Este documento presenta la unidad 5 sobre la parábola y su ecuación cartesiana. Introduce la parábola como lugar geométrico definido por la igualdad de distancias entre un punto móvil y un foco fijo y una recta directriz. Deriva la ecuación de la parábola a partir de esta definición geométrica y analiza parábolas con ejes paralelos a los ejes coordenados. Resuelve problemas aplicando los conceptos sobre la parábola.

1. UNIDAD 5: LA PARABOLA Y SU ECUACION CARTESIANA. “ El carácter de cada hombre es el arbitro de su fortuna.” Publio Siro

2. UNIDAD 5. LA PARABOLA Y SU ECUACION CARTESIANA Propósitos: Consolidar el manejo del método analítico a través del estudio de la ecuación de la parábola. Aprendizajes Al finalizar la unidad, el alumno: Realizara al menos una construcción de la parábola, y en función de ello: Identificara los elementos que la definen. Reconocerá la simetría de esta curva. Enunciara la definición de parábola como lugar geométrico. Expresara, como paso intermedio, la característica que define a los puntos de la parábola, por medio de la expresión: d (P, F) = d (P, L)

3. Deducirá la expresión con radicales que expresa la propiedad de los puntos de dicho lugar geométrico. A partir de la expresión anterior, deducirá la ecuación ordinaria (con vértice fuera del origen) de la parábola. Distinguirá de acuerdo a las condiciones dadas (coordenadas del foco, ecuación de la directriz u otros) cuando es parábola horizontal o vertical y hacia donde se abre. Relacionara lo que estudio para funciones cuadráticas respecto al papel de los parámetros dentro del comportamiento de la grafica de la parábola vertical. Utilizara esto ultimo para analizar la relación entre los parámetros y la grafica de las parábolas horizontales. Inferirá que para transitar de la ecuación general de la parábola a la ecuación ordinaria, requiere como en el caso de la elipse y la circunferencia, aplicar el método de completar cuadrados que ya conoce. Se ejercitara al respecto.

4. Valorará ventajas y desventajas de cada una de las formas, ordinaria o general, en la graficación y análisis de esta curva. Determinara los elementos esenciales de un parábola a partir de su ecuación dada en la forma ordinaria o general, y los utilizará para bosquejar su grafica. Concatenará sus argumentos y deducciones en el proceso de obtener la definición, la ecuación y la grafica de una parábola. Aplicará los conocimientos adquiridos sobre esta curva, en la resolución de algunos problemas. Temática. La parábola como lugar geométrico. Trazo de la parábola y sus propiedades. Definición geométrica de la parábola. Elementos que definen a la parábola: foco, directriz, eje de simetría, lado recto. Relación entre ellos. Definición de parábola como lugar geométrico.

5. Ecuacion de la parabola con eje paralelo a alguno de los ejes de coordenadas: Ecuación ordinaria con vértice en el origen. Ecuación ordinaria con vértice fuera del origen. Ecuación general. Aplicaciones: Problemas de corte geometrico. Problemas diversos, que surgen de las características de esta curva.

6. LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO Propósitos: Consolidar el manejo del metodo analitico a traves del estuido de la ecuacion de la parabola. Avanzar en el reconocimiento de formas estructuras y procedimientos, al resolver diversos problemas que involucren tanto a la parabola como a otros lugares geometricos ya vistos. Aprendizajes Realizará al menos una construcción de la parábola, y en función de ello: Identificará los elementos que la definen. Reconocerá la simetria de esta curva. Enunciará la definición de parabola como lugar geométrico. UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

7. Expresará, como paso intermedio, la caracteristica que define a los puntos de la parábola, por medio de la expresión: D (P, F) = d (P, L) Deducirá la expresión con radicales que expresa la propiedad de los puntos de dicho lugar geométrico. Temática. La parabola como lugar geometrico. Trazo de la parábola y sus propiedades. Definicion geometrica de la parábola. Elementos que definen a la parábola: foco, directriz, eje de simetría, lado recto. Relación entre ellos. Definición de parabola como lugar geométrico. UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

