3. Repasar los principales propiedades y teoremas de logaritmos.
Utilizar los resultados para la resolución de problemas.
Reconocer las definición de logaritmos .
C U R S O D E Á L G E B R A
4. LOGARITMOS
Si bien en el comienzo se denominó
«números artificiales» a los
logaritmos, Neper crearía luego el
nombre con el que se conoce
actualmente, al combinar las palabras
griegas «logos» (proporción) y
«arithmos» (número).
El método de cálculo mediante
logaritmos fue propuesto por
primera vez, públicamente, por John
Neper en 1614, más adelante el
inglés Henry Briggs aportó
cambiando a la base decimal.
C U R S O D E Á L G E B R A
5. LOGARITMOS EN R
Definición
Donde
Se lee: logaritmo de 𝑁 en base 𝑏 es 𝑥.
log𝑏𝑁 = 𝑥 ⟺ 𝑏𝑥
= 𝑁
❑ 𝑁: número de logaritmo 𝑁 > 0
❑ 𝑏: base del logaritmo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
❑ 𝑥: logaritmo 𝑥 ∈ ℝ
Ejemplos
𝟏. log24 = ⟺ 22 = 4
2
𝟐. log381 = ⟺ 34
= 81
4
𝟑. log5
1
25
= −2 ⟺ 5−2=
1
25
𝟒. log497 =
1
2
⟺ = 7
𝟏
𝟐
49
Propiedades
log𝑏𝑏 = 1 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
log𝑏1 = 0
Ejemplos
❖ log99 = 1
❖ log 2 2 =1
❖ log81 = 0
❖ log𝜋1 = 0
(𝑥 es el logaritmo de 𝑁 en base 𝑏 )
C U R S O D E Á L G E B R A
6. Logaritmo decimal ( común, vulgar o de Briggs )
log 𝑁 = log10𝑁
Ejemplos
❖ log1010 = 1
❖ log 0,1 = log10
1
10
= −1
Identidad fundamental
𝑏log𝑏𝑵
= 𝑵
Ejemplos
𝟏. 9log96 = 6 𝟐. 7log74 = 4
𝟑. 8log25
= 23 log25
= 2log25 3
= 5 3
= 125
𝑏 > 0 , 𝑏 ≠ 1 , 𝑁 > 0
log10100 = 2
❖ log 100 =
𝟒. 2log45
= 4
log45
= 4log45
1
2 = 5
1
2 = 5
𝐈. = log𝑏 𝑀. 𝑁
log𝑏𝑀 + log𝑏𝑁
= log𝑏
𝑀
𝑁
log𝑏𝑀 − log𝑏𝑁
Ejemplos
𝟏) log432 + log42 = log4 32.2 = log464 = 3
𝟐) log65 + 1 = log65 + log66 = log630
= log6 5.6
𝟑) log 100𝑥 = log100 + log𝑥 = 2 + log𝑥
𝟒) log3162 − log32 = log3
162
2
= log381 = 4
𝟓) log550 + log56 − log512 = log5
50.6
12
= log525 = 2
𝐈𝐈.
Teoremas
Considerando que las siguientes expresiones logarítmicas
existen en ℝ, se cumple:
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7. 𝐈𝐈𝐈. 𝑏𝒎
log 𝑎 𝑛 log𝑏𝑎
𝒏
𝒎
=
Ejemplos
𝟏)
7 3
log 5 2 log75
𝟐
𝟑
=
𝟐)
81
log 32 =
3 4
log 2 5 = log32
𝟓
𝟒
𝟑) log 36 = log 6 2 = 𝟐log 6
Observación
log 𝑎
𝑏 𝑏𝒎
log 𝑎𝒎
𝒏
𝑏
log 𝒏
𝑎
= =
Ejemplo
𝟑
2
log 5
𝟑
2
𝟑
= log 5𝟑
= log 125
2
log𝑏𝑎𝒙
= 𝒙log𝑏𝑎
Ejemplos
𝟏. log23𝟓
= 5log23
𝟐. log21024 = log2210 = 10
Aplicación
Halle el valor de 𝑥 si 2𝑥 = 7
Resolución
En 2𝑥
= 7
𝐥𝐨𝐠𝟐2𝑥 = 𝐥𝐨𝐠𝟐7
𝑥 = log27 = 2.807…
𝐈𝐕.
= 3log2 5
𝟑. log66𝟓
= 5log66
𝟒. log21024 = log2210 = 10
= 5
C U R S O D E Á L G E B R A
8. 𝐕.
log𝑏𝑎
log𝑏𝑏
𝒄
𝒄
log𝑏𝑎 =
Ejemplos
𝟏) Calcule log37 a base 5
log37 =
log𝑏7
log𝑏3
𝟓
𝟓
= log98
log𝑏8
log𝑏9
𝟔
𝟔
𝟐)
𝟑) Calcule log52 a base 2
log52 =
log𝑏2
log𝑏5
𝟐
𝟐
log52 =
1
log𝑏5
𝟐
log52. log25 = 1
Observaciones
log𝑏𝑎 =
1
log𝑎𝑏
log𝑏𝑎 . log𝑏𝑎 =1
Ejemplos
𝟏) log67 =
1
log𝑏6
𝟕
𝟐)
1
log𝑏3
4
= log34
𝟑) log3𝜋. log𝜋3 = 1
log𝑏𝑎. log𝑐𝑏 = log𝑐𝑎
log𝑏𝑎. log𝑐𝑏. log𝑑𝑐 = log𝑑𝑎
Ejemplos
𝟏) log56. log25 = log26
𝟐) log710. log13 = log73
𝟏𝟎
𝟑) log82. log78. log57 = log52
Regla de la cadena
Cambio de base
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9. Ejemplos
C U R S O D E Á L G E B R A
Regla del intercambio
𝑎log𝒃𝑐
= 𝑐log𝒃𝑎
Demostración
𝑎log𝒃𝑐
= 𝑎 . log𝒃 𝑎
log𝒂𝑐
= 𝑎log𝒂𝑐 log𝒃𝑎
= 𝑐log𝒃𝑎
𝟐. 8log𝟐5
= 5log𝟐8
= 53
= 125
𝟑. −25log𝟓7
= −7log𝟓25
= −72
=−49
𝟏. 3log𝟔2 = 2log𝟔3
Aplicación
Halle su solución
Resolución
Sea la ecuación 𝑥log𝟒5
+ 5log𝟒𝑥
= 250.
En 𝑥log𝟒5 + 5log𝟒𝑥 = 250
5log𝟒𝑥
+ 5log𝟒𝑥
= 250
2.5log𝟒𝑥 = 250
5log𝟒𝑥 = 125
5log𝟒𝑥 = 53 log𝟒𝑥 = 3
𝑥 = 43
= 𝟔𝟒
𝑎log𝒃𝑐
𝑎log𝒃𝑐
∴ 𝑥 = 64
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