Este documento trata sobre diferentes tipos de números, incluyendo números racionales, irracionales, naturales y enteros. Explica las propiedades de cada uno y cómo se pueden representar. También cubre conceptos como operaciones con radicales, intervalos de números reales y aproximaciones.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de Matemática 2° año de secundaria. Entre los temas se encuentran números reales, notación científica, lenguaje algebraico, polinomios, ecuaciones e inecuaciones, funciones, proporcionalidad, teorema de Thales, volumen y capacidad. Explica conceptos matemáticos fundamentales y sus aplicaciones.
Este documento presenta un resumen del tema 1 sobre los números reales. Introduce la clasificación de los números, incluyendo naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo representar diferentes tipos de números en la recta numérica. También cubre intervalos, potencias, raíces y radicaciones, y cómo trabajar con ellos. El objetivo es proporcionar una introducción completa a los diferentes tipos de números reales y operaciones básicas.
Dar a conocer la importancia que tiene los números racionales y las ramas que se desprende de dichos números y la metodología de como podemos enseñarles a los niños.
Este documento presenta una introducción al sistema de los números reales. Comienza definiendo los subconjuntos de números naturales, enteros y racionales. Luego define formalmente el conjunto de los números reales y establece la correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta real. Finalmente, describe algunas propiedades importantes de las operaciones en los números reales como la conmutatividad, distributividad y orden.
Este documento presenta una introducción al álgebra. Explica que el álgebra estudia la combinación de elementos abstractos de acuerdo con ciertas reglas y que originalmente involucraba números. También resume brevemente la historia del álgebra desde Babilonia y Egipto hasta su desarrollo en el mundo árabe. A continuación, introduce conceptos básicos como expresiones algebraicas, términos, grados de monomios y polinomios, términos semejantes y reducción.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una línea recta, con números positivos a la derecha del origen y números negativos a la izquierda. También cubre algunas reglas básicas y propiedades de las operaciones con números reales.
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra, incluyendo operaciones como adición, sustracción, multiplicación y división, así como expresiones algebraicas, términos y polinomios. 2) Explica que las letras se usan para representar cantidades desconocidas y los números cantidades conocidas. 3) Detalla las propiedades de cada operación algebraica y cómo se representan y ejecutan cada una.
El documento define los números complejos y sus operaciones. Define el conjugado de un número complejo como el número obtenido al cambiar el signo de su componente imaginaria. Explica cómo representar números complejos en un plano cartesiano y las propiedades de las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números complejos. También define otros conceptos matemáticos como números reales, desigualdades, valor absoluto y plano numérico.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de Matemática 2° año de secundaria. Entre los temas se encuentran números reales, notación científica, lenguaje algebraico, polinomios, ecuaciones e inecuaciones, funciones, proporcionalidad, teorema de Thales, volumen y capacidad. Explica conceptos matemáticos fundamentales y sus aplicaciones.
Este documento presenta un resumen del tema 1 sobre los números reales. Introduce la clasificación de los números, incluyendo naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo convertir entre fracciones y decimales, y cómo representar diferentes tipos de números en la recta numérica. También cubre intervalos, potencias, raíces y radicaciones, y cómo trabajar con ellos. El objetivo es proporcionar una introducción completa a los diferentes tipos de números reales y operaciones básicas.
Dar a conocer la importancia que tiene los números racionales y las ramas que se desprende de dichos números y la metodología de como podemos enseñarles a los niños.
Este documento presenta una introducción al sistema de los números reales. Comienza definiendo los subconjuntos de números naturales, enteros y racionales. Luego define formalmente el conjunto de los números reales y establece la correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta real. Finalmente, describe algunas propiedades importantes de las operaciones en los números reales como la conmutatividad, distributividad y orden.
Este documento presenta una introducción al álgebra. Explica que el álgebra estudia la combinación de elementos abstractos de acuerdo con ciertas reglas y que originalmente involucraba números. También resume brevemente la historia del álgebra desde Babilonia y Egipto hasta su desarrollo en el mundo árabe. A continuación, introduce conceptos básicos como expresiones algebraicas, términos, grados de monomios y polinomios, términos semejantes y reducción.
