Este documento presenta información sobre la parábola. Define la parábola como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Explica los elementos de una parábola como el vértice, foco y directriz. También describe las ecuaciones canónica, ordinaria y general que representan una parábola. Por último, muestra un ejemplo de cómo calcular el vértice, foco y directriz a partir de la ecuación de una parábola dada.
Este documento presenta una introducción a la geometría de las parábolas. Define una parábola como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Explica los elementos clave de una parábola como el foco, directriz, vértice y eje. Luego, describe las ecuaciones canónica, ordinaria y general que definen una parábola. Finalmente, resume las propiedades principales de las parábolas y menciona posibles aplicaciones.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se puede representar mediante una ecuación canónica dependiendo de su posición y pasando por puntos dados.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se pueden hallar su ecuación canónica y elementos dados algunos puntos o condiciones sobre ella.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se dan ejemplos para hallar la ecuación canónica y los elementos geométricos de parábolas dadas. Una propiedad importante es que los rayos paralelos al eje que inciden en la parábola se reflejan pasando por el foco.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se puede representar mediante una ecuación canónica dependiendo de su posición y elementos.
El documento presenta información sobre parábolas, incluyendo su definición como el lugar geométrico de puntos equidistantes de una recta y un punto fijo, y cómo se construye una parábola conociendo el foco y la directriz. También cubre fórmulas para calcular la longitud del lado recto y coordenadas del vértice y foco. Se incluyen ejemplos resueltos y breve historia sobre el descubrimiento de las secciones cónicas.
El documento contiene información sobre diferentes tipos de curvas planas como elipses, parábolas, hipérbolas y sus propiedades y ecuaciones. Explica que una elipse es una curva cerrada formada por la intersección de un cono y un plano, mientras que una parábola y una hipérbola son curvas abiertas definidas por la distancia a puntos focales. También incluye teoremas geométricos sobre estas curvas y enlaces a videos explicativos.
Este documento describe las propiedades geométricas y analíticas de la parábola. Define una parábola como el lugar geométrico de los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y una línea fija llamada directriz. Explica que la ecuación general de una parábola es (x-h)2/a2 = (y-k)2, donde (h,k) son las coordenadas del vértice y a es el parámetro de la parábola. También resume las aplicaciones prácticas
Este documento presenta una introducción a la geometría de las parábolas. Define una parábola como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Explica los elementos clave de una parábola como el foco, directriz, vértice y eje. Luego, describe las ecuaciones canónica, ordinaria y general que definen una parábola. Finalmente, resume las propiedades principales de las parábolas y menciona posibles aplicaciones.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se puede representar mediante una ecuación canónica dependiendo de su posición y pasando por puntos dados.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se pueden hallar su ecuación canónica y elementos dados algunos puntos o condiciones sobre ella.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se dan ejemplos para hallar la ecuación canónica y los elementos geométricos de parábolas dadas. Una propiedad importante es que los rayos paralelos al eje que inciden en la parábola se reflejan pasando por el foco.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un foco y una recta directriz. Tiene elementos como el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro. Se puede representar mediante una ecuación canónica dependiendo de su posición y elementos.
El documento presenta información sobre parábolas, incluyendo su definición como el lugar geométrico de puntos equidistantes de una recta y un punto fijo, y cómo se construye una parábola conociendo el foco y la directriz. También cubre fórmulas para calcular la longitud del lado recto y coordenadas del vértice y foco. Se incluyen ejemplos resueltos y breve historia sobre el descubrimiento de las secciones cónicas.
El documento contiene información sobre diferentes tipos de curvas planas como elipses, parábolas, hipérbolas y sus propiedades y ecuaciones. Explica que una elipse es una curva cerrada formada por la intersección de un cono y un plano, mientras que una parábola y una hipérbola son curvas abiertas definidas por la distancia a puntos focales. También incluye teoremas geométricos sobre estas curvas y enlaces a videos explicativos.
