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APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
16
1 − 2 − 1 + 0 + 6 − 4 = 0
(1 + 6 − 3 − 4) = 0
7 − 7 = 0
0 = 0 ok!
Así probamos para todos los valores de Z, es decir: para Z1, Z2, Z3, Z4 y Z5.
2.13.3. CONJUNTOS DE PUNTOS. -
Cualquier colección de puntos en el plano complejo Z se denomina un conjunto bidimensional
de puntos, y cada punto es un miembro o elemento del conjunto.
VECINDADES. - Una vecindad de radio delta δ de un punto Zo, es el conjunto de todos los
puntos Z tales que ǀZ-Zoǀ< δ, donde δ es cualquier número positivo dado, una vecindad
reducida δ de Zo, es una vecindad de Zo en la que el punto Zo se omite, es decir: 0<ǀZ-Zoǀ<δ
d = ǀZ - Zoǀ d < δ
PUNTOS LIMITES. – Un punto Z0, se llama punto límite ó punto de acumulación de un
conjunto S, si cada vecindad δ reducida de Z0 contiene puntos del conjunto S.
CONJUNTOS CERRADOS. - Un conjunto S, se dice que es cerrado si cada punto límite del
conjunto S pertenece a este conjunto, esto es, si S contiene todos sus puntos límites.
CONJUNTOS ACOTADOS .- un conjunto S se dice que es acotado, si podemos encontrar una
constante M, tal que |𝑍| < 𝑀, para cada punto Z del conjunto S. Un conjunto ilimitado es un
conjunto que no es acotado y un conjunto que es acotado y cerrado se llama conjunto
compacto.
PUNTO INTERIOR. - Un punto Z0, se llama punto interior de un conjunto S, si podemos
encontrar una vecindad de radio δ de Z0, cuyos puntos pertenecen todos al conjunto S.
PUNTO FRONTERA. - Se dice que Z0, es puntos frontera de un conjunto S, si toda vecindad δ
de Z0, contiene puntos del conjunto S y puntos que no pertenecen al conjunto S.

17
CONJUNTOS ABIERTOS. - Un conjunto abierto, es un conjunto que consiste solamente de
puntos interiores.
CONJUNTOS CERRADOS. - Es un conjunto que consiste, de puntos interiores más puntos
frontera.
CONJUNTOS CONEXOS. - Un conjunto S abierto S, es conexo si cualquier par de puntos del
conjunto, pueden ser unidos mediante una poligonal íntegramente contenidos en el conjunto
S, entonces se dice que el conjunto S, es un conjunto poligonalmente conexo.
REGIONES ABIERTAS. - Un conjunto abierto conexo, es llamado una región abierta ó dominio.
CLAUSURA DE UN CONJUNTO. - si a un conjunto abierto S, agregamos todos los puntos límites
del conjunto S, el nuevo conjunto se llama clausura de S y es un conjunto cerrado.
REGIONES CERRADAS. - La clausura de una región abierta ó dominio, se llama región cerrada.
REGIONES. - Si a una región abierta ó dominio, agregamos alguno, todos ó ninguno de sus
puntos límites, obtenemos un conjunto llamado región, si se agregan todos sus puntos límites,
la región está cerrada, si ninguno de sus puntos límites es agregado, la región está abierta.
2.13.4.- DESIGUALDADES, VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES. -
PROPIEDADES
1.- |𝑍1𝑍2| = |𝑍1||𝑍2|
2.- |𝑍1𝑍2𝑍3𝑍4 … . . | = |𝑍1||𝑍2||𝑍3||𝑍4| … ..
3.- 𝑍 𝑍̅ = |𝑍|2
4.- |
𝑍1
𝑍2
| =
|𝑍1|
|𝑍2|
si Z2 ≠ 0
5.- |𝑍2| = |𝑍|2
6.- |𝑍1 + 𝑍2| ≤ |𝑍1| + |𝑍2|
7.- |𝑍1 − 𝑍2| ≥ |𝑍1| − |𝑍2|
Si Z1 = a + b i Z2 = c + d i
|𝑍1| = √𝑎2 + 𝑏2 |𝑍2| = √𝑐2 + 𝑑2