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una línea recta, con números positivos a la derecha del origen y números negativos a la izquierda. También cubre algunas reglas básicas y propiedades de las operaciones con números reales.
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra, incluyendo operaciones como adición, sustracción, multiplicación y división, así como expresiones algebraicas, términos y polinomios. 2) Explica que las letras se usan para representar cantidades desconocidas y los números cantidades conocidas. 3) Detalla las propiedades de cada operación algebraica y cómo se representan y ejecutan cada una.
El documento define los números complejos y sus operaciones. Define el conjugado de un número complejo como el número obtenido al cambiar el signo de su componente imaginaria. Explica cómo representar números complejos en un plano cartesiano y las propiedades de las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números complejos. También define otros conceptos matemáticos como números reales, desigualdades, valor absoluto y plano numérico.
Este documento clasifica y define los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica. Por último, cubre conceptos como suma, resta, multiplicación, división, exponentes y raíces cuadradas.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de álgebra superior, incluyendo desigualdades, conjuntos, subconjuntos, intersección y unión de conjuntos. Explica cómo resolver desigualdades lineales y desigualdades que incluyen variables en el denominador, dando ejemplos ilustrativos.
Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción p/q, donde p y q son números enteros y q es distinto de cero. Los números racionales incluyen números como enteros, fracciones comunes y números decimales periódicos. Hipaso demostró que la raíz cuadrada de 2 no puede escribirse como una fracción, por lo que es irracional.
El documento presenta un resumen de los contenidos de matemática para 9° año. Incluye temas como números reales, notación científica, lenguaje algebraico, polinomios, ecuaciones, funciones, proporcionalidad, teorema de Tales, volumen y capacidad.
Algebra solucion de ecuacones con suma y resta 1 y 2 pasosPerez Kyria
Este documento presenta los conceptos y pasos para resolver ecuaciones algebraicas con una, dos o más operaciones (suma, resta, multiplicación y división). Define términos como variable, constante, expresión algebraica y coeficiente. Explica los pasos para resolver ecuaciones de un solo paso y de dos pasos a través de ejemplos. Finalmente, guía a la práctica de ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento explica las fracciones algebraicas, incluyendo su definición, reglas, simplificación, signos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones compuestas. Define una fracción algebraica como una fracción común donde las letras pueden aparecer en el numerador, denominador o ambos. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas siguiendo las mismas reglas que las fracciones aritméticas.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
Este documento trata sobre exponentes. Explica que la potenciación es una operación entre una base y un exponente, y define exponentes enteros positivos como productos repetidos de la base. Luego describe propiedades básicas de los exponentes como la propiedad del producto y la propiedad del cociente. Finalmente, introduce exponentes negativos, racionales y la notación científica.
1. El documento explica cómo se usan las sucesiones y series en matemáticas, dando ejemplos de cómo aparecen en la vida diaria como el rodaje de las llantas de un automóvil. 2. Describe que una sucesión es una secuencia de números con un orden definido, mientras que una serie es la suma de los términos de una sucesión. 3. Explica los conceptos de sucesión y serie aritmética y geométrica, incluyendo sus fórmulas para calcular términos generales.
Este documento explica los conceptos básicos de las raíces. Define la radicación como el proceso inverso a la potenciación y explica que, así como la resta es lo contrario a la suma, sacar raíces es lo opuesto a elevar números. Luego, detalla los tipos de raíces exactas como las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos y las raíces cúbicas de los cubos perfectos. Por último, establece propiedades de las raíces como que la raíz de un producto es el producto de las raí
Este documento define conceptos básicos relacionados con ecuaciones, incluyendo incógnitas, identidades, miembros, términos, clases de ecuaciones, grado, raíces o soluciones, transposición de términos y la regla general para resolver ecuaciones. También presenta ejemplos de ecuaciones y problemas para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Este documento presenta una unidad sobre álgebra que incluye operaciones con expresiones algebraicas, factorización de polinomios, fracciones algebraicas y división de polinomios. Explica conceptos como monomios, polinomios, factor común, productos notables y propiedades de exponentes para simplificar expresiones algebraicas. También cubre temas como factorización, racionalización de fracciones y la división algorítmica de polinomios.
