplicación diferencia-
ble. Se dice que:
f es una inmersión si la aplicación tangente f∗ : Tp M → Tf (p) N es inyectiva, para todo p ∈ M .
f es un embedding si es una inmersión inyectiva.
M es una subvariedad de N si M ⊂ N y la inyección natural f : M → N es una inmersión.
M es una subvariedad regular de N si es una subvariedad y la topología de M coincide con la
restricción de la de N .
f es un embedding regular si es un embedding y f (M ) es una subvariedad regular de N . En tal
caso, f : M → f (M ) es homeomorfismo y también difeomorfismo.
5
Ver F. W. Warner:Foundatios of Differential maps and Lie groups. Scott, Foresman and Co., Glenview, III.,1971, p. 24.

26. 26 3. Geometría intrínseca.
3.2. Superficies riemannianas abstractas.
Los conceptos de geometría intrínseca, son aquéllos que dependen sólo de la primera forma fundamental,
la cual se define a partir de un producto interior en cada Tp . En el caso de R3 considerábamos el producto
escalar heredado. Si lo cambiamos por otro cualquiera que varíe diferenciablemente podemos considerasr
los símbolos de Christoffel, la curvatura de Gauss, y demás conceptos intrínsecos definidos del mismo
modo que teníamos cuando el pro ducto interior era el heredado de R3 . Para ello introducimos el siguiente
concepto:
Definición 3.2.1. Se denomina superficie riemanniana al par (M, g) donde M es una superficie difer-
enciable y g es un campo tensorial de tipo (0, 2) simétrico y definido positivo6 .
Es decir,
g : X(M ) × X(M ) → F(M )
(X, Y ) → g(X, Y )
tal que:
es F(M )-lineal: g(X + Y, Z) = g(X, Z) + g(Y, Z); g(f X, Y ) = gf (X, Y );
g(X, Y ) = g(Y, X);
(g(X, X))p ≥ 0, ∀X ∈ X(M ), ∀p ∈ M y (g(X, X))p = 0 ⇔ Xp = 0
De modo que para cada p ∈ M gp : Tp M × Tp M → R es una forma bilineal simétrica:
gp (Xp , Yp ) = gp (Yp , Xp );
gp (αXp + βYp , Zp ) = αgp (Xp , Zp ) + βgp (Yp , Zp );
gp (Xp , Xp ) ≥ 0, dándose la igualdad si y sólo si Xp = 0.
cuando Xp , Yp , Zp ∈ Tp M , α, β ∈ R.
Se dice que g es una métrica riemanniana o primera forma fundamental de la superficie.
Como g es un campo tensorial (0, 2) se expresa en coordenadas7 :
g = g11 dx1 ⊗ dx1 + 2g12 dx1 ⊗ dx2 + g22 dx2 ⊗ dx2
de donde:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
g ,
1 ∂x1
= g11 dx1 dx1 +2g12 dx1 dx2 +g22 dx2 dx2 = g11
∂x ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
g , = g11 dx1 dx1 +2g12 dx1 dx2 +g22 dx2 dx2 = g12
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
g , = g11 dx1 dx1 +2g12 dx1 dx2 +g22 dx2 dx2 = g22
∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂x2
6
Esta definición se generaliza de manera natural a cualquier dimensión.
Por comodidad, escribiremos la métrica g = g11 (dx1 )2 + 2g12 dx1 dx2 + g22 (dx2 )2 . Nótese además que esta definición
7
generaliza la definición de la primera forma fundamental para superficies

27. 3.2 Superficies riemannianas abstractas. 27
Matricialmente, como g es una aplicación bilineal, lo anterior se expresa
g11 g12
g(X, Y ) = X t Y
g12 g22
En cada punto p ∈ M podemos definir
gp : Tp M × Tp M → R
(v, w) → gp (v, w) = (g(X, Y ))p
con X, Y ∈ X tales que Xp = v, Yp = w. La definición anterior no depende de X e Y .
