El documento explora el uso de las matemáticas más allá de los números, destacando su aplicación en el cifrado de mensajes, como se ilustra con el disco de Alberti. Demuestra cómo se pueden ocultar mensajes utilizando un método de desplazamiento de letras, que es fundamental en criptografía. Además, resalta la importancia de la aritmética modular y cómo las computadoras han simplificado estas técnicas en la actualidad.

1. Las Matemáticas no son lo matemática ha trabajado con toda clase de
entes que no necesariamente son cifras o
que parecen cantidades. Justo por esta razón es que, en la
José Enrique Alvarez Estrada* actualidad, se la describe como “la ciencia que
Siempre que oímos hablar de matemáticas, estudia los patrones”.
inmediatamente pensamos en números. Hace -¿Los patrones? O sea, ¿las personas que
algún tiempo, un amigo matemático me platicó contratan empleados? De seguro eso hubiera
una anécdota al respecto: en su juventud, pensado el abarrotero vecino de mi amigo.
cuando recién iniciaba la carrera, en cierta Pero no, no se trata de ese tipo de patrones
ocasión acudió a una tienda de abarrotes de precisamente...
los alrededores de su casa a hacer el Pongamos un ejemplo: ¿se pudiera hacer
mandado; el abarrotero le preguntó: matemáticas con las letras? Y de ser así,
-Muchacho, ¿es cierto que estás estudiando ¿para qué serviría eso?
matemáticas? A lo que mi amigo le respondió Imaginemos que, en uno de esos días de
muy orgulloso: -Sí, en la Facultad. Para su tedio y aburrimiento típicos de las vacaciones,
sorpresa, el abarrotero prosiguió: -Entonces, se nos ocurre dividir una circunferencia en 26
¡dime cuanto es 127,288,394 dividido entre rebanadas o “gajos”, y que en cada una de
123,289! ellas escribimos una letra del alfabeto (claro
En realidad, la definición más conocida de las está, falta la “Ñ”, pero la vamos a obviar por el
matemáticas es “la ciencia que estudia los momento). A una letra cualquiera, por ejemplo
números”, pero casi desde sus orígenes la la “K”, le ponemos una flechita que la señale
claramente. Como la tarde está gris y el cielo
* José Enrique Alvarez gusta definirse a sí mismo, en plomizo, tenemos tiempo de sobra, así que
palabras de Cliff Stoll, “no como un técnico ni un
artesano, sino como un artista que se expresa a dibujamos un segundo círculo más grande
través de la invisible urdimbre de los hilos
que el anterior, también lo dividimos en 26
electrónicos”. Puede contactársele vía e-mail en
jalvarez@software.org.mx

2. rebanadas, y nuevamente escribimos las 26 hubiera pensado nuestro amigo abarrotero.
letras, una en cada rebanada, olvidándonos Pero en realidad no lo es tanto: criptos es una
nuevamente de la molesta “Ñ”. El resultado palabra de origen griego que significa “oculto”.
sería algo como lo que muestra la Ilustración Y eso es exactamente lo que nuestro Disco de
1. Alberti hace: ¡ocultar un mensaje para que
sólo pueda leerlo aquél que conozca el
método secreto!
Pongamos un ejemplo: supongamos que
queremos encriptar el mensaje “LAS
MATEMÁTICAS SON DIVERTIDAS”. Para
ello, lo único que necesitamos es hacer girar
el disco pequeño hasta que coincida la letra
“K” (recordemos que dicha letra está marcada
por una flecha, para distinguirla) con cualquier
letra del disco grande que nosotros queramos:
yo voy a alinearla con la letra “W”, a modo de
Ilustración 1Los dos discos de papel terminados. ejemplo.
Ahora, comencemos a encriptar nuestro
A continuación, tomamos unas tijeras y
mensaje. En primer lugar, escribiremos la letra
recortamos ambos círculos, y después los
“W” como “prefijo” (es decir, la primera letra)
unimos mediante un eje que hacemos pasar
de nuestro mensaje codificado. Después,
por sus dos centros. ¿Qué es lo que tenemos
recorreremos una por una las letras del
aquí? Una máquina matemática conocida
mensaje “LAS MATEMÁTICAS SON
como el Disco de Alberti, que puede servir
DIVERTIDAS” en el disco pequeño, anotando
para encriptar un mensaje.
la que aparece alineada con ella en el disco
-Encriptar, ¡qué palabra tan rebuscada!,