Este documento presenta una guía sobre números reales con cuatro temas principales: 1) identifica la relación entre los conjuntos numéricos y define los números reales, 2) explica cómo representar números reales e intervalos en la recta numérica, 3) define intervalos cerrados y abiertos en la recta numérica, y 4) introduce el concepto de valor absoluto y sus propiedades. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor los números reales y cómo trabajar con ellos.
El documento resume conceptos matemáticos como áreas, fracciones, series aritméticas y potencias. Explica fórmulas para calcular áreas de cuadrados, rectángulos y triángulos. Describe los pasos para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. Define una serie aritmética y explica cómo calcular un término en una serie. Finalmente, explica los conceptos de raíz cuadrada y potenciación, incluyendo propiedades como la multiplicación y división de potencias.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como números reales, la recta numérica, valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones, exponentes, radicales y propiedades. Explica los números reales como la unión de números racionales e irracionales. Describe la recta numérica y cómo se representan números positivos y negativos. Define el valor absoluto y cómo se relaciona con magnitud y distancia. Luego, cubre ecuaciones, inecuaciones, y cómo resolverlas. Finalmente, explica exponentes, radicales, y sus prop
1) El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales e irracionales. 2) Explica cómo los números reales llenan la recta numérica y cómo se representan en ella. 3) Define conceptos como intervalos, semirrectas, valor absoluto y logaritmos.
El documento describe el sistema de los números reales. Introduce los números naturales, enteros, racionales y reales, y cómo cada conjunto se construye a partir del anterior mediante ampliaciones para resolver ecuaciones. También explica la correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta real, y algunas propiedades como el orden y las operaciones binarias en este sistema numérico.
El documento describe los diferentes conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales e irracionales) y sus propiedades. Explica cómo estos conjuntos se relacionan entre sí y cómo se representan en una recta numérica. También cubre conceptos como el valor absoluto de un número, intervalos y las reglas básicas para realizar operaciones con números reales como suma, producto, cociente y potenciación.
El documento describe el sistema de los números reales. Introduce los números naturales, enteros, racionales y reales, y cómo cada conjunto se construye a partir del anterior. También explica la correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta real.
Este documento describe los números reales y algunas de sus propiedades. Los números reales incluyen a los números positivos, negativos y cero, así como a los números enteros y racionales. También incluyen números irracionales como π y raíz cuadrada de 2. Todos los números reales pueden escribirse como números decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre.
informe de numeros naturales (orianny guedez).pptxoriannyGuedez
El documento explica los conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. También describe las propiedades de los números reales como su orden, integralidad y capacidad de expresarse como decimales infinitos, así como ejemplos de tipos de números reales. Por último, introduce conceptos como valor absoluto y desigualdades de valor absoluto.
Este documento clasifica y define los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica. Por último, cubre conceptos como suma, resta, multiplicación, división, exponentes y raíces cuadradas.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de álgebra superior, incluyendo desigualdades, conjuntos, subconjuntos, intersección y unión de conjuntos. Explica cómo resolver desigualdades lineales y desigualdades que incluyen variables en el denominador, dando ejemplos ilustrativos.
Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción p/q, donde p y q son números enteros y q es distinto de cero. Los números racionales incluyen números como enteros, fracciones comunes y números decimales periódicos. Hipaso demostró que la raíz cuadrada de 2 no puede escribirse como una fracción, por lo que es irracional.
El documento presenta un resumen de los contenidos de matemática para 9° año. Incluye temas como números reales, notación científica, lenguaje algebraico, polinomios, ecuaciones, funciones, proporcionalidad, teorema de Tales, volumen y capacidad.