En coordenadas lo anterior se expresa:
∂ ∂
gp , = gij (p)
∂xi p ∂xj p
Lema 3.2.2. Dadas dos cartas (U, x1 , ..., xn ) y (V, y 1 , ...y n ) en M con U ∩ V = ∅, consideramos las subvar-
iedades riemanniamas (U, gij ) y (V, gαβ ). En estas condiciones se verifica la ley del cambio de carta:
˜
∂xi xj
gαβ =
˜ gij
∂y α y β
i,j∈{1,2}
Nota 3.2.3. En cada Tp M , g induce un producto escalar, denominado métrica riemanniana sobre M , donde gij =
∂ ∂
∂xi ∂xj , i, j ∈ {1, 2}. Podemos extender así a variedades riemannianas de dimensión dos todos los conceptos de
geometría intrínseca (obsérvese que gp sólo depende de la superficie y no del espacio ambiente, por lo que estos
conceptos se denominan intrísecos). Para ello lo que haremos será definir los símbolos de Christoffel de S en
términos de g11 , g12 y g22 . El resto de conceptos de geometría intrínseca se definen a partir de los símbolos de
Christoffel, por lo que son los mismos que vimos para superficies de R3
Definición 3.2.4. Las ecuaciones de los símbolos de Christoffel son las siguientes:
2
1 ∂gik ∂gij ∂gjk
Γm
i,j = − + g km ∀i, j, m ∈ {1, 2}
2 ∂uj ∂uk ∂ui
k=1
Definición 3.2.5. Sea α(t) : I → M , t ∈ (a, b) ⊂ R una curva parametrizada regular8 , se define su longitud de
arco desde el punto t0 como:
t t t 2
dhi dhj
l(t) = α (t) dt = α (t), α (t) dt = gij dt
t0 t0 t0 i,j=1
dt dt
Esto nos permite definir la distancia entre dos puntos p, q ∈ S como:
d(p, q) = inf {l(α) | p, q ∈ α curva en S}
Se trata del ínfimo de un conjuno no vacío de números reales, acotado inferiormente por 0. Luego dicho ínfimo
existe. El mínimo no tiene por qué alcanzarse. Un ejemplo en el que el mínimo no se alcanza es el par de puntos
(−1, 0), (1, 0) en la veriedad riemanniana R2 − {(0, 0)}, (dx)2 + (dy)2 . El camino de longitud mínima es el
rectilíneo que une p y q, pero ese camino no pertenece a la variedad ya que pasa por el (0, 0), así que dicho camino
no existe.
Una variedad riemanniana conexa (M, g) es, por tanto, un espacio métrico con la función de distancia d(p, q). Se
demuestra que la topología de este espacio métrico coincide con la dada por la estructura de variedad diferenciable9
de M 10 .
8
Es decir, α (s) = 1.
9
La base de esta topología está constituida por la colección de dominios de cartas (del atlas maximal) de M .)
10
Idea de la demostración:

28. 28 3. Geometría intrínseca.
Definición 3.2.6. Se define el área de una región acotada R de una superficie regular S parametrizada por x
como:
A = A(R) = det(g)dudv = 2
g11 g22 − g12 dudv
x−1 (R) x−1 (R)
Nota 3.2.7. El área de una superficie en R3 se puede hallar de dos maneras: usando la definición anterior o
empleando el producto vectorial de R3 . Si consideramos superficies abstractas sólo podemos emplear la definición
precedente.
3.2.1. Visualización de métricas riemannianas.
Sea (S, g) una superficie riemanniana. Para cada punto p ∈ S está definido el espacio vectorial Tp S de dimensión
2. Podemos considerar ahora el conjunto de vectores εp ⊂ Tp S:
εp = {vp ∈ Tp S|gp (v, v) = 1}
que es una elipse en Tp S con centro el vector nulo. La elipse y la métrica se determian la una a la otra. Por ejemplo,
dado cualquier vector no nulo v la longitud (gp (v, v)) es el único escalar positivo c tal que v/c ∈ εp .
Por lo tanto, podemos ver la métrica de Riemann g como un campo el elipses, una en cada Tp S ∀p ∈ S. Si (U, x)
es cualquier carta de S, podemos representar g|U mediante un campo de elipses en el abierto del plano x(U ).
Éste varía con los cambios de coordenadas pero la métrica representada siempre es la misma: el mismo campo de
elipses en los Tp S.
Seguramente el lector habrá pensado que una mejor forma de visualizar una métrica bidimensional g es encontrar
una superficie S en R3 y una parametrización x de S cuya primera forma fundamental sea g.