3. grande. Así obtendremos: interior.
LAS MATEMATICAS SON DIVERTIDAS 4. Añade los espacios faltantes.
WXME YMFQYMFUOME EAZ PUHQDFUPME Pero, ¿qué rayos tiene que ver todo esto con
Si suprimimos todos los espacios en blanco las matemáticas? ¡Esto suena demasiado
(una costumbre que todos los buenos divertido para ser matemáticas!, ¿o no? Pues
criptógrafos siguen), el galimatías resultante bien, no sólo se trata de matemáticas, sino
será: que además son matemáticas de altos vuelos.
WXMEYMFQYMFUOMEEAZPUHQDFUPME. Pensemos lo siguiente: ¿qué estamos
Ciertamente, ¡imposible de entender si no se haciendo, desde el punto de vista matemático,
sabe el procedimiento mencionado! El cuando alineamos la letra “K” con la letra “W”?
resultado que hemos obtenido se conoce En realidad, estamos desplazando las letras
como mensaje cifrado, mientras que el un total de 12 lugares hacia la derecha, ya
mensaje original que dió pie a éste, se llama que son 12 letras las que separan a la “K” de
texto plano o texto llano. la “W”.
Ahora bien, suponiendo que tengamos algún A= B= C= D= E=5 F=6 G=
amigo que comparte nuestros momentos de 1 2 3 4 7
ocio, y si éste ha fabricado el mismo disco de H= I=9 J= K= L= M= N=
Alberti que nosotros, fácilmente puede 8 10 11 12 13 14
O= P= Q= R= S= T= U=
desencriptar el mensaje, de la siguiente forma:
15 16 17 18 19 20 21
1. Lee la primera letra del mensaje cifrado.
V= W= X= Y= Z=
2. Alinea la “K” de su disco pequeño con dicha
22 23 24 25 26
letra.
Tabla 1Los códigos numéricos que representan a cada
3. Busca, una por una, las letras del mensaje letra del alfabeto.
cifrado en el disco exterior, Por lo tanto, si suponemos que la letra “A” es
reemplazándolas por sus vecinas del disco la número 1, la “B” la número 2, y así

4. consecutivamente -tal como nos muestra la elegante para el residuo de una división
Tabla 1 para cada letra del alfabeto- entera: se trata del mismo concepto de
tendremos que: residuo que todos aprendimos a calcular en la
L A S M A T E M A primaria. Veamos qué pasa si aplicamos dicha
T I C A S ...
12 1 19 13 1 20 5 13 1 operación:
20 9 3 1 19
19 + 12 = 31, pero 31 mod 26 = 5 (la letra “E”)
Si ahora le sumamos 12 (la distancia que hay
20 + 12 = 32, pero 32 mod 26 = 6 (la letra “F”)
de la “K” a la “W”) a todos estos números,
La palabra “mod” que aparece arriba, indica la
resulta:
operación matemática de obtener el residuo
12 + 12 = 24 (la letra “X”)
de la división, desechando el cociente que nos
1 + 12 = 13 (la letra “M”)
haya quedado. Si comparamos los resultados
19 + 12 = 31 (¿qué pasó aquí?)
obtenidos -el número 5 que representa a la
13 + 12 = 25 (la letra “Y”)
letra “E” y el número 6 que representa a la “F”-
1 + 12 = 13 (la letra “M”)
veremos que coinciden perfectamente con lo
20 + 12 = 32 (¿qué pasó aquí?)
que nos arrojó nuestro Disco de Alberti
5 + 12 = 17 (la letra “Q”)
anteriormente.
13 + 12 = 25 (la letra “Y”)
¿Nos resulta conocido este concepto de
Si somos observadores notaremos que las
“módulo”? ¡Claro! Lo utilizamos todos los días
letras “S” y “T” nos están causando
para leer la hora en los relojes analógicos o
problemas: al sumar 12 a sus respectivas
“de carátula”. Estos relojes trabajan sus
posiciones, dan valores mayores de 26, ¡pero
minutos y sus segundos con “aritmética
sólo tenemos 26 letras en el alfabeto! ¿Cómo
módulo 60”, y por tanto cuando pasamos del
lo solucionamos?
minuto 59, no llegamos al 60, sino que
El secreto está en una propiedad matemática
regresamos al minuto 0, avanzando 1 hora.
llamada aritmética módulo 26. La palabra
Por cierto, que la primera persona conocida
“módulo” no es otra cosa que un nombre