Algebra solucion de ecuacones con suma y resta 1 y 2 pasosPerez Kyria
Este documento presenta los conceptos y pasos para resolver ecuaciones algebraicas con una, dos o más operaciones (suma, resta, multiplicación y división). Define términos como variable, constante, expresión algebraica y coeficiente. Explica los pasos para resolver ecuaciones de un solo paso y de dos pasos a través de ejemplos. Finalmente, guía a la práctica de ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento explica las fracciones algebraicas, incluyendo su definición, reglas, simplificación, signos, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones compuestas. Define una fracción algebraica como una fracción común donde las letras pueden aparecer en el numerador, denominador o ambos. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas siguiendo las mismas reglas que las fracciones aritméticas.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
Este documento trata sobre exponentes. Explica que la potenciación es una operación entre una base y un exponente, y define exponentes enteros positivos como productos repetidos de la base. Luego describe propiedades básicas de los exponentes como la propiedad del producto y la propiedad del cociente. Finalmente, introduce exponentes negativos, racionales y la notación científica.
1. El documento explica cómo se usan las sucesiones y series en matemáticas, dando ejemplos de cómo aparecen en la vida diaria como el rodaje de las llantas de un automóvil. 2. Describe que una sucesión es una secuencia de números con un orden definido, mientras que una serie es la suma de los términos de una sucesión. 3. Explica los conceptos de sucesión y serie aritmética y geométrica, incluyendo sus fórmulas para calcular términos generales.
Este documento explica los conceptos básicos de las raíces. Define la radicación como el proceso inverso a la potenciación y explica que, así como la resta es lo contrario a la suma, sacar raíces es lo opuesto a elevar números. Luego, detalla los tipos de raíces exactas como las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos y las raíces cúbicas de los cubos perfectos. Por último, establece propiedades de las raíces como que la raíz de un producto es el producto de las raí
Este documento define conceptos básicos relacionados con ecuaciones, incluyendo incógnitas, identidades, miembros, términos, clases de ecuaciones, grado, raíces o soluciones, transposición de términos y la regla general para resolver ecuaciones. También presenta ejemplos de ecuaciones y problemas para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Este documento presenta una unidad sobre álgebra que incluye operaciones con expresiones algebraicas, factorización de polinomios, fracciones algebraicas y división de polinomios. Explica conceptos como monomios, polinomios, factor común, productos notables y propiedades de exponentes para simplificar expresiones algebraicas. También cubre temas como factorización, racionalización de fracciones y la división algorítmica de polinomios.
Este documento presenta una guía sobre números reales con cuatro temas principales: 1) identifica la relación entre los conjuntos numéricos y define los números reales, 2) explica cómo representar números reales e intervalos en la recta numérica, 3) define intervalos cerrados y abiertos en la recta numérica, y 4) introduce el concepto de valor absoluto y sus propiedades. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor los números reales y cómo trabajar con ellos.
El documento resume conceptos matemáticos como áreas, fracciones, series aritméticas y potencias. Explica fórmulas para calcular áreas de cuadrados, rectángulos y triángulos. Describe los pasos para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. Define una serie aritmética y explica cómo calcular un término en una serie. Finalmente, explica los conceptos de raíz cuadrada y potenciación, incluyendo propiedades como la multiplicación y división de potencias.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como números reales, la recta numérica, valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones, exponentes, radicales y propiedades. Explica los números reales como la unión de números racionales e irracionales. Describe la recta numérica y cómo se representan números positivos y negativos. Define el valor absoluto y cómo se relaciona con magnitud y distancia. Luego, cubre ecuaciones, inecuaciones, y cómo resolverlas. Finalmente, explica exponentes, radicales, y sus prop
1) El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales e irracionales. 2) Explica cómo los números reales llenan la recta numérica y cómo se representan en ella. 3) Define conceptos como intervalos, semirrectas, valor absoluto y logaritmos.