8. INTRODUCCIÓN La contribución mas importante de Menecmo fue el descubrimiento de las “secciones cónicas” en (408 – 355 a.C.). Menecmo descubrió las propiedades de la parábola y de la hipérbola que corresponden en coordenadas cartesianas a las relaciones: x 2 = ay, y 2 = bx, xy = a. La obtención de las secciones cónicas se consigue efectuando cortes perpendiculares a la recta generatriz en un cono circular recto. Menecmo descubrió que, si el ángulo del vértice del cono es recto. Al cortar el cono con un plano perpendicular a la generatriz, la curva de intersección es una parábola. Si el ángulo es agudo, la curva de intersección es una elipse. Existen infinidad de aplicaciones en relación a esta cónica, por ejemplo al girar una parábola sobre su eje, se obtiene una superficie de revolución llamada paraboloide, estas superficies tienen muchas aplicaciones, principalmente en óptica y electrónica, ya que si un rayo de luz paralelo al eje, choca contra el paraboloide, entonces se refleja hacia su foco, e inversamente, un rayo que sale del foco, al chocar contra el paraboloide se refleja en la dirección de su eje. UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

9. Esta propiedad conocida como la propiedad de reflexión o propiedad óptica de la parábola, tiene muchas aplicaciones por ejemplo, en los faros de los automóviles, las antenas parabólicas, los telescopios, los micrófonos direccionales, etc. CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA A continuación construiremos una parábola con una escuadra y un compás. En la siguiente figura considera un punto P de la recta L, por ese punto traza con la escuadra una recta perpendicular a L, y paralela al eje x , llámale L1, une el punto P y el punto F, tendrás un segmento PF, construye la mediatriz de éste. La intersección entre L1 y la mediatriz de PF será un punto de la parábola. Con el mismo procedimiento encuentra varios puntos de la parábola, une éstos puntos y tendrás la curva. UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. Fig. 5.1

10. La intersección entre L1 y la mediatriz de PF será un punto de la parábola. Con el mismo procedimiento encuentra varios puntos de la parábola, une éstos puntos y tendrás la curva. DEFINICIÓN.: Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, llamada directriz L, es siempre igual a su distancia de un punto fijo F (llamado foco), (vease Fig.) UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. L1 F x y P L P1 V(0,0) Fig. 5.2

11. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Consideremos una parábola con vertice en el origen y su eje coincide con el eje x. UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. A (-p,y) P(x,y) F1(-p,0) F (p,0) Fig. 5.3

12. Por definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica, que a continuación se expone, las coordenadas de los puntos que aparen en la figura son: P( x,y ), A( -p,y ), F( p,0 ), F1( -p,0 ), V( 0,0 ) |PF|=|PA| PF = (x-p) 2 + y 2 PA = (x-p) 2 (x-p) 2 + y 2 = (x-p) 2 Si elevamos al cuadrado ambos miembros de ésta ecuación y simplificamos obtenemos: y 2 =4px La ecuación ordinaria de la parábola, si su eje coincide con el eje x UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

13. Si p<0 la parábola abre hacia abajo. Fig. 5.4.1 Si p>0 la parábola abre hacia arriba. Fig. 5.4.2 UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. Fig. 5.4.1 El eje coincide con el eje y Ecuación: x 2 = 4py, p<0 Fig. 5.4.2 El eje coincide con el eje y Ecuación: x 2 = 4py, p>0

14. Ecuación ordinaria de la parábola, si su eje coincide con el eje y x 2 =4py Si p>0 y su eje coincide con el eje x la parábola abre a la derecha como en la Fig. 5.4.3 Si p<0 y su eje coincide con el eje x la parábola abre a la izquierda como en la Fig. 5.4.4 UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. F Fig. 5.4.4 El eje coincide con el eje x Ecuación: y 2 = 4px, p<0 F Fig. 5.4.3 El eje coincide con el eje x Ecuación: y 2 = 4px, p>0

15. PARTES FUNDAMENTALES DE UNA PARÁBOLA L: Directriz de la parábola (recta fija) V: Vértice de la parábola (punto medio de) AF F: Foco de la parábola (punto fijo) |4P|: Longitud del lado recto P 1 P 2 (cuerda perpendicular al eje focal) X: Eje de la parábola (pasa por F y es perpendicular a L) X= -p: Ecuación de la directriz (L) UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. Fig. 5.5

16. Problema 5.1 La distancia horizontal entre las torres de soporte del puente Golden Gate de San Francisco California es de 1280 m. Las cúspides de las torres estan a 160 m. Sobre el punto mas bajo de los cable de los soportes verticales. Obtenga la ecuación descrita por los cables. Escribe en tu cuaderno cuales son los datos: Escribe cuales son las incognitas: UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO. 1280[m] 640 [m] 160m A(640,160) Fig.5.6

