Este documento describe las secciones cónicas, en particular la parábola. Explica que las secciones cónicas son curvas obtenidas de la intersección de un cono con un plano, y que dependiendo de la inclinación del plano se obtienen diferentes curvas como la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Luego se enfoca en la parábola, definiéndola como el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una recta llamada directriz, y derivando su ecuación canónica a partir de

1. SECCIONES CÓNICAS
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular
con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la
inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una
circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paralelo a una
generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una
hipérbola.
Hagamos un esquema de lo que hemos dicho:
Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su
vértice y llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la
generatriz del mismo y, llamamos β al ángulo que forma el plano
con el eje del cono.
Según la relación entre estos ángulos, ambas superficies se cortarán
en:
• una circunferencia si β = 90º
• una elipse si α < β < 90º
• una parábola si α = β
• las dos ramas de una hipérbola si α > β
Las cuatro secciones cónicas básicas se ilustran en las siguientes figuras:
Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
PARÁBOLA
Definición
Se llama parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y
una recta fija, llamada directriz.
Ecuación de la parábola
A partir de la definición deduciremos la ecuación de una parábola que tenga el vértice en el origen
de coordenadas y la directriz paralela al eje x, por lo tanto el foco es el punto F(0, p) ¿Puedes dar la
ecuación de la directriz? Recuerda que por ser paralela al eje x estará representada por una
ecuación del tipo y =k (constante).

2. Si P(x, y) es un punto que pertenece a la parábola entonces la distancia de P al foco es:
d(P, F) = ( x 2 + ( y − p) 2
y la distancia de P a la directriz (de ecuación y = – p) es:
d = y+p
Luego si el punto está en la parábola debe verificar que d(P, F) = d, es decir
( x 2 + ( y − p) 2 = y + p
Elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene
2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2
x + ( y − p) = ( y + p) ⇒ x + y − 2py + p = y + 2py + p ⇒ x = 4py ⇒ y =
4p
x2
La ecuación normal o canónica de la parábola con foco en (0, p) y directriz y = – p es y =
4p
1
Si llamamos a = , la ecuación canónica se transforma en y = ax 2
4p
Elementos distintivos de una parábola
La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El punto
medio entre el foco y la directriz se denomina vértice. Es claro que el vértice es un punto que
pertenece al eje de la parábola.
Gráfica de la parábola
Puede notarse que la gráfica es simétrica respecto del eje y porque la ecuación no cambia cuando se
reemplaza x por – x . Además y = 0 sólo cuando x = 0, por lo tanto el único punto en común entre
la gráfica y el eje x es el origen de coordenadas. También puede observarse que si p > 0 (y por lo
tanto a > 0), y toma valores siempre positivos y cuando p < 0 (y por lo tanto a < 0), y toma
valores siempre negativos. Teniendo en cuenta estas observaciones las gráficas son:
Si ahora pensamos en una parábola con vértice en el origen pero foco en (p, 0) y la directriz de
1 2
ecuación x = – p obtenemos la ecuación x = y
4p
Trata de graficar haciendo observaciones análogas a las hechas para el caso anterior. ¿Cuál es el eje
de la parábola? ¿Cuál es el vértice? ¿Tiene la gráfica algún punto en común con los ejes
coordenados? ¿Es simétrica respecto a algún eje coordenado?
Ejemplo 1:
Dada la ecuación y 2 + 6x = 0 , halla la ecuación canónica de la parábola, indica el vértice, el foco y
la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?

3. y2 3
Escribimos la ecuación en la forma x = − , y obtenemos que 4p = – 6 , de donde p = − < 0.
6 2
Con estos datos sabemos que el foco está en el punto (– 3/2, 0), el vértice es el origen de
3
coordenadas y la directriz es la recta de ecuación x = . El eje de la parábola es el eje x.
2
Trata de pensar ahora que ocurre si el vértice no está en el origen, para orientarte damos algunos
ejemplos.
Ejemplo 2:
Dada la ecuación y 2 − 6 y − 4 x + 17 = 0 , hallar la ecuación canónica de la parábola, indica el
vértice, el foco y la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?. Traza la gráfica.
Completando cuadrados en la variable y tenemos
( y − 3) 2 − 9 − 4 x + 17 = 0
( y − 3) 2 − 4 x + 8 = 0
( y − 3) 2 + 8 1
x= ⇒ x = ( y − 3) 2 + 2
4 4
Obtenida la ecuación de la parábola en forma normal leemos que el vértice es el punto V(2, 3), que
p = 1 y por lo tanto el foco es F(3, 3) y la directriz tiene ecuación x = 1.
El eje de la parábola es la recta que contiene al vértice y al foco, luego tiene ecuación y = 3.
Ejemplo 3:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y foco en el
punto (– 2, 3)

4. Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical y tiene ecuación
x = – 2 , además abre hacia abajo ya que p = – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación
y = 5. La ecuación normal o canónica de la curva dada es y – 4 = – 1/4 (x + 2)2
Propiedad interesante de la parábola
Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos :
un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una
trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.
Recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco. Este
hecho es útil en la construcción de linternas, faros de automóviles y faros buscadores, en los cuales
el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa está en el foco.
EJERCITACIÓN
Ejercicio 1: Determina la ecuación canónica de la parábola con vértice en (1, 3) y foco en (2, 3).
Ejercicio 2: Determine la ecuación canónica de la parábola cuya directriz es paralela al eje y, y
pasa por los puntos (0, 0), (– 1, 2), (– 1, – 2)
Ejercicio 3: Determine la ecuación canónica de la parábola –9y2 – 8x – 3 = 0
Ejercicio 4: Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los
puntos (2, 3), (4, 3), (6, – 5).
Ejercicio 5: Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en (– 1, 1) y directriz y = 5.

5. Ejercicio 6: Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente
las siguientes condiciones a) vértice en (2, 0) , b) contiene al punto P(8, b) con b > 0, c) la distancia
de P a la directriz es 10.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
1.- x = 1/4(y - 3)2 + 1
3.- x = -9/8y2+1
5.- y = -1/8(x + 1)2+3