Este documento describe las propiedades geométricas y analíticas de la parábola. Define una parábola como el lugar geométrico de los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y una línea fija llamada directriz. Explica que la ecuación general de una parábola es (x-h)2/a2 = (y-k)2, donde (h,k) son las coordenadas del vértice y a es el parámetro de la parábola. También resume las aplicaciones prácticas
El documento describe el plano cartesiano y cómo se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano mediante coordenadas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares (ejes x e y) que se cortan en un punto de origen, y que cualquier punto se puede ubicar mediante un par de números que indican su distancia a cada eje. También cubre cómo calcular la distancia entre dos puntos usando su ubicación en el plano cartesiano.
Este documento resume las características geométricas y algebraicas de la parábola. Explica que una parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes a una recta directriz y un punto fijo llamado foco. También describe cómo trazar parábolas usando un compás y regla, y cómo obtener las ecuaciones ordinarias y la ecuación general de una parábola a partir de sus elementos geométricos como el vértice, foco y directriz.
Este documento describe las parábolas geométricamente y a través de ecuaciones. Explica que una parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes a una recta directriz y un punto fijo llamado foco. También define elementos como el vértice, eje y parámetro. Muestra cómo trazar parábolas y derivar sus ecuaciones ordinarias y la forma general a partir de la forma canónica.
Este documento presenta la unidad 5 sobre la parábola y su ecuación cartesiana. Explica cómo construir una parábola, define sus elementos como el foco, directriz y vértice, y deduce la ecuación de la parábola a partir de su definición geométrica como lugar geométrico. También resuelve problemas aplicando los conceptos sobre la parábola.
Este documento presenta la unidad 5 sobre la parábola y su ecuación cartesiana. Introduce la parábola como lugar geométrico definido por la igualdad de distancias entre un punto móvil y un foco fijo y una recta directriz. Deriva la ecuación de la parábola a partir de esta definición geométrica y analiza parábolas con ejes paralelos a los ejes coordenados. Resuelve problemas aplicando los conceptos sobre la parábola.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta llamada directriz y un punto fijo llamado foco. Todas las parábolas tienen la misma forma básica aunque varían en escala. Se caracterizan por tener un lado recto cuya longitud es 4 veces la distancia focal entre el foco y el vértice. Pueden representarse mediante ecuaciones cuadráticas del tipo y=ax2, donde a es un parámetro relacionado con la escala.
La Parabola Proyecto de matematicas_ U.P.S.EGatu Estefy
Este documento presenta información sobre la parábola como una sección cónica. Define la parábola, sus elementos clave como el vértice, foco y directriz, y explica cómo trazar una parábola. También proporciona las ecuaciones canónicas y generales de la parábola y presenta ejemplos para ilustrar cómo encontrar los elementos de una parábola a partir de su ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan sobre la naturaleza y propiedades geométricas y algebraicas de la parábola.
1) La parábola es una sección cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta directriz y un punto fijo llamado foco.
2) Todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma pero diferente escala. Su ecuación general es y=ax^2.
3) Una propiedad clave es que la tangente a la parábola biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección sobre la directriz. Esto tiene aplicaciones como antenas
Este documento explica las características geométricas y algebraicas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola). Define cada curva, describe cómo trazarlas y establece sus ecuaciones canónicas. Además, muestra ejemplos de cómo resolver problemas geométricos usando las ecuaciones de las cónicas.
El documento describe los conceptos fundamentales del plano cartesiano y las curvas cónicas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares (x e y) que se intersectan en el origen, y que cualquier punto en el plano se puede ubicar mediante el uso de coordenadas. Luego, introduce las ecuaciones y elementos básicos de curvas cónicas como circunferencias, elipses, parábolas, hipérbolas y su relación con la intersección de un cono.
Este documento describe las secciones cónicas, en particular la parábola. Explica que las secciones cónicas son curvas obtenidas de la intersección de un cono con un plano, y que dependiendo de la inclinación del plano se obtienen diferentes curvas como la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Luego se enfoca en la parábola, definiéndola como el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una recta llamada directriz, y derivando su ecuación canónica a partir de
El documento define una parábola como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco). Explica que las parábolas son simétricas respecto a la línea perpendicular a la directriz que pasa por el foco, y que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma a diferencia de la escala. También describe que las tangentes a la parábola bisecan el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección sobre la directriz.