El documento describe el sistema de los números reales. Introduce los números naturales, enteros, racionales y reales, y cómo cada conjunto se construye a partir del anterior mediante ampliaciones para resolver ecuaciones. También explica la correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta real, y algunas propiedades como el orden y las operaciones binarias en este sistema numérico.
El documento describe los diferentes conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales e irracionales) y sus propiedades. Explica cómo estos conjuntos se relacionan entre sí y cómo se representan en una recta numérica. También cubre conceptos como el valor absoluto de un número, intervalos y las reglas básicas para realizar operaciones con números reales como suma, producto, cociente y potenciación.
El documento describe el sistema de los números reales. Introduce los números naturales, enteros, racionales y reales, y cómo cada conjunto se construye a partir del anterior. También explica la correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta real.
Este documento describe los números reales y algunas de sus propiedades. Los números reales incluyen a los números positivos, negativos y cero, así como a los números enteros y racionales. También incluyen números irracionales como π y raíz cuadrada de 2. Todos los números reales pueden escribirse como números decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre.
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El documento explica los conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. También describe las propiedades de los números reales como su orden, integralidad y capacidad de expresarse como decimales infinitos, así como ejemplos de tipos de números reales. Por último, introduce conceptos como valor absoluto y desigualdades de valor absoluto.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como números reales, la recta numérica, valor absoluto, exponentes, radicales y radicación. Explica que los números reales incluyen racionales e irracionales y cómo se representan en la recta numérica. También define valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, y expone propiedades de exponentes, radicales y métodos para simplificar y sumar radicales o racionalizar fracciones con radicales en el denominador.
1) El documento presenta información sobre números reales e incluye definiciones de números naturales, enteros, racionales e irracionales.
2) Se describen propiedades de operaciones como potencias, radicales, expresiones decimales y logaritmos.
3) Se explican conceptos como valor absoluto, intervalos y cómo aproximar números reales usando notación científica.
Este documento clasifica los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica para expresar números muy grandes o pequeños.
Este documento presenta información sobre números reales y el plano numérico. Define números reales como aquellos que tienen expansión decimal periódica o no periódica, e incluye ejemplos como 3 y 1/2. Explica que el conjunto de números reales incluye números racionales e irracionales. También describe conceptos como desigualdades, valor absoluto, propiedades de los números reales, inecuaciones, y el plano numérico, incluyendo distancia entre puntos y puntos medios.
Este documento presenta información sobre álgebra, incluyendo diferentes tipos de números como números reales, enteros y racionales. Explica propiedades de los números reales como cerradura, conmutativa, asociativa y distributiva. También cubre operaciones básicas con números reales como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, introduce conceptos como potenciación, radicación y expresiones algebraicas.
Este documento presenta una unidad sobre matemáticas para profesores y estudiantes de licenciatura en ciencias naturales. La unidad cubre varios temas matemáticos incluyendo fracciones algebraicas, exponentes y radicales, ecuaciones y desigualdades, funciones logarítmicas, el binomio de Newton, pares ordenados y el producto cartesiano, relaciones y funciones, funciones algebraicas e inversas, y funciones trascendentes. El documento es parte de un curso en la Universidad Pedagógica de El Salvador.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números reales e intervalos. Explica que los números reales (R) incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Define intervalos abiertos, cerrados e infinitos y describe operaciones como unión e intersección. Luego introduce conceptos fundamentales de funciones como dominio, periodicidad y simetría. Finalmente, define funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y radicales.
Este documento describe diferentes conjuntos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Define cada conjunto y sus propiedades con respecto a las operaciones matemáticas. También introduce conceptos como valores absolutos, desigualdades e intervalos para describir rangos de números reales.
Este documento define y explica los números reales, incluyendo sus subconjuntos como números naturales, enteros, racionales e irracionales. Describe las operaciones básicas en el conjunto de números reales y cómo se comportan las desigualdades y valor absoluto en este conjunto numérico.
Este documento describe los números reales y el plano numérico. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales, y que pueden clasificarse como algebraicos o trascendentes. También describe operaciones básicas con números reales como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, explica conceptos como desigualdades, valor absoluto, distancia entre puntos, y curvas como la parábola y elipse.