5. por utilizar nuestro método de encripción no Tabla 2 te muestro un pequeño programa,
fue León Battista Alberti -matemático creado en el lenguaje de programación
renacentista, llamado el Padre de la Blassic (un dialecto de Basic), que simula el
Criptografía-, sino Julio César, el Emperador Disco de Alberti. ¡Te invito a que descargues
de Roma: el buen Cesarín acostumbraba a el intérprete de Blassic en tu computadora y lo
enviar mensajes a sus generales en el frente, pruebes! Blassic es un software gratuito,
desplazando las letras 7 posiciones. Debido a disponible en
esta razón, este método se conoce también http://www.arrakis.es/~ninsesabe/blassic/
como “Clave Cesárea”. De hecho, este pequeño programa funcionará
Podemos imaginar que, hasta hace pocos con ninguna o muy pocas modificaciones en
años, máquinas de cifrado como el Disco de cualquier otro dialecto de Basic. Con un poco
Alberti eran la única forma de lidiar con los de imaginación, ¡podrás extenderlo para que
grandes volúmenes de mensajes que la también desencripte los mensajes en texto
milicia, la diplomacia, los organismos llano!
financieros y un largo etcétera de aplicaciones 10 ' Programa que simula el Disco de Alberti
20 ' (c) 2005, Jose Enrique Alvarez Estrada
más tenían; se requerían verdaderos ejércitos 30 ' Este programa se distribuye bajo Licencia
Publica General GNU (GPL)
de cifradores y decriptadores, que gastaban 40 INPUT "LETRA ALINEADA CON LA 'K': "; Letra$
50 Cifrado$ = Letra$
sus vidas en esta actividad, por demás 60 Distancia = ASC(Letra$) - ASC("K")
70 INPUT "Texto llano: "; Llano$
propensa a errores. 80 FOR i=1 TO LEN(Llano$)
90 Caracter$ = UPPER$ ( MID$(Llano$, i, 1) )
100 IF Caracter$ >= "A" AND Caracter$ <= "Z" THEN
Pero la llegada de la computadora trastocó
Cifrado$ = Cifrado$ + CHR$( (ASC( Caracter$) - 65 +
Distancia ) MOD 26 + 65)
completamente todo esto. En la actualidad,
110 NEXT i
120 PRINT Cifrado$
resulta extremadamente fácil programar una
130 END
de estas máquinas para que realice, sin error
Tabla 2 Listado en Blassic del Simulador del Disco de
alguno, cualquier cantidad de operaciones de Alberti.
cifrado y decriptación para nosotros. En la

6. Conclusiones
Es evidente, a partir de esta pequeña
demostración, que las matemáticas no son lo
que parecen; o sea, que el león no es como lo
pintan. La capacidad ilimitada de esta ciencia
maravillosa para generar “reglas del juego” (o
sea, operaciones) sobre conjuntos de objetos
(que a veces son números, y a veces -como
en esta ocasión- pueden ser letras), hace que
resulte muy divertido, a la vez de muy
práctico, usarla para aplicaciones que tienen
repercusiones importantes en el mundo real.
En artículos posteriores, explicaré cómo y por
qué se inventó la “estadística” (o sea, la
ciencia “del Estado”), en respuesta a la
necesidad de desarrollar técnicas para leer los
mensajes secretos (es decir, “criptoanalizar”
dichos mensajes). Y por supuesto, ¡crearemos
una máquina capaz de romper los sistemas de
cifrado de nuestros enemigos imaginarios!