17. La ecuación es de la forma: _________________________ Como A es un punto de la curva entonces, lo podemos sustituir en la ecuación, entonces 640 2 = 4p(160) p = (640) 2 / 4(160) p=________. Ahora puedes calcular la ecuación descrita por los cables ___________ para que el modo matematico represente la curva descrita por los cables despeja y=__________ para los valores de x en éste intervalo (-640<x<640)[m] Calcula la altura que tendra un punto sobre el cable (curva) a una distancia de 300 [m] del vertice __________________. Problema 5.2 Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco f(0,3). Hallar la ecuación de su directriz, la longitud del lado recto y traza su gráfica. UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

18. Fig. 5.7 Su ecuación debe ser de la forma ____________ como p=3 por lo tanto x 2 =4(3)y x 2 =12y . Escribe las coordenadas de F( ), ecuación de la mediatriz. Es y=-p, por lo tanto y=___________ Calcula la longitud del lado recto___________ Escribe en tu cuaderno borrador una conclusión de la solución del problema:____________ UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

19. Problema 5.3 Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje y, pasa por el punto A(4,-2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y construye su gráfica correspondiente. Su ecuación es de la forma x 2 = 4py por que su eje coincide con el eje y, entonces el punto A (4,-2) debe satisfacer la ecuación 4 2 =4p(-2) 16=-8p; p=-16/8=-2. Por lo tanto las coordenadas del foco son:____________ la ecuación de la parábola es ________, la ecuación de la directriz __________ y la longitud de su lado recto _____________. Localiza en la gráfica las soluciones del problema: UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

20. Fig. 5.8 En el curso de matematicas II, en la Unidad I estudiaste el tema de FUNCIONES CUADRATICAS, recurda que una función cuadratica es una parabola. La ecuación a la que llegaste en la solución del problema es de la forma y=a x 2 x 2 = 4(-2)y, x 2 = -8y si despejamos a y = - x 2 / 8 tenemos la forma anterior. Realiza en tu cuaderno una tabulación y verifica los resultados en la gráfica. UNIDAD 5 LA PARABOLA COMO LUGAR GEOMETRICO.

21. ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJES DE COORDENADAS Aprendizajes. El alumno: Distinguirá de acuerdo a las condiciones dadas (coordenadas del foco, ecuación de la directriz u otros) cuándo es parábola horizontal o vertical, y hacia dónde se abre. Relacionará lo que estudio para funciones cuadraticas respecto al papel de los parámetros dentro del comportamiento de la gráfica de la parábola vertical. Utilizará esto último para analizar la relación entre los parámetros y la gráfica de las parábolas horizontales. Inferirá que para transitar de la ecuación general de la parábola a la ecuación ordinaria, requiere, como en el caso de la elipse y la circunferencia, aplicar el metodo de completar cuadrados que ya conoce. Se ejercitará al respecto UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

22. Valorará ventajas y desventajas de cada una de las formas, ordinaria o general, en la graficación y análisis de esta curva. Determinará los elementos esenciales de una parábola a partir de su ecuación dada en la forma ordinaria o general, y los utilizará para bosquejar su gráfica. Concatenará sus argumentos y deducciones en el proceso de obtener la definición, la ecuación y la gráfica de una parábola. Tematica: Ecuación de la parábola con eje paralelo a alguno de los eje de coordenados: a. Ecuación ordinaria con vértice en el origen. b. Ecuación ordinaria con vértice fuera del origen. c. Ecuación general. d. Aplicaciones. UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

23. Generalización: En la ecuación de la parábola cuando el vértice es cualquier punto V (h, k) y cuyo eje sea paralelo a uno de los ejes coordenados, se hace una traslación de ejes. Si en una parábola su vértice es V (h,k) y su eje es paralelo al eje x tiene por ecuación: (y-k) 2 = 4p(x*-h) se llama ecuacion ordinaria de la parábola siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p>0 la parábola abre hacia la derecha, si p<0, la parábola abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto V(h,k) y el eje de la parábola es paralelo al eje y, y su ecuación es de la forma: (x – h) 2 = -4p(y-k) Si p>0 ¿cómo abre la parabola?_________________ Si p<0 ¿cómo abre la parabola?________________ UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

24. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Partimos de la ecuación ordinaria: (x – h) 2 = -4p(y-k) Si desarrollamos ésta ecuación obtenemos: y 2 – 4px – 2ky + k 2 +k 2 +4ph = 0 Si D=-4p, E=-2k y F= k 2 + 4ph Entonces obtenemos: y 2 + Dx + Ey + F= 0 Ecuación general de la parabola, cuando la parabola es horizontal. Si la parabola es vertical se tiene por ecuación: x 2 + Dx + Ey + F= 0 Problema 5.4 Hallar la ecuación de la parabola y construir su grafica, si su foco es el punto F (-3,4) y su directriz x=5 grafica los datos. Solución: Realizaremos una gráfica en la que podamos identificar los datos y las incognitas: UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

25. Fig. 5.9 Su ecuación es de la forma:________________ Abre hacia:______________ El vértice V (h,k)=______________ Entonces la ecuación ordinaria es: (y-4) 2 = 4p(x-h) como el vértice esta entre el punto medio del eje entre el foco y la directriz, entonces el vértice de la parábola tiene de coordenadas: V(1,4), como la directriz es x=5 la p=-4. Obtenemos la ecuación ordinaria: (y-4) 2 = 4(-4)(x-1) UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

26. Desarrolla la ecuación y encuentra la ecuación general: Debes encontrar: y 2 + 6x – 8y = 0 Problema 5.5 A partir de la ecuación de la parabola: y 2 – 5y + 4x – 6 = 0 Encuentra sus partes fundamentales. Aplicaremos el metodo de completar cuadrados: y 2 – 5y = -4x + 6 Completando el cuadrado y sumando la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación: y 2 – 5 y + (___) 2 = -4x + 6 + (___) 2 Factoriza: (y - ___) 2 = -4x + 6 + 6.25 Entonces el vértice de la parábola es: v(3.0625, 2.5) y p=-1 UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

27. Esta parábola abre hacia:______________ Escribe la ecuación de su directriz: La longitud de su lado recto: En la grafica correspondiente verifica que la solución del problema sea correcta. UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS Directriz Fig. 5.10

28. Haciendo el proceso inverso, es decir conociendo el vértice y el valor de p, podemos llegar a la ecuación general. Sabemos que V(3.025,2.5) y p=-1 Aplicando la fórmula, sustituyendo valores y realizando operaciones: (x – h) 2 = -4p(y-k) (y – 2.5) 2 = -4p(x-3.0625) PROBLEMAS PARA RESOLVER. Resuelve los siguientes problemas y corrobora los resultados localizandolos en una gráfica. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para las ecuaciones dadas: a) x 2 = 12y b) y 2 + 8x=0 Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en el punto: F(0,3) UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

29. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, pasa por el punto A (-2,4). Hallar la ecuación, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. La directriz de una parabola es la recta y-1=0, y su foco es el punto (4,-3). Hallar la ecuación de la parábola, la longitud de su lado recto. La directriz de una parábola es la recta x+5=0, y su vértice es el punto (0,3). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos v(-4,3) y F(-1,3), respectivamente. Hallar tambien las ecuaciones de su directris y su eje, así como la longitud de su lado recto. Encuentra los elementos de las parabolas y construye sus gráficas respectivas. a) y 2 + 8y - 6x + 4 = 0/2 b) y 2 + 8y + 6x + 16= 0 c) y 2 – 4y + 8 x – 28=0 UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

30. La directriz de una parábola es la recta y-1=0, y su foco es el punto (4,-3). Hallar la ecuación de la parábola. La directriz de una parabola es la recta x + 5 = 0, y su vértice es el punto (0,3). Hallar la ecuación de la parábola, la longitud de su lado recto, su excentricidad y realiza una gráfica. UNIDAD 5 ECUACIÓN DE LA PARABOLA CON EJE PARALELO A ALGUNO DE LOS EJE COORDENADOS

31. APLICACIONES Problema 5.6 Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 460 metros y los cables están atados a ellas a 150 m arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntual que esta a 50 metros de la torre? Supongamos que el cable toca el piso en el punto medio V del puente. UNIDAD 5 APLICACIONES P1 (180,Y) 50m 50m 230m 230m 460m 300[m] P(230,150) Fig. 5.11