El documento describe las propiedades geométricas y analíticas de la parábola. Define la parábola como la curva que mantiene una distancia constante a una línea directriz y un punto focal. Explica que todas las parábolas son semejantes, solo difieren en escala, y describe cómo construir una parábola a partir de una línea directriz y un punto focal.
Este documento proporciona definiciones, teoremas y propiedades de las tres secciones cónicas principales: la parábola, la elipse y la hipérbola. Define una parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de un foco y una directriz. Define una elipse como el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Define una hipérbola como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Presenta teoremas para deriv
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia y la parábola. Explica que la ecuación de la circunferencia depende de las coordenadas de su centro y radio, mientras que la ecuación de la parábola depende de las coordenadas de su vértice, foco y directriz. Proporciona ejemplos de cómo calcular las ecuaciones de ambas figuras geométricas.
Este documento describe las propiedades geométricas y analíticas de las parábolas. Explica que una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. También describe cómo construir una parábola dados su foco y directriz, y sus propiedades como que la longitud del lado recto es 4 veces la distancia focal y que las tangentes bisecan el ángulo entre el foco, punto de tangencia y su proyección. Finalmente, explica aplicaciones prácticas como
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNINGLeydis Julio
El documento describe los conceptos de pensamiento espacial y sistemas geométricos, incluyendo las gráficas de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en el plano cartesiano y cómo resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cónicas. El estudiante aprenderá a definir estas gráficas y a resolver problemas matemáticos de manera crítica.
El documento describe los conceptos de pensamiento espacial y sistemas geométricos, incluyendo las gráficas de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en el plano cartesiano y cómo resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cónicas. El estudiante aprenderá a definir estas gráficas y tomar una actitud crítica al argumentar problemas matemáticos correctamente.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. Una parábola tiene elementos como la directriz, el foco, el vértice y el eje focal. Existen diferentes ecuaciones para representar una parábola dependiendo de la orientación de su eje focal y la posición de su vértice.
El documento describe el plano cartesiano y cómo se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano mediante coordenadas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares (ejes x e y) que se cortan en un punto de origen, y que cualquier punto se puede ubicar mediante un par de números que indican su distancia a cada eje. También cubre cómo calcular la distancia entre dos puntos usando su ubicación en el plano cartesiano.
Este documento resume las características geométricas y algebraicas de la parábola. Explica que una parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes a una recta directriz y un punto fijo llamado foco. También describe cómo trazar parábolas usando un compás y regla, y cómo obtener las ecuaciones ordinarias y la ecuación general de una parábola a partir de sus elementos geométricos como el vértice, foco y directriz.
Este documento describe las parábolas geométricamente y a través de ecuaciones. Explica que una parábola es el lugar geométrico de puntos equidistantes a una recta directriz y un punto fijo llamado foco. También define elementos como el vértice, eje y parámetro. Muestra cómo trazar parábolas y derivar sus ecuaciones ordinarias y la forma general a partir de la forma canónica.
Este documento presenta la unidad 5 sobre la parábola y su ecuación cartesiana. Explica cómo construir una parábola, define sus elementos como el foco, directriz y vértice, y deduce la ecuación de la parábola a partir de su definición geométrica como lugar geométrico. También resuelve problemas aplicando los conceptos sobre la parábola.
Este documento presenta la unidad 5 sobre la parábola y su ecuación cartesiana. Introduce la parábola como lugar geométrico definido por la igualdad de distancias entre un punto móvil y un foco fijo y una recta directriz. Deriva la ecuación de la parábola a partir de esta definición geométrica y analiza parábolas con ejes paralelos a los ejes coordenados. Resuelve problemas aplicando los conceptos sobre la parábola.
La parábola es una curva cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta llamada directriz y un punto fijo llamado foco. Todas las parábolas tienen la misma forma básica aunque varían en escala. Se caracterizan por tener un lado recto cuya longitud es 4 veces la distancia focal entre el foco y el vértice. Pueden representarse mediante ecuaciones cuadráticas del tipo y=ax2, donde a es un parámetro relacionado con la escala.
