Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como números reales, la recta numérica, valor absoluto, ecuaciones e inecuaciones, exponentes, radicales y propiedades. Explica los números reales como la unión de números racionales e irracionales. Describe la recta numérica y cómo se representan números positivos y negativos. Define el valor absoluto y cómo se relaciona con magnitud y distancia. Luego, cubre ecuaciones, inecuaciones, y cómo resolverlas. Finalmente, explica exponentes, radicales, y sus prop

1. Glosario

2. Glosario Números Reales La Recta Numérica Valor Absoluto Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto Exponentes y Propiedades Radicales y Propiedades Radicación

3. Números Reales Se representan con la letra R . El conjunto de los Números Reales ( R ) está integrado por: El conjunto de los Números Racionales ( Q ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. El conjunto de los Números Irracionales ( I ) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica. Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( R ) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I .

4. Recta Numérica La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son: Mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos. Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

5. Valor Absoluto En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

6. Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación: La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

7. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan. INECUACIONES Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo. En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos. La notación a < b significa que a es menor que b; y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a = b (a es menor o igual a b); y a = b (a es mayor o igual que b).

8. Exponentes y Propiedades El exponente o potencia surge al considerar un número como factor tantas veces como se desee. Los exponentes indican que un número se esta multiplicando por si mismo n veces. Así 3 3 indica que se quiere realizar la operación (3)(3)(3) y se lee 3 al cubo. a2, indica que la base a, se va a multiplicar por sí misma 2 (exponente) veces. Y se lee a al cuadrado. x4 indica que el número x se va a utilizar como factor 4 veces, es decir (x)(x)(x)(x) y se lee x a la cuarta potencia. Para exponentes mayores a 3, se lee, para cualquier variable x, x4;; “x a la cuarta”,x7; “x a la séptima”, y así sucesivamente.

9. Un número puede descomponerse en n factores deseados a0 = 1 a1 = a a2 = aa a3 = aa2 = aaa a4 = aa3 = aaaa an = aan-1 = aa…a n factores de donde puede obtenerse la regla del producto para los exponentes: a 3 a 2 = a 3 + 2 = a 5 Regla del producto para exponentes: Para toda variable a,b ; pertenecientes al conjunto de números naturales, entonces x a x b = x a + b Como puedes ver, en un producto de expresiones, se conserva la base y se suman los exponentes. Se considera importante señalar que la regla del producto para exponentes solo puede utilizarse en aquellas expresiones que tienen la misma variable como base. Cualquier variable x 0 = 1 Considerando otros ejemplos (a 0 ) 3 = a 0 a 0 a 0 = a 0+0+0 = (a 0 ) 3 = 1

10. De los ejemplos anteriores se puede obtener la regla de potencia para los exponentes. Regla de potencia para los exponentes: Para toda variable a,b; (x a ) b = x ab (xy) a = x a y a para y diferente de 0 Hay que tener cuidado en los casos en que la variable x = 0 ya que 0 0 es un número indefinido. Es decir, la base nunca puede ser cero, en ningún caso. Es conveniente aprender aquí a expresar el número 1 en términos de fracciones. Dicha forma de expresión será muy útil posteriormente. Así el 1 puede expresarse como una expresión fraccional donde el denominador es idéntico al numerador. Exponente negativo: x m x -m = x m-m = x 0 = 1 Para que este resultado sea congruente con las reglas hasta aquí mencionadas, entonces es necesario que x -m , sea el inverso multiplicativo de x m . Es decir que es necesario que , resultado que es congruente con las propiedades mencionadas. Entonces se puede dar la siguiente definición:

11. Regla del cociente Ejemplo: (3 2 ) (3 -2 ) = 3 2 - 2 = 3 0 = 1 Para finalizar con este apartado, tenemos el siguiente teorema: RESUME

12. Radicales y Propiedades Un radical es una expresión de la forma n √¯a. Simplificación de radicales si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente. Reducción de radicales a índice común un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente. 1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. 2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

13. Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Introducción de factores dentro del signo radical Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical a n √¯b= n √¯a n b Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando. a n √¯k+ b n √¯k+ c n √¯k=(a+b+c) n √¯k

14. Radicación La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos: Racionalización del tipo Se multiplica el numerador y el denominador por √¯c

15. Racionalización del tipo Se multiplica el numerador y el denominador por n √¯c n-m Racionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

16. También tenemos que tener en cuenta que: &quot;suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados&quot;.