32. Solución: Recuerda que la figura anterior te ayuda a identificar cuales son los datos, así como las incognitas del problema. Escribe en tu cuaderno. ¿Cuáles son los datos?________________________________________ ¿Cuáles son las incognitas?____________________________________ Escogiendo el sistema de coordenadas como lo sugiere la figura, tenemos que la ecuación de la parábola es x 2 = 4py . Debemos encontrar p: ¿porqué necesitamos conocer p?_____________. Como el punto (230,150) esta en la parábola, sustituimos y resolvemos: 230 2 =4p(150) Obtenemos p=88.17. Así, la ecuación de la parábola es: X 2 = 352.7y UNIDAD 5 APLICACIONES

33. Queremos encontrar el valor de y para el punto P1 (180,Y) de la parabola que se encuentra a 50 metros de la torre. Sustituyamos. (180) 2 = 352.7y Despejando y: y = (180) 2 / 352.7 = 91.86 Podemos concluir: Así, la altura del puntal que está a 50 metros de la torre es de 91.86m. UNIDAD 5 APLICACIONES

34. Información para los problemas 5.7 y 5.8 La ecuación cartesiana de la trayectoria que describe un objeto que es lanzado desde el origen del sistema de coordenadas, con una velocidad inicial Vo y un ángulo de inclinación  es: g y = (tan   x- x 2 2Vo 2 cos 2  g Es la constante de aceleración por gravedad UNIDAD 5 APLICACIONES 0 Vo x  h max V Fig. 5.12

35. Problema 5.7 En una gran llanura, se dispara una bala de cañón a una velocidad inicial de 180 m/s, con un ángulo de 45° grados, considérese g=9.81 (m/s 2 ) . Considerando la posición del cañon en el origen del sistema de coordenadas, determine: ¿Cuál es la máxima altitud que alcanza la bala? ¿A qué distancia horizontal a partir del origen se alcanza la máxima altitud? UNIDAD 5 APLICACIONES 0 Vo = 180 m/s x  = 45° y h max V Fig. 5.13

36. Solución: Escribe en tu cuaderno ¿cuáles son los datos?______________ ¿Cuáles son las incógnitas?____________________________ La máxima altitud, se encuentra en el vértice (V) de la parábola descrita por la bala. La ecuación descrita por el móvil es: g y = (tan   x- x 2 2Vo 2 cos 2  Observa que esta ecuación es de segundo grado respecto a la variable x. Sustituyamos los datos del problema y simplifiquemos. y=tan45° x – x 2 y= x – (3.0278* 10 -4) x 2 , esta ecuación la podemos expresar de la siguiente manera UNIDAD 5 APLICACIONES 9.81 2 (180) 2 ( cos 45) 2

37. y= – (3.0278* 10 -4 ) x 2 + x Debe ser llevada a la forma (x – h) 2 = 4p(y – k) X - 3.0278* 10 -4 x 2 = y Realiza las operaciones en tu cuaderno. Dividiendo toda la ecuación entre 3.0278* 10 -4 , posteriormente puedes utilizar el método de completar cuadrados y llegar a la siguiente igualdad, despues factorizar para así encontrar el vértice de la parábola que se forma con la trayectoria de la bala. X 2 – 3302.728x= -3302.728y completando cuadrados y factorizando (x – 1651.364) = -3302.728 (y – 825.682) El vértice de la parabola descrita por la bala es: V (1651.364,825.682)(m) Podemos concluir: Por tanto, la altura máxima que alcanza la bala es de 825.682 m, cuando la bala a viajado una distancia horizontal de 1651.364 m. UNIDAD 5 APLICACIONES

38. Problema 5.8 Usando los datos del problema 5.7, determine la posición en la que impactará la bala de cañón a un blanco situado sobre una llanura cercana, que se sitúa a 10 m por debajo del nivel de disparo. Para resolver el problema es muy importante que te apoyen en la figura y hagas un análisis para identificar cuáles son los datos y cuáles son las incognitas. UNIDAD 5 APLICACIONES 0 10 m Vo = 180 m/s x  = 45° Piso Fig. 5.14