2. NÚMEROS RACIONALES: Todas las fracciones equivalentes a una
dada determinan un mismo número, que se llama numero racional
conjunto de los números racionales se representa por Q.
Son ejemplos de números racionales: 3 , 6/13 , -12 , 8/5 , 0 , -4/7.
Podemos expresar un número racional tanto en notación fraccionaria
como entero decimal.
NUMEROS IRRACIONALES: Los números como raíz de √2 reciben
el nombre de números irracionales.
El número decimal es ilimitado y no podemos identificar un periodo
que se repita indefinidamente . Se trata de un número decimal no
periódico ilimitado. No es un numero racional puesto que los
racionales ,o bien son decimales exactos, o bien decimales
periódicos.
Los números irracionales son números con una cantidad ilimitada
de cifras decimales y sin ningún periodo que se repita se representa
por l.
Son números irracionales todas las raíces de números naturales que
no son potencias perfectas: √2 ,√ 9 y √45.
3. NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS: En este conjunto la suma y el producto son
operaciones internas es decir ,dados los números naturales , a y b , suma , a + b, es otro
numero natural y su producto ,a · b, también lo es . N(1, 2, 3, 4, 5….)
Es el conjunto de números naturales se pueden realizar otras dos operaciones , la resta y la
división , pero ninguna de las dos es una operación interna , ya que el resultado de restar o
dividir dos números naturales no siempre es un número natural . Esta es precisamente una
de las razones por la que este conjunto numérico resulta insuficiente a la hora de resolver
ciertos problemas .
4. LA RECTA REAL: Los números reales se pueden representar en la recta numérica.
Podemos asociar cualquier numero real a un único punto de una recta, y al revés, a cualquier punto de una
recta le podemos hacer corresponder un único numero real. A esta recta la llamamos recta real.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA:
El teorema de Pitágoras permite representar números reales irracionales en una rectas.
PASOS:
1º -Trazando en una recta un triangulo rectángulo cuya medida sea una unidad, la hipotenusa que obtenemos
vale √2. Con un compás, trasladamos el segmento sobre la recta.
2º - Trazando un triangulo rectángulo de cateto 1 y √2, obtenemos una hipotenusa de √3 que también
trasladamos sobre la recta.
√2
5. ERROR ABSOLUTO: EA= Ve-Va Denominamos error absoluto para la diferencia ,
el valor absoluto , entre el valor real y la aproximación.
Consideramos que: 3,14 15 92 65 4… si tomamos como aproximación 3, 14 el error absoluto es :
3,14 15 92 65 4 -3,14 =0,001592652
El error absoluto ,por si mismo, no es significativo. No es lo mismo un error de un centímetro de la medida de una mesa de dos
metros de ancho que en la medida de un edificio de 25 m de ancho. Lo que nos interesa es la comparación entre el error absoluto y
su valor real. A esta relación la denominamos error relativo.
ERROR RELATIVO: El error relativo es el cociente entre error absoluto y valor real.
Error relativo= Error absoluto: Valor real.
CALCULO CON ERRORES: cuando operamos con números irracionales , lo podemos hacer de dos maneras : utilizando el valor
exacto de los números o bien utilizamos aproximaciones. El error máximo de la diferencia entre la aproximación por exceso y la
aproximación por defecto.
6. Las operaciones con potencias siguen las reglas siguientes:
(An · Am = A n+m) (An : Am = A n-m) ( (An)m = A n·m) (A º=1) (A1=A)
( An· Bn= ( A·B)n ) ( An:Bn= ( A:B)n ).
Cuando una potencia es de exponente negativo expresa el inverso de la
correspondiente potencia con exponente positivo: A-n= 1/An
Potencia de exponente entero
Vamos a calcular 4 elevado a 3 : 4 elevado a 8
-Utilizando las propiedades de las potencias tenemos:
4 elevado a 3 : 4 elevado a 8 = 4 (3-8) = 4 elevado a la -5
-Haciendo la división tenemos:
4 elevado a 3 : 4 elevado a 8= (4·4·4) dividido entre (4·4·4·4·4·4·4·4)=
¼ elevado a la 5
7. Notación científica: La notación científica se usa para expresar cantidades muy pequeñas, como la longitud de un
virus , o muy grandes, como un año luz.
