Este documento trata sobre exponentes. Explica que la potenciación es una operación entre una base y un exponente, y define exponentes enteros positivos como productos repetidos de la base. Luego describe propiedades básicas de los exponentes como la propiedad del producto y la propiedad del cociente. Finalmente, introduce exponentes negativos, racionales y la notación científica.

1. UNIDAD 7: UTILICEMOS LOS
EXPONENTES.
Potenciación.
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados:
base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o
«a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos
números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese
que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos
diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el
exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En
un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.
Exponentes Enteros Positivos
En nuestros ejemplos de expresiones algebraicas, hemos utilizado símbolos tales
como y . Un símbolo como representa el producto , similarmente
representa el producto . En general establecemos la siguiente definición.
Si es un número real arbitrario y es un entero positivo, definimos como el
producto de factores iguales a . Es decir
En el símbolo , a se llama la base y el exponente o la potencia. También decimos
que es elevado a la potencia .
Ejemplo
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

A partir de lo anterior podemos comprobar las siguientes propiedades básicas que
satisfacen los exponentes enteros positivos. Si y son números reales arbitrarios
y y son enteros positivos, entonces tenemos:

2. El siguiente razonamiento es una justificación de la primera de las propiedades
mencionadas.
Se pueden hacer justificaciones similares para comprobar las otras dos propiedades.
Ejemplo
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
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3. Exponentes enteros negativos.
La potencia de exponente negativo es la inversa de la potencia con el
mismo exponente, pero positivo:
Ejemplo:
Un número elevado a −1, es el inverso de dicho número.
Ejemplo:
Propiedades de los exponentes:
PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS
Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así
cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras
palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,
Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del
denominador. Ejemplo:
PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

4. Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las
cosas se hacen un poco de forma distinta.
32 × 42 = (3 × 3) × (4 × 4)
Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos
reescribir esto como
32 × 42 = (3 × 4) × (3 × 4) = 122
En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o
tanto b y c no sean cero):
ac × bc = (ab)c
Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada
factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.
PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE
Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver
que:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Simplifique
Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):
PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA
La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un
número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y
otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia:
(53)4 = (53)(53)(53)(53)
Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que

5. (53)(53)(53)(53) = 53 + 3 + 3 + 3 = 54(3) = 512
Así es suficiente con solo multiplicar las potencias!
En general, para todos los números reales a, b, y c,
(ab)c = abc.
Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.
EXPONENTES RACIONALES
Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero.
Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 91/2?
Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para
encontrar:
91/2 × 91/2 = 9(1/2 + 1/2) = 91
Sabemos que 91 = 9, así 91/2 = . Así, el exponente ½ trabaja como una raíz
cuadrada. Similarmente, a1/3 es equivalente a .
y en general
y .
Notación científica.
Conversión de notación decimal a científica.
La notación científica se usa para expresar números muy grandes o muy pequeños. Un
número en notación científica se escribe como el producto de un número (entero o
decimal) y una potencia de 10. El número tiene un dígito hacia la izquierda del punto
decimal. La potencia de diez indica cuantos lugares se corrió el punto decimal.
El número 6.5x10-7 escrito en forma decimal sería 0.00000065 porque el punto decimal
se corrió 7 lugares hacia la izquierda para formar el decimal 0.00000065.

6. Calculadora científica.
La calculadora científica te permite calcular las funciones matemáticas más complejas
como trigonometría, estadística y otras funciones avanzadas.