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Este documento presenta información sobre la parábola como una sección cónica. Define la parábola, sus elementos clave como el vértice, foco y directriz, y explica cómo trazar una parábola. También proporciona las ecuaciones canónicas y generales de la parábola y presenta ejemplos para ilustrar cómo encontrar los elementos de una parábola a partir de su ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan sobre la naturaleza y propiedades geométricas y algebraicas de la parábola.
1) La parábola es una sección cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta directriz y un punto fijo llamado foco.
2) Todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma pero diferente escala. Su ecuación general es y=ax^2.
3) Una propiedad clave es que la tangente a la parábola biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección sobre la directriz. Esto tiene aplicaciones como antenas
Este documento explica las características geométricas y algebraicas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola). Define cada curva, describe cómo trazarlas y establece sus ecuaciones canónicas. Además, muestra ejemplos de cómo resolver problemas geométricos usando las ecuaciones de las cónicas.
El documento describe los conceptos fundamentales del plano cartesiano y las curvas cónicas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares (x e y) que se intersectan en el origen, y que cualquier punto en el plano se puede ubicar mediante el uso de coordenadas. Luego, introduce las ecuaciones y elementos básicos de curvas cónicas como circunferencias, elipses, parábolas, hipérbolas y su relación con la intersección de un cono.
Este documento describe las secciones cónicas, en particular la parábola. Explica que las secciones cónicas son curvas obtenidas de la intersección de un cono con un plano, y que dependiendo de la inclinación del plano se obtienen diferentes curvas como la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Luego se enfoca en la parábola, definiéndola como el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una recta llamada directriz, y derivando su ecuación canónica a partir de
El documento define una parábola como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco). Explica que las parábolas son simétricas respecto a la línea perpendicular a la directriz que pasa por el foco, y que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma a diferencia de la escala. También describe que las tangentes a la parábola bisecan el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección sobre la directriz.
El documento describe las propiedades geométricas y analíticas de la parábola. Define la parábola como la curva que mantiene una distancia constante a una línea directriz y un punto focal. Explica que todas las parábolas son semejantes, solo difieren en escala, y describe cómo construir una parábola a partir de una línea directriz y un punto focal.
Este documento proporciona definiciones, teoremas y propiedades de las tres secciones cónicas principales: la parábola, la elipse y la hipérbola. Define una parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de un foco y una directriz. Define una elipse como el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Define una hipérbola como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Presenta teoremas para deriv
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia y la parábola. Explica que la ecuación de la circunferencia depende de las coordenadas de su centro y radio, mientras que la ecuación de la parábola depende de las coordenadas de su vértice, foco y directriz. Proporciona ejemplos de cómo calcular las ecuaciones de ambas figuras geométricas.
Este documento describe las propiedades geométricas y analíticas de las parábolas. Explica que una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. También describe cómo construir una parábola dados su foco y directriz, y sus propiedades como que la longitud del lado recto es 4 veces la distancia focal y que las tangentes bisecan el ángulo entre el foco, punto de tangencia y su proyección. Finalmente, explica aplicaciones prácticas como
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La parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. Una parábola tiene elementos como la directriz, el foco, el vértice y el eje focal. Existen diferentes ecuaciones para representar una parábola dependiendo de la orientación de su eje focal y la posición de su vértice.
DIA DE LA BANDERA PERUANA EL 7 DE JUNIO DE 182062946377
Diseño del dia de la bandera. El 7 de junio se celebra en todo el Perú el Día de la Bandera, una fecha que conmemora el aniversario de la Batalla de Arica de 1880, un enfrentamiento histórico en el que las tropas peruanas se enfrentaron valientemente a las fuerzas chilenas durante la Guerra del Pacífico.
El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
En muchas ciudades latinoamericanas, el crecimiento urbano ha sido desorganizado y ha resultado en la formación de asentamientos informales o barrios marginales, donde las condiciones de vida son precarias y la población carece de servicios básicos como agua potable, electricidad y transporte público.
