Este documento proporciona definiciones, teoremas y propiedades de las tres secciones cónicas principales: la parábola, la elipse y la hipérbola. Define una parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de un foco y una directriz. Define una elipse como el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Define una hipérbola como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Presenta teoremas para deriv

1. 1.- Defina, enuncie teoremas, propiedades y de un ejemplo de cada una de las
secciones cónicas:
A.- PARÁBOLA.
 Definición:
En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de
excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de
inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El
plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.
La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada
directriz, observando la figura, FP = PQ = r.
El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La
distancia FD, del foco a la directriz, se denomina parámetro de la parábola, el punto medio del
segmento FD, es el punto V, que se denomina vértice de la parábola.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma
se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas
las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de
la gravedad.
Teoremas:
1.- Teorema: La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es:
En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = - p.

2. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:
En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p.
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada
caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del
término de primer grado.
2.- Teorema: La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje x, es de la forma: (y – k)² = 4p
(x – h) Siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p >
0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda. Si el
vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es de la forma:(x – h)² = 4p (y – k)Si p > 0 la
parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
3.- Teorema: Una ecuación de segundo grado en las variables X y Yque carezca del término
en xy puede escribirse en la forma
Si A = 0, C ǂ 0 y D ǂ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o
coincide con) el eje X.
Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje
X, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje X, o ningún lugar geométrico, según que
las raíces de

3. Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas. Si A ǂ 0, C = 0 y E ǂ 0, la
ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en
cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje Y, dos rectas
coincidentes paralelas a1 eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de:
Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
 Propiedades:
La parábola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos vértices se encuentra
en el infinito, así como el centro de la curva. Partiendo de esta consideración, comprobaremos
que las propiedades enunciadas para la elipse, se cumplen igualmente en la parábola.
La circunferencia principal Cp, pasará por el vértice V de la curva, y dado que el centro
de la curva se encuentra en el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta
perpendicular al eje en el vértice V. La circunferencia principal, se define como el lugar
geométrico de los pies de las perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes
(t) de la parábola. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen
el foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son
tangentes a la parábola.
La única circunferencia focal Cf de la parábola, tendrá su centro en el infinito, y deberá
pasar por el punto D, simétrico del foco respecto a la tangente el en vértice de la curva,
resultando por tanto, una recta coincidente con la directriz de la parábola. La circunferencia
focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco F, respecto a las
tangentes (t) de la parábola.
Observando la figura, también podemos definir la parábola, como el lugar geométrico
de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia
focal.

4. .
 Ejemplo: Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de la parábola,
indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la
directriz.
B.- ELIPSE.
 Definición:
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la
superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de
la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor

5. genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal
genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.
La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos,
es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.
La elipse tiene dos ejes, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D,
ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O de la elipse.
La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple
que a² = b² + c². La elipse es simétrica respecto a los dos ejes. Las rectas que unen un punto
cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición
se cumple que r + r’ = 2a.
 Teoremas:
1.- Teorema: La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia
focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los
focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es
Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están
ligados por la relación a2= b2+c2.

6. También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es , y la
excentricidad e está dada por la fórmula e
NOTA: Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar
fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los
términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje
coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.
2.- Teorema de Dandelin: Postula que, dada una superficie cónica y un plano que la
secciona formando una curva cónica, siempre se pueden dibujar una o dos esferas (una en el
caso de la parábola) tangentes interiores a la superficie cónica y a su vez tangentes al plano
de corte.
El Teorema de Dandelin aplicado a la elipse enuncia que los puntos de tangencia F1 y
F2 de las esferas con el plano de corte son los focos de la cónica, y los planos que contienen
a las circunferencias de contacto de las esferas con la superficie cónica intersectan al plano
de corte en dos rectas d1 y d2, que son las directrices de la elipse.
En la figura siguiente se representa la interpretación plana del Teorema de Dandelin en
la Elipse, mediante una vista en la que el plano de corte queda perpendicular al papel, y se
representa por una recta. El plano secante corta a las generatrices aparentes (las más
exteriores) en los puntos A y B, que serán vértices del eje mayor de la elipse.
En esta interpretación las esferas tangentes aparecen como circunferencias tangentes
a la recta que representa al plano secante y a las generatrices aparentes, de forma que se