18
Demostrar si |𝑍1𝑍2| = |𝑍1||𝑍2|
|𝑍1𝑍2| = |(𝑎 + 𝑏 𝑖)(𝑐 + 𝑑 𝑖)| = |𝑎(𝑐 + 𝑑 𝑖) + 𝑏 𝑖(𝑐 + 𝑑 𝑖)| = |𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 𝑖 + 𝑏𝑐 𝑖 − 𝑏𝑑|
|(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖| = √(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)2 =
=√(𝑎𝑐)2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑑 + (𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑)2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑑 + (𝑏𝑐)2
=√(𝑎𝑐)2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑑 + (𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑)2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑑 + (𝑏𝑐)2
=√𝑎2𝑐2 + 𝑏2𝑑2 + 𝑎2𝑑2 + 𝑏²𝑐²
=√𝑎2(𝑐2 + 𝑑2) + 𝑏²(𝑐2 + 𝑑²)
=√(𝑎2 + 𝑏²)(𝑐2 + 𝑑²)
=√𝑎2 + 𝑏²√𝑐2 + 𝑑²
=ǀ𝑍1ǀ ǀ𝑍2ǀ L.q.q.d.
CONICAS. -
CIRCUNFERENCIA. - Es el lugar geométrico o conjunto de todos los puntos Z, cuya distancia a
un punto fijo es constante, el punto fijo se llama centro y la distancia radio.
Z = X + Y i es un punto de la circunferencia
C = a + b i centro de la circunferencia
R = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2
Ecuación de la circunferencia es:
|𝑍 − 𝐶| = 𝑅
|(𝑥 + 𝑦 𝑖) − (𝑎 + 𝑏 𝑖)| = 𝑅
|(𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏) 𝑖| = 𝑅
y
b
a x
X
Y
R
Z
C

19
√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑅2
Ecuación de la circunferencia con centro en 𝐶(𝑎, 𝑏) y radio R.
Si la ecuación es:
𝑍 − 𝐶 = 𝑅℮𝜃 𝑖
|𝑍 − 𝐶| = |𝑅℮𝜃 𝑖|
|𝑍 − 𝐶| = |𝑍℮𝜃 𝑖|
|𝑍 − 𝐶| = |𝑍||℮𝜃 𝑖|
|𝑍 − 𝐶| = |𝑍||𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖|
|𝑍 − 𝐶| = |𝑍|√𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
|𝑍 − 𝐶| = 𝑅 , donde: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
𝑍 = 𝐶 + 𝑅℮𝜃 𝑖
𝑍 = (𝑎 + 𝑏 𝑖) + 𝑅(𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖)
𝑍 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 + 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖
𝑍 = 𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑏 𝑖 + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖
𝑍 = [𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃)] + [𝑏 + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃)] 𝑖
𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) = Parte real de Z
𝑏 + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃) = Parte imaginaria de Z
ELIPSE. - Es el lugar geométrico o conjunto de todos los puntos Z, cuya suma de las distancias
a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Z = X + Y i es un punto de la elipse, donde:
F1 = foco 1
F2 = foco 2
d1 = distancia desde F1 al punto Z de la elipse
d2 = distancia desde F2 al punto Z de la elipse
𝑑1 + 𝑑2 = 2𝑎
𝑑1 = |𝑍 − 𝐹1|
𝑑2 = |𝑍 − 𝐹2|
|𝑍 − 𝐹1| + |𝑍 − 𝐹2| = 2𝑎
X
Y
Z
b+R 𝜃
b
a+R 𝜃
a
R 𝜃
R
c
R 𝜃
a+ R 𝜃
b
+
R
𝜃

20
HIPERBOLA. - Es el lugar geométrico o conjunto de todos los puntos Z, cuya diferencia de las
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Z = X + Y i es un punto de la hipérbola, donde:
F1 = foco 1
F2 = foco 2
d1 = distancia desde F1 al punto Z de la hipérbola
d2 = distancia desde F2 al punto Z de la hipérbola
𝑑1 − 𝑑2 = 2𝑎
𝑑1 = |𝑍 − 𝐹1|
𝑑2 = |𝑍 − 𝐹2|
|𝑍 − 𝐹1| − |𝑍 − 𝐹2| = 2𝑎
PARABOLA. - Es el lugar geométrico o conjunto de todos los puntos Z, cuya distancia a un
punto fijo es igual a la distancia de una recta fija llamada directriz.
𝑍 = 𝑋 + 𝑌 𝑖 , es un punto de la parábola, donde:
F = foco
d = directriz, recta paralela al eje y
d1 = distancia desde d al punto Z de la parábola
d2 = distancia desde F al punto Z de la parábola
P = distancia desde el eje y a la directriz d
x
y
v a
-a 𝐹
1
Z
𝐹2
𝑑1
𝑑2
2a
y
x
a
-a F
𝐹
1
Z
𝑑1 𝑑2
+ 2a +