Además, el crecimiento urbano descontrolado ha llevado a la destrucción de áreas verdes, la deforestación y la pérdida de biodiversidad, lo que tiene un impacto negativo en el medio ambiente y en la calidad de vida de los habitantes de las ciudades.
Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
Catalogo General Azteca Ceramica Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
El catálogo general de Azteca Cerámica de Amado Salvador presenta una amplia gama de productos de alta calidad y diseño exclusivo. Como distribuidor oficial Azteca, Amado Salvador ofrece soluciones de cerámica Azteca que destacan por su innovación y durabilidad. Este catálogo contiene una selección detallada de productos Azteca que cumplen con los más altos estándares del mercado, consolidando a Amado Salvador como el distribuidor oficial Azteca en Valencia.
En las páginas del catálogo, se pueden explorar diversas colecciones de Azteca Cerámica, cada una diseñada para satisfacer las necesidades de cualquier proyecto de construcción o renovación. Amado Salvador, como distribuidor oficial Azteca, garantiza que cada producto de Azteca Cerámica se distingue por su excelente calidad y diseño vanguardista.
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Amado Salvador, distribuidor oficial Azteca en Valencia, proporcionando a sus clientes acceso directo a lo mejor de Azteca Cerámica. Explora este catálogo y encuentra la inspiración y los productos necesarios para llevar tus proyectos al siguiente nivel con la garantía y la calidad que solo un distribuidor oficial Azteca puede ofrecer.
Catalogo General Durstone Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Descubre el catálogo general de Durstone, presentado por Amado Salvador, el distribuidor oficial de cerámica Durstone. Este catálogo incluye una amplia variedad de productos de alta calidad de Durstone, conocidos por su resistencia, durabilidad y diseño innovador. Como distribuidor oficial de cerámica Durstone, Amado Salvador ofrece una selección completa de cerámica Durstone que abarca desde baldosas para interiores y exteriores hasta soluciones personalizadas para proyectos arquitectónicos.
Durstone se destaca por su compromiso con la excelencia y la innovación en el diseño de cerámica. Cada pieza es creada para satisfacer los estándares más altos de calidad, asegurando que cada proyecto se beneficie de productos que no solo son estéticos, sino también extremadamente duraderos.
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Geometría Analítica
Alfredo Tovar Peña
Parábola
Emilio Santiago
Cordero Hernández
30 de Noviembre 2022 1
3. INTRODUCCIÓN
La geometría analítica es una parte de las
matemáticas que se encarga de resolver
situaciones geométricas mediante
procedimientos algebraicos. Es decir, es la
unión de la geometría euclidiana con el
álgebra, y un tema bastante importante que
abarca es la Parábola por eso en este
proyecto abarcare mas a fondo este tema
aplicando a la vida cotidiana..
3
2
INDICE
Introducción……………………………………….…………..3
Objetivos………………………………….....………………..4
Definición……………………………………........................5
Elementos de una parábola………………………………...6
Tipos de parábola…………………………………………....8
Ecuaciones de la parábola…………………………...........10
Ecuacion reducida o canónica de la parábola……………11
Ecuacion ordinaria de la parábola……………….………...13
Ecuacion general de la parábola…………………………..15
Ejemplo de como hallar el vértice, el foco y la directriz de
una parábola a partir de su ecuación……………………...16
Problema aplicado a la vida diaria………………..............20
Conclusión……………………………………………………21
Glosario ………………………………………………………22
4. Los objetivos de este proyecto son:
*Manejar e interpretar sus ecuaciones y
propiedades. Identificarlas en diferentes
contextos reconocer las importancias de
las cónicas en la ciencia y en la
tecnología.
*Aprender y aplicar las ecuaciones y
propiedades de la parábola.
*Al terminar los estudiantes deberán
saber y obtener las coordenadas de un
foco y la ecuación de la directriz de una
parábola.
OBJETIVOS
DEFINICION
La parábola es un concepto que tiene
significados muy distintos, pero su
definición matemática es la siguiente:
En matemáticas, una parábola es el lugar
geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo (llamado foco) y
de una recta fija (denominada directriz).