Es decir si las coordenadas locales son (u, v) y en ellas es g = g11 (du)2 + 2g12 dudv + g22 (dv)2 , pretendemos
encontrar tres funciones x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) que satisfagan el sistema de ecuaciones en derivadas
parciales no lineales:
x2 + yu + zu = g11 (u, v)
u
2 2
xu xv + yu yv + zu zv = g12 (u, v)
v
2 2
x2 + yv + zv = g22 (u, v)
Pero tenemos el siguiente resultado:
Teorema 3.2.8 (Pogorelov). Existe una métrica en el plano tal que ningún entorno del origen, por pequeño que
se tome, es la primera forma fundamental de niguna superficie diferenciable en el espacio euclídeo.
La métrica de Pogorelov es complicada11 , por lo que podríamos pensar que lo anterior carece de interés. Sin em-
bargo hay métricas “interesantes” que presentan un comportamiento similar, como el modelo del plano hiperbólico
del semiplano de Poincaré12 . No es posible construir la métrica hiperbólica13 mediante superficies en el espacio
euclídeo: pueden obtenerse trozos de la métrica hiperbólica mediante primeras formas fundamentales de superfi-
cies en el espacio euclídeo, pero es imposible obtener así el plano hiperbólico en su totalidad.
d así definida cumple las cuatro propiedades de la definición de distancia;
mediante d obtenemos una base de abiertos de la variedad M como espacio métrico;
consideramos la base de la topología de M dada por la colección de dominios de cartas de M ;
se comprueba que ambas topologías coinciden.
11
Pogorelov en su artículo An example of a two-dimensional Riemannian metric that does not admit a local realization in E3 ,
Dokl. Akad. Nauk SSSR, 198(1971), 42-43 construye una métrica C 2,1 en R2 que en un entorno del origen no admite ningún
embedding C 2 en el espacio euclídeo tridimensional. (Una función se dice C 2,1 si sus segundas derivadas son Lipschitz).La
construcción de la misma es complicada y se basa en varios lemas acerca de funciones convexas y superficies.
12
Ver ejemplo 3.4.2
13
Ver teorema 3.3.9

29. 3.3 Inmersión de superficies. 29
3.3. Inmersión de superficies.
Teorema 3.3.1 (Whitney). Toda variedad diferenciable de dimensión n admite un embedding regular en R2n
Teorema 3.3.2. Una variedad topológica compacta y no orientable, de dimensión n − 1, no puede admitir un
embedding en la esfera Sn
Como consecuencia se tiene que una superficie compacta y no orientable no admite un embedding en S 3 , y tam-
poco en R3 (porque R3 ⊂ S3 vía la proyección estereográfica: S 3 es la compactificación de Alexandroff de R3 ).
Ejemplos de lo anterior son el plano proyectivo real que es una superficie compacta no orientable que admite
una inmersión en R3 con autointersecciones y un embedding en R4 , pero no lo puede admitir en R3 . Lo mismo le
ocurre a la botella de Klein.
Nuestro objetivo es el estudio superficies inmersas en R4 , que, por tanto, heredan la métrica de R4 (como subvar-
iedades riemannianas de R4 ).
Definición 3.3.3. Dada una variedad riemanniana (M, g) y p ∈ Tp M se define la aplicación exponencial como
expp : Tp M → M
v → γv (1)
donde γv : (a, b) ⊂ R → M es la única geodésica tal que γv (0) = p y γv (0) = v.
Nota 3.3.4. El nombre de aplicación exponencial procede de la teoría de grupos de Lie, donde el caso más sencillo
es la aplicación T1 R+ → R+ , t → exp t del espacio tangente T1 R+ del grupo multiplicativo R+ de los números
reales positivos.
Geométricamente, la exponencial expp (v) es el punto de M que se obtiene al recorrer una distancia v , a partir
v
de p, a lo largo de la geodésica que pasa por p con velocidad igual a v . Lo anterior es equivalente14 a recorrer
una “distancia” igual a 1, a partir de p, a lo largo de la geodésica que parte de p con velocidad v.
Proposición 3.3.5. La aplicación exponencial es un difeomorfismo local.
Definición 3.3.6. Sean las notaciones anteriores. Se dice que una variedad riemanniana (M, g) es geodésica-
mente completa si γv está definida en todo R ∀v ∈ Tp M .