Un numero escrito en notación científica esta formado por un numero decimal a comprendido entre 1 y 10
multiplicado por una potencia de base 10 y exponente entero:
a · 10 elevado a la n n indica el orden de la magnitud.
0,000045= 4,5 · 10 elevado a la -5 982.000.000 = 9,82· 10 elevado a la 8
Operaciones en notación científica: Para sumar o restar números en notación científica , expresamos todos
los sumandos en el mismo orden de magnitud y sumamos o restamos la parte decimal: 1,2 · 10 elevado 12+ 3,45·
10 elevado 13 = 1,2 · 10 elevado 12 + 3,45 · 10 elevado 12= (1,2 + 34,5) · 10 elevado 12 = 35,7 · 10 elevado
12 = 3,57 · 10 elevado 13.
Para multiplicar, dividir u obtener potencias de números en notación científica operamos la parte decimal por un
lado y las potencias por otro.
8. Raíz enésima : La raíz enésima de un numero A es un numero B que elevado a N da A : √A = B---B elevado a N= A
Raíces de un número : el número de raíces de un valor depende de un signo del radicando y del valor par o impar del
índice .
Raíz de índice par
-si el radicando es positivo, tiene dos raíces, una positiva y la otra negativa. +√81 = 9 -√81= -9
-si el radicando es negativo, no existe la raíz real. √-49 = no existe
Raíz de índice impar: tiene siempre una raíz , tanto si el radicando es positivo como si es negativo. Exponente 5 √243 =
3
Operaciones con raíces
La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de los factores
Exponente n √ a · b =exp. n √ a · exp. n √ b
La raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas de sus términos. exp. n √ a/b= exp. n √ a /
√b
La potencia de una raíz enésima es igual a la raíz enésima del radicando elevado al exponente de la potencia ( exp. n
√ a )elevado p = exp. n √ a elevado p
9. Radicales semejantes: dos radicales son semejantes si,
una vez simplificados, tiene el mismo índice y
radicando. √32= √ 2 exp. 2 · 2 exp. 2= 4√2
√18= √3 exp. 2 · 2= 3 √2
Simplificación elemental de raíces : Para simplificar
raíces exactas, expresamos el radicando como
producto de factores, de forma que obtengamos
potencias de exponente igual al índice.
exp. 3 √1250 = exp. 3 √5 exp. 4 · 2=
exp. 3 √5 exp. 3 · 5 · 2=
exp. 3 √5 exp. 3· exp. 3 √5 · exp. 3 √2
= 5 · exp. 3 √ 10
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo
índice e igual cantidad subradical difieren
únicamente en el coeficiente. Por lo tanto para
reducir dos o mas radicales semejantes basta con :
1. Realizar la suma algebraica de los coeficientes
2. Se escribe el total obtenido en el paso anterior
anteponiéndolo a la parte radical común.
10. Exponente fraccionario: un radical se puede expresar como una potencia de
exponente fraccionario, de acuerdo con esta regla de correspondencia:
a m/n = exp. n√a exp. m.
Podemos utilizar esta correspondencia entre raíz y potencia de exponente
fraccionario en los dos sentidos:
5 exp. √7 exp. 2 = 7 exp. 2/5
Observa que cuando el numerador del exponente fraccionario es 1, el radicando de
la raíz no lleva exponente, o lo que es lo mismo, el exponente es 1:
3 exp. ½ = √3
Simplificación de radicales : la expresión de un radical como potencia de
exponente fraccionario nos ayuda a simplificar las raíces. Consideramos m el
exponente del radicando, y n el índice de la raíz.
exp. n √ a exp. m.