Por lo tanto, cualquier punto de una
parábola esta a la misma distancia de su
foco y de su directriz.
Además, en geometría la parábola es una de
las secciones cónicas junto a la
circunferencia, la elipse y la hipérbola. Es
decir, una parábola se puede obtener a
partir de un cono.
En particular, la parábola es el resultado de
cortar un cono con un plano con un ángulo
de inclinación respecto al eje de revolución
equivalente al ángulo de la generatriz del
cono. En consecuencia, el plano que
contiene la parábola es paralelo a la
generatriz del cono.
4 5
5. ELEMENTOS DE UNA
PARABOLA
Las características de una parábola dependen
de los siguientes elementos:
•Foco (F): es un punto fijo del interior de la
parábola. La distancia de cualquier punto de la
parábola al foco es igual a la distancia de ese
mismo punto a la directriz de la parábola.
•Directriz (D): es una recta fija externa a la
parábola. Un punto de la parábola tiene la
misma distancia a la directriz que al foco de la
parábola.
•Parámetro (p): es la distancia desde el foco
hasta la directriz.
•Radio vector (R): es el segmento que une un
punto de la parábola con el foco. Su valor
coincide con la distancia del punto hasta la
directriz.
•Eje (E): es la recta perpendicular a la directriz
que pasa por el foco y es el eje de simetría de la
parábola, en la gráfica de abajo corresponde al
eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje
focal.
•Vértice (V): es el punto de intersección entre
la parábola y su eje.
•Distancia focal: es la distancia entre el foco y
el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su
valor siempre es igual a
𝑃
2
6 7
6. TIPOS DE PARABOLA
Parábola horizontal que abre hacia la derecha:
Es obtenida cuando la directriz es vertical y el
el parámetro ”P” es positivo.
Parábola horizontal que se abre hacia la
izquierda:
Esta parábola es obtenida cuando la directriz
es vertical y el parámetro p es negativo.
Parábola vertical que se abre hacia arriba:
Esta parábola es obtenida cuando la directriz
es horizontal y el parámetro p es positivo.
Parábola vertical que se abre hacia abajo:
Esta parábola es obtenida cuando la directriz
es horizontal y el parámetro p es negativo.
9
8
7. Ecuaciones de la
parabola:
La ecuación de una parábola es un tipo
de función cuadrática porque siempre
debe de tener con mínimo 1 término
elevado al cuadrado. Además, la
ecuación de una parábola depende de si
esta está orientada horizontalmente o
verticalmente.
Así pues, en geometría analítica existen
varias maneras de expresar
matemáticamente una parábola:
la ecuación canónica o reducida,
la ecuación ordinaria y la ecuación
general de la parábola.
Ecuacion reducida o
canonica de la parabola
Lo que diferencia la ecuación reducida
o canónica de las otras ecuaciones
parabólicas, es que el vértice de la
parábola es el origen de coordenadas,
es decir, el punto (0,0).
La forma de la ecuación reducida de la
parábola depende de si esta es
horizontal o vertical. Fíjate en la
siguiente representación gráfica donde
se muestran las 4 posibles variantes:
10 11
8. Donde “p” es el parámetro característico
de la parábola.
Como vemos en la imagen anterior,
cuando la variable x está elevada al
cuadrado la parábola es vertical, en
cambio, cuando la variable y está
elevada al cuadrado la parábola es
horizontal. Por otra parte, el sentido de
las ramas de la parábola depende del
signo de la ecuación.
Ecuacion ordinaria de la
parabola
Acabamos de ver cómo es la ecuación
de la parábola cuando su vértice o
centro corresponde al origen de
coordenadas (la ecuación reducida o
canónica), pero ¿cuál es la ecuación
de la parábola si el vértice está fuera
del origen?
Cuando el vértice de la parábola es
un punto cualquiera utilizamos la
ecuación ordinaria de la parábola,
cuya expresión es:
Donde el centro o vértice de la parábola es el
punto
La ecuación anterior corresponde a la
parábola que está orientada de manera
vertical, o dicho con otras palabras, el eje
focal de la parábola es paralelo al eje Y.