Teorema 3.3.7 (Hopf-Rinow (1931)). Sea M una variedad riemanniana y sea p ∈ M . Las siguientes afirma-
ciones son equivalentes:
expp está definida para todo Tp M ;
los subconjuntos cerrados y acotados de M son compactos;
M es completa como espacio métrico;
M es geodésicamente completa.
Si se verifica alguna de las condiciones anteriores también se tiene que para cada par de puntos p, q ∈ M existe
una geodésica de longitud mínima uniendo p y q. Además, admitido el teorema de Hopf-Rinow, resulta inmediato
que toda variedad riemanniana compacta es completa15 .
Teorema 3.3.8 (Minding (1839)). Dos superficies regulares que tengan curvaturas de Gauss iguales y constantes
son localmente isométricas.
14
Esta equivalencia es una consecuencia del lema de homogeneidad que afirma que si una geodésica γp (v) está definida en
(− , ), entonces la geodésica γp (av), a > 0 está definida en (− /a, /a).Como consecuencia, es posible aumentar (disminuir)
la velocidad de una geodésica disminuyendo (aumentando, respectivamente) su intervalo de definición.
15
Si M es compacta todo subconjunto cerrado de M es compacto, con lo que la segunda condición se verifica trivialmente.

30. 30 3. Geometría intrínseca.
Teorema 3.3.9 (Hilbert (1901)). Una superficie completa con curvatura constante negativa no se puede aplicar
en R3 mediante una inmersión isométrica.
Luego el plano hiperbólico16 H2 no admite un embedding isométrico en R3 pero localmente es isométrico a una
superficie de R3 : la pseudoesfera, pues ambos tienen la misma curvatura. Lo que ocurre es la psudoesfera en R3
no es geodésicamente completa.
Llegados a este punto nos podemos preguntar a cerca de en qué condiciones una variedad admite un embedding
isométrico en Rn . Y, de ser así, cuál es el menor valor de n para el cual lo admite. Sobre esto existen numerosos
resultados y problemas abiertos.
Embeddings Isométricos de Variedades Riemannianas.
En 1873, Schlaefli conjeturó: Toda variedad riemanniana n-dimensional admite un embedding isométrico C ∞ lo-
cal en Rsn , con sn = n(n + 1)/2. Janet y Cartan fueron quienes más de 50 años después dieron una respuesta
afirmativa en el caso analítico. Probaron en 1926-1927 que toda variedad riemanniana analítica n-dimensional ad-
mite un embedding isométrico local en Rsn . De hecho, sn se llama dimensión de Janet. La pregunta de Schlaefli
para el caso diferenciable cuando n = 2 suscitó la atención e Yau en las décadas de los 80 y 90.
En el caso de los embeddings isométricos globales, Nash en 1954 y Kuiper en 1955 probaron la existencia de
un embedding isométrico global C 1 de variedades riemannianas n-dimensionales en R2n+1 . Para los embeddings
isométricos diferenciables, la dificultad viene de la pérdida de derivadas que se produce al resolver las ecuaciones
no lineales correspondientes al embedding isométrico. En 1956, Nash publicó un artículo en el que se evita lo ante-
rior usando operadores diferenciables. Probó que toda variedad riemanniana n-dimensional admite un embedding
isométrico global C ∞ en el espacio euclídeo RN con N = 3sn + 4n si es compacta y N = (n + 1)(3sn + 4n)
si no lo es. La técnica de demostración que introdujo ha resultado ser muy útil a la hora de resolver ecuaciones
diferenciales no lineales. Ha sido modificada por mucha gente, incluyendo a Moser y a Hörmander, y actualmente
se conoce como la versión fuerte del teorema de la función implícita, o la iteración de Nash-Moser.
Siguiendo la línea de Nash, lo que uno se pregunta de forma natural es por el menor N . Gromov en su libro Partial
Differential Relations, publicado en 1986, estudió varios problemas relacionados con los embeddings isométricos
de variedades riemannianas. Probó que N = sn + 2n + 3 es suficiente en el caso compacto. Más adelante, en 1989,
Günther simplificó bastante la prueba original de Nash. Reescribiendo las ecuaciones diferenciales de manera ac-
ertada, fue capaz de emplear el principio de contracción, en vez de la iteración de Nash-Moser para construir las
soluciones. Günter también redujo la dimensión del espacio ambiente a N = max{sn + 2n, sn + n + 5}. Aún no
está claro si este es el mejor resultado posible.