Podemos obtener una raíz mas sencilla en los siguientes casos:
-Si m es menor que n y el cociente m/n se pude simplificar:
exp. 4 √7 exp. 2 = √ 7, puesto que 2/4 = ½
-Si m es igual que n, obtenemos una raíz exacta:
exp. 3 √2 exp. 3 = 2 3/3= 2
-Si m es mayor que n, podemos extraer factores. Para hacerlo, dividimos m/n. el
cociente es el exponente del termino que extraemos de la raíz , y el resto es el
exponente del numero que dejamos en la raíz:
exp. 4 √5 exp. 10 = 5 10/4= 5 8/4 +2/4 5 8/4 · 5 2/4= 5 exp. 2 · 5 ½ = 5 exp. 2 · √5
11. Intervalos de números reales: los intervalos son conjuntos de
números reales que se corresponden con un segmento.
Quedan determinados por dos números, llamados extremos.
Para identificar un intervalo, indicamos los valores extremos.
Pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos, dependiendo si están
incluidos o no los extremos.
EJEMPLOS:
El intervalo abierto (-3,2) es el conjunto de todos los números reales
comprendidos entre -3 y 2 . También podemos expresarlo
algebraicamente o con desigualdades de la forma {x E R / -3 < x > 2}.
Incluso podemos representar dicho conjunto formado por infinitos
números de la forma desde -3 abierto a 2 abierto.
Semirrectas: las semirrectas son conjuntos de números reales determinados por un numero
real , llamado extremo. Pueden ser cerradas o abiertas.
EJEMPLOS
-Semirrecta abierta por la izquierda (a, +∞) x > a A abierto hasta + ∞
-Semirrecta cerrada por la izquierda [a,+ ∞) x ≥ a A cerrado hasta + ∞
-Semirrecta abierta por la derecha (- ∞,b) x < b B abierto hasta - ∞
-Semirrecta cerrada por la derecha (- ∞,b] x ≤ b B cerrado hasta - ∞
12. APROXIMACIONES : cuando un numero tiene muchas cifras decimales no es posible escribir su valor exacto y es
muy difícil operar con él. Es conveniente utilizar una aproximación.
Aproximar un numero es sustituirlo por otro, próximo a le, que tenga un numero finito de cifras decimales. La
aproximación puede ser por defecto o por exceso si esta es respectivamente, menor o mayor que el numero. El
orden de una aproximación indica cual es la ultima cifra.
Podemos aproximar un numero de dos maneras diferentes: redondeo y por truncamiento
-Para redondear un numero a un orden de unidades determinadas, observamos la cifra situada a su derecha: si es
inferior a 5 no la variamos, y si es 5 o superior, la aumentamos en una unidad.
2,86339---------2,863 ( redondear a las milésimas )
-Para truncar un numero a un orden de unidades determinadas, sustituimos todas las cifras que quedan a su
derecha por cero. 2,86339--------- 2,863 ( truncamiento a las milésimas )
13. SUMA Y RECTA DE RADICALES: para poder sumar radicales, estos tienen
Que ser semejantes.
La suma y resta de radicales semejantes es otro radical semejante cuyo coeficiente es la suma o resta de los
coeficientes de los radicales.
En ciertos casos, tenemos que simplificar algunas raíces para poder sumarlas:
√27 + 5 √3 - √300= 3 √3 + 5 √3 – 10 √3= -2 √3
√32 + √392 - √200 =4 √2 + 14 √2 -10 √2= 8 √2
PRODUCTO DEL COCIENTE DE RADICALES: si los radicales tienen el mismo índice:
exp. n √ a · exp. n √ b =exp. n √ a · b
Si los radicales no tienen el mismo índice, reduciremos a índice común para poder efectuar la operación:
√2 · exp. 3 √2 exp. 2 · exp. 6 √ 2 exp. 5= exp. 6 √2 exp. 3 · exp. 6 √2 exp. 4 · exp. 6 √2 exp. 5= exp. 6 √2 exp. 3 · 2 exp.
4 · 2 exp. 5= exp. 6 √2 exp. 12= 2 exp. 2= 4