V(x_0,y_0).
12 13
9. Donde el centro o vértice de la parábola
es el punto
La ecuación anterior corresponde a la
parábola que está orientada de manera
vertical, o dicho con otras palabras, el eje
focal de la parábola es paralelo al eje Y.
Donde, al igual que antes, el centro o
vértice de la parábola es el punto
V(x_0,y_0).
Ecuacion general de la
parabola:
Hasta ahora todas las ecuaciones de
las parábolas que hemos analizado
sirven para expresar parábolas
horizontales o verticales. Pero,
evidentemente, una parábola también
puede ser oblicua o inclinada.
Pues para expresar este tipo de
parábolas se usa la ecuación general
de la parábola, cuya fórmula es la
siguiente:
La ecuación anterior se trata de
una parábola si, y solo si, los
coeficientes A y C no son
simultáneamente nulos y, además,
se cumple la siguiente condición:
14 15
10. Ejemplo de como hallar el
vertice, el foco y la directriz de
una parabola a partir de su
ecuacion
En muchos ejercicios y problemas de
parábolas se pide calcular el vértice, el
foco y la directriz de una determinada
parábola.
ejemplo:
•Halla el vértice, el foco y la directriz de
la siguiente parábola:
Lo fundamental para resolver este tipo
de problemas de parábolas es
determinar el parámetro p de la
parábola. En este caso, la ecuación de
la parábola corresponde a la ecuación
reducida o canónica (parábola
vertical):
Por lo tanto, el
parámetro p es:
Por otro lado, como la parábola sigue la
ecuación reducida o canónica, significa
que su vértice o centro está en el origen
de coordenadas:
Una vez sabemos el vértice y el valor del
parámetro de la parábola, podemos
hallar su foco y directriz fácilmente.
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11. El término cuadrático de la ecuación es la
variable x de manera que el eje de la
parábola será paralelo al eje OY y, de hecho,
como su vértice es el punto (0,0), el eje de la
parábola será el propio eje OY. Entonces, el
foco de una parábola siempre está situado
en el eje de la parábola y a una distancia
de del vértice de la parábola, por lo que
sus coordenadas son:
Del mismo modo, la recta directriz
será la recta horizontal que está a una
distancia del vértice de la parábola,
que es el origen de coordenadas. Por
tanto, la ecuación de la recta directriz
será:
Reprecentacion:
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12. PROBLEMA APLICADO A
LA VIDA DIARIA
Las dos torres de un puente colgante,
tienen una separación de 360mts y
una altura de 160mts, si el puntal
mas corto mide 20mts, determina la
altura de un puntal que se encuentra
a 80mts del centro del puente.
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13. CONCLUCION
En matemática, la definición original de parábola
corresponde a la sección cónica resultante de
cortar un cono recto con un plano paralelo a su
generatriz, pero actualmente se define como el
lugar geométrico de los puntos equidistantes de
una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo
que se denomina foco. La parábola aparece en
muchas de las ramas de las ciencias aplicadas,
debido a que las gráficas de ecuaciones
cuadráticas son parábolas. Tiene una gran
importancia en Física y que se ajusta a la
descripción o a la representación matemática de
muchos fenómenos. Gracias a este proyecto
pude conocer todas estas definiciones acerca de
la parábola.
GLOSARIO
Equidistan: Se dice que un punto es
equidistante de un conjunto de figuras
geométricas si las distancias entre ese punto
punto y cada figura del conjunto son iguales.
iguales.
Segmento: En geometría, el segmento es un
fragmento de la recta que está comprendido
comprendido entre dos puntos, llamados
puntos extremos o finales.
Simetría: es un rasgo característico de
formas geométricas, sistemas, ecuaciones y
y otros objetos materiales, o entidades
abstractas, relacionada con su invariancia
bajo ciertas transformaciones, movimientos
movimientos o intercambios.
Paralelo: Se denomina paralelo al formado
por la intersección del geoide terrestre con
un plano imaginario perpendicular al eje de
de rotación de la Tierra..
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