En 1970, Gromov y Rokhlin y Greene, independientemente, probaron que toda veriedad riemanniana n-dimensional
admite un embedding isométrico C ∞ en Rsn +n localmente. La prueba se basa en la técnica de iteración que intro-
dujo Nash.
Para el caso de superficies riemannianas existen mejores resultados. De acuerdo con Gromov y Günther, toda su-
perficie riemanniana compacta admite un embedding isométrico en R10 . Dependiendo de las propiedades de la
superficie esta cota puede rebajarse, como veremos en algunos ejemplos. Por otro lado, en 1973 Poznyak demostró
que toda superficie riemanniana admite un embedding isométrico local en R4 .
Embedding isométrico local de superficies en R3 .
Darboux en 1894 sabía que la construcción de un embedding isométrico local de una superficie en R3 es equiva-
lente a encontrar la solución local de una ecuación no lineal del tipo Monge-Ampère. Tal ecuación ahora se conoce
com la ecuación de Darboux; su tipo viene determinado por el signo de la curvatura de Gauss K. Se dice elíptica
si K es positiva; hiperbólica, si es negativa; y degenerada si K es nula. Señalemos que la resolución local de la
ecuación de Darboux en el caso general no está cubierta por ninguna teoría de ecuaciones en derivadas parciales
conocida.
16
Ver ejemplo 3.4.2.

31. 3.3 Inmersión de superficies. 31
Pero el primer intento resolver este problema no fue a través de la ecuación de Darboux. En 1908, Levi lo resolvió
para superficies con curvatura negativa usando las ecuaciones de las asíntotas virtuales. Varias décadas más tarde
fue cuando la ecuación de Darboux atrajo la atención de aquéllos interesados en los embeddings isométricos. Al
principio de la década de los 50, Hartman y Winter estudiaron la ecuación de Darboux en el caso en que la curvatu-
ra de Gauss K es no nula y probaron la existencia de soluciones locales de la ecuación de Darboux, y, por tanto, la
existencia del embedding isométrico local en R3 en ese caso.
Durante mucho tiempo se resistió la prueba del caso en que K se anula. En 1985 y 1986, Lin llevó a cabo un
importante avance. Obtuvo la existencia de soluciones suficientemente diferenciables de la ecuación de Darboux
y a la vez probó la existencia de un embedding isométrico en un entorno de p en los casos en que K(p) = 0 y
dK(p) = 0, o K ≥ 0 en un entorno de p. Más tarde, Nakamura probó la existencia de un embedding isométri-
co local si K(p) = 0, dK(p) = 0 y HessK(p) < 0. Para el caso de curvatura de Gauss no positiva, Hong
en 1991 probó la existencia de un embeding isométrico local suficientemente diferenciable en un entorno de p si
K = hg 2m , con h una función negativa y g una función tal que g(p) = 0 y dg(p) = 0. En 2005, Han dio una
prueba más simple del resultado de Lin basada en un estudio más cuidadoso de la ecuación de Darboux.
En 2003, Han, Hong y Lin estudiaron los embeddings isométricos de superficies en R3 mediante otro método.
En vez de la ecuación de Darboux, estudiaron un sistema diferencial cuasilineal equivalente a las ecuaciones de
Gauss-Codazzi y probaron la existencia del embeddings isométricos locales para una gran clase de métricas con
curvatura de Gauss no positiva, obteniendo los resultados de Nakamura y Hong como casos particulares.
Por otro lado, Pogorelov en 1972 construyó una métrica C 2,1 en B1 ⊂ R2 cuya curvatura de Gauss cambia de
signo de tal modo que (Br , g) no puede inmersa como superficie C 2 de R3 para ningún r > 0.
Embedding isométrico global de superficies en R3 .
En 1916, Weyl propuso el siguiente problema. ¿Admite toda métrica riemanniana en S2 con curvatura de Gauss
positiva un embedding isométrico en R3 ? El primer intento de solución de este problema lo llevó a cabo el pro-
pio Weyl. Usó el método de la continuidad y obtuvo estimadores para las segundas derivadas. Veinte años más
tarde, Levy resolvió el problema para g una métrica analítica. En 1953, Nirenberg dio un solución completa ba-
jo la hipótesis de que la métrica g fuese C 4 . Heinz extendió este resultado al caso C 3 en 1962. Bajo un punto de
vista completamente diferente, Alexandroff en 1942 obtuvo una solución generalizada del problema de Weyl como
límite de poliedros. La regularidad de esta solución generalizada fue demostrada por Porgorelov al finales de los
cuarenta. En 1994 y 1995, Huan y Li, y Hong y Zuily generalizaron el resultado de Nirenberg para métricas en S2
con curvatura de Gauss no negativa.