7. obtienen dos circunferencias de contacto de dichas esferas con la superficie cónica (que
aparecen aquí como las rectas T1-T2 y T3-T4). Los puntos de tangencia de las esferas con el
plano de corte son los puntos F1 y F2, que serán los focos de la elipse.
Los puntos de tangencia con la superficie cónica representan a las circunferencias de la
solución tridimensional (hemos visto que T1-T2 es una circunferencia y T3-T4 es la otra). Los
planos en los que se encuentran estas circunferencias definen las directrices d1 y d2 de la
elipse.
En la figura también puede verse la cónica resultante abatida sobre el papel. El eje
menor puede obtenerse fácilmente a partir del eje mayor y los focos.
3.- Teorema de Apolonio: Dice que la suma de los cuadrados de dos pares de diámetros
conjugados cualesquiera (incluso los ejes) es constante (en la figura, AB2 + CD2 = DF2 +
GH2 = constante).
 Propiedades:
Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y
diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las
perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se
puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia
focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse.

8. Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos
de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La
circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco
(F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.
Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de
los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal
del otro foco.
 Ejemplo: Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos,
de los vértices y la excentricidad de la siguiente elipse.

9. C.- HIPÉRBOLA-
 Definición:
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos
ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo
menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
La hipérbola es una curva abierta y plana, con dos ramas, que se definen como el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias r’–r, a dos puntos fijos F y F’,
denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real A–B de la
hipérbola. Al eje CD, se le denomina eje imaginario, siendo su longitud 2b. Ambos ejes se
cruzan perpendicularmente en el centro O, punto medio de los dos ejes. Por lo tanto, la
hipérbola es simétrica, respecto a los dos ejes.
Si, como vemos, la distancia focal F–F’ es igual a 2c, se cumplirá que c² = a² + b². Las
rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios
vectores r y r’, y por definición se cumple que r’–r = 2a.
Según las dimensiones de los semiejes, se obtendrán tres tipos de parábolas:
1.- Si a > b, se obtendrá una curva de ramas cerradas.
2.- Si a = b, se obtendrá una hipérbola equilátera.
3.- Si a < b, se obtendrá una curva de ramas abiertas.

10.  Teoremas:
1.- Teorema de Dandelin en la Hipérbola.
Dada una superficie cónica y un plano que la secciona formando una cónica, siempre
se pueden dibujar una o dos esferas (una en el caso de la parábola) tangentes interiores a la
superficie cónica y a su vez tangentes al plano de corte.
El Teorema de Dandelin para la hipérbola enuncia que los puntos de tangencia F1 y
F2 de las esferas con el plano de corte son los focos de la hipérbola, y los planos que
contienen a las circunferencias de contacto de las esferas con la superficie cónica intersectan
al plano de corte en dos rectas que son las directrices de la cónica.
En la figura siguiente se representa la interpretación plana del Teorema de Dandelin en
la Hipérbola, mediante una vista en la que el plano de corte queda perpendicular al papel, y se
representa por una recta. El plano secante corta a las generatrices aparentes (las más
exteriores) en los puntos A y B, que serán los vértices de la hipérbola.
En esta interpretación las esferas tangentes aparecen como circunferencias tangentes
a la recta que representa al plano secante y a las generatrices aparentes, de forma que se
obtienen dos circunferencias de contacto de dichas esferas con la superficie cónica (que
aparecen aquí como las rectas T1-T2 y T3-T4).
Los puntos de tangencia de las esferas con el plano de corte son los puntos F1 y F2,
focos de la hipérbola.

11. Los puntos de tangencia con la superficie cónica representan a las circunferencias de la
solución tridimensional (hemos visto que T1-T2 y T3-T4 son dos circunferencias).Los planos en
que se encuentran definen las directrices de la hipérbola.
En la figura siguiente también puede verse la cónica resultante abatida sobre el papel.
2.- Hipérbola con focos.
TEOREMA:
La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos
F (-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:
Demostración: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada, se tiene de
acuerdo a la definición i. que:

12. Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:
Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:
Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de
simplificar y factorizar se puede escribir:
3. Hipérbola con focos en:
TEOREMA:
La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F"
(0, -c) y F(0, c) viene dada por:
La demostración es similar a la anterior.

