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Logaritmos - Teoría.pdf
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- 3. Repasar los principalespropiedades y teoremas de logaritmos. Utilizar los resultados para la resolución de problemas. Reconocer las definición de logaritmos . C U R S O D E Á L G E B R A
- 4. LOGARITMOS Si bien enel comienzo se denominó «números artificiales» a los logaritmos, Neper crearía luego el nombre con el que se conoce actualmente, al combinar las palabras griegas «logos» (proporción) y «arithmos» (número). El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Neper en 1614, más adelante el inglés Henry Briggs aportó cambiando a la base decimal. C U R S O D E Á L G E B R A
- 5. LOGARITMOS EN R Definición Donde Selee: logaritmo de 𝑁 en base 𝑏 es 𝑥. log𝑏𝑁 = 𝑥 ⟺ 𝑏𝑥 = 𝑁 ❑ 𝑁: número de logaritmo 𝑁 > 0 ❑ 𝑏: base del logaritmo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ❑ 𝑥: logaritmo 𝑥 ∈ ℝ Ejemplos 𝟏. log24 = ⟺ 22 = 4 2 𝟐. log381 = ⟺ 34 = 81 4 𝟑. log5 1 25 = −2 ⟺ 5−2= 1 25 𝟒. log497 = 1 2 ⟺ = 7 𝟏 𝟐 49 Propiedades log𝑏𝑏 = 1 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 log𝑏1 = 0 Ejemplos ❖ log99 = 1 ❖ log 2 2 =1 ❖ log81 = 0 ❖ log𝜋1 = 0 (𝑥 es el logaritmo de 𝑁 en base 𝑏 ) C U R S O D E Á L G E B R A
- 6. Logaritmo decimal (común, vulgar o de Briggs ) log 𝑁 = log10𝑁 Ejemplos ❖ log1010 = 1 ❖ log 0,1 = log10 1 10 = −1 Identidad fundamental 𝑏log𝑏𝑵 = 𝑵 Ejemplos 𝟏. 9log96 = 6 𝟐. 7log74 = 4 𝟑. 8log25 = 23 log25 = 2log25 3 = 5 3 = 125 𝑏 > 0 , 𝑏 ≠ 1 , 𝑁 > 0 log10100 = 2 ❖ log 100 = 𝟒. 2log45 = 4 log45 = 4log45 1 2 = 5 1 2 = 5 𝐈. = log𝑏 𝑀. 𝑁 log𝑏𝑀 + log𝑏𝑁 = log𝑏 𝑀 𝑁 log𝑏𝑀 − log𝑏𝑁 Ejemplos 𝟏) log432 + log42 = log4 32.2 = log464 = 3 𝟐) log65 + 1 = log65 + log66 = log630 = log6 5.6 𝟑) log 100𝑥 = log100 + log𝑥 = 2 + log𝑥 𝟒) log3162 − log32 = log3 162 2 = log381 = 4 𝟓) log550 + log56 − log512 = log5 50.6 12 = log525 = 2 𝐈𝐈. Teoremas Considerando que las siguientes expresiones logarítmicas existen en ℝ, se cumple: C U R S O D E Á L G E B R A
- 7. 𝐈𝐈𝐈. 𝑏𝒎 log 𝑎𝑛 log𝑏𝑎 𝒏 𝒎 = Ejemplos 𝟏) 7 3 log 5 2 log75 𝟐 𝟑 = 𝟐) 81 log 32 = 3 4 log 2 5 = log32 𝟓 𝟒 𝟑) log 36 = log 6 2 = 𝟐log 6 Observación log 𝑎 𝑏 𝑏𝒎 log 𝑎𝒎 𝒏 𝑏 log 𝒏 𝑎 = = Ejemplo 𝟑 2 log 5 𝟑 2 𝟑 = log 5𝟑 = log 125 2 log𝑏𝑎𝒙 = 𝒙log𝑏𝑎 Ejemplos 𝟏. log23𝟓 = 5log23 𝟐. log21024 = log2210 = 10 Aplicación Halle el valor de 𝑥 si 2𝑥 = 7 Resolución En 2𝑥 = 7 𝐥𝐨𝐠𝟐2𝑥 = 𝐥𝐨𝐠𝟐7 𝑥 = log27 = 2.807… 𝐈𝐕. = 3log2 5 𝟑. log66𝟓 = 5log66 𝟒. log21024 = log2210 = 10 = 5 C U R S O D E Á L G E B R A
- 8. 𝐕. log𝑏𝑎 log𝑏𝑏 𝒄 𝒄 log𝑏𝑎 = Ejemplos 𝟏) Calculelog37 a base 5 log37 = log𝑏7 log𝑏3 𝟓 𝟓 = log98 log𝑏8 log𝑏9 𝟔 𝟔 𝟐) 𝟑) Calcule log52 a base 2 log52 = log𝑏2 log𝑏5 𝟐 𝟐 log52 = 1 log𝑏5 𝟐 log52. log25 = 1 Observaciones log𝑏𝑎 = 1 log𝑎𝑏 log𝑏𝑎 . log𝑏𝑎 =1 Ejemplos 𝟏) log67 = 1 log𝑏6 𝟕 𝟐) 1 log𝑏3 4 = log34 𝟑) log3𝜋. log𝜋3 = 1 log𝑏𝑎. log𝑐𝑏 = log𝑐𝑎 log𝑏𝑎. log𝑐𝑏. log𝑑𝑐 = log𝑑𝑎 Ejemplos 𝟏) log56. log25 = log26 𝟐) log710. log13 = log73 𝟏𝟎 𝟑) log82. log78. log57 = log52 Regla de la cadena Cambio de base C U R S O D E Á L G E B R A
- 9. Ejemplos C U RS O D E Á L G E B R A Regla del intercambio 𝑎log𝒃𝑐 = 𝑐log𝒃𝑎 Demostración 𝑎log𝒃𝑐 = 𝑎 . log𝒃 𝑎 log𝒂𝑐 = 𝑎log𝒂𝑐 log𝒃𝑎 = 𝑐log𝒃𝑎 𝟐. 8log𝟐5 = 5log𝟐8 = 53 = 125 𝟑. −25log𝟓7 = −7log𝟓25 = −72 =−49 𝟏. 3log𝟔2 = 2log𝟔3 Aplicación Halle su solución Resolución Sea la ecuación 𝑥log𝟒5 + 5log𝟒𝑥 = 250. En 𝑥log𝟒5 + 5log𝟒𝑥 = 250 5log𝟒𝑥 + 5log𝟒𝑥 = 250 2.5log𝟒𝑥 = 250 5log𝟒𝑥 = 125 5log𝟒𝑥 = 53 log𝟒𝑥 = 3 𝑥 = 43 = 𝟔𝟒 𝑎log𝒃𝑐 𝑎log𝒃𝑐 ∴ 𝑥 = 64 C U R S O D E Á L G E B R A
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