El estudio de supreficies con curvatura negativa en R3 está muy ligado a las geometrías no euclídeas. La investi-
gación sobre la inmersión de métricas con curvatura negativa nos remite hasta Hilbert. Él probó en 1901 que el
plano hiperbólico no admite una inmersión isométrica en R3 . A continuación, lo natural es extender tal resultado
a superficies cuya curvatura de Gauss esté acotada superiormente por una constante negativa. La solución a este
problema fue obtenida por Efimov en 1963 quien probó que las superficies con curvatura de Gauss acotada supe-
riormente por cero no admiten una inmersion isométrica C 2 en R3 .
Antes de los años setenta, el estudio de las superficies con curvatura negativa estaba dirigido, sobre todo, a la
no existencia de inmersiones isométricas en R3 . En cuanto a la existencia, no se conocía ningún resultado para
superficies con curvatura de Gauss negativa en todo punto. En los ochenta, Yau propuso encontrar una condición
suficiente para que tales superficies admitiesen una inmersión isométrica en R3 . En 1993, Hong probó que bastaba
con que la curvatura de Gauss decreciese en algún momento a infinito, basándose en un sistema diferencial equiv-
alente al sistema de Gauss-Codazzi.
Embedding isométrico local de variedades riemannianas n-dimensionales en Rsn .
El problema de la existencia de un embedding isométrico local de una variedad riemanniana n-dimensional en Rsn
es muy distinto si n ≥ 3 o si n = 2. Para n = 2, sólo hay una única función de curvatura que determina el tipo
de la ecuación de Darboux, es decir, la ecuación del embedding isométrico de las superficies riemannianas en R3 .
Para n ≥ 3, el papel de las funciones de curvatura no está tan claro.

32. 32 3. Geometría intrínseca.
En 1983, Bryant, Griffiths y Yang estudiaron las variedades características asociadas con los sistemas diferenciales
para los embeddings isométricos de variedades riemannianas n-dimensionales. Probaron que tales variedades nun-
ca son vacías si n ≥ 3. Esto implica, en particular, que los sistemas diferenciales para los embeddings isométricos
en Rsn variedades riemannianas n-dimensionales nunca son elípticos si n ≥ 3, sin depender de las curvaturas. Lo
que representa una gran diferencia con el caso n = 2.
En el caso n = 3, Bryant, Griffiths y Yang , en 1983, estudiaron las variedades características, siendo capaces
de clasificar el tipo de sistema diferencial para el embedding isométrico según sus funciones de curvatura. Aquí
interviene la signatura del tensor de curvatura visto como un operador lineal simétrico actuando sobre el espacio de
las 2-formas. Probaron que toda variedad riemanniana 3-dimensional admite un embedding isométrico local en R6
si la signatura es diferente de (0,0) y (0,1). Posteriormente, en 1989, Nakamura y Maeda demostraron la existencia
de un embedding isométrico local en R6 de variedades riemannianas 3-dimenionales si los tensores de curvatura
son no nulos.
3.4. Ejemplos.
Ilustremos lo precedente mediante algunos ejemplos:
3.4.1. Superficies de R3
Esfera S2 .
Consideramos la parametrización de S2 :
π π
x(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) u ∈ [0, 2π); v ∈ − ,
2 2
Calculemos los coeficientes de la primera forma fundamental:
∂(x(u,v))
x1 = ∂u = (− sin u cos v, cos u cos v, 0);
∂(x(u,v))
x2 = ∂v = (− cos u sin v, − sin u sin v, cos v);
g11 = x1 x1 = cos2 v;
g12 = x1 x2 = 0;
g22 = x2 x2 = 1.
Los símbolos de Christoffel son:
Γ1 = Γ1 = Γ2 = Γ2 = 0;
11 22 12 22
Γ1 = − cos v ;
12
sin
v
Γ2 = sin v cos v.
11