13.  Propiedades:
Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y
diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las
perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la hipérbola. También se
puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia
focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la hipérbola.
Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos
de la hipérbola, y radio 2a. En una hipérbola se podrán trazar dos circunferencias focales. La
circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco
(F1), respecto a las tangentes (t) de la hipérbola.
Observando la figura, también podemos definir la hipérbola, como el lugar geométrico
de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia
focal del otro foco.
.
 Ejemplo: Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de
los focos, de los vértices y la excentricidad de la siguiente hipérbola:

14. 2.- Investigue en you tube sobre las secciones cónicas mencionadas anteriormente, y
coloque en el enlace o dirección electrónica de un video donde se resuelvan cada uno
de ellas.
 Parábola
https://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg
 Elipse
https://www.youtube.com/watch?v=GbUg3Iw8YYo
https://www.youtube.com/watch?v=Jb_9ZKXWPrE
 Hipérbola
https://www.youtube.com/watch?v=ORQ_XfVXA2Q

15. 3.- Resolver cada uno de los siguientes Problemas.
 Hallar el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y trazar su gráfica.
a) y2 = 4x b) (x+3)2 = -2(y-2)
Hallar la ecuación y la gráfica de la parábola con; Vértice: (2,3); foco (1,2)
a) y2 = 4x
Ecuación de la forma y2 = 4px
V = (0,0) en el origen
y2 = 4px
y2 = 4x; por comparación es igual a y2 = 4px
luego 4p = 4 Foco = (1,0)
p = 4/4 Directriz x + p = 0
p = 1 Distancia Focal x = - p
x = - 1
Y
1
- X X
F (1,0)
V (0,0)
- Y
x = - 1 Directriz

16. b) (x+3)2 = -2(y-2)
Ecuación General (x-h)2 = -4p (y-k)
(x-(3))2 = -4p (y-(-2))
(x-3)2 = -4p (y+2)
V = (-3,2)
Sabemos que:
-4p = -2 --------- lo que significa que la longitud del lado recto (LR) es -2 por lo tanto:
-4p = -2
p = -2/-4
p = ½ La Distancia Focal es igual a ½
Coordenadas del Foco: Directriz:
F = (h,k-p) y – k – p = 0 y – 2 – ½ = 0
F = -3, 2 – ½ y = 2 + ½ y = 5/2
F = (-3, 3/2)
Y
y = 5/2
V = (-3,2) 3
F = (-3, 3/2)
2
3/2
1
- X X
-3 -2 -1 -1 1 2
- 2 - Y

17. 4.- Curvas planas y ecuaciones paramétricas.
a) Curva Plana: es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada.
La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana. Una
curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que
representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el
término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los
casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave.
Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Sin embargo, utilizando la
definición matemática, una línea recta es un caso particular de curva.
https://www.youtube.com/watch?v=VfAaL4FWML8
b) Ejemplo de Trazado de una Curva.
Dibujar la curva representada por la función vectorial
Solución:
c) Eliminación del Parámetro: Dada una curva en su representación paramétrica, a veces,
resulta conveniente expresarla en su forma rectangular o polar, para esto, será necesario
eliminar el parámetro t. Desafortunadamente no existe un método único para eliminar el

18. parámetro t y tendremos que aplicar alguno de los vistos en álgebra o aplicar identidades
trigonométricas que hagan posible su eliminación.
d) Ejemplos de Eliminación del Parámetro.
1.- Eliminar el parámetro t de las siguientes ecuaciones: x = t -2 y y = t2 - 4
Despejando a t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos:
la cual representa a una parábola con vértice en (-2,-4) y eje focal paralelo al eje X.
2.- Eliminar el parámetro de las ecuaciones:
Solución: Al dividir la segunda ecuación entre la primera obtenemos:
sustituyendo este resultado en la primera ecuación:

19. esta ecuación representa a una circunferencia con centro en (1,0) y radio igual a 1. Para
obtener la circunferencia completa, t debe tomar valores tales que t (-,).
https://www.youtube.com/watch?v=Rqc64bYR82g
e) Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro.
https://www.youtube.com/watch?v=ofTPEnam7BI
f) Empleo de la trigonometría para eliminar un parámetro.
https://www.youtube.com/watch?v=BUKfWJjxrz8
g) Cálculo de las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada.
https://www.youtube.com/watch?v=CCzgJKAl2XU
h) Curva Suave.
Aprovechamos para definir curva suave. Una curva C representada por x = f (t) y y = g(t) es
un intervalo I, se dice que es suave si f ' g' son continuas en el intervalo y no son
simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo. Es suave a
trozos si es suave en subintervalos del intervalo I.
https://www.youtube.com/watch?v=XaPHg29R6BM
https://www.youtube.com/watch?v=Z5FFLdn8gHM
https://www.youtube.com/watch?v=7SSMhscfbH8
Souquet G., Ernesto J.
C.I: 28.396.245
Sección: IV