21
𝑑1 = 𝑑2
𝑑1 = |𝑥 − 𝑝|
𝑑2 = |𝑍 − 𝐹|
|𝑍 − 𝐹| = |𝑥 − 𝑝|
|𝑍 − 𝐹| = |ℛ(𝑍) − 𝑝|
Z = X + Y i es un punto de la parábola, donde:
F = foco
d = directriz, recta paralela al eje x
d1 = distancia desde d al punto Z de la parábola
d2 = distancia desde F al punto Z de la parábola
p = distancia desde el eje x a la directriz d
𝑑1 = 𝑑2
𝑑1 = |𝑦 − 𝑝|
𝑑2 = |𝑍 − 𝐹|
|𝑍 − 𝐹| = |𝑦 − 𝑝|
|𝑍 − 𝐹| = |Π𝑚𝑔(𝑍) − 𝑝|
directiz
y
x
z
P
𝑑1
𝑑2
F

22
Ej. – Resolver y graficar
1. - |
𝒁+𝟐 𝒊
𝒁−𝟐 𝒊
| = 𝟐
|𝑍 + 2 𝑖|
|𝑍 − 2 𝑖|
= 2
|𝑍 + 2 𝑖| = 2|𝑍 − 2 𝑖|
|𝑥 + 𝑦 𝑖 + 2 𝑖| = 2|𝑥 + 𝑦 𝑖 − 2 𝑖|
|𝑥 + (𝑦 + 2) 𝑖| = 2|𝑥 + (𝑦 − 2) 𝑖|
√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 2√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 ()2
𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
= 4[𝑥2
+ (𝑦 − 2)2]
𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
= 4𝑥2
+ 4(𝑦 − 2)2
𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 4𝑥2 + 4[𝑦2 − 4𝑦 + 4]
𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑦 + 4 = 4𝑥2
+ 4𝑦2
− 16𝑦 + 16
4 − 16 = 3𝑥2
+ 3𝑦2
− 20𝑦
3𝑥2
+ 3𝑦2
− 20𝑦 = −12 /3
𝑥2
+ 𝑦2
−
20
3
𝑦 = −4 completar cuadrado
𝑥2
+ 𝑦2
−
20
3
𝑦 + (
10
3
)
2
= (
10
3
)
2
− 4
𝑥2
+ (𝑦 −
10
3
)
2
=
100
9
− 4
directriz
x
y
F
P
z
𝑑1
𝑑2

23
𝑥2
+ (𝑦 −
10
3
)
2
=
100
9
−
36
9
𝑥2 + (𝑦 −
10
3
)
2
=
64
9
𝑥2
+ (𝑦 −
10
3
)
2
= (
8
3
)
2
Ecuación de una circunferencia con:
C(0,
10
3
) y R =
8
3
Representación gráfica.
𝑧1 =
8
3
+
10
3
𝑖
𝑧2 = 0 + 6 𝑖
𝑧3 = −
8
3
+
10
3
𝑖
𝑧4 = 0 +
2
3
𝑖
2.- |𝒁 + 𝟐 𝒊| − |𝒁 − 𝟐 𝒊| ≤ 𝟔
|(𝑥 + 𝑦 𝑖) + 2 𝑖| − |(𝑥 + 𝑦 𝑖) − 2 𝑖| ≤ 6
|𝑥 + 𝑦 𝑖 + 2 𝑖| − |𝑥 + 𝑦 𝑖 − 2 𝑖| ≤ 6
|𝑥 + (𝑦 + 2 ) 𝑖| − |𝑥 + (𝑦 − 2) 𝑖| ≤ 6
√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 − √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 ≤ 6
√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 ≤ 6 + √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 * ()2
𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
≤ 36 + 12√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
𝑦2
+ 4𝑦 + 4 ≤ 36 + 12√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑦2
− 4𝑦 + 4
4𝑦 + 4𝑦 ≤ 36 + 12√𝑥2 + (𝑦 − 2)2
8𝑦 − 36 ≤ 12√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 /4
2/3
8/3
-8/3
6
x
y
Z1
Z2
Z3
Z4
1
0/3