39. Usando la ecuación de la trayectoria, determinada anteriormente. y= x – (3.0278* 10 -4) x 2 El punto de impacto se encuentra a 10m por debajo del eje x de nuestro sistema coordenado, es decir, el punto debe cumpli y= -10m. Sustituyendo: -10 = x – (3.0278* 10 -4) x 2 (3.0278* 10 -4) x 2 – x – 10 = 0 Dividiendo la ecuación entre ( 3.0278* 10 -4 ) Se tiene una ecuación de segundo grado hay que resolverla. Realiza las operaciones en tu cuaderno, debes llegar a la siguiente ecuación: X 2 – 3302.728x – 33027.28 = 0 X = x 1 = 1651.364 + 1661.334 x 2 = 1651.364 - 1661.334 UNIDAD 5 APLICACIONES 3302.728+ 3302.728 2 + 4(33027.28) 2

40. Tomando la raíz positiva. x = 3312.698 m Podemos concluir: La bala impacta en las coordenada (3312.698,-10) m, es decir aproximadamente 3.313 km. delante del punto de disparo y 10 m por debajo del nivel del mismo punto. UNIDAD 5 APLICACIONES

41. PROBLEMAS DE APLICACIÓN QUE SE DEBEN RESOLVER EN EQUIPOS Antena parabólica. El receptor de una antena parabólica de disco para TV mide 3 pies desde el vértice y está ubicado en el foco (véase figura). Halla una ecuación de una sección transversal del reflector. (Supongamos que el disco está dirigido hacia arriba y el vértice esta en el origen.) UNIDAD 5 APLICACIONES Fig. 5.15 3 ft Receptor y x

42. Puente colgante. Cada cable de un puente colgante está suspendido (en forma de parábola) entre dos torres que se encuentran a 500 pies de distancia una de otra y a 50 pies sobre el nivel de la carretera (véase figura). Los cables tocan la calzada en el punto medio entre las torres. Halla una ecuación para la forma parabólica de cada cable. UNIDAD 5 APLICACIONES Fig. 5.16 Cable 250.50 Carretera y x

43. Antena parabolica. Una sección tranversal de una antena parabólica grande (véase figura) esta dada por: Y = x 2 / 200, 0< x < 100 El equipo transmisor y receptor está situado en el foco. Halla las coordenadas del foco. UNIDAD 5 APLICACIONES Fig. 5.17 150 100 50 -100 -50 50 100 y= x 2 200 x y Foco

44. Orbita de un Satélite. Un satélite que se encuentra en órbita circular a 100 millas de altitud alredor de la Tierra, tiene una velocidad aproximada de 17 500 millas por hora. Si su velocidad se multiplicara por 2, entonces el satélite tendría la velocidad minima necesaria para escapar de la atracción gravitacional terrestre y seguirá una trayectoria parabólica, teniendo como foco el centro de la Tierra. Halla la velocidad de escape del satélite. Halla una ecuación de su trayectoria (suponiendo que el radio de la Tierra es de 4000 millas) UNIDAD 5 APLICACIONES Piso 4100 millas Orbita circular Orbita parabólica y x Fig. 5.18

45. Circulación de líquidos. Cierta cantidad de agua corre por un tubo vertical a 48 pies sobre el nivel del suelo. El chorro de agua cae en forma de una parábola cuyo vértice (0,48) está en el extremo del tubo, el agua llega al suelo en el punto (10 3, 0). Halla la ecuación de la trayectoria tomada por el agua. EVALUACIÓN Hallar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola 3 y 2 = 8x UNIDAD 5 APLICACIONES Tubo de agua 48 ft 40 30 20 10 y x Fig. 5.19

46. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por el punto A(-2,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. A partir de la ecuación de la parábola encuentra sus elementos (foco, vértice, directriz y longitud del lado recto). Realiza para cada problema una grafica en tu cuaderno, para verificar tu resultado. x 2 + 4x + 16y + a = 0 y 2 – 4y + 8x – 28 = 0 UNIDAD 5 APLICACIONES

47. BIBLIOGRAFÍA Eugenio Filloy, Geometría Analítica , Grupo Editorial América 1997. Elena de Oteyza, Geometría y Trigonometría , Pearson Educación, 2001. Lehmann, CH, Geometría Anaítica , Ed. Limusa, México 1980. Francisco José Ortiz Campos, Matematicas – 4 Geometría Analítica , Publicaciones cultural. Joseph h Kindle. Mc Graw – Hill, Geometría Analítica . Luis Leithold, Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica , Ed. Haria México. UNIDAD 5 APLICACIONES