24
2𝑦 − 9 ≤ 3√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 * ()2
(2𝑦 − 9)2
≤ 9[𝑥2
+ (𝑦 − 2)2]
4𝑦2
− 36𝑦 + 81 ≤ 9𝑥2
+ 9(𝑦2
− 4𝑦 + 4)
4𝑦2
− 36𝑦 + 81 ≤ 9𝑥2
+ 9𝑦2
− 36𝑦 + 36
81 − 36 ≤ 9𝑥2
− 4𝑦2
+ 36𝑦 + 9𝑦2
− 36𝑦
45 ≤ 9𝑥2
+ 5𝑦2
/45
9
45
𝑥2
+
5
45
𝑦2
≥
45
45
1
5
𝑥2
+
1
9
𝑦2
≥ 1
𝑥2
5
+
𝑦2
9
≥ 1
𝑥2
(√5)
2 +
𝑦2
(√9)
2 ≥ 1
𝑥2
(√5)
2 +
𝑦2
32 ≥ 1… elipse
Representación gráfica.
3.- 𝓡(𝒁𝟏) > 𝟑 si 𝒁𝟏 = 𝒁(𝒁
̅ + 𝟑)
𝑍 = 𝑥 + 𝑦 𝑖 ⟹ 𝑍̅ = 𝑥 − 𝑦 𝑖
𝑍1 = (𝑥 + 𝑦 𝑖)(𝑥 − 𝑦 𝑖 + 3)
𝑍1 = (𝑥 + 𝑦 𝑖)[(𝑥 + 3) − 𝑦 𝑖]
𝑍1 = (𝑥 + 𝑦 𝑖)(𝑥 + 3) − (𝑥 + 𝑦 𝑖)𝑦 𝑖
3
-3
2,23
2,23
V1(0;2,1
2)
V2(0;- 2,1
2)
F1(0;2,1
2)
F2(0;2,1
2)
E
LIPS
EC(0;0)
C X
Y

25
𝑍1 = (𝑥 + 𝑦 𝑖)𝑥 + 3(𝑥 + 𝑦 𝑖) − 𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
𝑖2
𝑍1 = 𝑥2
+ 𝑥𝑦 𝑖 + 3𝑥 + 3𝑦𝑖 − 𝑥𝑦 𝑖 + 𝑦2
𝑍1 = (𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑦2) + (3𝑦)𝑖
ℛ(𝑍1) = 𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑦2
∏𝑚𝑔(𝑍1) = 3𝑦
ℛ(𝑍1) > 𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑦2
𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑦2
> 3
𝑥2
+ 3𝑥 + (
3
2
)
2
+ 𝑦2
> (
3
2
)
2
+ 3
(𝑥 +
3
2
)
2
+ 𝑦2
>
9
4
+
12
4
(𝑥 +
3
2
)
2
+ 𝑦2
>
21
4
Ecuación de una circunferencia.
(𝑥 +
3
2
)
2
+ 𝑦2
> (
√21
√4
)
2
(𝑥 +
3
2
)
2
+ 𝑦2
> (
√21
2
)
2
Centro en: 𝐶 (−
3
2
, 0) y Radio 𝑅 >
√21
2
PLANO Z
𝑧1 = 0,79 + 0 𝑖 𝑧2 = −
3
2
+
√21
2
𝑖 𝑧3 = − 3,79 + 0 𝑖 𝑧4 = −
3
2
−
√21
2
𝑖

26
UNIDAD No. 2
FUNCIONES DE VARIABLES COMPLEJAS, LIMITES
FUNCIONES
DEFINICION. – Si a cada valor que pueda tomar la variable compleja Z, le corresponde uno o más
valores de la variable compleja W, es decir que W es función de Z y la expresamos de la siguiente
manera: W = F(Z)
Resumen de la definición de una función de variable real, es decir:
F = {(𝑥, 𝑦) 𝑦
⁄ = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝔻 ∧ 𝑦 ∈ 𝔻𝕀}
F = {(𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), (𝑥3, 𝑦3), … (𝑥𝑛, 𝑦𝑛)}
x
y
Z1
Z2
Z3
R=2,29
Z4
c(- 3/2 , 0)
2
,2
9
- 2
,2
9
0
,7
9
- 3
,7
9
C
IR
C
U
N
FE
R
E
N
C
IAC
(-1
,5;0
)

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